结构信用风险模型中的公司证券价格

假设现在有一些c>0，这样EQeVtn | V> c对于很多n.加上（B.3），这意味着Ptn公司≥0e-rtndn | V= ∞, 与不等式（B.2）相矛盾，我们得出结论Limn→∞均衡器eVtn | V= 身份证明（4.3）。此标识将遵循关系eqh（Vt）1{τ>t}| FMt= 均衡器h（Vτt）1{τ>t}| FZτt∨ FYt公司, （B.4）其中，FZτ是由停止的过程Zτ产生的过滤。为此，首先注意FZτ∨ Fy是对FM的过滤（因为τ是FMstopping时间），因此（B.4）的右侧是可测量的FMt。此外，对于τ>t，Vτt=vt和（Zτs）ts=0=（Zs）ts=0。因此我们得到了C上任何有界可测泛函g[0，T]）thatEQh（Vt）1{τ>t}g（（Zs）ts=0）= 均衡器h（Vτt）1{τ>t}g（（Zτs）ts=0）= 均衡器均衡器h（Vτt）1{τ>t}| FZτt∨ FYt公司g（（Zτs）ts=0）. （B.5）由于（B.5）中存在指标1{τ>t}，我们可以将该方程中的g（（Zτs）ts=0）替换为g（（Zs）ts=0），从而通过定义条件期望得到（B.4）。类似的论点表明h（Vt）1{τ>t}| FZt∨ FYt公司= 均衡器h（Vt）1{τ>t}| FZτt∨ FYt公司, 这就等于h（Vt）1{τ>t}| FMt= 均衡器h（Vτt）1{τ>t}| F▄Zt∨ FYt公司,如所述。命题4.2的证明。过程FσNt=Q（σN≤ t | Ft），0≤ t型≤ T是F-子鞅。Hencewe得到，使用第一个子鞅不等式（参见Karatzas和Shreve（1988），定理1.3.8（i））Qsups公司≤TFσNs>≤E（FσNT）+=Q（σN）≤ T），给出了语句1。现在我们来谈谈声明2。为了证明，我们明确了stoppedasset值过程对N的依赖性，并写出XNt：=Vτ∧σNt。显然，在{σN>T}上，它认为{τN>T}=1{τ>T}，T≤ T

使用命题4.1，我们得到支持≤T{τN>t}等式h（t，VNt）| FM，Nt- 1{τ>t}等式h（t，Vt）| FMt> δ≤ Q支持≤T均衡器h（t，XNt）1{XNt>K}| FZNt∨ FDNt公司QXNt>K | FZNt∨ FDNt公司-均衡器h（t，Xt）1{Xt>K}| FZt∨ FDt公司QXt>K | FZt∨ FDt公司> δ（B.6）+QσN>T现在QσN>TN收敛到零→ ∞ 因此，我们将重点放在（B.6）。难以估计这种可能性的事实是，我们必须将条件期望与不同过滤进行比较。与鲁棒过滤类似，我们使用参考概率方法来解决这个问题。为了简化符号，我们引入了缩写hNt=h（t，XNt）1{XNt>K}和HT=h（t，Xt）1{Xt>K}。此外，我们设置L1，Nt=expZta（XNs）>dZs-Zt公司a（（XNs））ds公司和L2，Nt=Ytn≤T^1（dn，XNtn-)^1*（dn），我们让LNt：=L1，NtL2，Nt。密度鞅Lt=ltlti的定义类似，但用Vτ代替XN。鉴于命题4.1和（4.22），我们需要证明对于N→ ∞,支持≤T均衡器hNtLNt（·，ω）均衡器{XNt>K}LNt（·，ω）-均衡器htLt（·，ω）均衡器{Vτt>K}Lt（·，ω）Q-→ 0。（B.7）这方面的关键工具是以下引理。引理B.1。考虑一个泛型函数f:[0，T）×[K，∞) → R带f（t，v）≤ c+cv和letfNt=f（t，XNt）和ft=f（t，Vτt）。然后它就保持住了≤T均衡器fNtLNt（·，ω）- 均衡器ftLt（·，ω）Q-→ 引理B.1的证明。固定常量, δ>0。我们必须证明，对于N足够大，Qω： 支持≤T均衡器fNtLNt（·，ω）- 均衡器ftLt（·，ω）> δ<  （B.8）我们首先表明，我们可以在不丧失一般性的情况下假设L2、NTA和LTA是有界的。为此，我们选择一些常数C，使得Q（B）>1-其中b：=nω：supx∈[K，∞)年初至今≤TД（dn（ω），x）Д*（dn（ω））≤ 这是可能的，因为*在（0，∞) 从那时起，映射x 7→ ^1（dn，x）以（2.5）为界。根据定义，B上的L2，Nt=L2，Nt∧ C和Lt=Lt∧ C

此外，（B.8）不大于qnsupt公司≤T均衡器fNtLN，1t（LN，2t∧ C） （·，ω）- 均衡器ftLt（Lt∧ C） （·，ω）> δo∩ B+ Q（Bc）≤ Q支持≤T均衡器fNtLN，1t（LN，2t∧ C） （·，ω）- 均衡器ftLt（Lt∧ C） （·，ω）> δ+因此，从现在起，我们假设L2、Ntan和Lt以C为界。我们继续对Lt.Doob的最大不等式givesEQ进行一些有用的估计*sup0≤t型≤T（Lt）≤ CEQ公司*sup0≤t型≤T（Lt）≤ 4CEQ公司*（LT）= 4CEQ公司*经验值ZTka（Vτs）kds≤ 4Cexp公司T supx公司≥Kka（x）k（B.9）类似地，我们得到了“Vt=~Vexp”（r）-σ） t+σBt（累计股息资产价值）等于*sup0≤t型≤T（(R)VtLt）≤ Ce2rTEQ（￠V）等式*sup0≤t型≤TE公司a（Vτs）>dZs+σdBst型≤ 4Ce2rTEQ*（￠V）扩展T（σ+supx≥Kka（x）k）（B.10）当然，类似的估计也适用于EQ*sup0≤t型≤T（LNt）对于EQ*sup0≤t型≤T（(R)VtLNt）. 因为在集合{t<σN}上，fNt=fta，LNt=Lt，它认为均衡器fNtLNt（·，ω）- 均衡器ftLt（·，ω）≤ 均衡器{σN≤t}fNt公司LNt公司·, ω）+ 均衡器{σN≤t}英尺Lt（·，ω）.因此我们得到了SUP0≤t型≤T均衡器fNtLNt（·，ω）- 均衡器ftLt（·，ω）≤ sup0≤t型≤TEQ公司{σN≤t}fNt公司LNt公司·, ω）+ sup0≤t型≤TEQ公司{σN≤t}英尺Lt（·，ω）. （B.11）现在请注意，假设fNt公司≤ c+cXNt≤ 因此（B.11）可通过SUP0进行估算≤t型≤TEQ公司{σN≤t} （c+c'Vt）LNt（·，ω）+ sup0≤t型≤TEQ公司{σN≤t} （c+c’Vt）Lt（·，ω）（B.12）为了完成引理的证明，我们最终表明表达式qsup0≤t型≤TEQ公司{σN≤t} （c+c'Vt）LNt·, ω）= 均衡器*sup0≤t型≤T{σN≤t} （c+c'Vt）LNtN收敛到零→ ∞, 这就是EQ{σN≤t} （c+c'Vt）LNt（·，ω）在L中收敛到零(Ohm, F、 Q）因此在概率方面也是如此。现在请注意，我们之前的估计（B.9）和（B.10）意味着随机变量YN：=sup0≤t型≤T{σN≤t} （c+c'Vt）在L中一致有界(Ohm, F、 Q*) 和Hence一致可积，因此该主张源自Lebesgue定理。同样的论点显然适用于（B.12）中证明引理的第二项。最后，我们回到（B.7）的证明，从而回到命题4.2的证明。

固定常量, δ>0，然后选择M>0，对于a，a：=ω： 输入≤TEQ公司Lt（·，ω）> 2/米和A：=ω： 支持≤TEQ公司htLt（·，ω）< M- δ认为Q（Ac）<ε，Q（Ac）<ε。最终选择足够大的容量，以便N>Nit holdsQ（A）>1-ε和Q（A）>1-ε；此处：=ω： 支持≤T均衡器hNtLNt（·，ω）- 均衡器htLt（·，ω）<δ2M答：=ω： 支持≤T均衡器LNt{XNt>K}（·，ω）- 均衡器Lt{Vτt>K}（·，ω）<δ2M;引理B.1可以做到这一点。设A=A∩A.∩A.∩A注意Q（A）>1-. 通过定义N>Nandω的wehave∈ A估计值支持<TEQhNtLNt（·，ω）< M和inft<TEQLNt（·，ω）>M、 现在，标准微积分中的中值定理给出了x，~x和y，~y∈ R带x个,x< 曼德y,y>M估算值x  y-xy型≤ Mx- x个+y- y. 应用这个估计，我们得到ω∈ Athatsupt运动会≤T均衡器hNtLNt（·，ω）均衡器{XNt>K}LNt（·，ω）-均衡器htLt（·，ω）均衡器{Vτt>K}Lt（·，ω）≤ M支持≤田纳西州均衡器hNtLNt（·，ω）- 均衡器htLt（·，ω）+均衡器LNt（·，ω）1{XNt>K}- 均衡器Lt{Vτt>K}（·，ω）o≤ Mδ2M+δ2M= 引理4.6的δ证明。为了显示EQ*（LT）=1我们在股息日期tn使用归纳法。对于t<t，LT=LT和EQ*Lt公司= 1根据Novikov标准（回想一下，a是以假设为界的）。假设现在这个主张适用于t<tn。我们得到等式*Ltn公司= 均衡器*Ltn公司-^1（dn，Xtn-)^1*（dn）= 均衡器*Ltn公司-均衡器*^1（dn，Xtn-)^1*（dn）| Ftn-.此外，EQ*^1（dn，Xtn-)^1*（dn）| Ftn-=ZR+Д（y，Xtn-)^1*（y） ^1*（y） dy=ZR+Д（y，Xtn-) dy=1，因此*（Ltn=1）以及。为了证明uD（dy，dt）具有Q-补偿器γD（dy，dt），我们使用了一般的Girsanov定理（参见Protter（2005），定理3.40）：一个过程M，使得Q存在hM，Li*是Q*-局部鞅当且仅当iffMt=Mt-RtLs-dhL，MIS是一个Q-局部鞅。现在考虑一些有界可预测函数β：[0.T]×R+→ R和定义Q*-局部鞅Mt=RtRR+β（s，y）（uD- γD，*)（dy，ds）。

由于M是有限变量，我们得到了[M，L]t=Xs≤t型太太Ls=ZtZR+Ls-^1（y，Xs-)^1*（y）- 1.β（s，y）uD（dy，ds）。因此我们得到thathM，Lit=ZtZR+Ls-^1（y，Xs-)^1*（y）- 1.β（s，y）γD，*（dy，ds），（B.13）前提是：*ZtZR+Ls-^1（y，Xs-)^1*（y）- 1.|β（s，y）|γD，*（ds、dy）< ∞ . （B.14）回顾γD，*（dy，dt）=P∞n=1х*（y） dyδ{tn}（dt）。HenceZtZR+Ls-^1（y，Xs-)^1*（y）- 1.γD，*（ds，dy）=Xtn≤tLtn公司-锆+^1（y，Xtn-) - ^1*（y）dy公司≤ 2Xtn≤tLtn公司-.因为|β|由某个常数C限定，并且因为*（Lt）=1对于所有t，（B.14）的lhs由2C sup{n限定∈ N：tn≤ t} 。此外，我们从（B.13）得到thathM，Lit=Xtn≤tLtn公司-ZR+β（tn，y）^1（y，Xtn-) - ^1*（y）dyThis givesfMt：=Mt-ZtLs公司-dhL，Mis=ZtZR+β（s，y）（uD- γD）（dy，ds）。根据一般的Girsanov定理，NowfM是一个局部鞅，它表明γD（dy，dt）实际上是uD的Q补偿器。其他说法很清楚。定理4.7的证明。我们在股息日通过归纳法进行。对于t∈ [0，t）没有独立的信息，其主张来自定理4.4。现在假设Theorem的主张适用于t∈ [0，tn）。首先，我们表明u（tn）=Sκdn（~u（tn））=u（tn-, x+κdn）Д（dn，x+κdn）Д*（dn）属于H（SX）∩ H（SX）。显然，在假设2.12下，对于给定的dn>0，映射x 7→^1（dn，x）^1*（dn）平滑、非负且有界。因此使用u（tn-) 此外，u（tn））属于H（SX）∩H（SX）。如果κ=1，则表明Sdn（~u（tn））是H（SX）的一个元素∩ H（SX）。平滑度很清楚，唯一需要验证的是边界条件▄u（tn，K+dn）=0。注意：对于z，Д（dn，z）=0≤ dn+K（见方程式（2.3））。这意味着▄u（tn，K+dn）=0（按要求）。（4.25）关于[tn，tn+1）的解的存在性和唯一性紧随定理4.4。接下来，我们转向第二个主张。

使用归纳假设，定义▄u，事实是Д（dn，K）=Д*（dn）以及νK（t）和νN（t）的动力学，我们得到∑tnf=EQ*Ltn公司-f（Xtn）Д（dn，Xtn-)^1*（dn）=u（tn-), f（·）- κdn）Д（dn，·）Д*（dn）SX+νK（tn-)f（K）Д（dn，K）Д*（dn）+νN（tn-)f（N）Д（dn，N）Д*（dn）=u（tn-), f（·）- κdn）SX+νK（tn）f（K）+νN（tn）f（N）。现在我们有了u（tn），f（·）- κdn）SX=ZNKf（x- κdn）~u（tn，x）dx=ZN-κdnK-κdnf（y）~u（tn，y+κdn）dy=ZNKf（y）~u（tn，y+κdn）dy，因为被积函数在[K]上为零- κdn，K]∪ [N- κdn，N]。因此我们得到了u（tn），f（·）- κdn）SX公司=u（tn），fSx与∑tnf的关系=u（tn），fSX+νK（tn）f（K）+νN（tn）f（N），如权利要求所述。引理5.3的证明。我们从没有股息的情况开始，假设f与时间无关。回想推论4.8，πtf=C（t）（（u（t），f）SX+νN（t）f（N）），其中C（t）=（u（t），1）SX+νN（t）。使用（4.18）和（4.17）我们得到DC（t）=L*u（t），1SX公司-σNdudx（t，N）dt公司+u（t），a>SX+νN（t）a>（N）dZt。（B.15）部分积分表明（B.15）中的漂移项等于-σKdudx（t，K）。因此，dC（t）=2C（t）σKdudx（t，K）dt-C（t）u（t），a>SX+νN（t）a>（N）dZt+C（t）lXj=1u（t），ajSX+νN（t）ajdt。同样，我们得到了u（t），fSX+νN（t）f（N）=u（t），LXfSX公司-σKdudx（t，K）f（K）dt公司+u（t），a>fSX+νN（t）a>（N）f（N）dZt。（B.16）因此，我们使用It^o乘积公式和π（t，v）=u（t，v）/C（t）dπtf=C（t）d这一事实u（t），fSX+νN（t）f（N）+u（t），fSX+νN（t）f（N）直流（t）+直流Cu、 f级SX+νNf（N）t型=π（t），LXfSX公司-σKdπdx（t，K）f（K）dt+πt（a>f）dZt+σKdπdx（t，K）πtf+lXj=1（πtaj）πtfdt公司- （πtf）（πta>）dZt-lXj=1（πtaj）（πtajf）dt。重新排列项并使用πt（LXf）=（π（t），LXf）sx给出了与时间无关f且无股息情况下引理的主张。对于含时f，我们有dπtf=πt（dfdt（t，·））dt+dπtf（t，·），因此我们得到πtf动力学漂移中的附加项πt（dfdt（t，·））。最后，我们考虑股息支付的情况。

在分红日期之间，金融期货的动态可以通过与之前类似的参数得出。得出πtf在tn处的跳跃，回忆一下πtnf=∑tn（f1（K，∞))∑tn（1（K，∞)). 此外，我们使用Ltn的形式，∑tn（f1（K，∞)) =^1*（dn）∑tn-f（·）- κdn）1（K，∞)（·- κdn）Д（dn，·）对于∑tn（1（K，∞)). 现在，根据假设2.12，我们知道dn<（Xtn- K） +Q a.s，因此（K，∞)（Xtn）-- κdn）=1（K，∞)（Xtn）-). 因此我们得到πtnf=∑tn（f1（K，∞))∑tn-（1（K，∞))∑tn（1（K，∞))∑tn-（1（K，∞))=∑tn-f（·）- κdn）1（K，∞)^1（dn，·）∑tn-（1（K，∞))∑tn（K，∞)^1（dn，·）∑tn-（1（K，∞))=πtn-f（·）- κdn）Д（dn，·）πtn-^1（dn，·）,给出了（A.1）中关于uD（dy，ds）的积分形式。参考Adams，R.和Fournier，J.F.：2003，Sobolev Spaces，第二版，学术出版社。Andrade，S.C.：2009，《国家风险下的资产定价模型》，《国际货币与金融杂志》28，671–696。Bain，A.和Crisan，D.：2009，《随机过滤基础》，纽约斯普林格。Black，F.和Cox，J.C.：1976，《公司证券估值：债券契约条款的一些影响》，《金融杂志》31（2），351–367。Blanchet Scalliet，C.和Jeanblanc，M.：2004，《信贷风险和对冲违约或有债权的风险率》，金融与随机8，145–159。Br'emaud，P.：1981，《点过程和队列：鞅动力学》，斯普林格，纽约。Cetin，U.：2012，《关于故障风险模型、随机过程及其应用中的绝对连续补偿器和非线性滤波方程》122，3619–3647。Coculescu，D.、Geman，H.和Jeanblanc，M.：2008，《不完全信息下违约敏感债权的估值》，《金融与随机》第12期，195–218页。Du ffie，D.、Eckner，A.、Horel，G.和Saita，L.：2009，《脆弱相关违约》，金融杂志64，2089–2123。杜菲，D。

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