结构信用风险模型中的公司证券价格

如下一节所述，对于模型的应用，即衍生证券的定价和对冲，应充分观察交易资产的价格过程和公司的违约历史。这一点很重要，因为定价公式和对冲策略需要根据公开信息进行计算。我们使用鞅模型来构建交易证券的价格过程，并使用调频适应现金流（Ht）0确定一般交易证券的除息价格≤t型≤到期日T∈ （0，∞] 通过∏Ht=等式中兴通讯-r（s）-t） dHs | FMt, t型≤ T、 （2.7）当然前提是贴现现金流是Q可积的。使用风险中性定价公式（2.7）可确保每个交易证券的交易贴现收益为鞅，这有助于排除套利机会。第6.2节介绍了鞅建模范式中的对冲论点。最后，我们描述了可以嵌入到我们的框架中的两种经济环境。示例2.3。我们的第一个例子是受金融监管的金融机构。我们假设该机构已向外部股东发行股票。它由一个了解资产价值的管理团队管理。管理层被禁止主动交易该机构的股份，例如因为内幕交易监管。另一方面，外部股票和债券投资者无法从公开信息中辨别出确切的资产价值。公司的股息政策采用（2.2）格式。在这个例子中，我们让k=1，这样股息支付确实会降低企业的资产价值。

我们假设该机构受巴塞尔协议III或偿付能力II等资本充足率规则的约束。粗略地说，这些规则要求公司股本与总资产价值的比率必须大于给定的阈值γ∈ （0，1）。如果我们用K表示公司负债的价值，这将转化为以下条件（Vt-K）/Vt>γ，因此Vt>K：=K/（1）- γ） 。（2.8）我们假设监管机构积极监控公司状态是否符合资本充足率规则（2.8），管理层是否向他们提供了有关资产价值的正确信息。如果V低于K，监管机构就会关闭金融机构，出现故障。因此，默认时间是第一次通过时间，默认阈值K在（2.8）中给出。请注意，在此设置中，默认值由具有信息访问权限的监管机构强制执行。示例2.4。Duffee和Lando（2001）的著名模型也可以嵌入到我们的设置中。Du fie和Lando考虑由风险中性股权所有者运营的公司，这些所有者拥有V的完整信息。该公司以合并债券的形式发行一些债务，以从债务的税收盾中获利，但没有交易股份，也没有向外部投资者支付股息。《内幕交易条例》禁止股东在债券市场进行交易。在这种情况下，公司所有者可以选择停止为公司债务提供服务，在这种情况下，公司会违约。继Leland和Toft（1996）之后，Duffie;andLando证明（股权所有人）的最佳违约时间是首次通过时间，但现在是内生确定的违约阈值K。请注意，在本例中，随机变量Dn可以被视为到达离散时间点的V的附加信息，如盈利公告。

该解释对应于（2.4）中参数κ的值κ=0。此外，rvs DN不必为特殊形式（2.2）；它支持固定映射v 7→ ν（d，v）是平滑且有界的。3交易证券价格与随机过滤在本节中，我们解释了交易证券价格与随机过滤之间的关系，并讨论了几个示例。交易证券。交易证券包括所谓的基本债务证券和公司股票。我们现在更详细地描述这些证券的支付流。首先，如果一项资产的现金流可以表示为以下两个组成部分的线性组合，那么我们将其称为基本债务证券。i）一项生存权，具有一般到期日T。如果τ>T，该索赔在T支付一个计算单位。ii）一般到期日为T的违约付款索赔。该索赔直接按τ支付一个单位，前提是τ≤ T众所周知，企业发行的债券和企业信用违约掉期可以表示为这些构件的线性组合，参见Lando（1998）。接下来，我们将讨论公司股票的建模。公司股东收到公司在股息日支付的股息tn<τ。因此，截至时间t，股东收到的累计现金流等于Hstockt=Dt∧τ。因此，风险中性定价公式（2.7）意味着公司股票的价值由t=等式X{n:tn>t}{τ>tn}e-（tn-t） dn | FMt. （3.1）请注意，基本债务证券和股票的现金流是根据财政年度调整的∨ FD，因此也适用于建模过滤FM。与随机过滤的关系。现在考虑现金流（Ht）为0的交易证券≤t型≤Tand除息价格∏Ht=等式RTte公司-r（s）-t） dHs | FMt.

在续集中，我们主要考虑由1{τ>t}∏Ht（τ的定价）给出的证券的违约前价值≤ t与回收率的建模有很大关系，我们在此不关心）。使用迭代条件期望，我们得到{τ>t}∏Ht=等式均衡器{τ>t}ZTte-r（s）-t） dHs | Gt| FMt公司. （3.2）请注意，严格地说，ST给出了公司在t时的市值，即全部流通股的价值。由于我们假设流通股的数量是恒定的，因此我们也使用符号S表示单个股票的价格过程。根据V的马尔可夫性质，对于基本债务证券和股票，内部条件预期可以表示为时间和当前资产价值Vt的函数，即isEQ{τ>t}ZTte-r（s）-t） dHs | Gt= 1{τ>t}h（t，Vt）。（3.3）函数h称为证券的完整信息值。在第4节中，我们证明了在FMt可测集{τ>t}上，给定FMtadmits的条件分布为密度π（t，·）：[K，∞) → 我们得到了这个密度的SPDE。将（3.3）代入（3.2），给出{τ>t}∏Ht=1{τ>t}等式h（t，Vt）| FMt）=1{τ>t}Z∞Kh（t，v）π（t，v）dv。（3.4）关系（3.4）提供了交易证券价格与随机过滤之间的重要关系，这种关系有两种使用方式。首先，在任何给定的时间点，从时间t的交易证券价格中减去π（t）的tan估计值，因此π（t）可以被视为观察价格的函数（第6.3节描述了必要的校准方法）。此外，在第6.1节中，我们展示了交易资产期权的价格是π（t）的函数。因此，期权价格可以使用可观察数量（交易证券的价格）作为输入进行评估。

其次，为了推导风险中性度量Q下交易证券的价格动态，我们使用过滤方法确定π（t）的动态；使用（3.4），这给出了交易证券的违约前值1{τ>t}∏hto的动态。这种方法类似于在期限结构建模中使用因子模型，其中交易证券的价格用于估计因子过程的现值，债券价格动态源自因子过程的动态。事实上，我们的模型可以被视为具有有限维因子过程π（t）的因子模型。备注3.1。我们的建模策略导致Q下的过滤问题，与统计推断中随机过滤的“经典”应用不同。后一种情况下的一个典型问题如下：过程Z由一组特定的经济数据确定，其中包含V的噪声信息，并使用滤波技术估计历史测度P下VT的条件分布，给定Z的观测轨迹，D和Y到时间t。这种方法可用于估计公司的实际世界违约概率，类似于著名的上市公司EDF模型Sun et al.（2012）。值得一提的是，第4节和第5节中得出的数学结果也涵盖了此类应用。交易证券的完整信息价值。接下来，我们讨论基本债务证券和股票的全信息值h的计算。我们将重点放在κ=1的情况下，因此在分红日V会向下跳跃；对于κ=0，资产价值是几何布朗运动，随后的计算相当标准。我们从Payoffht=1{τ>T}和相关完整信息值surv（T，Vt）的生存索赔开始。

自e起-rthsurv（t，Vt）是一个G-鞅，我们得到了它的以下PDE特征：首先，在分红日期之间，hsurv解决了边界条件为hsurv（t，K）=0的边值问题DthSurv+Lhsurv=RhsSurv≤ t型≤ T，我们让f∈ C（0，∞)Lf（v）=rvdf（v）dv+σvdf（v）dv；（3.5）第二，在股息日tn≤ T它认为HSURV（tn-, v） =零电压-Khsurv（tn，v- y） ^1（y，v）dy；（3.6）最后，当v>K时，有一个终端条件hsurv（T，v）=1。这些条件可用于通过股息日期的反向归纳计算hsurv；详见instanceVellekoop和Nieuwenhuis（2006）。此外，我们需要HSURVT的PDE特征来推导第5.2节不完全信息下生存索赔的价格动态。回想一下，到期日为T的违约付款索赔直接按τ支付一个单位，前提是τ≤ TPDE特征类似于生存索赔的情况；然而，现在的边界条件是hdef（t，K）=1，0≤ t型≤ T和终值ishdef（T，v）=0，v>K。通过定义，所有基本债务证券的完整信息值可以从hsurvand hdef计算得出。接下来，我们考虑公司的库存。从（3.1）可以看出，公司股票的全部信息值由股票（t，v）=等式Xn:tn>t{τ>tn}e-r（tn-t） dn | Vt=v（3.7）附录B中给出的下一个引理表明，VT可以解释为所有未来股息支付的价值（截至T=∞).引理3.2。在假设2.1下，它认为Ptn公司≥te公司-r（tn-t） dn | Vt= Vt.请注意，引理3.2意味着股票（t，v）<v。因此，股票价格也是有限的（这不是先验的，因为它是有限支付流的预期值）。

利用e-rthstock（t，Vt）+Rt{τ>s}e-rsdds是一个Q鞅，我们得到了hstock的以下偏微分方程特征：在分红日期之间，hstocks解pdeddthsstock+Lhstock=rhstock，边界条件hstock（t，K）=0；在股息日，TNHStocksaties the relationhstock（tn-, v） =零电压-Khs库存（tn，v- y） +y^1（y，v）dy。（3.8）由于我们假设等距股息日，因此认为hstock（t，v）=hstock（t+t、 v）对于t=tn- 田纳西州-1因此，计算0的hstock（t，v）就足够了≤ t型≤ t、 hstockis的明确公式不可用；主要问题是，V在某一日期的向下跳跃结合了算术和几何表达式。基本上有两种方法可以用数值计算HSTOCk。一方面，人们可以依赖蒙特卡罗方法。为了加快对hstockin显式定价公式的模拟，可以使用具有连续红利流的Black-Scholes模型作为控制变量。或者，可以使用PDE方法来计算hstock。我们省略了细节，因为期权价格的数值计算不是我们分析的核心。4资产价值的随机筛选确定一些期限日期T，例如与公司相关的所有未偿付衍生证券的最大到期日。回顾上一节，为了推导交易证券的价格动力学，我们需要确定条件密度π（t）的动力学，0≤ t<τ∧ T本节将研究这个问题。4.1准备工作按照随机滤波的常用方法，我们从描述给定FMt（滤波器分布）弱形式的VT的条件分布开始。更准确地说，给定[K]上的函数h，∞) 使E|h（Vt）|< ∞ 对于所有t≤ 我们想推导条件期望{τ>T}的动力学方程h（Vt）| FMt, t型≤ T

（4.1）这对于我们的目的来说是足够的，因为我们只对违约前的过滤器分布动态感兴趣。问题（4.1）是一个具有挑战性的过滤问题，因为默认时间τ不允许在完全信息下出现强度。因此，Br’emaud（1981）中的点过程观测标准过滤技术不适用。这个问题在以下命题中得到解决，粗略地说，（4.1）被转化为关于背景过滤FZ的过滤问题∨ FD。提案4.1。用Vτ=（Vt）表示∧τ） t型≥0资产价值过程在默认边界处停止，通过在加性高斯噪声中观察到的Vτ和通过Dt=P{n:tn≤t} δn（Vτtn-- K） +对应于Vτ的累积股息过程。那么我们有h:[K，∞) → R使得EQ|h（Vt）|< ∞ 对于所有t≤ T{τ>T}EQ（h（Vt）|FMt）=1{τ>T}EQh（Vτt）1{Vτt>K}| FZt∨ FDtQVτt>K | FZt∨ FDt. （4.2）证明。为了符号的简单性，我们忽略了证明中的红利观察，因此FM=FZ∨ 财政年度。第一步是证明h（Vt）1{τ>t}| FMt= 均衡器h（Vτt）1{τ>t}| F▄Zt∨ FYt公司, （4.3）如果过滤Fzi是由停止的资产价值过程的噪声观测产生的；附录B中给出了该恒等式的证明。其次，使用Dellacherie公式（例如，见Elliott、Jeanblanc和andYor（2000）中的引理3.1）和关系{τ>t}={Vτt>K}，我们得到h（Vτt）1{τ>t}| F▄Zt∨ FYt公司= 1{τ>t}等式h（Vτt）1{τ>t}| F▄ZtQτ>t | FZt= 1{τ>t}等式h（Vτt）1{Vτt>K}| FZtQVτt>K | FZt,如所述。用符号f（v）：=h（v）1{v>K}，命题4.1表明，为了计算（4.2）的右侧，需要计算泛型f:[K，∞) → R使得EQ|f（Vτt）|< ∞对于所有0≤ t型≤ T formEQ的条件期望f（Vτt）| fZt∨ FDt.

（4.4）这是一个随机滤波问题，信号过程由Vτ给出（资产价值过程在半空间（K，∞)). 在续集中，我们使用Pardoux（1978）关于在某些有界域的第一个退出时间停止的差异过滤的结果来研究这个问题，第一个用于无股息的情况，第4.3节用于一般情况。为了应用Pardoux（1978）的结果，我们定义了一些大的数字N，并替换了无界半空间（K，∞) 具有有界域（K，N）。为此，我们定义了停止时间σN=inf{t≥ 0：Vt≥ N}我们用停止的进程VN替换原始资产价值进程vw：=（Vt∧σN）t≥将命题4.1应用于过程VN会导致信号过程X的滤波问题：=（VN）τ。更准确地说，我们必须计算formEQ的条件期望f（Xt）| FZNt∨ FDNt公司（4.5）其中，稍微滥用符号，Zt=Rta（Xs）ds+WT，Dt=Ptn≤tδn（Xtn-- K） +。注意τ∧ σ是V从域（K，N）的第一次退出时间。此外，它认为Xt=Vt∧τ∧σN，即X等于在有界域（K，N）的边界处停止的资产价值过程V。因此，X的状态空间由SX给出：=[K，N]，Pardoux（1978）的分析适用于问题（4.5）。在下一个命题中，我们表明，如果N足够大，则缩减到有界域（K，N），即使用停止过程VNas基础资产价值过程而不是原始过程V，不会影响分析的财务影响。

为了说明结果，我们需要明确模型量对N的依赖关系：设ZNt=Rta（VNs）ds+Wt，Dt=P{N:tn≤t} δn（VNtn--K） +和τN=inf{t≥ 0：VNt≤ K} ，并用FM表示，模型中的建模过滤为资产价值VN，即由ZN、Dn和默认指标1{τN生成的过滤≤t} 。提案4.2。1、确定某个地平线日期T>0，并将F设为G的任意细分。然后 > 0，它保持着thatQsup0≤t型≤TQ（σN≤ t（英尺）>≤Q（σN）≤ T）→ 0作为N→ ∞.2、资产价值过程为V的模型中交易证券的价格过程在ucp（概率一致紧）中收敛到资产价值为V的模型中的价格过程。更准确地说，考虑一个函数h:[0，T]×[K，∞) → R使得| h（t，v）|≤ c+cv。那么对于N→ ∞,sup0≤t型≤T{τN>t}等式h（t，VNt）| FM，Nt- 1{τ>t}等式h（t，Vt）| FMtQ-→ 0。（4.6）附录B给出了命题的证明。我们继续发表一些评论。用σN=inf{t表示≥ 0：(R)Vt>N}从（0，N）开始的累计股息资产价值过程的第一个退出时间。很明显，’σN≤ σNas Vt≤\'\'V和Q（σN≤ T）≤ Q（(R)σN≤ T）。因此，对于G的所有次过滤F，V达到上边界N的条件概率由年龄计量布朗运动的第一次退出时间（0，N）统一控制；这可用于在实现模型时选择N。第二句话中的ucp收敛确保了基于VNand的模型中交易证券价格与原始模型中交易证券价格之间的差异可以在∈ [0，T]强于固定T.4.2的概率收敛。在没有除数的情况下，在本节中，我们考虑了没有除数信息的过滤问题（4.5）；分区将包含在第4.3节中。参考概率法和Zakai方程。