结构信用风险模型中的公司证券价格

F¨ollmer and Schweizer（1989）证明了策略（φ（m））*在终值VT=H的所有允许的离散交易策略上，最大限度地降低剩余风险可以描述如下：对于0≤ j≤ m级- 1随机向量θ*j、 由回归方程e∏Htj+1确定-e∏Htj=` Xi=1（θ*j） >eGtj+1-eGtj公司+ j+1其中E(j+1 | FMtj）=0，其中Ej+1（eGtj+1-eGtj）| FMt-1.= 0、现金头寸由η给出*j+1=e∏tj- （θ*j） >e∏tso，Vφ（m）tj=所有j的∏htj。为了计算（θj）*因此，可以实现E∏Htj+1-e∏Htjand ofeGtj+1-eGtjvia蒙特卡罗；θ*然后可以通过标准回归方法从这些模拟数据计算jc。进一步评论。请注意，交易资产期权的对冲策略可以表示为当前过滤器密度π（t）的函数。如果资产价值在股息日跳降，即k=1，则模型不可避免地不完整。对于κ=0，可以给出确保市场完整的条件：粗略地说，交易的风险证券数量必须等于l+1，其中l是过程z的维度。有关这两个问题的详细信息，我们参考附录A.6.3过滤器密度的校准在我们的设置中，定价公式和对冲策略取决于当前过滤器密度π（t）。因此，想要使用该模型的投资者需要根据时间t的交易证券价格估计π（t）。在本节中，w解释了如何通过线性约束的二次优化问题来实现这一点。我们假设π（m）（t）=Pmi=1ψiei形式的伽辽金近似和光滑基函数e，EMI用于近似过滤密度π（t），我们观察价格∏*, . . . , ∏*`具有完整信息价值的交易证券hj（t，v），1≤ j≤ `.

为了完全匹配观测价格，四层系数ψ=（ψ，…，ψm）的向量需要满足以下`+1线性约束mxi=1ψi（ei，1）SX=1和mxi=1ψiei，hj（t，·）SX=∏*j、 1个≤ j≤ ` ; （6.8）K rσ（GBM体积）κ初始滤波器分布π20 0.02 0.2 1 V- K~ LN（LN 15，0.2）表1：模拟研究中使用的参数。此外，它应该保持ψ≥ 0，以防止π（m）（t）变为负值。通常情况下，m>使得约束（6.8）不能唯一地确定傅里叶系数。在这种情况下，需要应用正规化程序。继Hull和White（2006）在将隐含copula模型校准为CDO分期价差时面临类似问题之后，我们建议最小化满足约束条件（6.8）的所有非负ψ上πm（t，·）二阶导数的L-范数；这将产生最大平滑的初始密度。用ei表示二阶导数，用ij定义对称和正定义矩阵=ei，ejSX。自ZSX以来dπ（m）（t，x）dxdx=mXi，j=1ψiψjei，ejSX=ψΞψ，Ddxπ（m）（t，x）的L-范数的最小化导致二次优化问题minψ≥0ψΞψ，使得ψ满足（6.8）。这个问题可以用标准的优化软件来解决；第7节讨论了一个数值示例。对于模型的全面校准，还需要确定V的波动率σ和函数a的（参数）。自然的方法是通过校准观察到的期权价格来确定这些参数；细节留待将来研究。7数值试验在本节中，我们用大量数值试验来说明模型。我们对不完全信息下的资产价格动态特别感兴趣。

我们使用以下设置进行分析：每年支付股息；股息大小建模为dn=δn（Vtn- K） +其中δnisβ分布的平均值等于2%，标准偏差等于1.7%。过程Z是二维的，a（v）=cln v，a（v）=cln K+σ- ln v）+7；对于c>0，这种AMODEL的选择表明，只要资产价值与默认阈值之间的标准差小于一个标准差，价格就会非常有用，这可能是因为在这种情况下，对企业的监控尤其密切。表1给出了其余参数。为了生成具有初始值π和相关数量（如股票价格）的过滤器密度π（t）的轨迹，我们按照以下步骤进行。1、生成随机变量V~ π、 资产价值流程的轨迹（Vs）Ts=0，其中V=V，默认指标流程的关联轨迹（Ys）Ts=0。我们在ln v=ln K+σ处对扭结进行平滑；细节无关紧要。2、使用步骤1中生成的轨迹（Vs）Ts=0作为输入，生成实现（Ds）Ts=0和（Zs）Ts=0。3、使用第4.4节所述的伽辽金近似法，计算步骤2中产生的观测值，即初始值为u（0）=π的非规范化过滤器密度的轨迹（u（s））Ts=0。

返回π（s）=（1- Ys）u（s）/（u（s），1）SX和Ss=（1- Ys）（π（s），hstock）SX，0≤ s≤ T有关数值方法的详细信息，包括基函数的选择、求解伽辽金方法产生的SDE系统（4.33）的数值方法以及数值实现的准确性测试，请参阅R¨osler（2016）第4章。接下来，我们描述数值实验的结果。在图1中，我们绘制了股票价格S和相应的完整信息价值hstock（Vt）的轨迹，其中建模过滤仅包括分割信息（c=c=0）。这可以看作是Duffee和Lando（2001）中考虑的离散噪声会计信息的一个例子。我们看到S具有非常不寻常的动力学；特别是，它在分红日期之间具有决定性的演变。0 1 2 3 4 5 6 70510152025 Shath的路径图1：股票的完整信息值hstock（Vt）（虚线）和股票价格S（标准线，标签SHat）的模拟路径，c=c=0（仅股息信息）。接下来，我们展示了通过将filtrationfzto添加到建模过滤中，可以获得更现实的资产价格动态。在图2中，我们绘制了一个典型的股价轨迹以及参数值c=4和c=0的完整信息值hstock（Vt）。很明显，在股息日之间，ST的波动率为非零。此外，两条轨迹的比较表明，股价在默认时间τ跳至零；这反映了一个事实，即在信息不完整的情况下，defaulttime具有一定的强度，因此违约令人惊讶。相应的过滤器密度π（t）绘制在图3中，出于比较目的，我们最终考虑参数集c=4，c=25。

对于这些参数值，默认值是“几乎可预测的”，模型的行为类似于图2的SHatPath的结构0 1 2 3 4 5 6 70510152025路径：对于c=4，c=0，股票的完整信息值hstock（Vt）和股票价格St（标准线，标签Shat）的模拟路径。模型这可以从图4中看出，在图4中，我们绘制了两个参数集的默认强度。请注意，对于c=4，c=25，默认强度在大多数情况下接近于零，并且在默认之前非常大（实际上几乎是c=0时的两倍）。在图5中，我们最后展示了一个小型校准活动的结果，其中π（t）使用上一节所述的方法校准为雷曼兄弟五年期CDS利差。数据范围为2006年9月至2008年9月（雷曼兄弟于2008年9月15日申请破产保护）。由于在全信息条件下，CDS分布在V和K中均为零度，因此我们采用默认阈值等于toK=1，因此x轴上的数字可以视为资产与负债的比率。可以清楚地看到，在缺省之前，π（t）的质量集中在缺省阈值附近。8展望与结论本文利用随机过滤技术，为不完全信息下的结构性信用风险模型开发了衍生资产分析理论。特别是，我们设法提高了交易证券的动态性，这使我们能够研究衍生品的定价和合规性。最后，我们简要地提到了几个财务问题，这一理论将证明是有用的。首先，在我们的设置中研究或有可转换债券（也称COCO）可能会很有趣。

CoCo是一种可转换债券，在发行公司（通常是金融机构）陷入财务困境时自动触发。在触发事件中，债券要么转换为股权，要么转换为大大低于债券面值的即时现金支付。充分建模触发机制是分析CoCos的关键部分。迄今为止已发行的COCO有一个基于资本充足率的所谓会计触发器。很难包括图3：条件密度π（t）的模拟实现。注意π（t）的质量如何集中在τ之前的默认阈值。0 1 2 3 4 5 6 7012345678 c1=4，c2=25c1=4 c2=0图4：c=4，c=0（虚线）和c=4，c=25（直线）的默认强度模拟路径。2006-092006-122007-032007-062007-092007-122008-032008-062008-091.01.52.02.53.03.54.00.51.01.52.02.5对5年期CDS利差的校准图5：在银行违约之前，对雷曼兄弟5年期CDS利差的过滤密度进行校准的结果。在此示例中，默认阈值为K=1。直接进入正式定价模型；因此，许多定价方法将转换时间τCoCoas建模为τCoCo=inf{t形式的首次通过时间∈ T：Vt≤ KCoCo}用于转换保持KCoCo>K和一组监控日期T [0，∞). 然而，这种估值方法很难在实践中应用，因为投资者无法及时持续跟踪资产价值，例如，见Spiegeleer和Schoutens（2012）。在我们的设置中，Vis不完全可见非常适合以一致的方式处理此问题。这方面的第一个结果可以在R¨osler（2016）的第5章中找到。我们的框架也可用于研究主权债券的衍生资产分析。

最近几篇论文提出了主权信用风险的内生违约结构模型，例如Andrade（2009）或Mayer（2013）。粗略地说，在这些模型中，故障由第一次通过时间τ=inf{t给出≥ 0:Vt≥Kt}=inf{t≥ 0:Vt：=▄Vt/▄Kt≤ 1} ，其中，过程V是衡量主权国家未来预期经济表现的指标，阈值过程K是主权国家选择的，目的是平衡债务服务减少带来的收益与违约带来的不利经济影响，如资本市场准入减少。有理由假设外部投资者无法完全观察到▄V和▄K，例如，因为很难详细预测监管决策过程的结果。因此，我们得出了形式（2.1）的模型“资产价值V=~V/~K，默认阈值K=1。本文的结果可用于推导此设置中主权信用利差的动态；这对于主权债券期权的定价和风险管理非常重要。其他结果A.1过滤方程。在下一个推论中，我们陈述了FM的过滤方程。推论A.1。对于f∈ C1,2（[0，T]×SX）可选项目bfthas dynamicsbft=bf+Ztcdfdt公司s+（1- Ys公司-)（dLXf）sds+Zt∧τ（cfa）>s-bfsba>sdMZ，FMs+Zt∧τ（f（s，K）-bfs公司-) dMYs+Zt∧τZR+（\\f（·）- κy）Д（y，·））s-（dД（y））s--bfs公司-uD（dy，ds）。（A.1）证明。回想一下bft=1{τ≤t} f（t，K）+1{τ>t}πtf。因此，它认为dbft=Yt-dfdt（t，K）dt+（f（t，K）- πtf）dYt+（1- 年初至今-)dπtf将πtf的动力学代入该方程得到（A.1）。或者，可以使用非线性滤波的新息方法推导滤波方程。

为此，首先必须证明，每个fm鞅都可以表示为关于过程Yt的随机积分之和- ∧t∧τ和MZ，FMt，以及关于随机测量的测量值uD- γD，FM。然后可以使用标准参数来识别BFT鞅表示中的被积函数-Rt（[LXf）sds。这是自2012年起采取的路线对于无股息支付的情况。A、 2动态套期保值接下来，我们给出了与第6.2节中动态套期保值分析相关的一些额外结果。对冲策略的计算。我们现在解释如何使用SPDE的It^o公式计算交易资产上期权鞅表示中的被积函数；在应用第6.2条提案的过程中需要这样做。我们从第6.1节知道，e∏Ht=eCH（t，π（t）），使用类似于命题5.3的证明中的参数，条件密度π（t）的动力学可以从（4.25）中给出的u（t）的动力学推导得出：对于t<τ，它认为dπ（t）=A.*π（t）+π（t）λtdt+π（t）a>- ba>tdMZt+ZR+Sκyπ（t-)^1（y，·）（dД（y））t-- π（t-) uD（dy，dt）。表示v∈ H（SX）byeCH[v]（t，π）Chin方向v的方向导数，即iseCH[v]（t，π）=ddss=0eCH（t，π+sv）。假设满足Krylov（2013）的正则性条件（本质上，这意味着每个点π上都存在一阶和二阶方向导数∈ H（SX））。Krylov（2013）的定理3.1给出了折扣价格的以下鞅表示：eCH（t，π（t））=eCH（0，π（0））+lXi=1Zt∧τeCH[π（s）（ai-（bai）s）]（s，π（s））dMZs，i-Zt公司∧τeCH（s，π（s））dMYs+Zt∧τZR+eCHs、 sκyπ（s-)^1（y，·）（dД（y））s--eCH公司s、 π（s-)（uD- γD，FM）（dy，ds）。（A.2）在（A.2）中，SPDE的It^o公式用于确定关于DMZ的被积函数，i；关于My和（uD）的被积函数- γD，FM）（dy，dt）可由基本参数确定。

所有被积函数（以及风险最小化对冲策略）都是当前过滤器密度π（t）的函数；可以使用MonteCarlo对积分中关于MZ（和其他被积函数）的方向导数进行实际计算。请注意，我们尚未确定Krylov（2013）中要求的EC规律性；这个非常技术性的问题留给未来的研究。示例A.2。作为一个简单的例子，我们考虑了使用股票作为对冲工具，在payoffh=g（ST）的情况下对冲期权的问题。为了简化符号，我们考虑Z是一维过程的情况。首先，我们从命题6.2得到θHt=dh∏H，eGstocki/db（t）dheGstocki/db（t）。在股息日之间，即t∈ [0，T]\\T这给出θHt=（\\hstocka）t-eStbat公司eCH[π（t）（a-bat）]（t，π（t））+λ测试-eCH（t，π（t-)（\\hstocka）t-eSt公司-球棒-+ λ试验-;在股息日，我们得到θHt=ZR+欧共体t、 Sκyπ（t-)^1（y，·）（dД（y））t--欧共体t、 π（t-))y+（\\hstockД（y））t-（dД（y））t-- St公司-（bД（y））t-dyZR公司+y+（\\hstockД（y））t-（dД（y））t-- St公司-（dД（y））t-dy.市场完整性。最后，我们讨论了设置中的市场完整性。为此，我们考虑不支付股息的模型变体。这一假设至关重要；有了股息，市场通常是不完整的。考虑一个到期日为T且支付金额为H的交易资产期权。然后，贴现价格过程e∏hh作为形式e∏Ht=e∏H+lXj=1Zt的鞅表示∧τξMZj，HsdMZs，j+Zt∧τξY，HsdMYs。（A.3）如定理5.4所示，交易资产的贴现收益过程也有类似的表示；被积函数用ξMZjiandξYi表示，1≤ 我≤ `, 1.≤ j≤ l、 完美对冲策略θ*所有人的满意度≤ T关系式e∏Ht=e∏H+P\'i=1Rtθ*s、 ideGs，i；现金头寸根据选择条件确定。现在我们得到\'Xi=1Ztθ*s、 ideGs，i=Zt∧τlXj=1`Xi=1θ*s、 iξMZjs，idMZs，j+Zt∧τ\'Xi=1θ*s、 iξYs，idMYs。

（A.4）比较（A.3）和（A.4），我们发现t≤ τ完美复制策略θ*求解以下l+1维线性方程组\'Xi=1θ*t、 iξMZjt，i=ξMZj，Ht，1≤ j≤ j，andlXi=`θ*t、 iξMYt，i=ξMY，Ht。（A.5）模可积条件，对于交易资产上的每个期权，当且仅当系统（A.5）对所有t≤ τ和每个右侧（ξMZ，Ht，…，ξMZl，Ht，ξMY，Ht）>。粗略地说，对于完整的市场，每个t<τ至少需要l+1本地独立交易资产。对于股息支付，我们将得到一个支持γD，FM（dy，{tn}）的每个y的附加方程，这样at tn（A.5）就变成了一个系统，其中包含了无数未知量的无数方程，并且通常无法求解。引理3.2的证明。确定收益过程Gt=Vt+Dt，贴现收益过程Gt=e-rtVt+中兴通讯-RSDD=：eVt+eDt（B.1）和累计股息资产价值过程“Vt”，其中“Vt=V+Rtr”Vsds+Rtσ”VsdBs。我们首先证明了这是一个鞅。事实上，通过（2.4），我们得到了degt=σeVtdBt- e-rtdDt+e-rtdDt=σeVtdBt；所以这是一个局部鞅。此外，EQ（eVt）≤ 均衡器（e）-rt'Vt）= eσtEQ（V）。因此我们得到EQ（[例如]T）=EQZTσfVsds≤ 均衡器ZTσe-卢比Vsds公司< ∞ ,andeG是一个平方可积真鞅。现在它显然认为PTN≥0e-rtndn=limn→∞eDtn。此外，当AGTN=eVtn+eDtn>eDtn时，有一个等式（eDtn | V）≤ EQ（eGtn | V）=V。由于这是一个递增过程，我们从单调积分中得到Xtn公司≥0e-rtndn | V= 均衡器画→∞eDtn | V= 画→∞均衡器eDtn | V≤ 五、 （B.2）为了证明一个人在（B.2）中是平等的，我们必须证明limn→∞均衡器eVtn | V= 0、我们有估算EQXtn公司≥0e-rtndn | V≥ 均衡器Xtn公司≥0δneVtn- δne-rtnK | V= 等式（δ）Xn公司≥0EQeVtn | V- KXn公司≥0e-rtn公司.（B.3）回想一下，根据假设2.1.2，股息日期是等距的，因此≥0e-rtn<∞.