不变性时间

第一部分中的BSDE适定性和比较定理A.2和A.3以及第二部分中的PDE唯一粘度解定理3.2（或者更确切地说，它们的连续类似物），成为参考标准连续BSDE和PDE结果的问题。将“完整”（G，Q）BSDE（2.11）重新表述为“减少”（F，P）BSDE（2.16），也可以通过考虑数值解来表示显著的改进。在上述示例中，这意味着可以使用不带泵的标准数值格式来解决问题（参见Bichuch、C ap poni和Sturm（2015，第二部分备注3.4））。4.4。动态连接函数。交易对手风险领域的一个奇点是，由于交易对手的信用风险和基础市场（本例中为信用）风险敞口之间的脆弱性和传染形式，导致基础合同为信用衍生品。在交易对手和参考信贷实体可能同时违约的“瞬时传染”模型中，错误的方式风险可能采取瞬时缺口风险的极端形式，这不仅是信贷保护价值的激增，而且是信贷保护现金流，因为违约交易对手在时间θ未能支付给银行。为了将这种信用脆弱性和传染效应嵌入其模型中，市场实践者使用（静态）关联式来计算参考实体的违约时间。在信用衍生产品交易对手风险的情况下，on e需要对交易对手jointlyimsart aop版本的违约时间进行建模。2014年10月16日文件：不变性决赛。德克萨斯州日期：2017年2月6日S.CR'EPEY和S.SONGwith their，即需要（θ，θ，…）的模型。

，θn），其中θ=θcorr对应于参与参考实体信用衍生品交易的银行交易对手的违约时间θi，i=1，n、 此外，由于交易对手风险和不确定性估值调整实际上是这些方面的选择，因此需要以某种方式使模型动态化。一种可能性是使用“动态copu-la模型”，该模型是在静态copula模型的基础上引入合适的过滤得到的。文献中的相关参考文献包括Ch¨onbucher和Schubert（2001）的开创性工作文件，以及Brigo、Capponi和Pallavicini（2014，第3节）、Bo和Capponi（2015）、Lee和Capriotti（2015）或Cr'epey和Song（2016）（参见Kusuoka和Nakashima（2012）和Bielecki等人（2009，第7.3节））。现在，为了理解动态copulamodel中信贷依赖性的性质，我们想补充以下问题：给定相对于完整模型过滤的停顿时间θ，何时以及如何将θ中的信息与“市场过滤”F中的信息分离，以确保一致性和可跟踪性，F和G之间存在某种局部鞅不变性？不变性时间正是本着这种精神设计的。

具体而言，inCr'epey和Song（2016）表明：-在动态高斯copula模型的背景下，条件（A）通过θ=θ实现，对于合适的P 6=Q，对于G，F通过θ逐步放大。该模型可用作嵌入信贷衍生品中的交易对手风险的“错误方式风险模型”，其中存续参考名称的违约强度，以及作为交易对手违约时间P 6=Q的影响的信贷保护尖峰值；-在动态Marshall-Olkin copula（或“共同冲击”模型，其中信贷依赖性源于同时违约的可能性）的背景下，条件（A）是通过θ=θ实现的，对于P=Q，但G大于F的渐进放大θ，反映了可能导致交易对手违约的各种可能的联合违约场景。该模型可用作信用衍生品中嵌入的交易对手风险的“缺口风险模型”，在联合违约场景中，承诺的现金流无法在交易对手违约时间θ支付。（参见图7 inCr'epey and Song（2016，预印本））。4.4.1。一个公开的问题。本文认为，满足条件（B）的子过滤器在所有地方都给出了。作为一个与不变性时间相关的开放性问题，存在一个确定给定完整模型过滤G的su b过滤F的问题，以便满足条件（b）（在考虑（a）之前）。可以在上述动态copu la模型中根据具体情况进行适当的细分F。但是，除了《宋》（2016b，第9节）中的必要条件之外，我们在这方面没有建设性的方法。结论从70年代过滤文献的扩大来看，有两个事实是已知的。首先，在θ之前，“容易”研究具有随机时间θ的过滤的渐进扩大。

其次，半鞅分解的Jeulin-Yor公式，在逐步扩大的过滤中，在较小过滤F中的鞅，与Girsanov测度变化公式相似，但Jeulin-Yor和Girsanov公式彼此不等价，主要是由于时间θ的可积性原因。在本文中，我们刻画了随机时间θ，使得局部鞅Propmsart aop ver。2014年10月16日文件：不变性决赛。tex日期：2017年2月6日，对于在θunder filtration放大和等效度量值更改之前停止的过程，保持不变乘以27erty。相应的随机时间称为不变性时间，这使得过滤减少技术对于处理具有随机终端时间的盲源分离设备特别有效。更广泛地说，本文是对两个平行渐进放大过滤文献的贡献，这取决于是否考虑了可预测或可选的观点：-集合的终点：Az’ema（1972）中的可预测性与Jeulin和Yor（1978）中的可选性；-θ的Az'ema Super artin gale S的乘法分解：可预测inJaco d（1979）和S on g（2016b）与Kard aras（2015）中的可选表格XX下的S表示*, 对于某些正局部鞅X和X*= sup0≤s≤·Xs，Following Nikeghbali和Yor（2006）（参见示例3.3）：对于诚实时间，避免F（可选）停车时间Incardaras（2014）与F可预测停车时间Inaciao和Penner（2014）（以及对于一般诚实时间Insong（2016a））；-定义：Aksamit et al.（2013）orAcciaio et al.中的可预测内生（2016b）与可选内生（2016b）对比。

（2016年）；-局部martin-gale不变性：对于在θ之前停止的进程，基于θ的双可预测投影D，关于本文的不变性时间，相对于在Nikeghbali和Yor（2005b）中的伪停止时间，基于θ的可选投影A（且无测量变化）在θ停止的进程。从应用的角度来看，在θ之前停止（如Aksamit et al.（2013）或Acciaio et al.（2016）中观察θ的内幕人士的无套利研究）或在θ之前停止（如定价交易对手风险）的相关性取决于手头的问题。在技术层面，处理过程Xθ的最佳方法-（如本文所述）是利用Az'ema supermartingale的可预测乘法分解和更普遍的过滤减少方法。相比之下，考虑Xθ自然会导致可选计算。就可违约证券的定价而言，基于本文件的（F，P）（或“扩展简化形式”）方法揭示了数学金融文献中三种流之间的关系，即杜菲等人（1996）的（G，Q）开创性方法，基本简化形式设置中的nowad ays标准（F，Q）方法和Collin Dufresne等人（2004）的（G，s）生存测量方法。附录A：关于AZ'EMA supermartingale，本节概括了AZ'EMA supermartingale S=oJ（随机时间θ，其中J=1[0，θ）），以及标准Doob-Meyer分解S=S+Q的最经典性质- D（参见第2.1节）。更多信息，请参见Jeulin（1980）和Jeulin and Yor（1978）。我们有P（J-) = S-打开（0，∞)（A.1）（见Jeulin（1980，第63页））和PS=Q-- D=S- Q=S-- D≤ S-.（A.2）imsart aop版本。2014年10月16日文件：不变性决赛。德克萨斯州日期：2017年2月6日。

Song特别是，如果D是连续的，则Nps=S-.（A.3）θsatis fiesv=Z的（G，Q）补偿器v·∧θSs-dDs（A.4）（见Jeulin（1980年，备注4.5））。引理A.1当且仅当S=1且d是连续的（因此E（±S））时，G停止时间θ（G，Q）完全不可访问-D） =e±S-{S上的Dholds-> 0}）。在θ具有（G，Q）强度γ的特殊情况下，则为1（0，θ]S- D=γ λ和D=γ′S- λ保持R+（其中γ′表示γ的F可预测还原），henceS-D=γ′λ保持{S-> 0}。证据根据本文的定义（参见第1.1节），当且仅当S=1且θ的（G，Q）补偿器v在[0，θ]上连续时，θ是（G，Q）完全不可访问的。根据（A.4），当且仅当S=1和D=0，在[0，θ）上，或等效于引理2.3的可预测版本，如果在{S上D=0-> 0}，即如果D是R+上的连续s（参见Song（2016b，引理3.7））。如果θ有一个强度γ，那么（A.4）和引理A.1表明（0，θ）S- D=γ λ和D=γ′S- λ。定义=inf{s>0；Ss=0}，定义=infs>0；不锈钢≤n（n>0）。（A.5）那么，=inf{s>0；Ss-= 0}（A.6）（因为S是负上鞅上的n）且=supnn，{S-> 0}∪ [0]=∪n【0，n】。（A.7）同样，{pS>0}是一个可预测的区间，根据Jaco d（1979，（6.24）和（6.28）），存在一个非递减序列（ζn）n∈停止时间为{pS>0}∪ [0]=∪n[0，ζn]和以（0，ζn）为界的psis对于每n.（A.8），以下关系成立：[0，）={S>0} {pS>0} {S-> 0}，（A.9）然而，在（）上，∞),S=S-=pS=0，D和Q是常数。（A.10）我们有θ-> 0在{0<θ<∞}（A.11）（比照约尔（1978，第63页）和宋（2016b，引理3.7））。参见编号o17第六章inDellacherie和Meyer（1975年）。imsart aop版本。

2014年10月16日文件：不变性决赛。tex日期：2017年2月6日不变性时间29附录B：概率测度的等价变化局部鞅的下列民间传说结果在本文中起着重要作用。引理B.1设U为停止时间。设X是[0，U]上的局部鞅，这样，对于[0，U]上的任何局部有界局部鞅Y，X i与Y正交，即[X，Y]是[0，U]上的局部鞅。那么X=Xon[0，U]。证据假设X是一致可积的，但不失一般性。对于任何停止时间σ>0，请使用σX.首先，假设σ>0完全不可访问，则使用1的补偿器[σ，∞), 所以（1[σ，∞)- u） 是一个局部有界的局部鞅。根据假设的正交性，由于u是连续的（参见He et al.（1992，推论5.28）），过程|σX | 1[σ，∞)= [X，1[σ，∞)- u] 必须是[0，u]上的局部鞅。因此为空。同样，对于任何可预测的停止时间σ>0和有界随机变量χ，使得E[χ| Fσ-] = 0（表示过滤F=（Ft）t∈R+，χ1[σ，∞)是有界鞅，正交性假设意味着σXχ1[σ，∞)是[0，U]上的鞅。考虑χ=1{σ<∞}- E[1{σ<∞}|Fσ-], 我们有[|σX | 1{σ<∞}] = E类[σXχ1{σ<∞}] = 0，因为E[1{σ<∞}|Fσ-] 是Fσ-可测量和E[σX | Fσ-] = 0，通过σ的可预测性。总之，局部鞅X在任何可预测或完全不可接近的停止时间都是连续的。因此X是[0，U]上的连续局部鞅。因此，应用于X本身的正交性假设，[X，X]是一个连续的局部鞅[0，U]。在[0，U]上的[X，X]=[X，X]=0，证明了引理。在本节的其余部分中，我们得出了独立利益的衡量变化结果（与扩大过滤无关），用于第C节中理论3.1的第二个证明。

给定一个与FT上的概率测度Q相等的概率测度P，我们使用（3.1）中引入的符号P、\'P、Q、\'Q。（F，P）可预测括号用h·、·iP表示，而（F，Q）可预测括号用h·、·i表示（当然，当一个参数连续时，两个括号重合，我们通常写h·、·i）。局部鞅的连续部分和纯不连续部分（从0开始）用·cand·d表示。Girsanov定理有两种形式。可选的b racket Girsanov公式表明，对于M（F，P），（b.1）P中的任何P- q [p，p]以M[0，T]（F，Q）表示。可预测括号Girsanov公式指出，如果M（F，P）中的P表示[P，P]是（F，P）局部可积的，那么q（P）：=P- q- hp，P iP=P- h'p，p iP（B.2）单位为M【0，T】（F，Q）。狐猴。2和B.3研究了可预测括号Girsanov变换下的（F，Q）局部鞅类。参见（2.6）和（2.5）以及He等人（1992年，定理12.18）。参见He等人（1992年，定理12.13）。imsart aop版本。2014年10月16日文件：不变性决赛。tex日期：201730年2月6日S.CR'EPEY和S.SONGLemma B.2设Q是（F，Q）一致可积鞅，使得Q=0，对于从0开始的任何有界（F，P）鞅P，Q（P）Q是[0，T]上的（F，Q）局部鞅。然后Q=0，在[0，T]上。证据对于任意边界（F，P）鞅P，从0开始，任意F停止时间σ≤ 将所涉及的过程转化为可积性，我们得到0=E[Q（P）σQσ]=EP[（P- q- hp，P iP）σQσPσ]=EP[[Qp，P]σ- Q- hp，P iPσ]=EP[[Qp- Q- p、 p]σ]，（B.3），其中pσ和（Qp）σ的（F，p）鞅性质被用于传递到第二线，结合以下可预测的投影公式：EP[q- hp，P iPσQσPσ]=EP[P·P（QσPσ）Q- hp，P iPσ]=EP[Q- hp，P iPσ]，其中·P·P表示（F，P）可预测的对偶投影。因此，根据He等人。

（1992年，定理4.40），[Qp- Q- p、 p]单位为M[0，T]（F，p）。因为这必须适用于M[0，T]（F，P）中的每个有界P，所以LemmaB。1意味着0=Qp=Qp- Q- p=Qp- （Qp）- （q）- p） 在[0，T]上。（B.4）因此，Q p=QpE（Q- p） =0（假设Q=0）。引理B.3对于从0开始的任何（F，P）局部鞅P，使得[P，P]是（F，P）局部可积的，Q（Pc）和Q（Pd）分别是[0，T]上的连续（F，Q）鞅和纯间断（F，Q）鞅。因此，Q（Pc）=（Q（P））cand和Q（Pd）=（Q（P））dhold在[0，T]上。证据可预测括号Girsan-ov公式（B.2）表明Q（Pc）是[0，T]上的连续慢鞅。对于从0开始的任何连续（F，Q）鞅，只要证明Q（Pd）Q在M[0，T]（F，Q）中就足够了。实际上，对于任何F停止时间σ≤ 将相关过程导出为可积性，如在L emmaB的证明中。2，我们可以写：E[Q（Pd）σQσ]=EP[[Qp- Q- p、 Pd]σ]，其中，通过[0，T]，[Qp]上的分部积分公式- Q- p、 Pd]=[p- Q+[Q，p]，Pd]=0，因为p- Q+[Q，p]是连续的，就像Q.ByHe et al.（1992，定理4.40），这证明了Q（Pd）Q在M[0，T]（F，Q）中。引理B.4我们在测量变化密度过程q，p和它们的随机对数q，p之间有以下关系：，qc=-Q（(R)pc），(R)qd=-q[0，T]上的p。（B.5）Cf.He等人（1992年，备注5.3和定理5.26）。参见He等人（1992年，定理7.34）。imsart aop版本。2014年10月16日文件：不变性决赛。tex日期：2017年2月6日不变性乘以31证明。注意，对于任何有界的F可预测过程K和F可预测停止时间σ≤ T，E[Kσqσσp]=EP[Kσσp]=0。因此，根据He等人的定理7.42。

（1992），在[0，T]上存在一个（F，Q）纯d连续局部鞅Q，如sq=qssp.（B.6）由Karatzas和Kardaras（2007）中的引理3.4得出，q和p之间存在以下关系：\'q=-“p+h”pc、“pci+Xs”≤·(标准普尔）1+s'p.（B.7）此外，在[0，T]上，我们有tq公司=tppt=pt-t'ppt-+ tp=t’p1+t'p，因此[q，'pd]=Xs≤·(标准普尔）1+s'p.（B.8）使用（B.7）和（B.8），我们得到'q=-“p+h”pc，“pci+[q，\'pd]=-？pc+h？pc、？pci- \'pd+[q，\'pd]=-Q（(R)pc）- [0，T]上的\'pd+[q，\'pd]（参见（B.2））。因此，与引理B.3一起，我们有“qc=-Q（(R)pc）。此外，根据（B.7），t？qd=t'q=-t'p+(t'p）1+t'p=-t’p1+t'p=-tq，由（B.8）中的第一部分确定。新加坡(-q） 都是（F，q）纯间断局部鞅，根据inHe et al.（1992）的推论7.23，它们在[0，T]上重合。鉴于（B.6），这证明(R)qd=-qp、 附录C：通过Girsanov和JEULIN-YOR公式描述不变性度量在本节中，我们将度量变化引理B.2至B.4（仍使用第B节中介绍的方法）与过滤计算的扩大相结合，以获得定理3.1的第二个证明。目标是将不变性度量属性与（3.3）联系起来。从（F，P）传递到（F，Q）会产生Girs和ov漂移，而从（F，Q）传递到（G，Q），与θ之前的停止相结合，会产生Jeulin-Yor漂移。在此之前，为了具有不变性概率性质，两个dr if t必须相互抵消。然后，可以使用尤林（1980）系统使用的经典方法项目法，将过滤G中的取消条件转换为过滤F中的取消条件，在引理B.2至B.4的帮助下，将其视为等效于（3.3）。imsart aop版本。2014年10月16日文件：不变性决赛。德克萨斯州日期：2017年2月6日。