结构信用风险模型中的公司证券价格

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英文标题：
《Corporate Security Prices in Structural Credit Risk Models with
  Incomplete Information: Extended Version》
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作者：
Ruediger Frey, Lars Roesler, Dan Lu
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  The paper studies derivative asset analysis in structural credit risk models where the asset value of the firm is not fully observable. It is shown that in order to compute the price dynamics of traded securities one needs to solve a stochastic filtering problem for the asset value. We transform this problem to a filtering problem for a stopped diffusion process and we apply results from the filtering literature to this problem. In this way we obtain an SPDE-characterization for the filter density. Moreover, we characterize the default intensity under incomplete information and we determine the price dynamics of traded securities. Armed with these results we study derivative asset analysis in our setup: we explain how the model can be applied to the pricing of options on traded assets and we discuss dynamic hedging and model calibration. The paper closes with a small simulation study.
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中文摘要：
本文研究了结构信用风险模型中的衍生资产分析，其中企业的资产价值不完全可观测。结果表明，为了计算交易证券的价格动态，需要解决资产价值的随机过滤问题。我们将此问题转化为停止扩散过程的过滤问题，并将过滤文献中的结果应用于此问题。通过这种方式，我们获得了滤波器密度的SPDE特征。此外，我们还刻画了不完全信息下的违约强度，并确定了交易证券的价格动态。有了这些结果，我们研究了我们机构中的衍生资产分析：我们解释了该模型如何应用于交易资产期权的定价，并讨论了动态套期保值和模型校准。本文以一个小型的模拟研究作为结束。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：风险模型 信用风险 Mathematical Quantitative information

信息不完全的结构性信用风险模型中的公司证券价格：维也纳经济和商业大学统计与数学研究所Dan LuInstitute R¨udiger FreyLars R¨osler，2017年5月3日摘要本文研究了结构信用风险模型中的衍生资产分析，其中企业的资产价值无法完全观察到。研究表明，为了确定交易证券的价格动态，需要解决资产价值的随机过滤问题。我们将此问题转化为停止扩散过程的过滤问题，并将过滤文献的结果应用于此问题。通过这种方式，我们获得了过滤器密度的anSPDE特征。此外，我们还刻画了不完全信息下的违约强度，并确定了交易证券的价格动态。有了这些结果，我们在我们的设置中研究了衍生资产分析：我们解释了如何将该模型应用于交易资产期权的定价，并讨论了动态建模和模型校准。本文以一个小型的模拟研究作为结束。关键词。结构信用风险模型、不完全信息、随机过滤、公司证券衍生资产分析1简介结构信用风险模型，如Black和Cox（1976）或Leland（1994）提出的首次通过时间模型，广泛用于可违约公司证券的分析。在这些模型中，如果代表公司资产价值的随机过程V达到通常与公司负债价值相关的某个阈值K，则公司会违约。首次通过时间模型对违约事件提供了直观的经济解释。

然而，在这些模型的实际应用中，出现了一些困难：首先，二级市场的投资者可能难以准确评估企业资产的价值。此外，出于可处理性的原因，V通常被建模为一个扩散过程。在这种情况下，defaulttimeτ是一个可预测的停止时间，这导致短期信贷利差的值过低。出于这些原因，Du ffe和Lando（2001）提出了一个模型，其中二级市场只有关于资产价值V的不完整信息。更准确地说，他们考虑了市场在离散时间点获得的情况，即格式为Zn=ln Vtn+εn的嘈杂会计报告；此外，可以观察到公司的违约历史。本文的一个简短版本将发表在《数学金融》杂志上。通讯作者，维也纳经济和商业大学统计和数学研究所，Welthandelsplatz 1，A-1020 Vienna。电子邮件：ruediger。frey@wu.ac.at.Institute维也纳经济和商业大学统计和数学系。roesler@web.de.dan.lu@数学。莱比锡大学。deand Lando表明，在此设置中，默认时间τ允许强度与默认阈值K下资产价值条件密度的导数成比例。这一众所周知的结果提供了结构模型和简化模型之间有趣的联系。此外，结果表明，通过引入不完全信息，可以构建短期信用利差取合理值的结构模型。Frey和Schmidt（2009）随后的研究讨论了资产价值不可观测的结构模型中的公司股权定价。

此外研究表明，企业权益和债务的估值会导致一个随机过滤问题：需要确定当前资产价值的条件分布。鉴于σ-field fmtre在t.Frey和Schmidt（2009）提出的可用信息，在Du fie和Lando的设置中考虑这个问题，其中关于资产价值的新信息仅在离散时间点。利用V的阿马尔科夫链近似，通过初等贝叶斯更新，推导出近似马尔可夫链条件分布的递归更新规则；信息到达的离散性对于他们的论点至关重要。杜菲和兰多（2001）以及弗雷和施密特（2009）都没有研究不完全信息下交易证券的价格动态。因此，在这些文件中，不可能分析衍生证券的定价和对冲，例如公司债券或股票期权。因此，本文的主要目标是为不完全信息下的结构性信用风险模型建立一个适当的衍生资产分析理论。更准确地说，我们作出以下贡献。首先，为了获得交易证券的真实价格动力学，我们通过一个形式为Zt=Rta（Vs）ds+wt的连续时间过程对资产价值的噪声观测进行建模，该过程适用于与V无关的布朗运动。我们表明，这导致了具有非零瞬时波动性的价格过程，其中杜菲和兰多或弗雷和施密特考虑的离散信息到达产生了资产价格，这些资产价格在新闻到达日期之间具有决定性的演变。此外，对Zas a连续时间过程建模符合随机过滤的标准文献，如Bain和Crisan（2009）。

其次，为了推导交易证券的价格动力学，我们确定了给定FMt的条件分布动力学。这是一个挑战性的快速过滤问题，因为在完全观测条件下，默认时间τ是可预测的，因此点过程观测的标准过滤技术（参见Br'emaud（1981））不适用。因此，我们将原来的问题转化为一个新的过滤问题，其中观测值仅包括过程Z；另一方面，这个新问题中的信号过程是在偿付能力区域（K，∞). 利用Pardoux（1978）关于停止扩散过程过滤的结果，我们导出了给定FMt条件密度的随机偏微分方程（SPDE），表示为π（t，·），并通过伽辽金近似讨论了该SPDE的数值解。将Du ffe和Lando（2001）的工作扩展到我们更一般的信息结构，我们证明τ允许强度过程（λt）t≥0使得时间t的强度与v=K时π（t，v）的空间导数成比例。借助这些结果，我们最终在我们的设置中研究了导数集分析：我们确定了交易证券的价格动态；我们考虑交易资产期权的定价；我们推导了这些索赔的风险最小化动态对冲策略，并讨论了模型校准。本文最后用一个小的模拟研究来说明理论结果。以前在信用风险分析中使用过不完整信息和过滤方法。Kusuoka（1999年）、Du ffe和Lando（2001年）、Jarrow和Protter（2004年）、Coculescu、Geman和Jeanblanc（2008年）、Frey和Schmidt（2009年）以及Cetin（2012年）等人考虑了信息不完整的结构模型。

最后的贡献与本论文有关。Cetin在与我们类似的设置中工作，他使用概率参数来确定关于FM的默认强度的存在性，并推导出相应的滤波方程。他没有讨论条件密度π（t，·）的存在，金融应用仅以外围方式讨论。从纯数学的角度来看，我们的论文也与Krylov和Wang（2011）密切相关，他们处理的是过滤部分观察到的差异直到域的第一次退出时间。一旦介绍了我们的设置的数学细节，我们的结果与Krylov和Wang的结果之间的关系就得到了最好的解释，我们参考第4节备注4.5，以更深入地讨论两篇论文之间的相似性和差异。Duffee、Eckner、Horel和Saita（2009）、Frey和Runggaldier（2010）以及Frey和Schmidt（2012）等曾考虑过信息不完整的简化形式信用风险模型。本论文的建模理念受到Frey和Schmidt（2012）的启发，但数学分析存在实质性差异。特别是，inFrey和Schmidt（2012年）所考虑的公司的违约时间确实承认在充分信息下的强度。因此，信贷衍生品定价中出现的过滤问题可以通过直接将创新方法应用于在线过滤来解决。论文的其余部分组织如下。

第二节介绍了该模型；第3节讨论了交易证券和随机过滤之间的关系；第4节涉及资产价值的随机过滤；在第5节中，我们推导了公司证券的动力学；第6节涉及衍生资产分析；第7节给出了数值实验的结果。确认。感谢德国科学基金会（DFG）和维也纳科学技术基金会（WWTF）MA14-031项目的财政支持。此外，我们感谢安德烈亚斯·彼得塞尔（AndreasPeterseil）提供的非常有能力的研究协助，以及几位匿名推荐人提供的有用意见。2模型我们首先介绍模型的数学结构。我们研究的是过滤概率空间(Ohm, G、 G=（Gt）t≥0，Q），我们假设下面介绍的所有流程都适用。由于我们主要对衍生证券的定价感兴趣，我们假设Q是风险中性的定价指标。我们考虑一家资产价值非负的公司，过程V=（Vt）t≥0、公司存在违约风险，违约时间被建模为首次通过时间，即τ=inf{t≥ 0：Vt≤ K} （2.1）对于某些默认阈值K>0。在实践中，K可能代表监管机构提出的偿付能力资本要求（见示例2.3），也可能对应于Duffee和Lando（2001）中的内生违约阈值（见示例2.4）。由Yt=1{τ≤t} 我们表示该公司在时间t的违约状态，即当且仅当该公司在时间t前违约时，Yt=1；关联的默认指标流程由Y=（Yt）t表示≥假设2.1（股息和资产价值过程）。1） 无风险利率不变，等于r≥ 0.2）公司在等距确定时间点t、t、。（例如，半年度股息支付）。

股息日期集由TD表示。TN处的分割付款是盈余的随机百分比（Vtn-- K） +（资产价值的一部分，可以分配给股东而不会导致公司立即违约）。用dn表示tn的股息支付，它认为dn=δn（Vtn- K） +；（2.2）此处（δn）n=1,2，。。。是噪声变量的iid序列，独立于V，取（0，1）中的值，并具有密度函数Дδ。我们假设Дδ是有界的，并且在Дδ（1）=0的情况下，在[0，1]上可连续二次微分。对于Vtn-> K鉴于资产价值过程的历史记录，数据的条件分布为形式Д（y，Vtn-)dy式中，Д（y，v）=（v- K） Дδy（v- K）{v>K}。（2.3）设Dt=P{n：tn≤t} 因此D=（Dt）t≥0是累计分红流程。在后遗症中，我们用uD（dy，dt）表示与序列（tn，dn）n相关的随机度量∈N、 3）资产价值过程V=（Vt）t≥0具有以下动态vt=V+ZtrVsds+ZtσVsdBs- k Dt（2.4）对于常数波动率σ>0、标准Q-布朗运动B和随机变量V。参数k取{0，1}中的值。对于κ=1（最相关的情况），在股息日，资产价值减去分配给股东的dn；κ=0对应于这样一种情况，即我们仅将数据视为资产价值的噪声信号，而不是向股东支付的款项（参见示例2.4）。我们假设对于连续可微分函数π：[K，∞) → R+，π（K）=0，使得Vhas有限的二阶矩。第二个假设反映了一个事实，即在现实中，资产价值与股息规模之间存在着积极但嘈杂的关系。

注意，从（2.3）可以看出，dn<（Vtn-- K） +。这种对股息规模的限制可以被视为对债务持有人的隐性保护，因为它可以确保公司不会因股息过大而在股息日违约。加上我们对Дδ的假设，（2.3）意味着对于给定的d>0，对于所有v，Д（d，v）为零，因此d/（v- K）≥ 1，即v≤ 此外，它认为≥KИ（d，v）≤dmaxδ∈[0,1]Дδ（δ）。（2.5）请注意，股息政策（2.2）不是正式优化过程的结果。事实上，如Jeanblanc和Shiriayev（1995）所示，如果Vtnis规模较大，支付更多可用盈余可能是最佳选择。虽然第4.3节中的过滤结果可以扩展到这样的设置，但前提是分割大小的条件密度Д（·，v）满足一定的规律性条件，公司股票的定价将变得更加复杂。此外，实践中采用的股息政策在很大程度上受市场惯例和经验法则的指导。出于这些原因，我们坚持简单规则（2.2）。随机测度ud的G补偿器与序列（tn，dn）n相关∈Nis由γD（dy，dt）=P给出∞n=1Д（y，Vtn-)dyδ{tn}（dt）。注意，对于g：[0，∞) ×[0，∞) → R+I表示∞Z∞g（t，y）γD（dy，dt）=∞Xn=1Z∞g（tn，y）Д（y，Vtn-)dy。在Leland（1994）或Du fieand Lando（2001）等结构性信贷风险模型的文献中，经常假设股息之间的资产价值是几何布朗运动。关于资产价格动态的几何布朗运动模型假设的实证支持，我们参考Sun、Munves和Hamilton（2012）。请注意，V遵循几何布朗运动的假设并不意味着股票价格遵循几何布朗运动。

事实上，我们在第5节中的分析表明，在我们的设置中，股价动态可能比几何布朗运动更“疯狂”。注：最后，V不是交易资产，因此其在Q下的漂移原则上可能不同于无风险利率r。然而，将V的漂移设置为r允许我们将V解释为该公司所有未来股息支付的价值（直到t=∞), 参见下面的引理3.2。信息结构和定价。在我们的设定中，资产价值V无法直接观察到。相反，我们假设公司证券的价格被确定为与某些过滤FM=（FMt）t相关的条件预期≥0这是由违约历史、公司股息支付和V函数的观察加上高斯噪声产生的：假设2.2。它认为FM=FY∨ FD公司∨ FZ，其中Fy表示由默认指标过程Y生成的过滤，其中Fd表示由D生成的过滤，其中过滤Fzi是由l维过程Z生成的，Zt=Zta（Vs）ds+Wt。（2.6）这里W是独立于B的l维G-布朗运动，a=（a，…，al）是丰富的，并且在a（K）=0的情况下从R+到RL连续可微分的函数。请注意，假设a（K）=0不是实际限制，因为函数a可以替换为- a（K）不改变FM的信息内容。在续集中，FMis被称为建模过滤，因为它代表了在构建模型时使用的信息的真实流动。特别是，我们不会将过程Z与公开可见的经济数据相关联；它只是一个数学工具，在资产价格动态中产生不同的组成部分。