一类路径相关奇异随机控制问题

此外，fa ct表示νn∈ Ut，nenables us use the DPP（B.2）to haveEPt，xνn（^1）- （vn）t，x）H、 Bt，xt≥ cEPt，xνn[H- t] >0。使用（再次）νn∈ Ut，n乘以Pt，xνn∈ Mt，x，n，这与Д相矛盾∈Avn（t，x）。（ii）联合国的情况。我们沿着[18，Proposition证明4.4]的行进行，并将证明分为两个步骤。固定（t，x）∈ [0，T]×λ表示证明的其余部分。步骤1：我们展示联合国∈ C（[0，T]×∧0，x），并满足以下动态规划原则，对于任何τ∈ Tt，x:Yt，x，n=（un）t，x（τ，Bt，xt）+Zτ·nρfs（（σt，xs）)-1.Bt，xZt、x、nsds公司-Zτ·Zt，x，ns·dWt，xs，Pt，x- 一s、 （B.5）首先，由于nρε是Lipschitz–连续的，且自第2.3节起，在0处为零，根据B SDEs（参见示例[20]）的标准稳定性结果，对于任何n≥ 1，有一个常数Cn（可能因行而异），因此对于所有（t，x，x′）∈ [0，T]×（C）EPt支持≤s≤TYt，x，ns+ZTt公司Zt、x、nsds公司≤ Cn1+kxk2（r+1）∞,t型, （B.6）EPt支持≤s≤TYt，x，ns- Yt，x′，ns+ZTt公司Zt、x、ns- Zt，x′，nsds公司≤ Cnx个- x′∞,t型1+kxk2r∞,t+kx′k2r∞,t型. （B.7）尤其是，这给出了以下规律性| un（t，x）|≤ Cn1+kxkr+1∞,t型（B.8）和| un（t，x）-un（t，x′）|≤ Cnkx公司- x′k∞,t型1+kxkr∞,t+kx′kr∞,t型. （B.9）根据BSDE理论中的s标准参数（这将是条件期望的tower性质，如果ρ等于0，并且可以使用通过Picard迭代获得带Lipschitzdrivers的BSDE的解这一事实很容易将结果推广），对于anyt<t′，我们有以下动态规划原则≤ TYt，x，n=（un）t，x（t′，Bt，xt）+Zt′·nρfs（（σt，xs）)-1.Bt，xtZt、x、nsds公司-Zt′·Zt，x，ns·dWt，xs，Pt，x- 一s、 （B.10）尤其是Yt，x，ns=（un）t，x（s，Bt，xt），对于任何s∈ [t，t]。

接着是| un（t，x）- un（t′，x）|=EPt、xhYt、x、nt- Yt，x，nt′+（un）t，x（t′，Bt，xt）-un（t′，x）i≤ EPt，xZt′tnρfs（（σt，xs）)-1（Bt，xt）Zt，x，nsds公司+ EPt，x（un）t，x（t′，Bt，xt）-un（t′，x）≤ EPt，xZt′tnρfs（（σt，xs）)-1（Bt，xt）Zt，x，nsds公司+ Cn支持≤s≤t′kxs- xtk+EPt，x支持≤s≤t′型Bt、xts- xt公司1+kxkr∞,t′+EPt，x支持≤s≤t′型Bt、xts!≤ EPt，xZt′tnρfs（（σt，xs）)-1（Bt，xt）Zt，x，nsds+Cnd∞（（t，x）；（t′，x））1+kxkr∞,t′型, （B.11），其中最后一行从（2.2）开始。从（B.6）c观察，结合假设2.1和ρεthatEPt，x“Zt′t的Lipschitz连续性nρfs（（σt，xs）)-1.Bt，xtZt、x、nsds#=EPt“Zt′tnρfs（（σt，xs）)-1.英国电信Zt、x、nsds公司#≤ Cn1+kxkr+1∞,t′型（t′）- t） 。将后者插入（B.11）和√t′型- t型≤ d∞（（t，x）；（t′，x）），最终得出| un（t，x）-un（t′，x）|≤ Cn1+kxkr+1∞,t′型d∞（（t，x）；（t′，x））。最后，我们刚刚证明d的时间规律性，允许我们经典地将动态规划原理（B.10）扩展到停止时间，给出（B.5）（结果很清楚，停止时间取很多值，一般结果通过使用很多值减少停止时间序列来近似停止时间）。第二步：我们总结证据。在不丧失一般性的情况下，我们只证明了粘性子解，而得到了类似的超解。相反，假设存在（t，x；Д）∈ [0，T]×C×Aun（T，x），这样2c：=-Lt，xа（t，xt）-nρftDД（t，xt）> 0、设H为对应于ν定义的击中时间∈ Aun（t，x）。

通过φ和ρ的连续性，减少必要的Hif，我们推断-Lt，xИ（s，Bt，xt）-nρfsDД（s、Bt、xt）≥ c>0，s∈ [t，H]。通过DPP（B.5）和φ的平滑度，我们得到了Pt，x，我们得到了（φ- （un）t，x）H（·，Bt，xt）-（^1）-（un）t，x）t（·，xt）=ZHtLt，xИ（s，Bt，xt）ds+ZHtσt，xsBt，xtDД（s，Bt，xt）·dWt，xs+ZHtnρfs（σt，xs）-1.Bt，xtZt、x、nsds公司-ZHtZt、x、ns·dWt、xs≤ -ZHthc+nρfsD^1（s、Bt、xt）- ρfs（σt，xs）-1.Bt，xtZt、x、nsids+ZHtσt，xsBt，xtDД（s、Bt、xt）-σt，xs-1.Bt，xtZt、x、ns· dWt，xs=-c（H- t） +ZHtαns·DД（s、Bt、xt）-σt，xs-1.Bt，xtZt、x、nsds+ZHtσt，xsBt，xtDД（s、Bt、xt）-σt，xs-1.Bt，xtZt、x、ns· dWt，xs=c（t-H） +ZHtDД（s、Bt、xt）-σt，xs-1.Bt，xtZt、x、ns·σt，xsBt，xtdWt，xs+αNSD,式中|αn |≤ n | | f | | ds dPt，x- a、 根据Girsa-nov定理，我们得到了Q∈ Mt，x，nsuch that rσt，xs（Bt，xt）dWt，xs+αnsds是Q-布朗运动。上述不等式ho lds then Qn- 一s、 因此（Д）- （un）t，x）t（·，xt）≥ EQn（^1）- （un）t，x）H（·，Bt，xt）+c（H- t）> EQn（^1）- （un）t，x）H（·，Bt，xt）,这与Д的定义相矛盾∈ Aun（t，x）。C第5节引理C.1的技术证明。假设5.1成立。修复n≥ 1、对于每个（t、s、x、~x、λ、u）∈ [0，T]×[T，T]×C×Ct×R*+×R，forevery k=0，n-1，对于每个Borel图f:Rd-→ R通过多项式增长，定义以下运算符qk+1t，x，λ（f）（~x，u）：=EPthfxtt，nk+λut，xtt，nk（~x）+ftt，nkνtt，nk+uMtt，nk+σt，xtt，nk（￠x）Bttt，nk+1- Bttt，nkFttt，nki。如果f是凹的，s.t.表示每个（t，s，x，~x，~y，α，β，γ，η）∈ [0，T]×[T，T]×C×Ct×Ct×Rd×R*+×Rd×[0，1]，fα+βut，xs（η▄x+（1-η） ~y）+σt，xs（ηx+（1）- η） y）γ≥ fα+β（ηut，xs（～x）+（1-η） ut，xs（~y））+（ησt，xs（~x）+（1- η） σt，xs（￠y））γ, （C.1）然后是映射（x，u）7-→ Qk+1t，x，λ（f）（~x，u）是凹的，映射u 7-→ Qk+1t，x，λ（f）（~x，u）在R上不递减-.证据

从f的多项式增长、u和σ的线性增长以及bt在Pt下具有任意阶矩的事实可以清楚地看出，运算符Qk+1t、x和γ定义得很好。那么，Qk+1t，x，γ（f）的凹度是f的凹度假设以及（C.1）的直接推论。然后，由于f具有多项式增长，Feynman–Kac的公式意味着qk+1t，x，λ（f）（x，u）=v（tt，nk，Bttt，nk），其中v：[tt，nk，tt，nk+1]×Rd-→ R是PDE的唯一粘度溶液-vs公司-Trh公司uMtt，nk+σt，xtt，nk（￠x）uMtt，nk+（σt，xtt，nk）（￠x）vxxi=0，开[tt，nk，tt，nk+1）×Rd，vtt，nk+1，x= fxtt，nk+λut，xtt，nk（~x）+ftt，nkνtt，nk+uMtt，nk+σt，xtt，nkx个, x个∈ Rd.这种线性偏微分方程经典地满足了一个比较定理，由于f的凹性，v在x中是凹的。此外，PDE的差异部分重写为uutrhmt、nkvxxi+uTrh的二次函数Mtt，nk（σt，xtt，nk）（▄x）+σt，xtt，nk（▄x）Mtt，nkvxxi+Trhσt，xtt，nk（￠x）（σt，xtt，nk）（x）i.由于Mtis对称正，Mtσt（x）+σt（x）mt是对称负的，vxxis也是对称负的，对于u，上述事实是不递减的∈ R-. 通过比较，Qk+1t，x，λ（f）（x，u）也适用于此。提案C.2。假设2.3和5.1保持并确定一些q≥ p>0。对于每n∈ N \\{0}，x∈ C、 让usde递归（Xt、x、nk）0≤k≤nand（Yt，x，nk）0≤k≤nby Xt，x，n=Yt，x，n=Xt，对于0≤ k≤ n- 1Xt，x，nk+1=Xt，x，nk+ut，xtt，nkXt、x、nk+ ftt，nkνtt，nktt，nk+1- tt，nk+ηp，t，xtt，nkXt、x、nkMtt，nk+σt，xtt，nkXt、x、nkBttt，nk+1- Bttt，nk,Yt，x，nk+1=Yt，x，nk+ut，xtt，nkYt、x、nk+ ftt，nkνtt，nktt，nk+1- tt，nk+ηq，t，xtt，nkYt、x、nkMtt，nk+σt，xtt，nkYt、x、nkBttt，nk+1- Bttt，nk,其中（Xt，x，nk）0≤k≤nand（Yt，x，nk）0≤k≤定义为以下分段线性插值Xt，x，nk：=ik（Xt，x，n0:k），Yt，x，nk：=ik（Yt，x，n0:k）。那么，我们有Ut，x在里面Xt，n，x0:n≤ EPt公司Ut，x在里面Yt，n，x0:n.证据

允许t、 n：=tt，nk+1- tt，nk=（T- t） /n，a并考虑以下鞅，对于0≤ k≤ n、 Mk：=EPthUt，x在里面Xt，n，x0:nFttt，nki，Nk：=EPthUt，x在里面Yt，n，x0:nFttt，nki，这是很好定义的，因为U是多项式增长，我们现在从引理2.2得到Xt，n，x0:nand Yt，n，x0:nhavemoments的任意阶。对于任何k=0，n、 我们还定义了以下从Rk+1到R的函数序列，对于k=0，n- 1，通过反向感应，对于任何x0:k∈ （Rd）k+1Φn：=Ut，xo in，Φk（x0:k）：=Qk+1t，x，t、 n（Φk+1（x0:k，·））ik（x0:k），ηptt，nk（ik（x0:k））,ψn：=Ut，xo in，ψk（x0:k）：=Qk+1t，x，t、 n（ψk+1（x0:k，·））ik（x0:k），ηqtt，nk（ik（x0:k））.通过定义Xt、x、nand Yt、x、NTH，我们每0≤ k≤ nMk=Φk（Xt，x，n0:k）和Nk=ψk（Yt，x，n0:k）。现在让我们证明，对于每k=0，…，映射Φkanψkare凹，n、 他们验证了≤ 我≤ k- 1，（x0:n，~x0:n，η）∈ （Rd）n+1×（Rd）n+1×[0，1]，对于任何{（αm，l，βm，l，γm，l）∈ Rd××R*+×Rd，i≤ m级≤k- 1，0≤ l≤ k- 我- 1} ，我们有φ=Φ，ψνkx0:i，αi，0+βi，0ut，xtt，ni（ii）（ηx0:i+（1- η） x0:i）+σt，xtt，ni（ii）（ηx0:i+（1- η） x0:i）γi，0，i+1Xj=iαj，1+βj，1ut，xtt，nj（ij（η^x0：j+（1- η） ^Иx0:j）+σt，xtt，nj（ij（η^x0:j+（1- η） ^Иx0:j）γj，1, . . . ,k-1Xj=iαj，k-我-1+βj，k-我-1ut，xtt，nj（ij（η^x0：j+（1- η） ^Иx0:j）+σt，xtt，nj（ij（η^x0:j+（1- η） ^Иx0:j）γj，k-我-1.≥ ^1kx0:i，αi，0+βi，0ηut，xtt，ni（ii（x0:i））+（1- η） ut，xtt，ni（ii（~x0:i））+ησt，xtt，ni（ii（x0:i））+（1- η） σt，xtt，ni（ii（≈x0:i））γi，0,i+1Xj=iαj，1+βj，1ηut，xtt，nj（ij（^x0:j））+（1-η） ut，xtt，nj（ij（^бx0:j））+ησt，xtt，nj（ij（^x0:j））+（1- η） σt，xtt，nj（ij（^Оx0:j））γj，1, . . .

k-1Xj=iαj，k-我-1+βj，k-我-1.ηut，xtt，nj（ij（^x0:j））+（1- η） ut，xtt，nj（ij（^бx0:j））+ησt，xtt，nj（ij（^x0:j））+（1-η） σt，xtt，nj（ij（^Оx0:j））γj，k-我-1.,（C.2）式中，对于w：=x，^x，递归定义为^wl：=wl，0≤ l≤ i、 ^wl+1：=lXj=iαj，l-i+βj，l-iut，xtt，nj（ij（^w0:j））+σt，xtt，nj（ij（^x0:j））γj，l-我, 我≤ l≤ k- 我们只证明Φk的结果，另一个结果完全相似。我们用反向归纳法进行论证。当nk=n时，结果很明显，因为U是凹的，假设5.1（vi）成立。让我们假设Φk+1对于某些k≤ n-1、那么，现在让我们展示地图x0:k7-→ Qk+1t，x，t、 n（Φk+1（x0:k，·））（ik（x0:k），u）对于任何u都是凹的∈ R、 我们实际上有qk+1t，x，t、 n（Φk+1（x0:k，·））（ik（x0:k），u）=EPthΦk+1x0:k，xk+t、 n个ut，xtt，nk（ik（x0:k））+ftt，nkνtt，nk+uMtt，nk+σt，xtt，nk（ik（x0:k））Bttt，nk+1- Bttt，nkFttt，nki。因此，从Φk+1的归纳假设（与凹度和不等式（c.2））来看，c的唯一性是直接的。现在，我们知道ηpt（·）是凹的和非正的，并且，从引理C.1，映射u 7-→Qk+1t，x，t、 n（Φk+1（x0:k，·））（ik（x0:k），u）在R上不递减-. 因此，这证明了Φk的凹度。此外，Φk（C.2）直接来自Φk+1，定义为Φk+1。最后，让我们再次通过反向归纳证明，对于每个k=0，n，Φk≤ ψk。对于k=n，其结果是显而易见的。现在假设对于某些k≤ n- 1，我们有Φk+1≤ ψk+1。然后，对于任何x0:k∈ Rk+1Φk（x0:k）=Qk+1t，x，t、 n（Φk+1（x0:k，·））ik（x0:k），ηptt，nk（ik（x0:k））≤ Qk+1t，x，t、 n（Φk+1（x0:k，·））ik（x0:k），ηqtt，nk（ik（x0:k））≤ Qk+1t，x，t、 n（ψk+1（x0:k，·））ik（x0:k），ηqtt，nk（ik（x0:k））= ψk（x0:k），其中我们连续使用了u 7-→ Qk+1t，x，t、 n（Φk+1（x0:k，·））（ik（x0:k），u）在R上不递减-（记住ηp≤ ηq）和归纳假设。

综上所述，需要取k=0来获得Φ（xt）≤ψ（xt），由M和N toEPt的鞅性质等价Ut，x在里面Xt，n，x0:n≤ EPt公司Ut，x在里面Yt，n，x0:n.我们现在可以说明本节的主要技术成果。提案C.3。假设2.3和5.1成立。对于任何p>0，用Xt，x，ν，p表示SDE（2.6）的解，用微分矩阵σpin代替σ，letvp（t，x）：=supν∈UtEPt公司Ux个tXt，x，ν，p.那么，对于任何q≥ p>0，我们有任何（t，x）∈ [0，T]×Cvp（T，x）≤ vq（t，x）。证据通过命题C.2，我们知道如果我们用他们的Euler格式替换Xt，x，ν，pand Xt，x，ν，q，那么这些Euler格式的U的期望是有序的。然后，我们可以严格遵循[35]中的定理2.2和定理2.1的证明，特别是使用我们对U假设的连续性，以及非马尔可夫SDE的真Euler格式收敛于c上统一拓扑的SDE解的事实，以扩展此结果并获得Ux个tXt，x，ν，p≤ EPt公司Ux个tXt、x、ν、q,结果很清楚。第6节引理6.4证明的技术证明。很明显，我们有≥ U、 所以一个不等式是微不足道的。接下来，固定一些u∈ Vtb。对于一些足够小的εo>0和一个nyε∈ （0，εo），我们定义了Vtbuεs的以下元素：=us[t，t-ε] （s）+ε[T-ε、 T]（s），其中ι是任何有界和FtT-εo-可测量的随机变量。然后，我们得到了经验的tower属性和SDEs的Markov属性（参见示例[13]），即EPT公司-ε“UXT公司-ε、 Xt、x、uT-ε、 （uε）T-ε、 BtT公司-ZTT公司-εδ（uε）T-ε、 基站ds公司#-ZT公司-εtδ（us）ds= EPt“U（Xt，x，UεT）-ZTtδ（uεs）ds#，这意味着yxt≥ EPt公司EPT公司-ε“UXT公司-ε、 Xt、x、uT-ε、 （uε）T-ε、 BtT公司-ZTT公司-εδ（uε）T-ε、 基站ds公司#-ZT公司-εtδ（us）ds.

（D.1）接下来，我们声称，至少在一个子序列上，我们有limε→0EPtEPT公司-ε“UXT公司-ε、 Xt、x、uT-ε、 （uε）T-ε、 BtT公司-ZTT公司-εδ（uε）T-ε、 基站ds公司#-ZT公司-εtδ（us）ds= EPt“UXt，x，uT+fTι- δ（ι）-ZTtδ（us）ds#。（D.2）事实上，通过（2.4的简单扩展），我们首先得到了≥ 2点XT公司-ε、 Xt、x、uT-ε、 uT公司-ε、 BtT+fι-XT公司-ε、 Xt、x、uT-ε、 （uε）T-ε、 BtT公司p≤ CpEPt“fι+ZTT-εfuT公司-ε、 基站-ιεds公司p#≤ CpZTT-εEPth未来-ε、 基站pids。此外，通过（2.2），我们得到了Pt-a、 s.EPT公司-εhXT公司-ε、 Xt、x、uT-ε、 uT公司-ε、 BtT公司- Xt、x、uT-εpi≤ Cpε1个+Xt、x、uT-εp+ CpEPT公司-ε“ZTT公司-εuT-ε、 Btsds公司p#，由塔楼属性表示XT公司-ε、 Xt、x、uT-ε、 uT公司-ε、 BtT公司- Xt、x、uT-εpi≤ Cpε1+EPthXt、x、uT-εpi+ CpEPt“ZTT公司-εusdsp#，Pt-a、 因此，如果必要的话，将其传递到一个子序列，并利用Xt，x，u路径的连续性，我们从上述不等式中推导出-ε、 Xt，x，u，（uε）T-ε、 BTT转换为Xt、x、uT+fι、Pt- 一s、 在Lp（Pt）中。通过U的连续性，我们推导出下列收敛保持Pt- 一s、 在Lp（Pt）U中XT公司-ε、 Xt、x、uT-ε、 （uε）T-ε、 BtT公司-ZTT公司-εδ（uε）T-ε、 基站ds公司-→ U（Xt，x，uT+fι）-δ（ι）。然后，这通过tower属性表明以下收敛在L（Pt）EPT中成立-ε“UXT公司-ε、 Xt、x、uT-ε、 （uε）T-ε、 BtT公司-ZTT公司-εδ（uε）T-ε、 基站ds公司#-→ U（Xt，x，uT+fι）-δ（ι），这意味着期望的权利要求（D.2）。然后，通过（D.1）和（D.2）我们推导出，对于有界和FtT的随机变量ι-εo-可测量，我们有YXT≥ EPt“UXt，x，uT+fι- δ（ι）-ZTtδ（us）ds#，（D.3）和相同的语句适用于有界的任何ι和FtT--可通过εo的任意性测量。

现在，从ma p（x，ι）7开始-→ U（x+fι）- δ（ι）是Borel可测的，我们可以在[8]中命题3.1的证明中论证，以获得Borel可测映射x 7的任何ε>0的存在性-→ ε（x）使得bu（Xt，x，uT）≤ UXt，x，uT+fιε（Xt，x，uT）- δε（Xt，x，uT）+ ε。那么，如果我们定义ε，ε：=ε（Xt，x，uT）1ε（Xt，x，uT）|≤n、 ε，nis有界和FT--通过路径Xt，x，u的连续性可测量。因此通过（D.3）我们得到，使用δ在0Yxt为零的事实≥ EPt“bU（Xt，x，uT）1 |ε（Xt，x，uT）|≤n+UXt、x、uT|ε（Xt，x，uT）|>n-ZTtδs（us）ds#- ε。然后，通过让第一个n进入完整和支配收敛（记住Bu isLipschitz和Xt，x，uhas任意阶矩），然后ε进入0，得到所需结果。引理6.5的证明。首先，通过采用常数控制ι=0，一个不等式是微不足道的。那么，下面的动态规划原则对于任何0都是经典的≤ t型≤ s≤ TYxt=supu∈VtbEPt公司YXt，x，uss-Zstδ（ur）dr. （D.4）现在修复一些（t，x）∈ [0，T]×Rd，someι∈ L∞（Ft），一些ε>0足够小，且定义ε：=ει1[t，t+ε]∈ Vtb。根据动态规划原理，我们得到，Yxt≥ EPt公司YXt，x，uεt+εt+ε-Zt+εtδ（uεr）dr= EPt公司YXt，x，uεt+εt+ε-εZt+εtδ（ι）dr. （D.5）接下来，通过引理6.4和我们对任何u∈ VtbEPt公司YXt，x，uεt+εt+ε≥ EPt“bUXt+ε，Xt，x，uεt+ε，ut+ε，BtT-ZTt+εδ（ur）dr#。对于uε的定义，我们使用与引理6.4中的证明类似的论点，在必要的情况下，沿着一个子序列，EPt“bU”Xt+ε，Xt，x，uεt+ε，ut+ε，BtT-ZTt+εδ（ur）dr#-→ε-→0EPt“bUXt，x+fι，uT-ZTtδ（ur）dr#。因此，我们从传递到（D.5）中的极限推导出≥ EPt“bUXt，x+fι，uT- δ（ι）-ZTtδ（ur）dr#，这意味着引理6.4和u的任意性∈ VtbYxt≥ Yx+fιt- δ（ι），因此是期望的结果。命题6.6的证明。

第一个结果是引理6.4的直接结果，BU是Lipschitz连续的事实，以及Xt、x、u满足的SDE解的经典估计。接下来，我们得到了（D.4）、我们刚刚证明的x中的正则性和（2.2）Yxt≥ EPthYXt，x，0ssi≥ EPt[Yxs]- 除此之外Xt，x，0s- x个≥ EPt[Yxs]-C1+kxk（s）- t） 1/2。那么，对于任何u∈ Vtb，使用t 7-→ δt（·）是非递增的、次线性的，以及引理6.5EPs“UXs、Xt、x、us、us、BtT-ZTsδ（ur）dr#-Zstδ（ur）dr≤ YXt，x，uss-Zstδ（ur）dr≤ YXt，x，uss- δZsturdr公司≤ YXt，x，美国-fRsturdrs公司。然后，根据塔的特性，我们有，在Pton的两侧都有9月“U（Xt，x，uT）的期望-ZTtδ（ur）dr#≤ EPthYXt，x，美国-fRsturdrsi公司≤ EPt【Yxs】+EPtXt，x，美国- fZsturdr公司- x个≤ EPt【Yxs】+C1+kxk（s）-t） 1/2，在表达式Xt，x，us中-fRsturdr公司-x控件u实际上消失了。根据Yxt的定义，这就结束了公关。