结构信用风险模型中的公司证券价格

因此，It^o的乘积法则给出thatAFt=Zt∑s-σKdudx（s-, K） ds。此外，我们还有1- Ft=Q（Xt>K | FZt∨ FDt）=∑tu（t），1SX+νN（t）. （5.2）因此，根据命题5.2和推论4.8.5.2资产价格动态中π（t，x）的定义，我们得出了交易证券价格的动态。根据标准符号，我们表示f：（[0，T]×SX）→ 带等式的R（| f（t，Xt）|）<∞ 对于所有t≤ T过程的最优投影（f（T，Xt））0≤t型≤t建模过滤BfT=等式（f（t，Xt）| FMt）。对于sx上的光滑函数f，我们定义了算子LXf（x）=1（K，N）（x）Lf（x）（lx是分红日期之间x的生成元）。使用推论4.8和{τ上的Xt=K这一事实≤ t} 一个明显的hasbft=1{τ≤t} f（t，K）+1{τ>t}π（t），f（t，·）SX+πN（t）f（t，N）。（5.3）因此，推导资产价格动态的关键步骤是计算πtf的动态：=π（t），f（t，·）SX+πN（t）f（t，N）。这是在以下提议中完成的。提案5.3。当λt=σKdπ（t，K）dx时，它保持dπtf=πtdfdt+LXf- λt（f（t，K）- πtf）dt公司+πt（a>f）- πta>πtfd（Zt- πta dt）（5.4）+ZR+πt-（f（·）- κy）Д（y，·））πt-^1（y，·）- πt-fuD（dy，ds）。证明本质上是It^o公式的一个冗长的应用；附录B中给出了它。现在我们可以推导第3节中介绍的交易证券的价格动态。我们从一些符号开始。LetMZt=MZ，FMt=Zt-Ztbasds，t≥ 0。（5.5）众所周知，MZis是一个（Q，FM）布朗运动，因此是Z的Ffm半鞅分解中的鞅部分。接下来，我们定义FM鞅MYby MYt=Yt-Rt公司∧τλsds。最后，我们将使用简写符号（dД（y））t表示φ（y，Xt）在FM上的可选投影，并用γd，FM（dy，dt）表示uDby的FM补偿器=∞Xn=1（dД（y））tn-dyδ{tn}（dt）。（5.6）定理5.4。

用∏surv、∏def和S表示存续债权、违约债权和公司股票的除息价格（未来现金流的价格值）。那么它认为∏survt=∏surv+Zt∧τr∏survsds+Zτ∧t（\\hsurva>）s-- ∏survs-ba>s-dMZ、FMs（5.7）-Zt公司∧τ∏survs-dMYs+Zτ∧tZR+（\\hsurvД（y））s-（dД（y））s-- ∏survs-（uD- γD，FM）（dy，ds）。πdeft=πdef+Zt∧τr∏defs- λsds+Zτ∧t（\\hdefa>）s-- ∏defs-ba>s-dMZ、FMs（5.8）-Zt公司∧τ∏defs-dMYs+Zτ∧tZR+（\\hdefД（y））s-（dД（y））s-- ∏defs-（uD- γD，FM）（dy，ds）St=S+Zt∧τrSsds-Zt公司∧τZR+yγD，FM（dy，ds）+Zτ∧t（\\hstocka>）s-- 不锈钢-ba>s-dMZ、FMs（5.9）-Zt公司∧τSs-dMYs+Zτ∧tZR+（\\hstock^1（y））s-（dД（y））s-- 不锈钢-（uD- γD，FM）（dy，ds）。证据我们从生存要求开始。从关系式（3.4）和（5.3）得出，∏survt=1{τ>t}（[hsurv）t=1{τ>t}πthsurvso，d∏survt=（1- 年初至今-)dπthsurv- ∏survt-dYt公司。现在回想一下ddthsurv+LXhsurv=rhsurv和该hsurv（t，K）≡ 将这些关系代入πthsurv的动力学=rπthsurv+λtπthsurvdt公司+πt（a>hsurv）- πta>πthsurvd（Zt- πta dt）+ZR+πt-（hsurv（·）- κy）Д（y，·））πt-^1（y，·）- πt-hsurvuD（dy，dt）。（5.10）现在，利用γD、fm和Fubini的定义，我们得到了股息日tn<τthatZR+πt-（hsurv（·）- κy）Д（y，·））πt-ν（y，·）γD，FM（dy，{tn}）=πtn-ZR+（hsurv（·- κy）Д（y））tn-dy公司. （5.11）关系式（3.6）表示（5.11）的右侧等于πtn-hsurv（tn，·）。这表明（5.10）中关于uD（dy，ds）的积分可以替换为关于（uD）的积分- γD，FM）（dy，ds）。因为对于泛型函数f：[0，T]×SX→ R它认为{t<τ}上的bft=πtf，我们最终得到了∏surv的结果。这些论点经过必要的修改后也适用于违约索赔和股票价格。

附加条款-πdef漂移中的λsds源于hdef（t，K）=1的事实；股票价格动态中关于γD，FM（dy，ds）的额外积分是由于hstockat在股息日的不同行为，见（3.8）。当然，这个术语很直观：在股息日预期的股价下跌幅度正好等于预期的股息支付。注释和扩展。定理5.4正式确定了交易公司证券的价格由基础企业价值的新信息驱动的观点，因为驱动资产价格动态的过程与FM的生成者密切相关。为了研究动态对冲策略，我们需要交易资产的累计股息价格或收益过程的动态性和可预测的二次变化。survivalclaim没有中间现金流，我们有dGsurvt=d∏survt；对于默认声明，它认为dGdeft=d∏deft+dYt；对于股票，我们有dGstockt=dSt+（1- 年初至今-) 滴滴涕。请注意，定理5.4意味着所有三种资产的贴现收益过程都是鞅，因为必须给出它们，我们直接在鞅测度Q下工作。要计算二次变化，请注意，从定理5.4中，第i个交易资产的贴现收益过程有一个鞅表示，即formeGit=Gi+Zt∧τ（ξMZs，i）>dMZs+Zt∧τξYs，idMYs+Zt∧τZR+ξDi（s，y）（uD- γD，FM）（dy，ds），在定理中明确给出了被积函数。在[0，∞) 通过出租b（[0，t]）=b（t）：=t+P∞n=1δ{tn}（[0，t]）（b是一组股息日期TD上的勒贝格测度和计数测度之和）。

那么，关于资产i和资产j的贴现收益过程的FMof的可预测二次变化的形式为heGi，eGjit=Rt∧瞬时二次变化为Vijs的τvijsdb（s）由Vijs=1（[0，∞)\\TD）（秒）（ξMZs，i）>（ξMZs，j）+ξYs，iξYs，jλs+ 1TD（s）ZR+ξDi（s，y）ξDj（s，y）（dД（y））s-dy。（5.12）6衍生资产分析在本节中，我们讨论了与非流动交易公司相关的证券的定价和对冲，如非标准到期债券或交易资产期权。我们假设风险中性定价公式（2.7）也适用于非交易证券，因此具有FMT可测可积支付的证券在时间t的价格由∏Ht=等式e-r（T-t） H | FMt. （6.1）注意，虽然在我们的框架中非常自然，（6.1）实际上是一种假设。在我们的模型中，市场通常是不完整的，因此鞅测度不是唯一的，因此必须对定价测度的选择进行评估。这是大多数模型的一个令人不快但不可避免的特征，在这些模型中，资产价格会随着波动过程而跳跃。（6.1）的第二个问题是，价格被定义为与实际建模过滤FM相关的条件预期，而价格应根据模型用户可观察的数量进行计算。因此，在第6.1节中，我们表明，对于实践中常见的衍生品，（6.1）中定义的∏h由时间的函数CH（t，π（t））和当前过滤器密度π（t）给出，我们讨论了CH的评估。在第6.3节中，我们还解释了如何根据时间t观察到的交易证券价格确定π（t）的估计值。第6.2节涉及风险最小化对冲策略。6.1衍生品价格与公司相关的大多数衍生品证券属于以下两类之一。基本债务证券。

非交易基本债务证券的例子是非标准到期的债券或CDS。这些证券的定价很简单。设h为安全性的完整信息值。第3节中类似的论证表明{τ>t}∏Ht=1{τ>t}等式h（t，Vt）| FMt）=Z∞Kh（t，v）π（t，v）dv，即∏hT可以通过平均当前过滤器密度π（t）的全部信息值来计算（通过将模型校准到交易证券的价格来确定，请参见第6.3节）。交易资产期权。在最一般的形式中，到期日为T的交易资产上的期权的支付形式为H=g（πT，…，π\'T），其中∏，∏是与公司相关的“交易风险资产”的除权定价过程。这类产品的例子包括股票和债券期权或某些可转换债券。注意，H是可测量的FMT，因为rvs∏T，∏`皮重FMT-可通过（2.7）测量。我们的目标是证明交易资产期权的价格可以写为当前过滤器密度π（t）的函数。我们考虑一种股票期权，其payoffh=g（ST）；其他选项只能通过符号更改来处理。我们得到的期权价格为∏Ht=EQe-r（T-t） {τ>t}g（ST）| FMt+ e-r（T-t） g（0）Q（τ≤ T | FMt）。第二项是基本债务证券的价格。为了处理第一项，我们现在给出了一个一般结果，该结果表明：e-r（T-t） {τ>t}g（ST）| FMt可以归结为计算关于参考度量Q的条件期望的问题*以及σ场FZt∨ FDT来自背景过滤。引理6.1。考虑一些可积函数，FZT∨ FDT可测量的随机变量H，如H=g（ST）。那么它适用于t≤ T thatEQ公司{τ>T}H | FMt= 1{τ>t}等式*H（u（T），1）SX+νN（T）| FZt公司∨ FDt公司（u（t），1）SX+νN（t）。（6.2）证明。

在定理5.1的证明中，我们让Ft=Q（τ≤ t | FZt∨ FDt）。然后Dellacherieformula给出{τ>T}H | FMt= 1{τ>t}等式（1）- FT）高| FZt∨ FDt公司1.- Ft.（6.3）自通用s∈ [0，T]一个具有∑s1=dQdQ*|FZs公司∨FDs，抽象Bayes公式yieldsEQ（1）- FT）高| FZt∨ FDt公司=∑tEQ*（T1）（1）- FT）高| FZt∨ FDt公司.此外，使用（5.2）表示s∈ [0，T]即（∑s1）（1- Fs）=美国，1SX+νN（s）. 将这些关系代入（6.3）即可得出结果。现在我们回到股票期权。为简单起见，我们忽略了SX上边界的点质量ν。回想一下ST=（u（T），hstock）SX（u（T），1）sx使用引理6.1，我们得到e-r（T-t） {τ>t}g（ST）| FMt= 1{τ>t}等式*g级（u（T），hstock）SX（u（T），1）SX（u（T），1）SX | FZt∨ FDt公司（u（t），1）SX，关于SPDE解的马尔可夫性质的标准结果，如Peszatand Zabczyk（2007）的定理9.30，暗示在Q*SPDE（4.25）的解u（t）是一个马尔可夫过程。因此（u（t），1）SXEQ*g级（u（T），hstock）SX（u（T），1）SX（u（T），1）SX | FZt∨ FDt公司= CH（t，u（t））（6.4）对于一些函数CHof time和非标准化过滤器密度的当前值。此外，正如我们现在所解释的，CHis在u（t）中是零度齐次的。由于SPDE（4.25）是线性的，初始条件γu（t）（γ>0a给定常数）下时间间隔[t，t]上的（4.25）解由γu（s），s给出∈ [t，t]。如果我们把它代入（6.4），我们得到thatCH（t，γu（t））=CH（t，u（t）），因为γ抵消了。因此，我们可以在不损失一般性的情况下，用电流滤波器密度π（t）=u（t）替换u（t）（u（t），1）SX，我们得到e-r（T-t） {τ>t}g（ST）| FMt= 1{τ>t}CH（t，π（t））。（6.5）CHI的实际计算最好使用蒙特卡罗模拟，使用数值方法求解SPDE（4.25）。

第4.4节中描述的伽辽金近似特别适合于此目的，因为大多数耗时的计算步骤都可以完成。注意，（6.5）是关于参考度量Q的期望值*.因此，需要在Q下从SDE（4.25）中取样*, 即驱动过程Z是平行运动，随机测量uDhas补偿器γD，*（dy，dt）。。或者，可以直接计算期望值EQe-r（T-t） {τ>t}g（ST）| FMt, 使用下面第7节中概述的模拟方法。6.2套期保值是衍生资产分析的一个关键方面。因此，在本节中，我们使用我们关于交易证券价格动态的结果来推导动态对冲策略。我们预计市场将不完整，因为交易证券的价格会随着波动过程而跳跃。为了解决这个问题，我们使用了F¨ollmer和Sondermann（1986）提出的风险最小化概念。Frey和Schmidt（2012）在简化形式信贷风险模型的背景下进行了类似的分析。风险最小化。我们首先介绍了风险最小化对冲策略的概念。我们假设存在与除息价格过程∏=（t，…，t）>t的公司相关的交易证券≤Tand增益过程G=（Gt，…，G\'t）>t≤T此外，还有一个持续的复合货币市场账户，其价值为ert，t≥ 折扣价格和收益过程用∏andeG表示。回想一下，交易资产收益过程的可预测二次变化的形式为heGi，eGjit=Rt∧τvijsdb（s），其中vijand b在第5.2节中给出（见方程式（5.12）），并设vt=（vijt）1≤i、 j≤`. 用L表示（例如。

，eGn，FM）所有`-维FM可预测过程的空间θ，使得ERTθ>svsθsds< ∞.允许的交易策略由一对φ=（θ，η）给出，其中θ∈ L（例如，…，eGn，FM）和η是FM自适应的；θt提升时间t时风险资产的头寸，ηt提升货币市场账户的头寸。该策略在时间t的值为VΦt=θ>t∏t+ηt，而计算值为VΦt=θ>te∏t+ηt。在后半部分中，我们考虑其值跟踪随机过程的策略。在一个不完整的市场中，只有考虑到中间环节和现金流出，这才是可行的。这些流入和流出的大小通过贴现成本过程Cφ测量，Cφt=eVφt-Rtθ>deGs。我们得到了cφT- Cφt=eVφt-ZTθ>sdeGs-eVφt-Ztθ>sdeGs=eVφT-eVφt+ZTtθ>sdeGs,也就是CφT- Cφt提高了一段时间（t，t）内的累计注资或撤资。特别是，对于选择策略，它认为Cφt- Cφt=0表示所有t。最后，我们通过t（φ）=E定义策略的剩余风险过程R（φ）（CT- Ct）| FMt, 0≤ t型≤ T、 （6.6）现在考虑一个具有平方可积FMT可测payoffh的索赔和一个具有VφT=H的容许策略φ（注意，该条件总是可以通过正确选择现金位置ηT来实现）。那么R（φ）是对冲精度的度量，尤其是R（φ）≡ 0ifφ是H的一个选择对冲策略。一个可接受的策略φ*称为风险最小化如果Vφ*T=H，并且如果对于任何T∈ [0，T]和满足VφT=hw的任何容许策略φ都有Rt（φ*) ≤ Rt（φ）。风险最小化非常适合我们的设置，因为随后的混合策略相对容易计算，并且有助于了解交易证券的风险中性动态。在历史概率度量下，将剩余风险降至最低可能更为自然。

这将导致其他二次套期保值方法；例如，见Schweizer（2001）。然而，相应策略的计算成为一个非常具有挑战性的问题。接下来，我们给出了风险最小化对冲策略的一般特征。设∏Ht=等式（e-r（T-t） H | FMt），使折扣价格过程∏是平方可积fm鞅。众所周知，可预测协变量h∏h，eGii相对于heGii是绝对连续的，因此相对于之前引入的测度b（5.12），我们表示密度bydh∏h，eGii/db（t）；最终∏H，eGi/db（t）代表向量过程dhe∏H，eGi/db（t），dhe∏H，例如\'i/db（t）>.提案6.2。风险最小化策略φ*= （θ*, η*) 对于索赔H∈ L(Ohm, FMT，Q）存在。其特征如下：θ*这是方程vtθ的解*t=dhe∏H，eGi/db（t）；现金头寸为η*t=e∏Ht- （θ*t） >e∏并认为Vφ*t=∏Ht。证据首先，我们回顾鞅∏h关于交易证券收益过程的渡边Kunita分解。该分解由∏Ht=e∏H+` Xi=1ZtξHs，ideGis+H给出⊥t、 0个≤ t型≤ T（6.7）此处ξHi∈ L（例如，…，eGn，FM）和鞅H⊥与交易证券的收益过程强正交，即hH⊥,eGii公司≡ 0表示所有1≤ 我≤ `. 如F¨ollmerand Sondermann（1986）所示，风险最小化套期保值策略与渡边Kunita资产组合（6.7）相关，如下所示：它认为θ*= ξH，thateVφ=e∏表示C=H⊥.接下来我们确定θ*. 作为hH⊥,eGii公司≡ 0，Kunita Watanabe分解得到he∏H，eGiit=P\'j=1Rtθ*s、 jdheGj，eGiisor等效YZT∧τdhe∏H，egidb（s）db（s）=Zt∧τ\'Xj=1θ*s、 jvjisdb（s），表明vtθ*t=dhe∏H，eGidb（t）。其余的陈述很清楚。例如，假设我们想用股票作为对冲工具，用payoffh=g（ST）对冲股票期权。

在这种情况下，我们从命题6.2得到θHt=dh∏H，eGstocki/db（t）dheGstocki/db（t）。θ的计算*. 应用命题6.2的关键任务是计算瞬时二次变化dhe∏H，eGi/db（t），我们现在解释如何在第6.1小节中考虑的权利要求中实现这一点。如果H表示未交易的基本债务证券，类似于定理5.4的证明的论证给出了e∏Has关于鞅MZ，MYanduD的随机积分的表示- γD、FM（dy，dt）和dhe∏H、eGi/db（t）可从该表示中读取。接下来，我们将讨论H是一个交易资产上的期权，其payoff为g（T，…，T），为简单起见，我们假设g（0）=0。为了计算∏H，eGi/db（t），我们需要找到∏H相对于MZ，MYanduD的鞅表示-γD，FM（dy，dt）。Standardarguments可以用来证明存在这样的表示，例如，请参见Frey和Schmidt（2012）中的Lemma 3.2证明。然而，识别被积函数更困难。一种可能的方法是使用Krylov（2013）提供的SPDE It^o公式，详情见附录A。通过回归实现风险最小化策略。为了避免∏Hone的鞅表示问题，可以使用具有固定离散再平衡日期的策略，并应用F¨ollmer和Schweizer（1989）的结果；这对于大多数实际用途都很有用。考虑一组固定的交易日期0=t<t<···<tm=t。允许离散交易策略空间由所有策略φ（m）=（θ（m），η（m））组成，θ（m）t=Pm-1j=0θj（tj，tj+1）（t）和η（m）t=Pm-1j=1ηj[tj，tj+1）（t）+ηm{t=t}，使得θjandηjare fmtjm可测量。此外，对于所有0≤ j≤ m级- 1随机变量θ>j（eGtj+1-eGtj）是平方可积的。注意θ（m）是左连续的，η（m）是右连续的。