不变性时间

SONGRecall J=1[0，θ）。对于任何P∈ M（F，P），Girsanov公式（B.1）表示P- q【p，p】∈ M[0，T]（F，Q）。适用于Q=P的Jeulin-Yor公式（2.2）- q [p，p]然后屈服于（p- q [p，p]）θ-- J-S- 总部，P- q [p，p]i=pθ--Jq公司 [p，p]+J-S- 总部，P- q [p，p]i∈ M[0，T]（G，Q）。因此，第一项Pθ-在右边，对于任何P，M[0，T]（G，Q）等于第二项（括号中）为in[0，T]（G，Q）的条件∈ M（F，P）。换句话说，我们从上面得出结论，P是一个不变性测度，当且仅当，对于任何P∈ M（F，P），（C.1）Jq [p，p]+J-S- 总部，P- q [p，p]i∈ M[0，T]（G，Q）。在接下来的步骤中，我们通过投影导出条件（C.1）的F对应项。为此，我们需要以期望的形式表达条件（C.1）。事实上，（C.1）相当于 G停止时间（τn）n的一个非减量序列∈我想确认一下， 有界G可预测过程L和n∈ N、 E[LJq [p，p]τn∧T+LJ-S- 总部，P- q [p，p]iτn∧T] =0。（C.2）引理2.2 1），G停止时间（τn）n的非减量序列∈与F停止时间（σn）n的非递减序列相关的Nis∈Nsuchthat，对于每n∈ N、 θ∧ σn=θ∧ τn.我们必须∪n∈N[0，σN] [0，θ]。ByJeulin（1980，引理（4,3）），{p（1（θ），∞)) = 1} 是（θ，∞). 因此，{p（1（θ，∞)) = 1} （R+×）Ohm) \\ (∪n∈N[0，σN]）或等效（C.3）{0}∪ {S-> 0}={0}∪ {1- S-< 1} ={p（1（θ，∞)) < 1} ∪n∈N[0，σN]。相反，如果（C.3）保持F停止时间（σn）n的非递减序列∈N、 然后，根据（A.11），G停止时间τN=（σN）{σN<θ}的非递减序列趋于一致。

此外，通过条件（B），有界G可预测过程L通过约化恒等式k1（0，θ）=L1（0，θ）与有界F可预测过程K相关联。通过这些对应关系和投影id实体o（J）=S和p（J-) = S-打开（0，∞), （C.2）可以根据F停止时间和适应的过程重写，如下所示 F停止时间（σn）n的一个非减量序列∈满足（C.3）要求， 有界F可预测过程K和n∈ N、 E[千先令 [p，p]σn∧T+K 总部，P- q [p，p]iσn∧T] =0。（C.4）我们现在被转移到F中。为了与（3.3）建立所需的连接，我们将（C.4）解释为F中的局部鞅条件。事实上，（C.4）等价于（C.1）的以下F对应项：Sq [p，p]+总部，p- q [p，p]i∈ M{S->0}∩[0，T]（F，Q），（C.5）imsart aop版本。2014年10月16日文件：不变性决赛。tex日期：2017年2月6日不变性乘以33，相当于Q [p，p]+[Q，p- q [p，p]]∈ M{S->0}∩[0，T]（F，Q）。（C.6）分别对（F，P）局部鞅P的连续部分Pc和纯不连续部分Pd进行操作，我们得出结论，P是一个不变性测度，当且仅当，对于任何P∈ M（F，P），（C.7）平方英尺 hpc、Pci+hQc、Pc- q hp，Pcii∈ M{S->0}∩[0，T]（F，Q），平方 【pd，pd】+【Qd，pd】- q [p，Pd]]∈ M{S->0}∩[0，T]（F，Q）。我们现在可以推导出等效条件（3.3）。使用identiesps=S- Q和“qc=-Q（(R)pc）（参见（A.2）和引理B.4），通过连续性，我们得到了sq hpc、Pci+hQc、Pc- q hp，Pcii=pS h'pc，Pci+hQc，pc- q hp，Pcii=pS 总部（(R)pc），Q（pc）i+hQc，Q（pc）i=h-聚苯乙烯 (R)qc+qc，Q（Pc）i。因此，（C.7）中的FIRS t行表示-聚苯乙烯 (R)qc+qc，Q（Pc）i∈ M{S->0}∩[0，T]（F，Q）。对于所有（F，P）局部鞅P，包括有界于es F或which-聚苯乙烯 (R)qc+qc，Q（Pc）i=h-聚苯乙烯 (R)qc+qc，Q（P）i（比照。

引理B.3），等于引理B.2到（C.8）-聚苯乙烯 {S上的\'qc+qc=0-> 0}∩ [0，T]。同样，我们有SQ 【pd，pd】+【Qd，pd】- q 【p，Pd】]=p（平方pP+Q(P- qpP））=P（S）- QqpP+QP）=-聚苯乙烯 [(R)qd，P][qd，P]=[-聚苯乙烯 \'qd+qd，P]，其中identiesps=S- Q和(R)qd=-qp（参见（A.2）和引理B.4）用于倒数第二个等式。因此，（C.7）中的第二行表示[-聚苯乙烯 \'qd+qd，P]∈ M{S->0}∩[0，T]（F，Q）。对于P有界（因此可预测括号Girsanov公式（B.2）适用），鉴于Yoeurp引理，这意味着[-聚苯乙烯 (R)qd+qd，Q（P）]∈ M{S->0}∩[0，T]（F，Q）。使用Lemm aB.2，我们得出结论，（C.7）中的第二行适用于所有（F，P）局部鞅P（包括有界鞅），当且仅当（C.9）-聚苯乙烯 {S上的\'qd+qd=0-> 0}∩ [0，T]。根据引理2.5，Q在{S上是常数-= 0} {pS=0}。因此，（C.8）和（C.9）分别是（3.3）的连续部分和纯不连续部分，因此定理3.1得到了验证。imsart aop版本。2014年10月16日文件：不变性决赛。德克萨斯州日期：1973年2月6日S.CR'EPEY和S.SONGC。1、副产品。通过检验定理3.1的上述证明，我们可以看到，基于引理B.2的不变性测度性质到（3.3）的推导，只使用了有界（F，P）鞅。因此，我们可以产生一种似乎较弱的条件。条件（A’）。在FTsuch上存在一个与Q等价的概率测度P，对于任何有界（F，P）鞅P，Pθ-是[0，T]上的（G，Q）局部鞅。推论C.1条件（A）等价于条件（A′）。参考ACCIAIO，B.、C.Fontana和C.Kardaras（2016）。半鞅金融模型中的第一k指数套利和过滤放大。随机过程及其应用1261761-1784。Acciaio，B.和I.Penner（2014年）。

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