结构信用风险模型中的公司证券价格

正如Pardoux（1978）所述，我们采用参考概率方法来解决问题（4.5）。在这种方法下，我们考虑所谓参考概率测度Q下的模型*Q<<Q时*这样Z和x在Q下是独立的*一种是通过改变度量来恢复原始的动态。在产品空间上对这对（X，Z）进行建模将很方便(Ohm, G、 G，Q*). 表示为(Ohm, G、 G，Q）支持l维维纳过程z=（Zt（ω））t的一些滤波概率空间≥0、给定一定的概率空间(Ohm, G、 G，Q）支持流程X weletOhm = Ohm×Ohm, G=G G、 G=G 甘地Q*= Q Q、 我们以显而易见的方式将所有流程扩展到产品空间。注意，这种构造意味着在Q*,Z是一个独立于X的l维布朗运动。考虑一个形式为Lt=（dQ/dQ）的Girsanov型度量变换*)|FtwithLt=Lt（ω，ω）=expZta公司Xs（ω）>dZs（ω）-Zt | aXs（ω）|ds公司. （4.7）由于a有界，根据Novikov准则，L是真鞅。因此，关于布朗运动的Girsanov定理暗示，在Q下，对（X，Z）具有正确的联合定律。使用抽象Bayes公式，对于f∈ L∞（SX）thatEQf（Xt）| FZt=均衡器*f（Xt）Lt | FZt均衡器*Lt | FZt）。（4.8）我们专注于分子。利用潜在概率空间的乘积结构，我们得到*f（Xt）Lt | FZt（ω） =相等f（Xt）Lt（·，ω）=: ∑tf（ω）。（4.9）在Pardoux（1978）的定理1.3和1.4中，导出了∑tis的以下特征。提案4.3。用（Tt）t表示≥0马尔可夫过程X的转移半群，即f的转移半群∈ L∞（SX）和x∈ SX，Ttf（x）=EQx（f（Xt））。然后保持以下状态1。）（4.9）中定义的∑tf满足方程∑tf=∑（Ttf）+lXi=1Zt∑s（aiTt-sf）dZs，i（4.10）2）设∑为FZAAdapted过程，取SX上有界和正测度集中的值。

假设f∈ L∞（SX）~∑tf：=RSXf（x）~∑t（dx）满足方程（4.10），而且∑=~∑。然后对于所有0≤ t型≤ T，∑T=∑ta。s、 密度为∑t的SPDE。接下来，我们推导出Zakai方程（4.10）的解∑tof的密度u=u（t，·）的SPDE。我们从必要的符号开始。首先，介绍Sobolev spacesHk（SX）=u∈ L（SX）：dαudxα∈ L（SX）表示α≤ k,假设导数存在于弱意义下。此外，我们让H（SX）={u∈H（SX）：边界上的u=0SX}。有关Sobolevspace的精确定义和更多详细信息，请参阅Adams和Fournier（2003）。L（SX）中的标量积用（·，·）SX表示。考虑f∈ H（SX）微分算子L*withL公司*f（x）=ddxσxf（十）-ddx公司rxf型（x） 。（4.11）L*在以下意义上与L伴随：一个人有f、 Lg公司SX公司=L*f、 g级Sxf，g∈H（SX）∩ H（SX）。接下来，我们定义了-L*到整个空间H（SX）。对于这个wedenote，H（SX）是H（SX）的对偶空间，H·，i是H（SX）和H（SX）之间的对偶对。然后我们可以定义一个有界线性算子a*从H（SX）到H（SX）byhA*f、 gi公司=σxdfdx，dgdxSX公司+（σ- r） xf、dgdxSX。（4.12）部分积分表明，对于f∈ H（SX）∩ H（SX）和g∈ H（SX）一个有hA*f、 gi公司=-L*f、 g级SX，因此*实际上是-L*.我们将表明，∑tca的密度可以用SPDEdu（t）=-A.*u（t）dt+a>u（t）dZt，u（0）=π，（4.13）该方程应理解为对偶空间H（SX）中的方程，即每个yv∈ H（SX）1与u（t），vSX=（u（0），vSX公司-ZthA公司*u（s），vids+lXi=1Ztaiu，vSXdZs，i.（4.14）在续集中，我们将主要表示关于向量过程ZbyRt的随机积分a> u（s），vSXDZ。定理4.4。假设假设2.1和2.2成立，且初始密度π小于H（SX）。然后，以下内容成立。1.

有一个独特的适应FZ的解决方案u∈ LOhm ×[0，T]，Q* dt；H（SX）共（4.13）。2、解u具有额外的正则性：它认为u（t）∈ H（SX）a.s.和u的区域属于C[0，T]，H（SX）, 具有上确界范数的H（SX）值连续函数的空间。此外，u（t，·）≥ 0季度*a、 s.3。过程u（t）描述了测度值Zakai方程（4.10）在以下意义上的解：对于f∈ L∞（SX）一个有∑tf=u（t），fSX+νK（t）f（K）+νN（t）f（N），其中（4.15）0≤ νK（t）=ZtσKdudx（s，K）ds，（4.16）0≤ νN（t）=-ZtσNdudx（s，N）ds+Zta>（N）νN（s）dZs。（4.17）评论。因为u（t）属于H（SX）∩ H（SX），（4.14）可以写成u（t），vSX=（u（0），vSX+ZtL*u（s），vSXds+Zta> u（s），vSXDZ；（4.18）此外，近似参数表明（4.18）适用于v∈ L（SX）（且不仅适用于V∈ H（SX））。陈述3表明，测度∑thas是sx内部的Lebesgue密度，以及边界点K和N上的apoint mass。根据命题4.2，点质量νN（t）在很大程度上是无关的；另一方面，点质量νK（t）在第5节的默认强度分析中很重要。在证明语句2时，需要Sx是有界域的假设；考虑到方程（4.13）存在一个充分正则的非负解，陈述3的证明也适用于无界域。证据语句1和2直接来自Pardoux（1978）的定理2.1、2.3和2.6。我们给出了第三项索赔的证明简图，因为这解释了为什么（4.13）是需要考虑的适当理由；此外，我们的论点证明了νKandνN的形式。Sobolev嵌入定理（参见Adams和Fournier（2003），定理4.12，第二部分和第三部分）指出，对于任何k，空间Hm（SX）：=Hm，2（SX）可以嵌入到H¨olderspace Ck，α（SX）中∈ N、 0<α<1，使得m- 1/2≥ k+α。

结果表明，当0<α<1/2时，H（SX）可以嵌入到C1，α（SX）中；这尤其确保了在sx的边界点上存在u的导数。此外，作为u（t，x）≥ 在SX上为0，我们有dudx（t，K）≥ 0因此νK（t）≥ 0、类似地，asdudx（t，N）≤ 0我们从SDE的标准比较理论中得出，νN（t）大于SDE的解|ν|νt=Rta>（N）|νSDZ。现在ν明显等于零，所以νN（t）≥ 也为0。用∑t表示（4.15）右侧定义的度量值过程。为了证明∑t解温和形式的Zakai方程（4.10），fix一些连续函数f:SX→ R和一些t≤ 并用“u（s，x）”表示终端和边值问题的解“us+L”u=0，（s，x）∈ （0，t）×（K，N），终端条件'u（t，x）=f（x），x∈ SX和边界条件u（s，K）=f（K），u（s，N）=f（N），s≤ t、 众所周知，u描述了X的转移半群，即u（s，X）=Tt-sf（x），0≤ s≤ t、 当u（t）=f时，我们从∑的定义和νK（t）和νN（t）的动力学中得出∑tf=u（t），\'u（t）SX+ZtσKdudx（s，K）f（K）ds-ZtσNdudx（s，N）f（N）ds+Zta>（N）νN（s）f（N）dZs。接下来，我们计算u（t），\'u（t）SX。我们使用Ito乘积公式（4.18）和关系式d'u（s）=-L u（s）ds，即u（t），\'u（t）SX=（u（0），\'u（0）SX+ZtL*u（s），u（s）SXds+Zta> u（s），u（s）SXdZs+Zt美国，-L u（s）SXds。使用“u，Zt”满足的边界条件，部分积分给出美国，-L u（s）SXds=-Zt公司L*u（s），u（s）SXds+Zthσxdudx（s，x）f（x）iNKds。因此我们得到∑tf=u（0），\'u（0）SX+Zta> u（s），u（s）SX+a>（N）νN（s）f（N）dZs。现在请注意，对于x∈ [K，N]，\'u（s）（x）=Tt-sf（x）。通过假设2.2，利用a（K）=0，我们得到关于Z的随机积分可以写成ztna> 美国，Tt-旧金山SX+a>（K）（νK（s）Tt-sf（K））+a>（N）（νN（s）Tt-sf（N））ODZ。因此，它认为∑tf=∑（Ttf）+Rt∑s（a>Tt-sf）dZs。

此外，∑f=π、 f级一个近似参数表明，这些性质也适用于f∈ L∞（SX），参见Pardoux（1978），因此∑t=∑tby命题4.3。备注4.5。将我们的结果与Krylov和Wang（2011）的相关论文进行比较很有趣。Krylov和Wang认为信号过程X是X上的非退化微分。用τSX表示X从SX的首次退出时间（在我们的符号中τSX=τ∧ σN），观察过滤由FZand通过指标1{τSX生成的过滤给出≤t} 。Krylov和Wang然后推导出给定Fzt的条件密度的SPDE和信息{τSX>t}，并表明Q（XτSX=K |τ=t）=νK（t）νN（t）+νK（t），Q（XτSX=N |τ=t）=νN（t）νN（t）+νK（t），其中νKandνnar由定理4.4中的类似表达式给出。然而，它们不计算条件概率Q（τ）的动力学≤ t | FZt），一个对计算默认强度至关重要的表达式（见定理5.1）。4.3关于Fm的条件分布在本小节中，我们计算X关于filtrationFm=FZ的条件分布∨FD公司∨财政年度。关键部分是在分析中包括股息信息FD和股息日资产价值过程的跳跃。我们还记得一些符号：分隔日期用tn，n表示≥ 1.dn表示在tn支付的股息和给定dnxtn的条件密度-= x是Д（y，x）1{x>K}。在续集中，为了便于注释，我们将t设为0。此外，我们让Д（y，K）=Д*（y） 对于R+上的一些光滑且严格正的参考密度，我们通过改变度量来构建模型。请注意，选择Д（y，K）没有经济影响，因为我们只关心违约前资产价值的分配。我们使用了第4.1节中参考概率参数的扩展。

考虑产品空间Ohm = Ohm×Ohm, G=G G、 G=G 甘地Q*= Q Qso那个Ohm支持a Q-布朗运动B。假设(Ohm, G、 G，Q）支持布朗运动Z和独立随机测度uD（dy，dt），补偿测度等于γD，*（dy，dt）=∞Xn=1х*（y） dyδ{tn}（dt）。设Dt：=RtRR+yuD（dy，Dt），t≥ 用V=Vt（ω，ω）表示SDEdVt=1{Vt>0}rVtdt+1{Vt>0}σVtdBt的解- κdd并通过Xt=Vt定义状态过程X∧τ∧σN.VTI动态中的指示器功能包括在Q下*由于在股息日向下跳跃，资产价值V可能变为负值。注意，在我们构造的下一个这样的跳跃的测度qt下，概率为零。为了恢复到原始模型动力学，我们引入了密度鞅L=（LtLt）0≤t型≤t其中LTI如（4.7）所示，其中Lt=Lt（ω，ω）满足Lt=1+ZtZR+Ls-^1（y，Xs-)^1*（y）- 1.（uD- γD，*)（dy，ds），0≤ t型≤ T、 （4.19）由于Д（·，x）和Д是概率密度，我们得到Zr+^1（y，x）Д*（y）- 1.^1*（y） dy=ZR+（Д（y，x）- ^1*（y） ）dy=1- 1=0。（4.20）HenceRtRR+^1（y，Xs-)^1*（y）- 1.γD，*（dy，ds）≡ 0，我们得到lt=1+ZtZR+Ls-^1（y，Xs-)^1*（y）- 1.uD（dy，ds）=Ytn≤T^1（dn，Xtn-)^1*（dn）。（4.21）由于Land Lare是正交的，我们得到的是dlt=Lt-a（Xt）>dZt+ZR+Lt-^1（y，Xt-)^1*（y）- 1.（uD- γD，*)（dy，dt）。下一个引理（其证明见附录B）表明，L实际上是要考虑的适当密度鞅（T是第4节开头确定的地平线日期）。引理4.6。它认为*（LT）=1。通过（dQ/dQ）定义度量Q*)|GT=LT。

然后在Q下，随机测量uDhas G-补偿器γD（dy，dt）=P∞n=1Д（y，Xtn-)dyδ{tn}（dt）。此外，三元组（X，Z，D）具有假设2.1中假设的联合定律。与（4.8）中类似，我们从广义贝叶斯规则（Jacod和Shiryaev（2003），命题III.3.8）中得出：f（Xt）| FZt∨ FDt公司（ω） =∑tf（ω）∑t1（ω），（4.22），其中∑tf（ω）=等式f（Xt（·，ω）Lt（·，ω）.非标准化密度的动力学。Ltin（4.21）的形式表明非标准化密度u（t，·）的以下动态：在股息日之间，即（tn-1，tn），n≥ 1，u（t）用初始值u（tn）求解SPDE（4.13-1） ；在tn时，密度u（tn-) 被设置为u（tn，x）=u（tn-, x） ^1（dn，x）Д*（dn），（4.23）第二，对于κ=1，有一个转移来解释资产价值的向下跳跃，即isu（tn，x）=u（tn，x+κdn），（4.24），其中z>N时，我们让u（tn，z）=0。在下面的定理4.7中，我们证明这实际上是正确的。作为第一步，我们通过SPDE描述u的动力学。表示y>0和V∈ 函数Syv（x）=v（x+y），其中，对于z>N，我们让v（z）=0。考虑SPDEdu（t）=-A.*u（t）dt+a>u（t）dZt+ZR+nSκyu（t-)^1（y，·）Д*（y）- u（t-)ouD（dy，dt），（4.25），初始条件u（0）=π。（4.25）的解释类似于前一节：对于v∈ 它认为u（t），vSX=（u（0），vSX公司-ZthA公司*u（s），vids+Zta> u（s），vSXdZs+ZtZR+Sκy美国-)^1（y，·）Д*（y）- 美国-) , vSXuD（dy，ds）。（4.26）下一个结果将定理4.4推广到有股息的情况。定理4.7。1、存在唯一的正解u∈ H（SX）∩SPDE的H（SX）（4.25）。定义νK（t）=RtσKdudx（s，K）ds和νN（t）=-ZtσNdudx（s，N）ds+Zta>（N）νN（s）dZs+ZtZR+νN（s-)^1（y，N）Д*（y）- 1.uD（dy，ds）。那么它认为∑tf=u（t），fSX+νK（t）f（K）+νN（t）f（N）。附录B中给出了证明。关于FM的过滤。

最后，我们回到过滤FM的过滤问题。推论4.8。用C（t）定义规范常数C（t）=u（t），1SX+νN（t）和letπ（t，x）=u（t，x）/C（t）和πN（t）=νN（t）/C（t）。那么它适用于f∈ L∞（SX）{τ>t}式f（Xt）| FMt= 1{τ>t}（π（t，·），f）SX+πN（t）f（N）. （4.27）证明。结合命题4.1和定理4.7，我们得到{τ>t}等式f（Xt）| FMt= 1{τ>t}∑t（f1（K，∞))∑t（K，∞)= 1{τ>t}u（t），fSX+νN（t）f（N）C（t）。（4.28）4.4滤波方程的有限维近似SPDE（4.13）是一个随机偏微分方程，因此是一个有限维对象。为了从数值上解决过滤问题并生成基本公司证券的价格轨迹，需要通过有限维方程近似（4.13）。实现这一点的自然方法是伽辽金近似法。我们首先解释无股息支付情况下的方法。考虑m个线性无关的基函数e，em公司∈ H（SX）∩ H（SX）生成子空间H（m） H（SX），并用pr（m）表示：H（SX）→ H（m）该子空间上关于（·，·）SX的投影。在伽辽金法中，方程的解u（m）（t）=pr（m）oL*o 初始条件为u（m）（0）=pr（m）π的pr（m）u（m）（t）dt+pr（m）（a>pr（m）u（m）（t））dZt（4.29）用作（4.13）解u的近似值。因为投影是自伴的，所以我们得到v∈ H（SX）du（m）（t），vSX公司=L*o pr（m）u（m）（t），pr（m）vSXdt公司+a> pr（m）u（m）（t），pr（m）vSXdZt。（4.30）因此，如果v属于（H（m）），则d（u（m）（t），v）SX=0⊥（H（m）的正交补）。Sincemoreover u（m）（0）=pr（m）π∈ H（m）我们得出结论，u（m）（t）∈ H（m）表示所有t。因此，u（m）的形式为u（m）（t）=Pmi=1ψi（t）ei，我们现在确定m维过程ψ（m）（t）=（ψ（t），ψm（t））。使用（4.30）得到的j∈ {1。

，m}du（m）（t），ejSX=mXi=1ψi（t）L*ei，ejSXdt+lXk=1mXi=1akei，ejSXψi（t）dZkt。（4.31）另一方面，d（u（m）（t），ej）SX=mXi=1（ei，ej）dψi（t）。（4.32）现在确定m×m矩阵A、B和C，Clwith aij=（ei，ej）SX，bij=（L*ei，ej）SX和Ckij=（akei，ej）SX。将（4.31）和（4.32）相等，我们得到ψ（m）dψ（m）（t）=A的以下SDEs系统-1B>ψ（m）（t）dt+lXk=1A-1Ckψ（m）（t）dZkt（4.33），初始条件ψ（m）（0）=A-1.（π，e）SX，（π，em）SX. 方程（4.33）可以用SDE的数值方法来求解，例如简单的Euler格式或Le Gland（1992）提出的更先进的分裂方法。Frey、Schmidt和Xu（2013）或R¨osler（2016）的第4章中给出了关于伽辽金方法数值实现的更多细节。收敛条件u（m）→ u是很好理解的，例如German和Piccioni（1987）：m的过滤器密度边界的Galerkin近似→ ∞ 当且仅当确定性前向pdedudt（t）=L的伽辽金近似*u（t）收敛。在有红利信息的情况下，伽辽金方法依次应用于每个红利（tn-1，tn），n=1，2。用u（m）n表示区间内的近似密度（tn-1，tn）。在（4.25）之后，区间（tn，tn+1）的初始条件由u（m）（tn）=pr（m）给出Sκyu（m）n（tn，·）Д（dn，·）Д*（dn）,也就是说，通过投影更新和移动的密度u（m）n（tn，x+κdn）^1（dn，x+κdn）/Д*（dn）在H（m）上。5公司证券价格动态在本节中，我们确定了交易公司证券的价格过程。

事实证明，这些价格过程是跳跃扩散型的，由布朗运动MZ（Z的FMsemimartingale分解中的鞅部分）、与股息支付相关的补偿随机度量和补偿违约指标过程驱动。5.1违约强度作为第一步，我们推导了违约指标过程Y的FM半鞅分解，并证明Y允许FM强度。定理5.1。Y的FM补偿器由过程∧t给出∧τ） t型≥0其中∧t=Rtλs-dS，其中默认强度λt由λt=σKdπdx（t，K）给出。（5.1）这里π（t，x）是推论4.8中给出的给定Fmtin的条件密度。我们提到，在Duffee和Lando（2001）中，对于资产价值过程的噪声观测仅在确定的时间点到达的情况，也得到了类似的结果。证据我们使用以下众所周知的结果来确定Y的补偿器（参见Blanchet Scalliet和Jeanblanc（2004）的第2.3节）。提案5.2。设Ft=Q（τ≤ t | FZt∨ FDt），并假设所有t的Ft<1。表示有界FZ的Doob-Meyer分解∨ FD子鞅F乘以Ft=MFt+AFt。通过∧t=Zt（1）定义过程∧- Fs公司-)-1dAFs，t≥ 0。然后是Yt- ∧t∧τ是FM鞅。特别是，如果af是绝对连续的，即ifdAFt=γAtdt，则τ具有默认强度λt=γAt/（1- 英尺-).为了应用这个命题，我们需要计算次鞅F的Doob-Meyer分解。这里我们得到ft=Q（τ≤ t | FZt∨ FDt）=Q（Xt=K | FZt∨ FDt）=∑t{K}∑t。定理4.7给出∑t{K}=νK（t）和dνK（t）=σKdudx（t-, K） dt。接下来，我们考虑项（∑t1）-1、根据定义，它认为∑t1=等式*（Lt | FZt∨ FDt）=（dQ/dQ*)|FZt公司∨FDt。因此我们得到了（∑t1）-1是Q-局部鞅；例如，参见Jacod和Shiryaev（2003），推论III.3.10。