一类路径相关奇异随机控制问题

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英文标题：
《On a class of path-dependent singular stochastic control problems》
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作者：
Romuald Elie and Ludovic Moreau and Dylan Possama\\\"i
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  This paper studies a class of non$-$Markovian singular stochastic control problems, for which we provide a novel probabilistic representation. The solution of such control problem is proved to identify with the solution of a $Z-$constrained BSDE, with dynamics associated to a non singular underlying forward process. Due to the non$-$Markovian environment, our main argumentation relies on the use of comparison arguments for path dependent PDEs. Our representation allows in particular to quantify the regularity of the solution to the singular stochastic control problem in terms of the space and time initial data. Our framework also extends to the consideration of degenerate diffusions, leading to the representation of the solution as the infimum of solutions to $Z-$constrained BSDEs. As an application, we study the utility maximisation problem with transaction costs for non$-$Markovian dynamics.
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中文摘要：
研究了一类非$-$马尔可夫奇异随机控制问题，给出了一种新的概率表示。证明了该控制问题的解与$Z-$约束BSDE的解是一致的，其动力学与非奇异的潜在正向过程有关。由于非$-$马尔可夫环境，我们的主要论证依赖于对路径相关偏微分方程使用比较参数。我们的表示特别允许根据空间和时间初始数据量化奇异随机控制问题解的规律性。我们的框架还扩展到退化扩散的考虑，导致将解表示为$Z-$约束BSDE解的下确界。作为一个应用，我们研究了非$-$马尔可夫动态下具有交易费用的效用最大化问题。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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关键词：控制问题 随机控制 Presentation Mathematical Quantitative

一类路径相关奇异随机控制问题Romuald-Elie*Ludovic Moreau+Dylan Possama"i2018年2月27日摘要本文研究了一类非马尔可夫奇异随机控制问题，为其提供了一种新的概率表示。证明了该控制问题的解与a Z的解是一致的-受约束的BSDE，其动力学与非奇异下垫前向过程相关。由于非马尔可夫环境，我们的主要论证依赖于对路径相关偏微分方程使用比较参数。我们的表示特别允许根据空间和时间初始数据来确定奇异随机控制问题解的正则性。我们的框架还扩展到对退化差异的考虑，从而将解表示为Z的解的上限-受约束的BSDE。作为一个应用，我们研究了非马尔可夫动态下具有交易成本的效用最大化问题。关键词：奇异控制，约束BSDE，路径相关偏微分方程，粘性解，交易成本，规则性。1简介Cherno ff[12]和Bather及Cherno ff[2，1]发起的奇异随机问题研究涉及大量文献，主要是因为其在经济学或数学中的广泛应用。这尤其包括众所周知的单调跟随者问题，例如，参见Karatzas【30】，与最优投资问题相关的realoptions决策建模，参见Davis、Dempster、Sethi和Vermes【15】，Dynkin games，参见Karatzas和Wang【33】或Boetius【4】，最优停止问题，参见Karatzasand Shreve【31，32】，Boetius和Kohlmann【5】，或Benth和Reikvam【3】，以及最优切换问题，参见Guo和Tomecek【25】。

对于所有这些问题，感兴趣的问题自然是以有限变量的奇异控制问题的形式建模的。在这些丰富的文献中，很少有研究在非马尔可夫框架下考虑这类问题，这是相当令人惊讶的。他的论文的目的之一就是试图填补这一空白。在马尔可夫环境中，尼斯奇异随机控制问题的解通常表现为变分不等式的唯一弱解，其中动力学的线性部分与解的梯度约束相结合。例如，当Jeanblanc Picqué和Shiryaev在连续时间内为一家公司的股息流量优化建模时【28】，*巴黎大学（UniversitéParis）–Est Marne–la–Vallée，romuald。elie@univ-mlv。fr.作者衷心感谢ANR项目Pacman，ANR-16-CE05-0027的支持。+哦，卢多维奇。moreau@fr.ey.com.巴黎大学-巴黎理工大学多芬分校，法国巴黎塞雷梅德CNRS，75016，possamai@ceremade.dauphine.fr.作者非常感谢ANR项目Pacman（ANR-16-CE05-0027）的支持。我们在完成这篇论文时了解到，Bouchard、Cheridito和Hu【7】正在研究类似的问题。他们的准备工作将涉及更一般的受控SDE，其中（2.1）中的f项将允许依赖于状态过程。然而，他们的证明方法将纯粹是概率的，因此与我们的方法完全不同。此外，他们的方法不会先验地考虑退化差异。最优奇异行为将支付股息视为一种趋势，因为潜在财富过程具有自由边界，其中价值函数的梯度达到其上限值1。

这个例子很自然地表明了奇异随机控制问题和具有梯度约束的随机过程之间的联系，以及更精确地说，具有增益过程约束的倒向随机微分方程（BSDE），如Cvitani'c、Karatzas和Soner所介绍的【14】。引入此类方程的主要初始动机是对具有投资组合约束的债权进行超级套期保值。我们在本文中建立了这样的盲源分离问题的解为奇异随机控制问题的解提供了一个很好的概率表示。更准确地说，感兴趣的非马尔可夫随机控制问题的形式如下：（t，x）7-→ SUP公司∈UtsingEPt公司Ux个tXt、x、K, 0≤ t型≤ T、 其中，utsing表示多维cádlág非递减Ft的集合-适用于p的0和Lp中的流程说明≥ 1.受控基础过程X具有以下非马尔可夫奇异动态xt，X，K=X（t）+Z·tut，xsXt、x、Kds+Z·tfsdKs+Z·tσt，xsXt、x、KDBT，其中u和σ是满足通常条件的函数图，详见下面的假设2.1。通过密度参数，值得注意的是，我们还可以简化为对绝对连续控制的子集取上确界。我们也可以考虑这种控制问题的弱版本。在一个非常合适的Girsanov型概率变换之后，我们将vsing（t，x）重写为一种类似于终端奖励的面部提升型变换的形式。因此，这提供了vsing（t，x）表示后面的直觉，作为带Z的BSDE的解决方案- 限制施加在被积函数过程Z上的凸约束由方向f导出，并通过凸集kt表示：=nq∈ Rds。t、 （f）tq）·ei≤ 0代表所有i∈ {1。

，d}o。对于任何时间t，我们验证vsing（t，x）标识为Yt，x，其中（Yt，x，Zt，x）是约束BSDEYt，x的最小解·≥ Ut，xXt，x-ZT·ZT，xs·dBts，（（σt，xs）)-1.Xt，xZt、xs∈ 堪萨斯州。证明路线依赖于观察结果，即奇异问题和BSDE的惩罚版本都是同一路径依赖偏微分方程（简称PPDE）的解，我们能够提供一个比较定理。据我们所知，这是首次引入路径相关偏微分方程粘性解理论（见Ekren、Keller、Ren、Touzi和Zhang的著作[17、18、19、38、39、40]）来证明这种表述。尽管这些想法让人想起了我们在马尔可夫案例中可能采用的方法（例如，参见Peng和Xu[37]f或通过带约束的BSDE对经典变分不等式的概率解释），但我们相信，在非马尔可夫环境中成功地使用它将打开PPDE理论许多新潜在应用的大门。我们研究这种奇异随机控制问题的主要动机是投资者在一个既有交易成本又有非马尔可夫动力学的市场中所面临的效用最大化问题。从应用的角度来看，具有非马尔可夫动力学可以被视为一种非常重要的影响，例如，这种情况包括随机波动率模型。然而，在这样的框架中，我们之前的表述并不直接适用，因为它需要X的扩散矩阵的非简并性，并且由于交易成本，财富的动态需要被视为由一维噪声驱动的二维随机过程。因此，我们扩展了我们的代表性，以包括退化波动系数。

我们的证明依赖于具有凸序序参数的紧性性质，如Pagès[35]所示。在这种退化背景下，奇异控制问题的解与约束BSDE族的最小值一致。作为副产品，BSDE解的vsingin项的概率表示允许导出奇异随机控制问题的敏感性质。首先，它自动为此类问题提供了动态编程原则。第二，这种表示允许我们量化初始数据点项中的VSING规则性。我们观察到空间中的vsingis Lipschitz以及1/2-霍尔德在时间上是连续的。对于奇异控制问题，获得这样的结果通常是一项非常艰巨的任务（例如，请参见[11，第4.2节]中的讨论），我们的方法可能是一种潜在且有前景的解决方案。本文的结构如下：第2节介绍了一类有趣的奇异控制问题，并推导了替代的数学表示。第3节介绍了相应的约束BSDE表示。第4节通过路径相关PDE参数导出了连接。第5节讨论了退化波动率的考虑以及交易成本示例。最后，第6节介绍了表示在动态编程和解的正则性方面的应用。注释：对于任何d∈ N \\{0}，对于每个向量x∈ Rd，我们将用xi表示其条目，1≤ 我≤d、 对于任何p≥ l和（xl，xl+1，…，xp）∈ （Rd）p-l+1，我们有时也会使用符号xl:p：=（xl，xl+1，…，xp）。2奇异控制问题2.1预备工作我们在论文中确定了时间范围T>0。

对于任何（t，x）∈ [0，T]×Rd，我们用∧T，x表示[0，T]上连续函数x的空间，满足xt=x，Bt，x相应的正则过程和Ft，x，o：=（Ft，x，os）T≤s≤t Bt，x的（原始）自然过滤。对于一致收敛的拓扑，σ-代数Ft，x，ot与∧t，x上的Borelσ-代数重合是经典结果。当x=0时，我们将通过设置Ohmt： =λt，0，Ohm := Ohm, Bt：=Bt，0，B：=B，Ft，o：=Ft，0，oa和Fo：=F0，o。此外，我们将用cts表示[t，t]上连续函数的空间，而不参考它们在时间t上的值。此外，ptx将表示（λt，x，Ft，x，oT）上的维纳测度，这是这个s空间上的唯一测度，它使得规范过程Bt，xa在[t，t]上的布朗运动，从时间t的x开始。我们通常会在测量值Ptx之后使用Ft，x的完整自然过滤，我们表示Ft，x：=（Ft，xs）t≤s≤T、 我们再次通过设置Ft:=Ft、0和F:=F来简化符号，并强调所有这些过滤都满足完整性和正确连续性的通常假设。对于任何t∈ [0，T]，任何s∈ [t，t]和任意x∈ Ct，我们将滥用符号并表示KXK∞,s： =支持≤u≤skxuk，其中k·k是Rd上通常的欧几里德范数，当d=1时，我们简单地用|···。此外，RDI上通常的内积表示为x·y，对于任何（x，y）∈ Rd×Rd.对于任何（t，s）∈ [0，T]×[T，T]和任意x∈ Ct，我们定义xs∈ Csbyxs（r）：=x（r），r∈ [s，T]。我们还定义了连续路径上的以下串联操作。对于任何0≤ t<t′≤ s≤ T，对于任意（x，x′）∈ Rd×Rd和任意（x，x′）∈ ∧t，x×∧t′，x′，我们让xsx′型∈ ∧t，x定义为（xsx′（r）：=x（r）1t≤r≤s+x′（r）+x（s）- x′（s）s<r≤T、 让我们考虑一些（T，x，s，x）∈ [0，T]×Rd×[T，T]×Ct。为了简单起见，我们还将用x表示Sx在[0，T]上等于x的常数路径与x之间的串联。

也就是说，对于任何mapg：[0，T]×Cand对于任何（T，x）∈ [0，T]×C，我们将用gt表示，x从[T，T]×gt定义的映射，x（s，x′）：=g（s，xtx′）。此外，我们还使用以下（伪）距离，为任何（t，t′，s，s′）定义∈ [0，T]，任意（x，x′）∈Rd×Rd和任意（x，x′）∈ ∧s，x×∧s′，x′比亚迪∞（t，x），（t′，x′）:=p | t′- t |+sup0≤r≤T（十）sx）（r∧ t）- （x′）s′x′（r）∧ t′）.2.2控制问题的第一个版本我们将考虑的第一组控制过程是典型的奇异随机控制。更准确地说，我们定义：=n（Ks）t≤s≤T、 它们是cádlág，Rd值，Ft适应，T处为空，具有非递减条目，对于任何p≥ 1，EKpT公司< +∞.我们接下来考虑以下映射u：[0，T]×C7-→ Rd和σ：[0，T]×C7-→ Sd，其中Sd是d×d矩阵的集合（我们赋予了与k·k相关的算子范数，为了简单起见，westill表示k·k）以及有界映射f：[0，T]7-→ Sd。以下假设将在本文假设2.1中始终有效。

（i） 映射u和σ是逐步可测量的，因为对于任何（x，x′）∈C×C和任意t∈ [0，T]，对于φ=u，σx（s）=x′（s），对于所有s∈ [0，t]=> Д（s，x）=Д（s，x′），对于所有s∈ [0，t]。（ii）u和σ在x中呈线性增长，在t中呈单式增长，即存在一个常数C>0，使得forevery（t，x）∈ [0，T]×CkuT（x）k+kσT（x）k≤ C1+kxk∞,t型.（iii）u和σ在x中均匀L ipschitz连续，即存在一个常数C>0，使得对于任何（t，x，x′）∈ [0，T]×C×Cwe有ut（x）- ut（x′）+σt（x）- σt（x′）≤ Cx个- x′∞,t、 （iv）对于任何（t，x）∈ [0，T]×C，σT（x）是可逆矩阵，矩阵σ-1t（x）f i在（t，x）中一致有界。对于任何（t，x）∈ [0，T]×C和K∈ 我们用Xt，x和Xt，x，k分别表示(Ohmt、 Ft，oT，Pt）的以下SDE（假设2.1下的存在性和唯一性是经典结果，可在[27]中找到，参见定理14.18和14.21）Xt，x=x（t）+Z·tut，xsXt，xds+Z·tσt，xsXt，xdBts，Pt- a、 s.，（2.1）Xt，x，K=x（t）+Z·tut，xsXt、x、Kds+Z·tfsdKs+Z·tσt，xsXt、x、KdBts，Pt- a、 根据假设2.1和非马尔可夫SDE的标准估计，我们有以下lemmaLemma 2.2。对于所有p≥ 2，Cp>0，仅取决于假设2.1中的p，T和常数C，因此对于所有（T，T′；x，x′；K，K′）∈ [0，T]×[T，T]×∧×（Utsing）EPt支持≤s≤t′型Xt、x、Ks- x（t）p≤ Cp公司（t′）- t）1+kxkp∞,t型+1+（t′）-t）EPt公司kKt′型- Ktkp公司, （2.2）EPt支持≤s≤TXt、x、Ksp≤ Cp公司1+kxkp∞,t+EPtkKT公司- Ktkp公司, （2.3）EPt支持≤s≤TXt、x、Ks- Xt，x′，K′sp≤ Cp公司x个- x′p∞,t+EPtZTtd公司堪萨斯州- K’sp. （2.4）我们感兴趣的随机控制问题是thenvsing（t，x）：=supK∈UtsingEPt公司Ux个tXt、x、K, （2.5）其中奖励函数U:C-→ 假设R满足假设2.3。

对于任意（x，x′）∈ C×C，我们有s om e C>0和一些r≥ 0U（x）- U（x′）≤ Cx个- x′∞,T1+kxkr∞,T型+x′r∞,T.请注意，从（2.3）中可以清楚地看出，在假设2.3下，我们有vsing（t，x）< +∞, 对于任何（t，x）∈ [0，T]×C.2.3问题的简化和重新表述本节的目标是首先解释我们如何在不丧失普遍性的情况下，将注意力限制在vsing定义中的绝对连续控制过程，然后对这个简化问题提出两种有用的重新表述。让我们考虑一下∈ [0，T]UTSING的以下子集，包括相对于[T，T]Ut上的Lebesgue测度绝对连续的控件：=nK∈ Utsing，Ks=Zstνrdr，Pt- a、 s.，带（νs）t≤s≤T、 英尺-可预测和（R+）d-valuedo。对于任何K∈ 但是，我们更容易考虑我们定义的相应过程ν，s o：=（νs）t≤s≤T、 （R+）d-价值，英尺-可预测和s.t.EPtZTtνsdsp< +∞, p≥ 1..然后，对于任何（t，x）∈ [0，T]×Candν∈ Ut，我们用Xt，x，ν表示(Ohmt、 Ft，oT，Pt）以下数据的x，ν=x（t）+Z·tut，xsXt，x，νds+Z·tfsνsds+Z·tσt，xsXt，x，νdBts，Pt- a、 s.（2.6）然后我们可以定义nev（t，x）：=supν∈UtEPt公司Ux个tXt，x，ν. （2.7）我们的下一步是为控制问题v引入所谓的弱公式。这基本上归结为使用Girsanov定理，引入与Ut中控制过程的pT和诱导等效的概率度量，并最大化这些度量。更准确地说，对于任何（t，x）∈ [0，T]×Candν∈ 我们现在确定以下Pt-等效测量pt，x，νdPt=EZ·t（σt，xs）-1.Xt，xfsνs·dBts.控制问题（2.7）的弱公式定义为Vweak（t，x）：=supν∈UtEPt，x，νUt，xXt，x, 对于任何（t，x）∈ [0，T]×C。