一类路径相关奇异随机控制问题

对于任何（t，ex）∈ [0，T]×C，ut，xis时间连续Pt，ex- a、 美国、ut、ex∈ St，exo。现在，我们回顾一下[38]中的以下比较定理（见其定理4.1），该定理适用于我们的上下文。定理4.5（[38]）。让u，v在C中[0，T]×λ0，x分别为PPDE（4.1）的粘度亚溶液和超溶液。如果u（T，·）≤ v（T，·），然后u≤ 根据命题4.4，我们知道，对于每n≥ 1、PPDE的VN和unare粘度溶液（4.1）。因为我们所有的估计都清楚，vn，un∈ C[0，T]×λ0，x, 由于vn（T，·）=un（T，·），根据定理4.5，我们推导出vn（T，x）=Yt，x，nt=Yt，x，nt。通过引理2.6和3.8，可以让n+∞ 为了总结定理3.2.5对退化微分ns5.1的扩展证明，前一节的设置结果基本上基于微分矩阵σ的非退化性。我们在这里的主要目的是将我们的一般表示扩展到允许σ退化的情况。正如稍后将要明确的那样，我们将考虑的简并度类型将相当特殊，但它将特别适合我们所考虑的应用。在得到statingour结果之前，我们需要引入一些符号。对于每n∈ N \\{0}和任何t∈ [0，T]，我们考虑区间[T，T]的{tt，nk:=T+k（T-t） n个-1，k=0，n}。我们还定义了每个0≤ k≤ n和每隔（s，x0:k）∈ [t，t]×（Rd）k+1，线性插值器ik：（Rd）k+1-→ Cbyik（x0:k）（s）=nT- tk公司-1Xi=0（tt，ni+1- s） xi+（s- tt，ni）xi+1[tt，ni，tt，ni+1]（s）。我们的主要假设现在变成了消费5.1。

假设2.1（i），（ii），（iii）保持和（iv′）对于y p>0，存在渐进可测映射ηp:[0，T]×C-→ R-对于线性增长，即存在一些C>0，因此0≤ -ηpt（x）≤ C（1+kxk∞,t） ，和确定性映射M：[0，t]-→ Sd，使得MTI对于每个t∈ [0，T]，贴图x 7-→ ηpt（x）每t为凹形∈ [0，T]，序列（ηp）p≥0是非递减的，对于任何p≥ 0和任意（t，x）∈ [0，T]×C，矩阵σηpt（x）是可逆矩阵，使得（σηpt）-1（x）fis一致有界于（t，x），其中σηpt（x）：=ηpt（x）Mt+σt（x）。（v） 矩阵Mtσt（x）+σt（x）Mtis对称负，对于每个（t，x）∈ [0，T]×C.（vi）映射U，u和σ是凹的，并且对于每n≥ 1和0≤ k≤ n- 1，对于每（t，x）∈ [0，T]×C，每{（αi，j，βi，j，γi，j）∈ Rd×R*+×Rd，1≤ 我≤ n- k、 0个≤ j≤ n- k} ，和每隔（x0:k，~x，~y，λ）∈研发部k+1×Ct×Ct×[0，1]，我们有在里面x0:k-1，wλ（～x，～y；0，0），Xi=0wλ（～x，～y；i，1），n-kXi=0wλ（￠x，y；i，n- k）≥ U在里面x0:k-1，zλ（～x，y；0，0），Xi=0zλ（～x，y；i，1），n-kXi=0zλ（￠x，y；i，n- k）式中，Wλ（x，~y；i），l) := αi，l+ βi，lut，xtt，nk-1+i（λ▄x+（1- λ） y）+ηt，xtt，nk-1+iMtt，nk-1+i+σt，xtt，nk-1+1（λИx+（1- λ） y）γi，l,zλ（￠x，￠y；i，l) := αi，l+ βi，lλut，xtt，nk-1+i（~x）+（1- λ） ut，xtt，nk-1+i（▄y）+ γi，lληt，xtt，nk-1+iMtt，nk-1+i+σt，xtt，nk-1+1（￠x）+γi，l（1）- λ）ηt，xtt，nk-1+iMtt，nk-1+i+σt，xtt，nk-1+1（y）备注5.2。这一假设值得一定数量的评论（iv′）是为了确保退化矩阵σ在合适的情况下变得可逆。当然，我们这里的最终目标是假设ηpConverge为0，并将退化扩散近似为问题的解作为相应的极限。

我们还强调，这一假设尤其意味着对于任何（t，x）∈ [0，T]×C和任意p≥ p′σηpt（x）- σηp′t（x）=（ηpt（x）- ηp′t（x））Mt，它是一个对称的正矩阵。因此，s等式σηpis是非递减f或对称正矩阵的通常阶（v） 和（v i）实际上主要是这样，下面引理C.1的结果对于涉及U的某个函数f成立（见下面命题C.2的证明）。由于两个原因，它们采取了一种特别复杂的形式。首先，我们的设置是完全非马尔可夫的，其次，它也是多维的。实际上，如果d=1和x 7，可以直接检查-→ σt（x）是线性的，那么我们只需要假设u是凹的，f不递减，以保持下面的（C.1）不变。类似地，（vi）是关于U、u和σ的某种凹性假设。事实上，如果d=1，并且U是马尔可夫的，那么（vi）保持的有效条件是U是非递减的，u是凹的，σ和η是线性的。我们在这里的证明策略是首先获得一个关于参数p的单调性结果，以解决我们的控制问题，即微分系数σp。这样的结果将基于凸序型参数。更准确地说，我们遵循Pagès[35]所述的策略，通过在离散时间环境中证明结果，这就是命题C.2，然后可以通过弱收敛参数将其扩展到连续时间。虽然证明策略与[35]中的相同，但我们的证明更为复杂，主要是因为与[35]中不同，我们的框架是富利农-马尔可夫和多维的。我们请读者参阅附录以了解详细信息。我们的主要结果是，对于退化波动率，奇异随机控制问题可以表示为约束BSDE解的一个界。定理5.3。

让假设2.3、3.3、3.4和5.1保持不变，用σp代替σ，并假设额外的atsup（t，x）∈[0，T]×C |ηpt（x）|-→p→+∞那么，我们有v（t，x）=跛行→+∞↑ vp（t，x）=supp>0vp（t，x）=supp>0Yt，x，pt=supp>0Yt，x，pt，其中Yt，x，pand Yt，x，定义为Yt，x和Yt，x，用σ销代替σ。证据由于σpsatis通过定理3.2和命题C.3证明了所有必要的假设，因此我们必须证明的唯一性质是第一个。但这是DES的经典估计和ηp的一致收敛的简单结果。备注5.4。我们刚刚得到的表示涉及约束BSDE的解的上确界。从形式上讲，这样一个物体在精神上接近于所谓的约束二阶BSDE，正如Fabre在她的博士论文中所介绍的那样【23】。实际上，p上的上确界可以看作是一系列概率测度的上确界，例如在这些测度下，正则过程与连续鞅具有相同的性质，其二次变化具有密度σp（σp）. 严格证明这种关系是一个非常有趣的问题，但这超出了本文的范围。5.2非马尔可夫动态的交易成本s效用最大化5.2.1 setupFix d=3。我们在此考虑一个金融市场，其中不确定性将由基础布朗运动的第三个组成部分驱动，即任何（t，x）∈ [0，T]×CXt，x，3s：=xt+Bt，3s，s∈ [t，t]。该市场包含两项交易资产。

一个是无风险的as集合，对应于一个银行账户，其值是给定的，对于任何（t，x）∈ [0，T]×C，bySt，xs=xt+Zstrt，xuXt、x、3u南纬徐都街∈ [t，t]，其中r是有界渐进可测映射，表示市场上的非马尔可夫利率。第二种资产是一种风险资产，其价值是给定的，对于任何（t，x）∈ [0，T]×C，bySt，xs=ZstSt，xumt，xuXt、x、3udu+ZstSt，xu∑t，xuXt、x、3udBt，3u，s∈ [t，t]，其中m和∑是有界的渐进可测映射，分别表示资产St，x的收益漂移和波动性。我们假设这两个映射在假设5.1（iii）的意义上也是Lipschitz–continuous。投资者可以进入市场，但他进行的涉及风险资产的每一笔交易的成本都与买卖的资产数量成比例，由固定常数λ>0给出（有关更多详细信息和参考，请参见[16，41]）。对于任何t∈ [0，T]，我们在timet之后通过进程K跟踪他的事务∈ 在某种意义上，Kand Krecord分别记录了从风险资产到非风险资产以及从非风险资产到风险资产的交易。由于命题2.4，我们立即将注意力限制在过程K上∈ Ut。

然后，f或任意ν∈ Ut，如果Xt，x，ν，1代表自时间t以来投资者投资于非风险资产的总金额，而Xx，ν，2代表投资于风险资产的总金额，我们立即Xt，x，ν，1s=Xt+Zstrt，xuXt，x，ν，3sXt、x、ν、1udu+Zstνu- （1+λ）νudu，Xt，x，ν，2s=Xt+ZstXt，x，ν，2umt，xuXt，x，ν，3udu+∑t，xuXt，x，ν，3udBt，3u+Zst公司νu- （1+λ）νu杜。在此表格下，我们的一般参数由F给出：=1.-（1+λ）0-（1+λ）1 00 0 0, ut（x）：=rt（x）xtmt（x）xt, σt（x）：=0 0 0 0 0∑t（x）xt0 0 1.投资者的目标是最大化其终端财富的效用，以清算价值表示（意味着在时间T持有的资产必须清算，这会产生最终交易成本），并由以下映射UU（x）=：U（x，l（xT，xT）），其中所谓的清算功能l 定义人l（x，y）：=x+y+1+λ-（1+λ）y-, （x，y）∈ R、 图U被认为是一个（随机）效用函数，相对于第二个变量，它是递增的且严格凹的，以及局部Lipschitz–与多项式增长连续，因此满足假设2.3。因此，投资者的价值函数由v（t，x）=supν给出∈UtEPt公司Ux个tXt，x，ν，3，lXt，x，ν，1T，Xt，x，ν，2T. （5.1）由于σ显然不可逆，我们将通过在上述两个方程中添加一些噪声来扰动上述动力学。

更准确地说，我们定义了任何p>0Xt，x，ν，p，1s=Xt+Zstrt，xuXt，x，ν，p，3sXt、x、ν、p、1udu-pBt，1s+Zstνu- （1+λ）νudu，Xt，x，ν，p，2s=Xt+ZstXt，x，ν，p，2umt，xuXt，x，ν，p，3udu+∑t，xuXt，x，ν，p，3udBt，3u+Zst公司νu- （1+λ）νu杜邦-pBt，2s，Xt，x，ν，p，3s=Xt，x，3s。仍然使用我们的符号，这对应于ηpt（x）=-p、 机器翻译：=1 00 1 00 0.然后注意（σpt）-1（x）=-p 0 00-p pσSt（x）xt0 0 1, Mtσt（x）=0 0 00 0 00 0 0, 和（σpt）-1（x）f=-pf，从而满足假设5.1（iv’），（v）。5.2.2结果我们将实际使用定理5.3中证明的结果，有条件地使用Xt，x，ν，p，3（也就是说，我们考虑σ（Xt，x，ν，p，3s，t≤ s≤ T）而不是简单的期望）。在这种情况下，我们所有的论点都能通过，这很容易被证实。此外，Xt，x，ν，p，1和Xt，x，ν，p，2动力学中的漂移和波动性（有条件地）成线性。然后，记住上面的备注5.2，我们知道（有条件地）假设5.1（vi）也可以满足。请注意，在这种情况下，可以读取约束-pfZt、x、ps∈ Ks，dt×dP- a、 e.，根据K的定义，由于p>0，实际上等于-fZt、x、ps∈ 堪萨斯州。我们的这一部分的主要结果是Orem 5.5。有限期限内效用最大化问题的价值函数，比例交易成本（5.1）满足V（t，x）=supp>0Yt，x，pt，其中（Yt，x，p，Zt，x，p）是Z-约束BSDEYt，x，p·≥ Ux个tXt，x，p，3，lXt，x，p，1T，Xt，x，p，2T-ZT·ZT、x、ps·dBts、Pt- a、 s。，-f Zt、x、ps∈ Ks，ds dPt公司- a、 e.备注5.6。请注意，值函数的BSDE表示形式仅取决于终端条件中的参数。标准估计意味着该终端条件将inLp（Pt）收敛到Ux个tXt、x、3、，lXt，x，1T，Xt，x，2T.

使用约束BSDE的稳定性结果，与下一节中证明的结果类似，我们合理地预期Yt，x，Pt将收敛到Yt，x，其中（Yt，x，Zt，x）是Z的最小解-约束BSDEYt，x·≥ Ux个tXt、x、3、，lXt，x，1T，Xt，x，2T-ZT·ZT、xs·dBts、Pt- a、 s。，-fZt、xs∈ Ks，ds dPt公司-a、 然而，严格证明这一点超出了本文的范围。据我们所知，这样的结果在文献中是全新的，甚至在马尔可夫案例中也是如此。此外，正如最近的论文[29]所指出的，实际上从未使用随机控制和PDE工具研究过非马尔可夫情况，文献中唯一的方法是凸对偶。因此，我们相信，我们的方法迈出了解决这一难题的第一步。尽管如此，让我们指出我们方法中的一个差距。如果我们想完全覆盖交易成本问题，我们应该在原来的随机控制问题中添加状态约束。事实上，这些都是交易成本问题所固有的，以避免破产问题（尽管在时间范围有限的情况下，这实际上是一个较小的问题，如我们的情况）。我们选择不这样做，以免使我们的论点更加复杂，但我们相信，它们也可以在这种情况下使用，尽管有可能进行重要的修改。

特别是，当存在状态约束时，我们所使用的完全动态规划原理在文献中似乎没有在这样一个一般框架中得到证明（参见[9，10]），并且还不完全清楚在什么意义上VSING和v之间的相等性将成立。6应用：单随机控制的DPP和正则性6.1动态规划原理在我们的所有研究中，我们从未实际证明动态规划原理实际上适用于定义v（或vsing）的奇异随机控制问题。然而，这是我们主要结果的一个简单结果。定理6.1。对于任何（t，x）∈ [0，T]×C，对于任何τ∈ t和任意θ∈ Tt，x，我们有v（t，x）=supν∈UtEPt公司v（τ，xtXt，x，ν）= supν∈UtEPt，xνv（θ，xtBt，xt）.证据这是惩罚BSDE（B.5）所满足的动态规划原则以及惩罚BSDE收敛到约束BSDE最小解的直接结果。6.2正则性结果在本节中，我们将展示我们的表示如何帮助获得奇异随机控制问题的值函数的先验正则性结果。据我们所知，这种普遍性水平的结果是文献中第一个可用的结果。证明的主要思想是，一旦知道奇异控制问题的值函数与约束的BSDE相关，就可以利用这样的事实，即这种BSDE实际上与另一个不同的奇异随机控制问题相联系，这实际上更容易研究。这种表述并不新鲜，而且已经是Cvitani'c、Karatzas和Soner（14）争论的关键所在。最近在文献[8]中也使用了它来获得约束BSDE的第一个正则性结果。

为了简单起见，并且由于这不是本文的核心，我们将集中讨论为该应用程序设置的马尔可夫设置，并将更一般的情况留给未来的研究。让我们定义映射δ：[0，T]×Rd-→ R+使得对于任何t∈ [0，T]，δT（·）是集合Kt的所谓支持函数，也就是说δT（u）：=sup{k·u，k∈ Kt}。请注意，由于RDT中的零向量对于任何t都属于KT∈ [0，T]，很明显δ是非负的。本节要求以下附加假设。假设6.2。（i） 映射U、u和σ是马尔可夫的，也就是说，对于任何x，都会稍微滥用符号U（x）=U（xT），ut（x）=ut（xT），σt（x）=σt（xT∈ C、 （ii）地图t 7-→ ftt不依赖于t，因此δ也不依赖于t。（iii）如果有人定义U bybU（x）的面部提升：=supu∈Rd{U（x+fTu）- δ（u）}，x∈ Rd，那么我们有一些常数C>0和任意（x，x′）∈ Rd×RdbU（x）-bU（x′）≤ Cx个- x′.我们想向读者指出，最近在赔偿方面的工作实际上将把[8]的结果扩展到非马尔可夫案例。本节的主要结果是第6.3节。假设2.1、2.3、3.3、3.4和6.2成立。然后，有一个常数C>0，对于y（t，t′，x，x′）∈ [0，T]×[T，T]×C×Cv（t，x）- v（t，x′）≤ Cxt公司- x′t,v（t，x）- EPt【v（t′，x）】≤ C1+kxtk（t′）- t） 1/2。本节剩余部分专门用于证明这一结果。