不变性时间

第3.1和3.2节建立了定理3.1和3.2-3.3的不变性度量和不变性时间特征。第3.3节研究了单位E（1{pS>0}pS）上随机经验的正性 Q） 这似乎是理论3.2中测量变化的暂定密度过程。第3.4节是关于S的乘法鞅部分Q的真鞅性质，在条件（A）下，将在定理3.2-3.3中看到它与E（1{pS>0}pS）重合 Q） 在[0，T]上。第3.5节给出了在不变性测度下局部鞅的一个特征。3.1。Az'ema不变性测度的超鞅刻划。条件（A）是不变性测度的存在条件。在描述这种存在性之前，我们在本节中考虑了一个给定的概率测度P（相当于FT上的q）是一个不变性测度的条件。给定一个等价于FT上Q的概率测度P，我们用Q表示密度函数pdq的（F，Q）鞅英尺∧T、 T型∈ R+。我们还引入了p=q和对数p和q，使得p=pE（\'p），q=qE（\'q），\'p=\'q=0。（3.1）特别是，p和'p（分别为q和'q）是（F，p）（分别为（F，q））局部鞅子[0，T]。引理3.1我们考虑在（3.1）中引入符号的情况下，概率测度P与f上的Q相等。以下两个条件相等：q=qE（pS Q） 在{pS>0}上∩ [0，T]，（3.2）pS (R)q=q开[0，T]。（3.3）如果它们成立，则1{pS>0}pSis（F，Q）可积于[0，T]上的Q。证据回顾（1.2）关于可预测区间I={pS>0}上随机积分的概念∩ [0，T]，我们可以通过其在ζn处停止的版本来解释（3.2），其中（ζn）n∈Nis（A.8）中出现的顺序。

因此，给定随机指数和随机对数之间的关系，（3.2）等于（0，ζn∧[T] (R)q=1（0，ζn∧T]pS Qn∈ N、 （3.4）依次为等效topS1（0，ζN∧T] (R)q=1（0，ζn∧T] Qn∈ N、 imsart aop版本。2014年10月16日文件：不变性决赛。tex日期：2017年2月6日不变性乘以13根据随机积分的支配收敛定理，这等于 \'\'q=pS1{pS>0} \'\'q=1{pS>0} Q在[0，T]上，由于引理2.5，它等价于（3.3）。证明了引理的第一部分。第二部分成立，因为1{pS>0}pSis（F，Q）可积于topS \'q开[0，T]。类似的推理可用于证明以下结果。引理3.2当且仅当（2.3）中S的乘法鞅部分Q是一个D-ol'eans-Dade指数函数[0，T]，在这种情况下，恒等式Q=E（1{pS>0}pS），则过程1{pS>0}pSis（F，Q）可积于[0，T]上 Q） 保持[0，T]。证据根据（2.3），我们得到了[0，ζn]pS Q=1[0，ζn]{Q->0}Q- Qn∈ N、 因此，byHe等人（1992年，定理9.2），如果1{Q->0}Q- Q存在于[0，T]上，则过程{pS>0}pSis（F，Q）可积于[0，T]上。此外，利用随机积分的支配收敛定理，我们得到了[0，T]：{pS>0}pS Q=1{pS>0}{Q->0}Q- Q=1{Q->0}Q- Q、 作为补充（d[Q，Q]） {pS>0}，by（2.3）和引理2.5。相反，假设[0，T]上的1{pS>0}pSis（F，Q）相对于Q可积。然后，在[0，T]上，我们得到（2.3）逐点limitsQ=limn→∞E（pS Q） ζn=limn→∞E（1{pS>0}pS Q） ζn=E（1{pS>0}pS Q） ，通过随机主导收敛。下面的定理3.1将emma 3.1中引入的条件与不变性度量属性联系起来。下面的pro是基于从g到F的所有计算的减少。

基本思想是利用引理2.2（4）建立过程p的不变性度量属性和SDE（3.6）之间的等价关系。基于这种归约方法，该p屋顶并不能直接解释Girsanov漂移如何补偿Jeulin-Yor漂移。鉴于这一问题对本文目的的重要性，我们在C节中提供了基于此补偿的定理3.1的另一种证明。定理3.1 FTI上与Q相等的概率测度P是一个不变性测度，且仅当（3.2）（即（3.3））成立时。证据P的不变性度量性质等价于（Pθ-)T=（PT）θ-∈ M（G，Q），P∈ M[0，T]（F，P）。参见He等人（1992年，定理9.30）。imsart aop版本。2014年10月16日文件：不变性决赛。tex日期：2017年2月6日，S.CR'EPEY和S.SONGBy Lemma2.2 4），如果且仅当ifS成立- PT+[S，PT]∈ M{S->0}（F，Q）， P∈ M[0，T]（F，P）。我们继续将这个性质转化为p的SDE（3.6）。S yieldPTS=PT的partsformula积分和Doob-Meyer分解- S+S- PT+[PT，S]=PT- Q- PT公司- D+S- PT+[PT，S]。因此，前面的属性等价于toPTS+PT- D∈ M{S->0}（F，Q）， P∈ M[0，T]（F，P）。（3.5）注意M[0，T]（F，P）={Qp；Q∈ M[0，T]（F，Q）}。对于任何Q∈ M[0，T]（F，Q），分部积分公式在QT（pT）中的应用- D） 产量（pTS+pT- D） =（Qp）TS+（Qp）T- D+（pT- D） QT+[QT，pT- D] 。在右手边，通过Yoeurp引理，括号[QT，pT- D] 以M（F，Q）为单位，以isalso（pT）为单位- D） QT。

因此，（3.5）相当于qt（pTS+pT- D）∈ M{S->0}（F，Q）， Q∈ M[0，T]（F，Q）。由LemmaB提供。1，这在tur n中相当于topTS+pT- D=pSon{S-> 0}∩ [0，T]。（3.6）在pS+p处注明th- D=pS+（pS）-S- D、 我们在（3.6）中认识到，线性SDE表示(-S- D） 初始条件为pSon{S-> 0}∩ [0，T]，即（3.6）等于topS=pSE(-S- D） 关于{S-> 0}∩ [0，T]。（3.7）召回{S-> 0}\\{pS>0}=[η]（参见（2.10）和（2.8））。实际上，恒等式（3.7）等价于较小集合{pS>0}上的类似恒等式∩ [0，T]。要理解原因，请注意，如果η是有限的，则Sη=0，而（2.9）产生E(-S- D） η=0，因此有一个平凡的等式（pS）η=pSE(-S- D） η=0。因此，恒等式（3.7）相当于（3.8）pS=pSE(-S- D） 在{pS>0}上∩ [0，T]，即根据L emma2.2 5），顶部(-S- D） E（pS Q） =pSE(-S- D） 在{pS>0}上∩ [0，T]，相当于（3.2），因为SE(-S- D） 在{pS>0}上为正，乘以（2.10）。参见He等人（1992年，定理12.12）。见He等人（1992年，练习9.4 1））。imsart aop版本。2014年10月16日文件：不变性决赛。tex日期：2017年2月6日不变性乘以153.2。Az'ema不变性时间的超鞅特征。在本节中，我们提供了条件（A）的两个（密切相关的）Az'ema超鞅刻画。

给定定理3.1，指定E（1{pS>0}pS Q） 作为某些不变性测度P的试探性F密度过程，验证条件（A）所需的一切是检查E（1{pS>0}pS的正性和真鞅性质 Q） 。定理3.2条件（A）成立的充要条件是（{pS>0}pSis（F，Q）可积于[0，T]上的Q和（1{pS>0}pS Q） 是[0，T]上的正（F，Q）真鞅。（3.9）如果这一点得到满足，则方差度量P由Q密度E（1{pS>0}pS）确定 Q） t t t和任何不变性度量P i都是这样的，qt=qE（1{pS>0}pS Q） TE（1{pS=0} (R)q）T.（3.10）证明。假设存在不变性测度P。根据定理3.1，密度过程q为PDQSaties（3.2）。利用引理3.1，在[0，T]上，F可预测过程1{pS>0}pSis（F，Q）可积于Q。在order er to s中，过程Q=E（1{pS>0}pS Q） （参见Lemma3.2）是[0，T]上的一个正（F，Q）真鞅，它足以表示为一个正且Q可积的可测随机变量的（F，Q）条件期望过程。

根据（3.2）和（A.8），对于任何n∈ N和t∈ [0，T]，我们有qe（1{pS>0}pS Q） ζn∧Tt=qE（pS Q） ζn∧Tt=qζn∧Tt=E[qζn∧T | Ft]=EhE[qT | Fζn∧T]Fti。（3.11）一方面，注意到Q=1+Q-{pS>0}pS Q、 随机积分的支配收敛定理yieldslimn→∞Qζn∧T=1+极限→∞（0，ζn∧[T] Q=1+极限→∞（0，ζn∧T]Q-{pS>0}pS Q=1+Q-{pS>0}pS Q=Q。另一方面，limn→∞E[qT | Fζn∧T] =EqT∨n∈N（FζN∧T）在L中保持不变。因此，对于t∈ [0，T]，我们通过传递到（3.11）（3.12）E（1{pS>0}pS）中的极限得到 Q） t=EhEqTq |∨n∈NFζn∧TFti，其中EqTq数量∨n∈NFζn∧T是一个正且Q可积的可测随机变量。因此，进程E（1{pS>0}pS Q） 是[0，T]上的正（F，Q）一致可积鞅，证明了（3.9）。相反，假设（3.9），我们可以通过给定q=E（1{pS>0}pS）的pdqf密度过程来定义概率度量P Q） 在[0，T]上，当ce'Q=1{pS>0}pS Q在[0，T]上。Givenimsart aop版本。2014年10月16日文件：不变性决赛。德克萨斯州日期：2017年2月6日，S.CR'EPEY和S.SONGLemma2.5，建立（3.3）。因此，根据定理3.1，P是一个不变性测度，它证明了条件（A）。假设条件（A），（3.10）是（3.3）的结果（这意味着1{pS>0}q={pS>0}pSQ） 公式E（(R)Q）=E（1{pS>0}Q）E（1{pS=0}Q）（参见Jaco d（1979年，命题6.4））。根据引理3.2，定理3.2可以用以下形式证明。定理3.3条件（A）成立的充要条件是（2.3）中S的乘法鞅部分Q是[0，T]上的正（F，Q）真鞅。

在这种情况下，我们有q=E（1{pS>0}pS Q） 在[0，T]上。在下面的内容中，我们根据定理3.1和3.2-3.3检查条件（A）中F=G或P=Q的极端情况。命题3.1 1）Q本身是所有T>0的不变性测度当且仅当Q=0.2）当F=G且θ与Q（θ）完全不可及时≤ T）正，则条件（A）不能保持[0，T]。证据1） 在P=Q的情况下，我们有Q=qon[0，T]，即在[0，T]上Q=0。因此，根据定理3.1和（3.3），P是所有T>0的不变性度量，当且仅当[0，T]上的q=0时。2） 在F=G和θ完全不可访问的情况下，我们有by（A.2）和引理A.1:S=J，D是连续的，pS=J-Q=J+D- 因此，使用随机指数公式，E（1{pS>0}pS Q） t=E（Q）t=eQtYs≤t（1+sQ）e-sQ=eJt+Dt-1Jt=eDtJt，在{θ上的θ处消失≤ T}。因此，根据定理3.2，条件（A）不能保持[0，T]，除非Q（θ≤ T）=0。示例3.1假设G是指数时间θ下跳跃过程相对于某个概率测度Q的自然过滤的增强。对于F=G（因此条件（B）下的th基本成立），命题3.1 2表明条件（A）不成立。这也可以直接从定义中恢复。事实上，对于任何等价于FT上Q的概率测度P，每个（F，P）局部鞅P都必须是关于θ补偿跳跃过程的（F，P）随机积分（参见He et al.（1992，定理13.20））。因此，过程Pθ-是绝对连续的，因此它不是[0，T]上的（G，Q）局部鞅，除非它在[0，T]上是常数。因此，P不是F=G的不变性度量。对于F平凡，任何G可预测过程与θ之前的Borel函数重合，因此满足条件（B）。

常数是唯一的（F={, Ohm}, Q） 局部鞅，因此Q本身是一个不变性度量，条件（A）是满足的。与定理3.2的结论一致，S是确定性的（等于θ的生存函数），Q=0和Q=1，因此（3.2）是满足的。总之，指数时间θ在其自身过滤G中是f的不变性时间，但不是f或f=G。参见e.G.He等人（1992年，定理9.39）。imsart aop版本。2014年10月16日文件：不变性决赛。tex日期：2017年2月6日不变性乘以173.3。E（1{pS>0}pS的正性 Q） 在[0，T]上。E（1{pS>0}pS的正条件Q） 在[0，T]上，T是定理3.2特征化的关键元素。关于一个随机指数的正性，已有一般结果。但是，为了证明下面的定理3.5，我们需要一个不同的特征。在这一节中，我们展示了e（1{pS>0}pS）的正性 Q） （假设1{pS>0}pSis（F，Q）可积于[0，T]上的Q）可以用s的第一个零点的时间来表示（参见（A.5））。具体而言，E（1{pS>0}pS）的正性 Q） 导出了停止时间{≤T}。引理3.3设σ为F可预测的停止时间。然后，在集合{σ<∞}, 我们有psσ=0 i f且仅当σ≥ 。证据通过定义可预测投影和S的非负性，在S et{σ<∞}, 它保持：pSσ=0<==> E[Sσ| Fσ-] = 0<==> Sσ=0<==> σ≥ 。引理3.4 F停止时间{<∞,S-=0}和{<∞,pS=0}是可预测的。证据关于{的断言<∞,S-=0}来自于定理9.41的证明，inHe等人（1992）。

对于{<∞,pS=0}，需要注意的是{<∞,pS=0}={<∞,S-=0}∧ {<∞,S->0，pS=0}={<∞,S-=0}∧ η、 其中η是引理2.4中引入的F可预测时间。定理3.4假设[0，T]上的1{pS>0}pSis（F，Q）可积，下列条件彼此等价：（i）E（1{pS>0}pS Q） >0在[0，T]上，（ii）pS=0在{≤ T}，（iii）{≤T}是一个可预测的停止时间。证据请注意{pSt>0}t型聚苯乙烯 Q= 1{pSt>0}pSttQ=1{pSt>0}StpSt公司- 1., t型∈ [0，T]，其中（A.2）用于最后一个等式。因此，E（1{pS>0}pS Q） 当且仅当（3.13）1{pSt>0}StpSt公司- 1.> -1.t型∈ [0，T]。回顾（A.10）和（A.9），唯一的方法（3.13）是如果≤ T和ps>0，表明（i）和（ii）之间的等效性。为了证明（ii）和（iii）之间的等价性，设ξ={<∞,pS=0}，这可由引理3.4预测。如果（3.14）pS=0 on{≤ T}，然后{≤T}=（{<∞,pS=0}{≤T}=ξ{≤T}Cf.He等人（1992年，引理9.40）。imsart aop版本。2014年10月16日文件：不变性决赛。德克萨斯州日期：2017年2月6日S.CR'EPEY和S.SONGand{≤ T}={{<∞,pS=0}≤ T}={ξ≤ T}是Fξ-可测量的因此，byHe等人（1992年，定理3.29 7）），{≤T}=ξ{≤T}是可预测的。相反，如果{≤T}是可预测的，如{≤T}≥ 、 条件（3.14）适用于EMMA3.3。特别是，如果性病几乎肯定呈阳性，那么{≤T}=∞, 这是一个可预测的停车时间。因此E（pS Q） 在[0，T]上为正，与引理2.2 5）中的最后一个陈述一致。示例3.2将F=G和θ视为完全无法访问的停止时间，例如q（θ≤ T）>0。然后=θ，因此停止时间{≤T}是不可预测的。因此，如命题3.1的证明所示，E（1{pS>0}pS Q） 在{θ上的θ处消失≤ T}。3.4。Q的真鞅性质。

定理3.2的第二个关键要素是E（1{pS>0}pS）的（F，Q）真鞅性质 Q） 关于[0，T]（关于其正性的拓扑）。关于Dol\'eans-Dade指数的真鞅性质，请立即考虑Novikov-Kazamaki型条件（asurvey见Larsson和Ruf（2014））。然而，在条件（B）下，E（1{pS>0}pS）的真鞅性质 Q） 或者，更准确地说，从（2.3）开始，S的乘法鞅部分Q（参见定理3.2-3.3），可以通过Az’ema的超鞅计算方法更好地研究。注意，在任何非负（F，Q）局部鞅（因此是超鞅）Q的情况下，Q在[0，T]上的（F，Q）真鞅性质等价于EQT=EQ。下面的例子表明，存在时间θ，其中Q不是真鞅。例3.3设X为从1开始的三维（F，Q）贝塞尔过程的逆。定义X*t=sup0≤s≤tXs，用于t≥ 0，设θ=sup{t≥ 0：Xt=X*t} 。根据Nikeghbali和Yor（2006），S=XX*是θ的Az’ema Super artin gale。我们有Q=X，它不是任何非空区间[0，T]上的（F，Q）真鞅。我们接下来对[0，T]上Q的真鞅性质的研究是基于以下性质。注意E（pS D） 在集合{pS>0}上定义良好，并且，由于θ∈ {S-> 0}在{0<θ<∞} （参见（A.11）），我们有[0，θ） {pS>0}。引理3.5 1）过程E（pS）的（F，Q）可选投影 D） 1[0，θ）等于过程E（pS D） S1{pS>0}=SE（pS Q） 1{pS>0}=SQ1{pS>0}。2） 过程E（pS D） 1[0，θ）是{pS>0}上的（G，Q）局部鞅。3）如果随机变量族E（pS D） σ{σ<θ}，对于任何F停止时间σ，使得[0，σ] {pS>0}∩ [0，T]是Q一致可积的，那么Q是[0，T]上的（F，Q）真鞅。证据