计量经济学中的不可能推理：理论与应用

我们的观点是，基于吸烟的出生体重高度倾斜甚至不连续的模型与平滑模型无法区分。因此，我们发现外源性测试的能力受到大小的限制。目前对不连续性大小的测试实施导致有界密度集，因此也无法控制大小。除了这些具有不连续性的应用之外，我们还验证了数据连续分布的宏观计量经济学示例中不可能推理的存在性。我们首先表明，弱距离与强距离的选择与Peter J.Huberon稳健统计的工作有关，并引导我们研究LP度量下协方差平稳时间序列过程集的闭包。该闭包包含错误持续时间模型和复合泊松模型。我们的理论表明，即使使用不连续的测试，也不可能将这些模型与协方差平稳模型区分开来。我们使用这些应用程序的目的并不是说永远不可能进行有效的推理。相反，我们指出从业者需要限制正在考虑的模型类别或正在测试的完整假设。在RDD的情况下，如果我们限制截断两边条件平均函数的变化，则不可能消失。Kamat（2018）证明了Wald检验在条件平均函数导数的一致界下的渐近有效性。Armstrong和Koles\'ar（2018）推导了条件均值函数凸类情况下的极大极小最优长度置信区间，该区间涵盖了计量经济学中使用的大多数光滑性或形状假设。或者，研究人员可以考虑限制模型其他方面的无效假设，而不是限制整个类别的模型，而不仅仅是限制阈值的影响。

例如，零影响的平滑模型的空值，或无处理溢出的空值，并不支持A类不可能。我们在第4.1节中用RDD中的经验示例扩展了这一讨论。本文的其余部分分为以下几部分。第2节建立了测试和建立信任集的统计框架。它为一般非参数设置中的不可能推断提供了必要和充分的条件。第3节将LP度量与稳健假设检验联系起来。第4节给出了两种不可能出现的多种经济应用。第5节介绍了RDD经验应用的蒙特卡罗模拟。第6节结束。Anapendix包含所有形式证明。图1（下一页）总结了关于不可能推理的文献，以及本文的含义。2不可能的推论研究者有一个n个观测值的样本Z=（Z，…，Zn），取Z中的值，是欧几里德空间Rn×l的子集。数据Z遵循分布P，研究者考虑的所有可能分布的集合是P。每个概率分布P∈ P用Borel-sigma代数B定义在相同的样本空间Z上。假设P区域中的所有分布绝对连续wrt相同的sigma有限测度。我们对检验零假设H:P感兴趣∈ Pversus替代假设H:P∈ P对于分区P，Pof P。我们通过数据φ：Z的函数来描述假设检验→ [0，1]。如果φ只取连续分布的Lebesgue测度；离散分布的计数测度；混合连续离散分布的Lebesgue和计数测度之和。值0和1，则该测试称为非随机测试，但在其他情况下为随机测试。

给定一个样本Z，我们拒绝函数φ（Z）等于1的空Hif，但我们无法拒绝Hifφ（Z）=0。如果函数φ（Z）在0到1之间，我们以概率φ（Z）为条件拒绝零假设。在分布P下拒绝零假设的无条件概率∈ P表示dep[φ]。试验尺寸φ为supP∈PEP[φ]。分布Q下的测试功率∈ Pis由等式[φ]给出。我们说，当supQ∈PEQ[φ]≤ 支持∈PEP[φ]。定义co（P）为任意子集P的凸包 P、 即co（P）=（P*: P*=NXi=1αiPi，对于某些N∈ N、 Pi∈ Pi、 αi∈ [0，1]i、 NXi=1αi=1）。（2.1）Pand中模型之间的小距离决定了测试不可能。存在各种距离概念来衡量两个分布P和Q之间的差异。文献中关于测试不可能性的常见选择是总变化（TV）度量dT V（P，Q）：dT V（P，Q）=supB∈B | P（B）- Q（B）|。（2.2）Kraft（1955）的定理5指出，当且仅当存在ε>0，使得dT V（P，Q）为≥ ε每P∈ co（P）和Q∈ co（P）。为了方便起见，我们在下面重述他的定理。定理1。（Kraft（1955））固定ε>0。以下陈述是等效的：（a）φ：infQ∈PEQφ≥ ε+供应∈PEPφ和（b）P∈ co（P），Q∈ co（P），dT V（P，Q）≥ ε。定理1对于不可能推理的一个重要含义是，它给出了一个必要且充分的条件，即零集的凸包在TV度量的所有可能模型集中是稠密的。换句话说，凸包co（P）与TV度量下的所有可能模型集（或n）是不可区分的，如果，对于任何Q∈ P、 存在序列{Pk}∞k=1 in co（P），使得dT V（Pk，Q）→ 我们在下面的推论中证明了这一事实。推论1。

以下语句是等效的：（a）对于每个Q∈ P、 存在序列{Pk}k co（P）使得dT V（Pk，Q）→ 0和（b）对于每个φ和Q∈ P、 公式φ≤ 支持∈PEPφ。这个推论的证明，以及论文的所有其他证明，都包含在附录中。定理1中所述的卡夫（1955）的显著结果使得Bahadur和Savage（1956）以及Romano（2004）发现的不可能类型A成为推论1的特例。特别是，Romano（2004）的Theorem1说，没有对流的推论1-（a）是推论1-（b）的有效条件。值得注意的是，Romano（2004）在检验人口平均数方面得出了积极的结果。Hedemonstrates证明，在具有非常弱的一致可积性条件的大样本中，t检验一致控制大小，并且t检验也是渐近极大极小最优的。Dufour（1997）使用与弱收敛相关的距离概念来推导不可能类型B。我们称之为序列{Pk}∞k=1每B的分布与Q、if一致∈ B这样的Q(B） =0，Pk（B）→ Q（B）。在这里B是Borel集B的边界，即B的闭合减去B的内部。我们用Pkd表示分布的收敛性→ Q、 分布的收敛性等价于L'evy-Prokhorov（LP）度量的收敛性（Dudley（1976），定理8.3）：dLP（P，Q）=inf{ε>0:P（A）≤ Q（Aε）+ε表示A∈ B} （2.3）式中，Aε={x:kx- ak<ε表示a∈ A} ，k·k是Rn×l上的欧氏范数。TV度量中Pkto Q的收敛意味着分布的收敛。一般来说，反之亦然。为了使TV度量中的收敛意味着分布中的收敛，有必要限制分布的类别。例如，假设Pkd→ Q、 这些发行版具有共同的支持[a、b]和PDF fPk、fQ。进一步假设Fpkconverge在[a，b]上一致。

然后，Fpkconverge一致于fQ（Rudin（1976）的定理7.17）。PDF的收敛意味着TV度量的收敛（Scheffe定理，见Van der Vaart（2000）的推论2.30）。对于这些条件不起作用的反例，考虑第4.2节的聚束示例。空值是具有连续可微分CDF的分布集。另一种方法是一组分布，其质量点在xB，但在其他情况下，CDF是连续可微的。对于备选方案中的任何CDF FQ，都存在一系列CDF FPkin null，它们逐点收敛到FQ，因此收敛不分布保持不变。TV中的收敛不成立，因为对于每k，xh在q下为正概率，而在pk下为零概率。必须是PDF fPkdo不一致收敛的情况。事实上，fqx在x处有一个跳跃不连续性，FPkat x的导数随着k的增长而增长→ ∞.一方面，零电视距离确实为测试不可能性提供了必要且有效的条件。另一方面，有一些具有非零tvdestance的模型的例子，其中似乎不应该存在强大的测试。下面的第3节正式说明了这个想法，但我们现在从一个简单的例子开始。考虑连续分布的零集。例如，随着试验次数的增加，标准化二项变量的分布收敛到标准正态分布，并且成功的概率是固定的。它不会在TV度量中收敛，因为这两个分布之间的距离始终等于一。事实上，考虑事件等于整个实线减去二项分布的支持度。该事件在正态分布下具有单位概率，但在二项分布下具有零概率。与在有理数中具有有限支持的离散分布的替代集相比。

可以通过LP度量中的连续分布序列来近似任何此类离散分布。我们认为空模型生成的数据在观测上等同于替代模型生成的数据。这促使我们重新审视在LP度量中无法区分分布的不可能类型A。假设1。对于每个Q∈ P、 存在序列{Pk}∞k=1 in co（P），使得Pkd→ Q、 换句话说，凸包co（P）与LP度量的所有似然模型集不可区分（或密集）。假设1是不可能类型a的充分条件，如定理2所述。定理2。如果假设1成立，则在任何Q下a.s.连续的任何假设检验φ（Z）∈ PHA功率受尺寸限制。备注1。正如Canay等人（2013）所指出的，LP度量所产生的拓扑不足以保证任何测试函数φ的积分收敛。然而，在任何Q下都是a.s.连续的测试类∈ Pcan可能非常大。例如，当检验统计量大于临界值时，以拒绝空值的检验为例：φ（Z）=I（ψ（Z）>c。如果函数ψ连续且Q∈ 在Lebesguemeasure中，Pis绝对连续。定理2仅要求备选方案P下的a.s.连续性，且空Pmaistill包含离散分布。备注2。我们不需要将定理2限制为P的每一种情况下的a.s.连续检验。例如，将P视为具有有限维参数θ的参数指数分布族的子集。然后，对于任何测试φ，φ的幂函数是连续的inθ，定理2适用于假设1（定理2.7.1，Lehmann和Romano（2005））。备注3。在许多情况下，假设1在两个方向都成立。

也就是说，Pis与P无法区分，Pis与Pin无法区分弱距离。例如，Bahadurand Savage（1956）发现，任何平均值为m的分布都可以很好地近似于平均值为m6=m的分布，反之亦然。第4节发现具有不连续性的模型具有相同的双向性。如果假设1在两个方向上都成立，那么转换Pand-Pin定理2的角色表明功率等于大小。将测试不可能性的LP版本与Gleser和Hwang（1987）以及Dufour（1997）发现的置信集的控制错误概率的不可能性联系起来很有用。定义实值函数u：P→ R、 例如，均值、方差、中值等。隐式选择分布集P，以确定μ。为了简单起见，我们考虑实值函数，更一般范围的u的结果很容易得到。u的范围为u（P）。假设当真实模型为P时，我们对u（P）的置信度集感兴趣∈ P、 置信集采用函数C（Z）的形式。对于型号P∈ P、 C（Z）的覆盖概率由P【u（P）】给出∈ C（Z）]。置信区域C（Z）的置信水平为1- α（即错误概率α），如果C（Z）包含概率至少为1的u（P）- α： infP公司∈PP[u（P）∈ C（Z）]=1- α。（2.4）对于任何值m∈ u（P），我们定义子集P（m）byP（m）={P∈ P：u（P）=m}。（2.5）不可能类型B表示，在P中的某些分布下a.s.有界的置信集的置信水平为零。下一个假设根据LP度量给出了不可能类型B的充分条件。假设2。存在分布P*（不一定在P中）使得每m∈ u（P）存在一个序列{Pk}kin co（P（m）），使得Pkd→ P*.如果假设1成立，每m的P=P（m）∈ u（P），则假设2成立。

事实上，如果P（m）在P中的密度为每m，则P满足假设2*= Q表示任意Q∈ P、 有些模型满足假设1，每m的P=P（m）∈ u（P）和两种不允许性的支持。这种情况的例子包括测试平均值的问题（Bahadur和Savage（1956）），或测试RDD中不连续的大小的问题（第4.1节）。然而，其他一些模型每m满足假设2，但不满足假设1。这些模型支持不可能类型B。示例包括回归参数比率问题（Gleserand Hwang（1987）），以及弱工具问题（Dufour（1997））。下一个定理概括了Gleser和Hwang（1987）以及Dufour（1997）发现的控制覆盖概率的不可能性。它与Gleser和Hwang（1987）不同，因为消费2使用LP距离。它与Dufour（1997）略有不同，因为假设2是根据P（m）的凸包而不是简单的P（m）来表述的。定理3。假设假设2与P保持一致*. 假设置信集C（Z）的置信度为1级- α、 和P*({m∈ C（Z）}）=0，每m∈ u（P）。然后m级∈ u（P）：P*[米∈ C（Z）]≥ 1.- α。（2.6）对于a组 R、 定义U[A]=sup{c:c∈ A} ，L[A]=inf{c:c∈ A} ，且D【A】=U【A】- L【A】。假设{U[C（Z）]≥ x} ，{L[C（Z）]≤ -x} ，和{D[C（Z）]≥ x} 是每个人都可以衡量的事件∈ [0，∞]. 如果D[u（P）]=∞, 然后*[D[C（Z）]=∞] ≥ 1.- α。（2.7）此外，如果P*[{D[C（Z）]=∞}] = 0，那么ε>0：支持∈Bε（P*)∩PP[D[C（Z）]=∞] ≥ 1.- α（2.8），其中Bε（P*) = {P:dLP（P，P*) < ε}.备注4。上述第（2.8）部分包含以下内容。如果1- α>0，则置信集C（Z）是无界的，对于某些P∈ P、 或者，第（2.8）部分的反义词表示如下。任何属于a.s。

在P的一个高阶域中P的分布下有界*有1个- α=0置信水平。备注5。使用假设2，可以获得定理3的一个稍微更一般的版本，假设2是根据TV度量而不是LP度量表述的。在这种情况下，对于不一定满足P*({m∈ C（Z）}）=0和p*[{D[C（Z）]=∞}] = 获取置信集的一种常见方法是反转假设检验。函数C（Z）是通过以下方式反转测试来构造的。对于给定的m∈ u（P），定义P0，m=P（m）和P1，m=P\\P（m），其中A\\B表示在移除集合B与集合A的相交后集合A的剩余部分。如果φm（Z）是P0的非随机测试，则mvs P1，m，然后C（Z）={m∈ u（P）：φm（Z）=0}。（2.9）每m∈ u（P），测试φm（Z）的尺寸α（m）=supP∈P0，mEP[φm（Z）]。C（Z）的密度级等于1减去m上α（m）的上确界∈ u（P）。附录引理A.1中给出了这一论点的证明。定理3和引理A.1表明，转化为A.s.有界密度集的测试无法控制大小。推论2。假设假设2成立，且u（P）是无界的。根据测试φm（Z）构建置信集C（Z），如等式（2.9）所示。假设C（Z）具有1级置信度- α满足定理3的假设。如果C（Z）在P的高阶分布下是a.s.有界的*, 那么α=1。因此，对于每个ε>0，存在mε∈ u（P）以支持∈P0，mεEPφmε>1- ε。备注6。Moreira（2003）提供的数字证据表明，对于联立方程模型中无因果影响（m=0）的零，Wald检验可以具有较大的零拒绝概率。为了证明Wald测试的零拒绝概率任意接近1，零的假设值m也需要改变。

他还建议用数据的临界值函数替换临界值。该临界值函数取决于假设值M。我们的理论表明，如果我们自由改变m，这个临界值函数是无界的。3弱收敛性和鲁棒性本节介绍了使用LP度量研究不可能推理的进一步动机。如果测试φm（Z）是随机的，则使用φm（Z）=I{U≤ φm（Z）}，其中U在[0，1]中均匀分布，与Z无关。它将LP度量引起的弱拓扑与稳健统计领域最杰出的研究者Peter J.Huber提出的理论联系起来。我们请读者参考Huber Andrnchetti（2009）了解更多详细信息。本节首先讨论稳健的统计过程。时间序列模型中不可能的稳健假设检验示例见第4.4节。一些统计程序容易受到模型偏差的影响。这种看法促使研究人员提出了对正常消费的分解不太敏感的替代程序。Huber研究了定义一组模型偏差Pε的不同方法。一种可能性是假设数据的实际分布是P中的分布与更一般的一组模型M中的分布的混合。换句话说，P可能被概率ε污染：Pε={H∈ MF∈ P和G∈ MH=（1- ε） F+εG}，（3.1），其中M大于原始P。如果估计量或测试在模型偏差Pε集上具有极小性质，则称其为稳健的。为了强调稳健程序的重要性，我们简要讨论了两个示例。稳健程序的第一个示例涉及点估计。研究人员有一个n iid观察样本Zi∈ Rl，i=1，n