一类路径相关奇异随机控制问题

（2.8）最后，我们的最后一个内容是介绍我们为v创造的标准弱公式，当我们将粘度解理论用于路径相关偏微分方程时，这将特别适合。对于任何（t，x）∈ [0，T]×C，让我们定义（λT，xt，Ft，xt，oT）Pt，x上的以下概率测度：=PtoXt，x-1、由于σ被假定为可逆的，因此我们得到了Ft，o=FXt，x，和Ft=FXt，xPt，（2.9），其中FXt，xd表示Pt下Xt，xandFXt，xPtits完成的原始自然过滤。我们本节的主要结果总结在以下命题中，其证明是经典的，并推迟到附录endix。提案2.4。假设2.1和2.3成立。对于任意（t，x），我们有以下等式∈[0，T]×Cvsing（T，x）=v（T，x）=vweak（T，x）=supν∈UtEPt，xνUt，xBt，xt.鉴于上述结果，在本文的其余部分中，我们将重点讨论值函数v，而不是VSING。备注2.5。请注意，尽管Utsingand Utactuallylead下的最大化到相同值函数的结果是经典的，但我们对问题中观察的函数所做的连续性假设对于它的成立至关重要。事实上，正如H einricher和Mizel[26]所指出的那样，这种近似结果并不总是正确的。2.4近似值函数为了获得值函数v的主要概率表示结果（因此对于vsing），我们将使用路径相关偏微分方程的粘性解理论，如前所述。然而，为了做到这一点，我们必须绕道一小段路，对于任何整数n>0和任何t∈ [0，T]，我们让Ut，ndnote，Ut的子集由进程ν组成，例如0≤ ν是≤ n、 对于i=1，d、 对于Lebesgue几乎每∈ [t，t]。

然后，我们确定所有（t，x）的近似值函数∈ [0，T]×Cvn（T，x）：=supν∈Ut，nEPtUt，xXt，x，ν= supν∈Ut，nEPt，xνUt，x（Bt，x）, （2.10）其中第二个等式可以精确地证明为引理2.4中v的等式。我们得到了以下simplestability结果，其证明被推迟到附录中。引理2.6。在假设2.1和2.3下，对于每个（t，x）∈ [0，T]×C，序列（vn（T，x））n≥1为非递减andvn（t，x）-→n→+∞v（t，x）。3相应的约束BSDEs3.1空间和规范现在定义了以下凸集族，对于任何t∈ [0，T]：Kt：=nq∈ Rds。t、 （f）tq）·ei≤ 0代表所有i∈ {1，…，d}o，其中（ei）1≤我≤DDE注意到Rd的常规规范基础，以及任何M∈ Sd，M表示其UsalTransposition。备注3.1。直觉上希望施加在值函数v的梯度上的这种形式的约束是很自然的。事实上，回想一下，f描述了在单数动作的情况下推动底层forwardprocess的方向。我们接下来介绍任意p≥ 1以下空格（i）Spt：=n（Ys）t≤s≤T、 R-价值，英尺-逐步可测量，cádlág，Pt- a、 s.，s.t.kY kSpt<+∞o、 其中kpSpt：=EPt支持≤s≤T | Ys | p.（ii）Spt，x：=n（Ys）t≤s≤T、 R-值，Ft，x-逐步可测量，cádlág，Pt，x- a、 s.，kY kSpt，x<+∞o、 其中kpSpt，x：=EPt，x支持≤s≤T | Ys | p.（iii）Hpt：=n（Zs）t≤s≤T、 研发部-价值，英尺-可预测，kZkHpt<+∞o、 kZkpHpt：=EPt“ZTtkZskdsp#。（iv）Hpt，x：=n（Zs）t≤s≤T、 研发部-值，Ft，xt-可预测，kZkHpt<+∞o、 kZkpHpt，x：=EPt，x“ZTtkZskdsp#。3.2任何BSD的弱配方和强配方（t，x）∈ [0，T]×C，我们要解K-带生成器0和终端条件Ut、x的约束BSDEXt，x, 也就是说，我们想找到一对（Yt，x，Zt，x）∈ St×HtsuchYt，x·≥ Ut，xXt，x-ZT·ZT、xs·dBts、Pt- a、 s。

（3.1）（（σt，xs）)-1.Xt，xZt、xs∈ Ks，ds dPt公司- a、 e.，（3.2），如果有另一对（eYt，x，eZt，x）∈ St×Ht满足（3.1）和（3.2），那么我们有Yt，x≤eYt，x，Pt- a、 当它存在时，这对（Yt，x，Zt，x）被称为K的最小解-约束BSDE。对于我们来说，查看受约束BSDE的弱版本也很重要，其中对于任何（t，x）∈ [0，T]×C，我们现在寻找一对（Yt，x，Zt，x）∈ St，x×Ht，x短T，x·≥ Ut，xBt，xt-ZT·ZT、xs·dWt、xs、Pt、x- a、 s.（3.3）（（σt，xs）)-1.Bt，xtZt、xs∈ Ks，ds dPt，x- a、 e.，（3.4），如果有另一对（eYt，x，eZt，x）∈ St，x×Ht，x满足（3.3）和（3.4），那么我们有y，x≤eYt，x，Pt，x- a、 在详细说明确保上述方程存在最小解的条件之前，我们将首先花一些时间解释我们的主要结果，并在下一节中概述其证明。3.3主要结果和证明示意图我们的主要结果明确了值函数v（以及vsing）与上一节介绍的弱和强公式中的约束BSDE之间存在的联系。定理3.2。假设2.1、2.3、3.3和3.4成立。然后，对于任何（T，x）∈ [0，T]×C，我们有v（T，x）=Yt，xt=Yt，xt。我们的证明策略受到了来自马尔可夫控制问题的观察的启发。当然，我们知道，在这种情况下，值函数v与具有梯度约束的变分不等式相关联，这只不过是相应的Hamilton–Jacobi–Bellman方程（参见Fleming和Soner【24，第八章】）。此外，彭和徐的工作【37】证明了马尔可夫Z-受约束的BSDE自然与具有梯度约束的特定类型的变分不等式的粘性解相关联。

因此，如果这两个对象都解相同的偏微分方程，而后者有唯一的解，则它们必须重合。这里需要注意的是，在不考虑PDE的情况下，奇异控制问题和Z之间的链接b-受约束的BSDE远非显而易见。事实上，即使已知BSDEswith Z-约束有一个可以表示为奇异控制问题的值函数的解决方案（这是Cvitani'c和Karatzas[14]的开创性论文的关键之一），该控制问题有一个非常特殊的形式，尤其涉及所谓的Z训练集的支持函数（详见下文第6.2.1节）。因此，一般来说，像v这样的给定奇异控制问题没有理由是这种形式。事实上，对于这两个问题，即使是一组可接受的控制实际上也可能有所不同。bot控制问题与相同的PDE相关这一事实是该论点的基石，似乎没有任何直接的概率论证可以获得相同的结果。这种情况让人想起Bouchard[6]的观察结果，即在解决最优切换问题和带跳跃的随机目标问题时出现的偏微分方程是相同的，这激发了Elie和Kharroubi所证明的多维斜反射盲分离与带约束跳跃的一维盲分离之间的联系[22]，或者，哈鲁比（Kharroubi）和范（Pham）[34]证明的，具有约束跳跃的BSDE中标准控制问题的最新表示。接着讨论非马尔可夫案例似乎没有希望，因为上面描述的PDE论点不再可用。这实际上是PPDE理论发挥作用的地方，因为它为我们提供了上述Hamilton–Jacobi–Bellman方程的适当推广。

尽管如此，情况并没有那么简单，因为我们在非马尔可夫框架下感兴趣的具有梯度约束的路径依赖变分不等式理论并不存在。其原因主要是技术性的，并且源于相关的控制过程是无界的，这破坏了所需的关键紧性属性（我们请读者参阅关于该主题的开创性论文【17、18、19、38、39、40】了解更多细节）。因此，我们的证明策略如下：（i）首先，我们近似值函数v和Z-使用有界控件按其版本约束BSDE，并确保近似值确实收敛。（ii）使用PPDE理论证明，前一步的两个近似值都是s-ame PPDE的粘度解，我们得到了唯一性结果。（三）过关结案。我们强调，即使近似收敛的证明是经典的，并且这些近似是适当PPDE的粘度解的证明比上述开创性论文中的证明稍微复杂一些，但我们的主要贡献并不在此。

这取决于我们通过PPDE理论来解决这个问题，这是一个全新的理论，并且与之前的文献不同，它证明了Z-约束BSDE与变分不等式相关联，这也是一个特殊奇异控制问题的Hamilton–Jacobi–Bellman方程，我们实际上从一般奇异控制问题开始，并证明它们总是与Z-受约束的BSDE。3.4受约束BSDE的适定性上述受约束BSDE已在文献中进行了研究，首先在[14]中进行了研究，然后在[36]中由彭进行了研究。然而，所有这些存在性结果都依赖于一个假设，即问题至少有一个解（不一定是最小解）。这迫使我们采用以下假设。假设3.3。对于每个（t，x）∈ [0，T]×C，存在一对（Yt，x，Zt，x）∈ St×Ht，因此，t，x·≥ Ut，xXt，x-ZT·ZT、xs·dBts、Pt- a、 s.，（（σt，xs）)-1.Xt，xZt、xs∈ Ks，ds dPt公司- a、 e.假设3.4。对于每个（t，x）∈ [0，T]×C，存在一对（Yt，x，Zt，x）∈ St，x×Ht，x短T，x·≥ Ut，xBt，xt-ZT·ZT、xs·dWt、xs、Pt、x- a、 s.，（（σt，xs）)-1.Bt，xtZt、xs∈ Ks，ds dPt，x- a、 e.备注3.5。这些假设只是表明确实有可能满足Z-约束以及求解BSDE。首次引入此类受限BSDE是为了确定投资组合约束下索赔的超级套期保值价格，该框架中的此类条件仅表明可以找到一种可接受的投资组合策略，该策略确实可以超级套期保值利息索赔。然后，我们立即从【14】中得出以下建议3.6。假设2.1、2.3、3.3和3。4保持。然后，k的最小解-约束BSDE（3.1）和（3.2）存在，我们有Yt定律，xunder Pt=Yt定律，xunder Pt，x证明。

我们只支持强公式，因为弱公式的论点完全相似。因为假设2.3和（2.3）清楚地表明，EPtUt，xXt，x< +∞, 这个结果是[14]中主要结果的中间结果。这样，法律上的平等就可以通过定义来明确。备注3。7.由于假设3.3和3.4相当含蓄，让我们讨论它们所适用的一些有效条件。例如，我们可以使用[14]中的假设7.1，其中指出如果存在常数C∈ R和a过程∈ Ht使得（（σt，xs）)-1.Xt，x^1s∈ Ks，dsdPt公司-a、 e.以及UT，x（Xt，x）≤ C+ZTtДs·dBts，Pt- a、 e.，（3.5）则假设3.3已满足。当然，可以为弱公式编写类似条件。还请注意，（3.5）适用于例如U有界的情况。最后，请注意，作为Blumenthal 0- 1定律和命题3.6，我们对每个（t，x）有以下等式∈ [0，T]×CYt，xt=Yt，xt。3.5受惩罚的BSD正如我们已经用（2.10）中定义的Vn近似值函数v一样，考虑K的近似值对我们很有用-上一节中介绍的受约束的BSDE。这实际上是一个众所周知的问题，已经出现在【14】中，可以通过考虑与K-受约束的BSDE。在这样做之前，我们需要介绍，对于任何（t，x）∈ [0，T]×C，映射ρ：q∈ Rd7-→ q+·1d（3.6），其中每个q：=（q，····，qd） ∈ 我们使用了符号：q+：=（q+，····，q+d）.根据假设2.1和2.3，我们可以确定任何（t、x、n）∈ [0，T]×C×N*, （Yt，x，n，Zt，x，n）∈St×hT是以下BSDEYt，x，n·=Ut，x的唯一解Xt，x+ZT·nρfsσt，xs-1.Xt，xZt、x、nsds公司-ZT·ZT，x，nsdBts，Pt- a、 s。

（3.7）请注意，存在性和唯一性适用于【20】中的结果，因为在假设2.1和2.3下，终端条件显然是平方可积的，生成器z 7-→ ρ（fs（（σt，x）)-1（Xt，x）z）在0处为空，且在z处一致Lipschitz连续（我们提醒读者σ-1f是有界的，因此其转置也是有界的）。或者，我们可以考虑弱公式中的惩罚BSDE t，x，n·=Ut，xBt，x+ZT·nρfs（（σt，xs）)-1.Bt，xZt、x、nsds公司-ZT·ZT，x，nsdWt，xs，Pt，x- a、 在假设2.1和2.3下，它也承认一个唯一的解决方案。然后我们得到以下classicalresult（参见[14]或[36]中的证明）。引理3.8。假设2.1、2.3、3.3和3.4成立。然后，对于任何（t，x）∈ [0，T]×CYt，x，ns↑n→+∞Yt、xs，对于任何s∈ 【t，t】，Pt- a、 美国和Yt，x- Yt，x，nHt公司-→n→+∞0，Yt，x，ns↑n→+∞Yt、xs，对于任何s∈ [t，t]，Pt，x- a、 美国和Yt，x- Yt，x，nHt，x-→n→+∞0.4定理3.2的证明本节的目的是证明表示v（t，x）=Yt，xt=Yt，xt，for every（t，x）∈ [0，T]×C.为了证明这一结果，我们将证明（2.10）中定义的vn（T，x）和un（T，x）：=半线性路径相关PDE的Yt，x，nReviscoity解，比较结果成立。这意味着vn（t，x）=un（t，x），当n达到极限时，通过传递到极限即可获得所需的结果+∞ , 参见引理2.6和3.8.4.1 PPDES速成班在本节中，我们密切关注[38]，介绍定义路径相关偏微分方程粘度解所需的所有概念。让我们从我们将要考虑的规律性概念开始。定义4.1。

（i） 对于任何（t、x、ex）∈ [0，T]×C×Ct，任意s∈ [t，t]和任意d≥ 我们说anRd-C中的有值过程u on（λt，xt，Ft，xt，oT）[s，T]×λs，（x德克萨斯州南部，Rd当它与距离连续时∞, 也就是说，对于任何ε>0，对于任何（r，r，x，x）∈ [s，T]×Cs×Cs，存在δ>0，如果d∞（（r，x），（r，x））≤ δ==>美国，ex（r，x）- 美国，ex（r，x）≤ ε。（ii）对于任何（t，x，ex）∈ [0，T]×C×C和任意s∈ [t，t]，我们说-有值过程u on（λt，xt，Ft，xt，oT）属于C1,2[s，T]×λs，（xtex）s如果u∈ C[s，T]×λs，（xtex）s，R如果存在（Z，Γ）∈ C[t，t]×t，xt，Rd×C[t，t]×t，xt，R这样我们，exz- us（ex）=ZzsΓs，exrdr+ZZSZ，exr·dBs，（xtex）sr，z∈ [s，T]，Ps，（x德克萨斯州）- a、 然后，我们表示si mplicity和anyex∈ C和任何s∈ [t，t]，Lt，xu（s，ex）：=Γs（ex），Du（s，ex）：=（（σt，xs（ex））)-1Zs（ex）。然后让我们表示，对于任何（t，x）∈ [0，T]×C，通过Tt，xt Ft，xt，o的集合-停车时间取数值in[t，t]，由Tt，x+Tt，x的子集组成，其中停车时间取数值in（t，t），对于anyH∈ Tt，x，by Tt，xHand Tt，xH，+，Tt，xcon的子集，其中停车时间分别取[t，H]和（t，H）中的值。接下来，我们定义≥ 1Pt，x，N：=Pt，xν，ν∈ Ut，N,Mt，x，N：=（Q s.t.dQdPt，x=EZTtbsdWt，xs, b、 英尺，xt-可预测的s.t。

kbk公司∞≤ N） 。对于任何（t，x）∈ [0，T]×C，对于任何w∈ C[0，T]×∧0，x，R, 现在，我们定义了w asAnw（t，x）的测试函数集：=^1∈ C1,2（[t，t]×∧t，xt），0=^1- 重量，x（t，xt）>Ent^1-重量，x·, Bt，xtτ∧H对于一些H∈ 所有τ的Tt、xand∈ Tt，xH，+o，Anw（t，x）：=^1∈ C1,2（[t，t]×∧t，xt），0=^1- 重量，x（t，xt）<Ent^1-重量，x·, Bt，xtτ∧H对于一些H∈ 所有τ的Tt、xand∈ Tt，xH，+o，其中所有Ft，xtT-可测量ξ，使以下量为单位[ξ]：=supQ∈Mt，x，\'nEQ[ξ]，Ent[ξ]：=infQ∈Mt，x，\'nEQ[ξ]，其中\'n：=n√d最大值1.σ-1f层.最后，我们定义了每个（t、x、ν）∈ [0，T]×C×C1,2[t，t]×t，xt以下PPDE- Lt，xИ（t，xt）- nρftDД（t，xt）= 0.（4.1）定义4.2。修复som e x∈ Rdand让u∈ C[0，T]×∧0，x，R. 我们说（i）u是PPDE（4.1）的粘度子溶液，如果有（t，x，ν）∈ [0，T）×C×Anu（T，x）-Lt，xИ（t，xt）- nρftDД（t，xt）≤ 0.（ii）u i是PPDE（4.1）的粘度超级溶液，如果有（t，x，Д）∈ [0，T）×C×Anu（T，x）-Lt，xа（t，xt）- nρftDД（t，xt）≥ 0.（iii）u是PPDE（4.1）的粘度溶液，如果它既是亚溶液又是超溶液。我们将以以下结果结束本节，这些结果将有助于价值函数的PPDE推导。技术证明推迟到附录中。引理4.3。对于所有（t，x）∈ [0，T]×Candτ∈ Tt，x+我们有[τ- t] >0.4.2主要结果首先从将近似值函数和BSDE与PPDE 4.1联系起来开始。请注意，尽管使用的参数是经典的，但由于我们只假设局部Lipschitz（系数的连续性），因此我们的估计更为复杂。提案4.4。在假设2.1、2.3、3.3和3.4下，vnand un（t，x）：=Yt，x，nt=Yt，x，n PPDE（4.1）的修正解。立即定义，对于任何x∈ C、 C的以下子集[0，T]×λ0，xC[0，T]×λ0，x:=如新大学∈ C[0，T]×λ0，x, s、 t。