不变性时间

1） 设σ为任意F停止时间，χ为任意有界Fσ可测随机变量。我们有（使用[0，θ） {pS>0}）E[χE（pS D） σ{σ<θ}]=E[χE（pS D） σ{σ<θ}{σ∈{pS>0}}]=E[χE（pS D） σSσ{σ∈{pS>0}}{σ<∞}].（3.15）参见Revuz和Yor（1999年，第五章，练习（2.13））。imsart aop版本。2014年10月16日文件：不变性决赛。tex日期：2017年2月6日不变性乘以19因此，过程E（pS）的（F，Q）可选投影 D） 1[0，θ）等于过程（pS D） S1{pS>0}。此外，通过引理2.2 5），在{pS>0}上，我们得到了（pS D） S=E（pS D） SE公司(-S- D） E（pS Q） =SE（pS Q） =SQ.2）注意SE（pS Q） 是{pS>0}上的（F，Q）局部鞅。设σ为一个有限的Fstopping时间，使得[0，σ] {pS>0}和SE（pS Q） σ是（F，Q）一致可积鞅。考虑任何G停止时间τ。回顾τ′是一个F停止时间，例如τ∧ θ=τ′∧ θ（参见引理2.2 1），我们有E[E（pS D） τ∧σ{τ∧σ<θ}=E[E（pS D） τ′型∧σ{τ′∧σ<θ}=E[E（pS D） τ′型∧σSτ′∧σ] =E[SE（pS Q） τ′型∧σ] =E[S]，（3.16），其中第1）部分用于第二行。因此，根据He等人（1992年，定理4.40），（E（pS D） 1[0，θ）]σ是（G，Q）一致可积鞅，证明了引理的第二个断言。3）根据德拉瓦利-普辛定理的vir tue，存在一个非负递增凸函数φ，使得→∞φ（t）t=∞ 和supσE[φ（E（pS D） σ{σ<θ}）]<∞,其中σ在F停止时间族上运行，使得[0，σ] {pS>0}∩ [0，T]。应用引理的第1部分）和Jensen不等式，我们得到supσE[φ（SQσ{pSσ>0}）]∞.因此，德拉瓦利-普桑定理的另一个应用得出SQ是集{pS>0}上的（D）类鞅∩ [0，T]。鉴于（2.3），我们有q=limn→∞E（1{pS>0}pS Q） ζn.Asζn∈ 每n{pS>0}∈ N（比照。

（A.8）），那么，一方面，随机变量族{SE（1{pS>0}pS Q） ζn∧T、 n个∈ N} 一致可积，另一方面，SE（1{pS>0}pS Q） ζn∧这是一个一致可积鞅，对于每n∈ N、 这两个性质意味着以下两个等式e[SQT]=limn→∞E[SE（1{pS>0}pS Q） ζn∧T] =E[S]，证明了非负（F，Q）局部鞅SQ是（F，Q）真鞅[0，T]。我们现在写，对于任何0≤ t型≤ T，SE【QT | Ft】=E【SQT | Ft】=SQT。当Q=1在{S=0}上时，我们依次得到E[QT | Ft]=E[QT | Ft]1{S>0}+E[QT | Ft]1{S=0}=QT{S>0}+1{S=0}=QT，imsart aop ver。2014年10月16日文件：不变性决赛。tex日期：2017年2月6日S.CR'EPEY和S.Song完成演示。我们现在给出了Q的真鞅性质的一个充分条件。定理3.5如果E[E（1{pS>0}pS D） θ∧T] <∞, 那么Q是[0，T]上的（F，Q）真鞅。假设STpositive，那么θ是一个不变性时间。进一步假设θ为正，则非负（G，Q）局部鞅E（1{pS>0}pS D） 1[0，θ）（引理3.5 2）是[0，T]上的（G，Q）真鞅，并且通过E（1{pS>0}pS）的概率测度S对fts的限制提供了一个不变性测度P D） 1[0，θ）作为SDQ.Proof的G密度过程。如果E[E（1{pS>0}pS D） θ∧T] <∞, 然后是非负（F，Q）局部鞅E（pSD） 1[0，θ）是{pS>0}上（D）类的（G，Q）鞅∩ [0，T]。Q在[0，T]上的（F，Q）真鞅性质是引理3.5（3）的结果。此外，如果假设STI的周期性，则（A.10）意味着T<和[0，T] {pS>0}，因此q=E（pS Q） >0保持[0，T]，引理2.2 5）。因此，引理3.2和定理3.2-3.3暗示θ是一个不变性时间。假设f进一步θ为正，即S=1，引理3.5 1）意味着密度过程的（f，Q）可选投影为sdqis Q。

但是，从定理3.2-3.3来看，Q是某些不变性测度P的PDQF密度过程，因此它是概率测度S对Ft的限制。在[0，T]上Q的真鞅性质的上述有效条件之上，我们现在看F是一个必要和有效的条件。根据He等人（1992年，定理8.18）和Jacod（1979年，Lemme 1.37），前两个条件在下文中始终可以成立。因此，只有第三个才是真正鞅性质的实质。定理3.6假设STpositive。然后，当且仅当存在F停止时间（σn）n的非减序列时，Q在[0，T]上的（F，Q）真鞅性质成立∈Nsuchthat-∪n[0，σn]=[0，T]，-E（pS D） σnis有界，对于任意n∈ N、 -随机变量族（DT-Dσn）E（pS D） σn，n∈ N、 是Q一致可积的。在这种情况下，条件（A）是满足的。根据引理3.5证明末尾使用的参数，Q在[0，T]上的（F，Q）真鞅性质等价于E[SQT]=E[S]。设F停止时间（σn）n的非减量序列∈满足上述前两个条件。在一个hand上，通过引理2.2.5）（假设ST>0），我们有E[SQT]=E[SE（pS Q） T]=E[E（pS D） TST]=limn→∞E[E（pS D） σnST]，利用单调收敛定理。另一方面，我们有[0，σn] [0，T] {S>0} {pS>0}（如ST>0），因此，对于任何n∈ N、 SE（pS Q） σ是一个定义良好的（F，Q）局部鞅。实际上，SE（pS Q） σ是有界鞅，因为根据引理2.2.5），它等于E（pS D） σnSσn，受假设约束。因此，E[S]=E[SE（pS Q） σn）=E[E（pS D） σnSσn]。（3.17）imsart aop版本。

2014年10月16日文件：不变性决赛。tex日期：2017年2月6日不变性乘以21因此，Q是[0，T]上的（F，Q）真鞅当且仅当iflimn→∞E[E（pS D） σnSσn]- E[E（pS D） σnST]= 但是，根据S的定义，我们有E（pS D） σnSσn]- E[E（pS D） σnST]=E[E（pS D） σn{σn<θ≤T}]=E[（DT- Dσn）E（pS D） σn]，通过定义D为（F，Q）1{0<θ}[θ]的对偶可预测投影，∞).因此，Q在[0，T]上的真鞅性质等价于随机变量序列（DT）的Lconvergenceto零- Dσn）E（pS D） σn.现在，当ST>0时，我们有e（pS D） T<∞. 随机变量（DT- Dσn）E（pS D） σn概率收敛为零。因此，它们的L收敛到零等价于它们的统一可积性，从而得出定理中所述等价性的证明。此外，假设为正，引理2.2 5）意味着Q=E（pS Q） >0保持[0，T]。因此，通过定理3.2-3.3，条件（A）证明了Q在[0，T]上的（F，Q）真鞅性质。如引理A.1所示，每当θ有（G，Q）强度γ时，我们就有D=γ′-.λandE（pSD） =eγ′λ在[0，T]（假设ST>0）。因此，在这种情况下，定理3.6简化为γ的条件。备注3.1在ST>0的情况下，可从定理3.6推导出定理3.5。实际上，给定一个序列（σn）n∈满足定理3.6中前两个条件的N（存在），我们有不等式（DT- Dσn）E（pS D） σn≤ZTσnE（pS D） SDD≤中兴通讯（pS D） SDD。（3.18）由于D是1{θ>0}[θ的（F，Q）对偶可预测投影，∞), 我们有 D） θ∧T] =E[1{θ=0}]+E[ZTE（pS D） sdDs]+E[E（pS D） T{T≤θ} 】。因此，定理3.5的假设意味着 D） sdDs]是有限的。鉴于（3.18），随机变量序列（DT- Dσn）E（pS D） σntendsto零在L中，根据支配收敛定理。

然后可以应用定理3.6得出Q是[0，T]上的（F，Q）真鞅，如定理3.5.3.5中所述。不变测度下的局部鞅。在本节中，我们描述了不变性测度P下的局部鞅。在理论兴趣之上，以下结果是证明交易对手风险“完全”（G，Q）BSDE（2.11）和“减少”（F，P）BSDE（2.16）之间等价性的关键（参见第2.2节）。定理3.7假设条件（A）具有不变性测度P.Cf.He等人（1992，定理5.26 2））。参见He等人（1992年，定理1.11）。imsart aop版本。2014年10月16日文件：不变性决赛。tex日期：2017年2月6日22 S.CR'EPEY和S.SONG1）过程P在M{pS>0}∩[0，T]（F，P）当且仅当IFPP+[Q，P]在M{pS>0}∩[0，T]（F，Q）。2） 如果D是连续的，则PS=S-而之前的情况变了-P+[S，P]∈ M{S->0}∩[0，T]（F，Q）。（3.19）此外，我们有{S>0}={pS>0}={S-> 0}=[0，），（3.20），其中是S（参见（A.8））。证明1）在{pS>0}∩ [0，T]，我们有qp=P-q+q-P+[q，P]=P-q+q-P+q-聚苯乙烯[Q，P]，其中第二个等式来自定理3.2中的公式（3.10）。因此，P是inM{pS>0}∩[0，T]（F，P），即qP在M{pS>0}∩[0，T]（F，Q），当且仅当Q-P+q-聚苯乙烯[Q，P]isin M{pS>0}∩[0，T]（F，Q）。考虑序列（ζn）n∈第九章（A.8）。Let（σn）n∈Nbe一种F s打顶时间的非递减序列，趋向于完整性并减少q-与[0，T]上的有界过程相反。通过定义可预测区间上的局部鞅（参见。

（1.2）），P上的上述条件可以用asq表示-Pζn∧σn+q-聚苯乙烯[Q，P]ζn∧σn∈ M[0，T]（F，Q），n∈ N、 AspS和q-在[0，ζn]上远离0∧ σn]，这是同等的顶部Pζn∧σn+[Q，P]ζn∧σn∈ M[0，T]（F，Q），n∈ N、 即pSP+[Q，P]∈ M{pS>0}∩[0，T]（F，Q）。2） 在D是连续的情况下，我们有[D，·]=0和ps=S-（参见（A.3）），因此第1）部分中的条件写为（3.19）。为了建立（3.20），鉴于（A.9），我们只需要显示{S-> 0} 为了达到这个目的，我们将局部鞅特征（3.19）应用于P=1{0<n=C}[，∞), 式中（n）n∈Nis（A.5）中定义的序列，C为正常数。即，我们计算-P+[S，P]=S-{0<n=C}，∞)+ S1{0<n=<C}[，∞)= 0（因为S=0）。因此，P满足（3.19），因此它是{S上的一个有界（F，P）鞅-> 0}∩ [0，T]。注意P=0和dPn∧T=1{0<n=C}{n∧T≥} =1{0<n=<C，≤T}，我们得出结论，0=EP[Pn∧T] =P[0<n=C，n]≤ 对于每个正常数C，我们有P[0<n=n]≤ T]=0。因此，无论何时只要≤ T，P下等于Q下。因此，鉴于（A.7）：Cf.He等人（1992年，定理12.12）。imsart aop版本。2014年10月16日文件：不变性决赛。tex日期：2017年2月6日不变性乘以23-在{S>0，≤ T}，我们有{S-> 0}=∪n【0，n】 [0，），-在{S=0}上，我们有{S-> 0}= = [0，）。在这两种情况下，我们都有{S-> 0} [0，），这完成了d演示。4。不同情况下的不变时间。在本节中，我们回顾了涉及不变时间的各种情况。4.1。与伪停止时间的比较。在本节中，我们研究了Nikeghbali和Yor（2005a）的不变时间和伪停止时间之间的关系。此外，我们还评估了在条件（A）中，在θ之前停车的重要性，即在θ处停车的重要性。考虑a（0+∞)-值r为dom时间θ。

根据Nikeghbali和Yor（2005a），它是（F，Q）伪停止时间，当且仅当Qθ是任何（F，Q）局部鞅Q的局部鞅。显然，如果伪停止时间θ避免了F停止时间，则它是满足任何正常数T的条件（a）的不变性时间，利用不变性测度P=Q。Nikeghbali和Yor（2005a，定理1（3））也表明θ是apseudo停止时间，当且仅当∞= 1，即当且仅当S=1时- A、 式中，d enotesthe F dual optional projection of 1[θ，∞). 相反，命题3.1（2）表明，Q本身是任何正常数T的不变性测度，当且仅当S=1- D（注意这里s=1，θ>0）。当且仅当A=D时，这两个条件都是一致的。我们回忆起，在w的情况下，S=1和D是连续的（即，在我们的设置中，当θ是A（G，Q）的总可访问停止时间时），那么A=D当且仅当θ避免F停止时间时。因此，在S=1且d d是连续的情况下，有两种“正交”情况：-如果θ具有回避特性，那么θ是伪停止时间当且仅当Q本身是一个不变性度量；-如果θ是一个没有回避性质的伪停止时间，那么Q本身就不能度量不变性。这是因为伪停止时间是根据在θ处停止定义的，而不变性是根据在θ之前停止定义的。此外，与用r定义的伪停止时间（特别是固定概率测度Q）相比，不变性时间的额外灵活性在于在变化测度P下考虑鞅性质的可能性。事实上，伪停止时间条件是非常严格的。相比之下，定理3.5表明不变性时间是规则，而不是例外。

事实上，不变性时间的本质并不是要定义一个更奇特的时间类别，而是要表明过滤的简化方法可以非常广泛地使用，远远超出第2.2.1节的基本简化形式设置。以下示例提供了有关伪停止时间和不变时间之间关系的更多信息。示例4.1确定满足常规条件的过滤器。对于i=1，2，让σi>0表示有界连续补偿器vi的停止时间。假设σ>T，定义θ=1Aσ+1Acσ，对于一些与F无关的随机事件A∞使得α=imsart aop ver。2014年10月16日文件：不变性决赛。德克萨斯州日期：2017年2月6日S.CR'EPEY和S.SONGQ（A）∈ （0，1）。设G是F与θ的推进放大。因此，θ与Fstopping时间σi相交。通过A的独立性，在[0，T]上，我们得到s=1[0，σ）α+1[0，σ）（1- α） ，D=αv+（1- α） v，Q=α（1[0，σ）+v）+（1- α） （1[0，σ）+v）。因此，由于σ>T，我们有S和in-turns≥ 1.- α>0在[0，T]上，因此e（pS D） =每股收益D≤ e1级-α分布在[0，T]上。因此，理论3.5中的条件已满，θ是方差时间。此外，对于每个有界F可选过程K，通过a的独立性，我们得到E[Kθ]=E[1AKσ+1AcKσ]=E[αKσ+（1- α） Kσ]，henceA=（1[θ，∞))o=α1[σ，∞)+ （1）- α） 1[σ，∞).作为σi定义，如下所示：∞= 1和θ是伪停止时间。示例4.2为了获得与F停止时间相交的不变性时间θ，而不是伪停止时间，我们设置θ=1Aσ+1Aσ+1Aσ，其中σ和σ如示例4.1所示，其中有限随机时间σ>0不是F伪停止时间，对于分区Ai，i=1，2，3，与F无关∞和σ。假设αi=Q（Ai）>0，我们有a=（1[θ，∞))o=α[σ，∞)+ α[σ，∞)+ α（1[σ，∞))o、 式中（1[σ，∞))o∞6=1，因此A∞6=1，具有正Q概率。因此，θ不是p seudostopping时间。

但θ的Az'ema上鞅由s=1[0，σ）α+1[0，σ）α+o（1[0，σ））α给出≥ α在[0，T]上，因此θ是一个不变性时间，其参数与示例4.1.4.2中的参数相同。与生存措施的联系。在可违约资产定价的财务背景下，为了推导一个不受Du ffe et al.（1996）中无跳跃条件约束的基于强度的定价公式，本文中过滤方法的另一种替代方法是纯粹在过滤G中工作，但从风险中性度量转换为一些非等效的定价度量。为了建立两个框架之间的联系，让我们假设在满足条件（B）（如本文中的任何地方）的放大设置中，G停止时间θ，a（G，Q）强度γ和ST>0，因此E（pS D） =E（S）- D） =eγ′λ保持[0，T]，由Emmama决定。1、假设eγλθ∧ 如果Q是可积的（这是Collin Dufresne et al.（2004）的基本假设），则满足定理3.5的所有条件。因此，通过应用该定理，我们得出结论，θ是一个不变性时间，该过程是有效的。2014年10月16日文件：不变性决赛。tex日期：2017年2月6日不变性乘以25eγλ[0，θ）是[0，T]上的（G，Q）真鞅，并且通过eγ对“生存测度”S的限制提供了不变性测度Pλ[0，θ）作为SDQ的G密度过程（首次引入了“生存度量”概念和术语，并用于Sch¨onbucher（1999，2004））中的不同曲线。不同的是，如果默认时间θinCollin Dufresne et al.（2004）也满足条件（B），则条件（A）满足，并且su rvivalmeasures对FTof的限制是一个不变性度量。这就建立了方差概念和生存度量之间的联系。

特别是，这表明，即使S和Q不等效（甚至在第2.2.1节的基本简化形式设置中也不等效），eir对FTare的限制也是等效的。假设eγλθ∧ Tis Q可积，Collin Dufresne et al.（2004）获得了不受无跳跃条件约束的基于强度的（G，S）定价公式（1996）。inFisher、Pulido和Ruf（2015）给出了生存度量S的无套利解释，他们用它来建模可能在θ时间相互失去价值的社会资产。4.3。交易对手风险的BSDE。不变性时间使得过滤简化技术对于处理具有随机终端时间的盲源分离设备特别有效（这实际上是我们引入不变性时间的最初动机，参见第2.2节）。例如，在Bichuch、Capponi和Stu rm（2015）的分为两部分的论文中，其中F是一种过滤，G是通过银行及其交易对手的默认时间逐步扩大的F，通过应用Fcr'epey和Song（2015，定理4.3），将第一部分中的主要跳跃BSDE（17）（或类似的（18））转换，可以大大简化分析，根据时间间隔[0，θ]上的放大过滤G制定∧ 在时间间隔[0，T]上，转换为关于参考过滤F的连续BSDE。这两个BSDE是等效的，但连续的BSDE当然更容易研究。相关PDE也变得连续。如果没有ju mps，他们工作中所有技术结果的证明，即。