不变性时间

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英文标题：
《Invariance times》
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作者：
St\\\'ephane Cr\\\'epey (LaMME), Shiqi Song (LaMME)
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  On a probability space $(\\Omega,\\mathcal{A},\\mathbb{Q})$ we consider two filtrations $\\mathbb{F}\\subset \\mathbb{G}$ and a $\\mathbb{G}$ stopping time $\\theta$ such that the $\\mathbb{G}$ predictable processes coincide with $\\mathbb{F}$ predictable processes on $(0,\\theta]$. In this setup it is well-known that, for any $\\mathbb{F}$ semimartingale $X$, the process $X^{\\theta-}$ ($X$ stopped \"right before $\\theta$\") is a $\\mathbb{G}$ semimartingale.Given a positive constant $T$, we call $\\theta$ an invariance time if there exists a probability measure $\\mathbb{P}$ equivalent to $\\mathbb{Q}$ on $\\mathcal{F}\\_T$ such that, for any $(\\mathbb{F},\\mathbb{P})$ local martingale $X$, $X^{\\theta-}$ is a $(\\mathbb{G},\\mathbb{Q})$ local martingale. We characterize invariance times in terms of the $(\\mathbb{F},\\mathbb{Q})$ Az\\\'ema supermartingale of $\\theta$ and we derive a mild and tractable invariance time sufficiency condition. We discuss invariance times in mathematical finance and BSDE applications.
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中文摘要：
在概率空间$（\\Omega、\\mathcal{a}、\\mathb{Q}）上，我们考虑两种过滤$\\mathb{F}\\subset\\mathb{G}$和$\\mathb{G}$停止时间$\\theta$，使得$\\mathb{G}$可预测过程与$\\mathb{F}$可预测过程在$（0、\\theta]$）上重合。在这种设置中，众所周知，对于任何$\\mathb F{F}$半鞅X$，进程$X ^{\\theta-}$（$X$已停止“就在$\\θ$”之前）是$\\ mathbb{G}$半鞅。给定一个正常数$T$，如果存在一个概率测度$\\mathbb{P}$等价于$\\mathcal{F}\\T$上的$\\mathbb{Q}$，我们称$\\theta$为不变性时间，这样，对于任何$（\\mathbb{F}，\\mathbb{P}）$局部鞅X$，X ^{\\theta-}$是$（\\mathbb G}，\\mathbb Q}）$局部鞅。我们用$\\theta$的$（\\mathbb{F}、\\mathbb{Q}）$Az\\ema上鞅刻画了不变性时间，并导出了一个温和且易于处理的不变性时间充分条件。我们讨论了数学金融和BSDE应用中的不变性时间。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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关键词：不变性 Applications Quantitative Mathematical QUANTITATIV

提交给《概率不变性时代志》*作者：St'ephane Cr'epey和Shiqi SongUniversit'e d'Evry Val d'Essonelaboratoroire de Math'ematiques et Mod'elisation d'Evry和UMR CNRS 8071'Evry Cedex，FranceKeywords：随机时间、过滤放大、测量变化、数学金融。关于概率空间(Ohm, A、 Q）我们认为G和a G的停止时间θ，使得G可预测进程与F可预测进程在（0，θ）上结合。在这个设置中，众所周知，对于任何F半鞅X，进程Xθ-（X在θ之前停止）是G半鞅。给定一个正常数T，如果F上存在一个与Q等价的概率测度peuch，对于任何（F，P）局部鞅X，Xθ，我们称θ为不变性时间-是（G，Q）局部鞅。我们用θ的（F，Q）Az'ema上鞅来刻画不变性时间，并导出了amild和t可伸缩不变性时间效率条件。我们讨论了数学金融和BSDE应用中的不变性时间。1、简介。关于概率s步(Ohm, A、 Q）我们认为 停止时间θ的Gof次σ-代数。我们假设条件（B）是（0，θ）上的g可预测过程与F可预测过程重合。在这个设置中，对于任何（F，Q）局部鞅X，p过程Xθ是众所周知的-（X在θ之前停止）是一个（G，Q）特殊的半鞅，其漂移部分可以从jeulin和Yor（1978）公式推导出来。本文给出了一个正常数T，研究了在F上存在一个等价于Q的概率测度P的条件（a），对于任意（F，P）局部鞅X，过程Xθ-是（G，Q）局部鞅。

如果这种可能性测度P存在，我们称θ为不变性时间，称P为不变性测度。处理上述鞅不变性问题的一种方法（我们将在本文中提出两种方法）是研究过滤Jeulin-Yor公式的扩大可以通过概率测度等效变化的Girsanov公式进行补偿的条件。Jeulin-Yor公式最初由投影计算证明，长期以来一直被认为与Girsanov公式有关。Yoeurp（1985）给出了一个正式证明，即Jeulin-Yor公式可以通过所谓的广义Girsanov公式（在非绝对连续概率测度之间）获得。实际上，根据Son g（1987，2013），广义Girsanov公式不仅可以检索到Jeulin-Yor公式，而且可以检索到大部分过滤放大公式。然而，上述论文的方法不适用于条件（A）的研究，特别是因为它们在扩大的概率空间中运行，并且具有*这项研究得益于“转型期椅子市场”基金会BancaireFran caise和ANR项目11-LABX-0019的支持。作者感谢副主编和两位裁判的深刻评论。他们还感谢莫妮克·让布兰科对初稿的评论。MSC 2010学科分类：初级60G07；辅助60G44。imsart aop版本。2014年10月16日文件：不变性决赛。tex日期：2017年2月6日S.CR'EPEY和S.SONGnon绝对连续概率测量。因此，我们需要一种新的方法来解决我们的问题。除了他们的理论兴趣外，不变性时间还与最近数学发展中提出的问题密切相关。

自全球金融危机发生以来，从不同角度来看，随机时间的理论研究与违约风险建模领域的关系出现了蓬勃复兴：无套利、信用衍生品定价和对冲、交易对手风险、内幕交易等。。SeeNikeghbali和Yor（2005a）、Jeanblanc和Song（2011、2013）、Aksamit、Choulli、Deng和Jeanblanc（2013、2014）、Kardaras（2014）、Song（2016b）、Li和Rutkows k i（2014）、Fontana、Jeanblanc和Song（2014）以及Acciaio、Fontana和Kardaras（2016）等。不变性时间产生了一类违约时间模型，基于强度的可违约资产定价公式可以在经典但限制性的“浸入式”设置之外获得（见Cr'epey和Song（2015，2016））。我们的主要结果是定理3.1和定理3.2-3.3，它们分别给出了P是方差测度和θ是不变性时间的必要和有效条件，以θ的Az'ema上鞅表示。这些定理在第3.1节和第3.2节中通过约化建立，这是Song（2016b）引入的一种将G中的性质转换为F中的性质的方法。然而，随后的证明并不能直接解释Girsanov漂移如何补偿Jeulin-Yor漂移。鉴于该材料对本工作的重要性，我们在附录C中提供了基于该补偿的REM3.1替代证明。这项工作的第二个主要贡献是Theorem3.5。当应用于可违约资产时，基本无套利定价公式明确涉及违约时间θ，而通过校准，仅可从市场数据中检索θ的强度。为了解决这一问题，Duffee、Schrod er和Sk iadas（1996）建立了一个根据θ的强度过程（假设存在）规定的可违约资产定价公式。

从金融解释的角度来看，他们基于强度的公式也表明，信用风险可以通过利率的变化来评估。然而，该公式的可处理性取决于时间θ的技术无跳跃条件。在满足限制性浸入假设的逐步扩大过滤装置中，这种无跳跃条件得到了满足。或者，Collin Dufresne et al.（2004）提出了对theDu ffe et al.（1996）的公式的重新解释，该公式在所谓的sur v ivalmeasure下免除了无跳跃条件。如第4.2节所述，定理3.5通过表明在温和条件下，生存度量对FTof的限制产生不变性度量，提供了两种方法之间的联系。定理3.5还提供了一个可处理的不变性时间效率条件。一些额外的结果对于定理3.5的建立是有用的。特别是，根据定理3.2-3.3，在θ的Az'ema上鞅S的可预测乘法分解中，试探性Q to P测量变化密度[0，T]的正性，以及鞅部分Q的[0，T]上的真鞅性质，是θ成为不变性时间的关键条件。在理论3.4中，我们通过时间间隔[0，T]上S的前零时间的可预测性来描述上述正性。定理3.6为Q的真鞅性质提供了一个必要和充分的条件。为了更好地理解不变性时间，提供了互补结果。本文的出发点是第2.1节讨论的条件（B）。Asimsart aop版本。

2014年10月16日文件：不变性决赛。tex日期：2017年2月6日不变性时间3回顾第2.2节，条件（A）自然出现在交易对手风险研究中。Theorem3.7在不变性测度P下，用S描述了局部m artin大风。这种描述在inCr'epey和Song（2015）中起着关键作用。第4节研究了几种情况下的IES不变性时间，将其与所谓的伪停止时间、Collin Dufresne等人（2004）的停止时间进行了比较，并展示了不变性时间在各种应用中的作用。1.1。基本符号和术语。实线、半线和非负整数分别用R、R+和N表示；B（R）和B（R+）是R和R+上的Borelσ场；λ是R+上的勒贝格度量。除非另有说明，否则函数（或过程）是实值的；随机变量之间的顺序关系（分别为过程）几乎可以确定（分别为不可区分的意义）；时间间隔是随机的。当函数（或过程）的定义由可测性暗示时，我们没有明确提及其定义域，例如，我们写的是“ab（R）可测函数h（或h（x）），而不是“定义在R上的ab（R）可测函数h”。对于乘积空间上定义的函数h（ω，x）Ohm ×E，我们通常写h（x）而不写ω（或在s-tochasticprocess的情况下写hts）。我们采用Dellacherie和Meyer（1975）以及He、Wang和Yan（1992）的书中给出的过程和过滤一般理论的工具和术语。脚注用于参考相对标准的结果。

对于任意半鞅X和任意可预测过程L可积，相应的随机积分用R·LtdXt=R（0，·]LtdXt=L表示 十、 按照通常的优先约定kl X=（KL） 如果K是另一个可预测的过程，使得KL相对于X是可积的。半鞅X的随机指数用E（X）表示（特别是E（X）=1）。我们用'X=X表示- X（无论何时存在）正半鞅X的所谓随机对数，即X=XE（(R)X）。给定半鞅X和X′，括号过程[X，X′]及其可预测对应物hX，X′i被定义为inHe等人（1992，定义8.2）。特别是，我们使用约定[X，X′]=0。对于任何c\'adl\'ag过程X，对于任何随机时间τ（非负随机变量），τX表示X在τ处的跳跃。继Dellacherie和Meyer（1975）和He等人（1992）之后，我们使用了X0-= X（因此X=0），我们写Xτ和Xτ-对于分别在τ和τ之前停止的过程X，即Xτ=X1[0，τ）+Xτ[τ+∞), Xτ-= X1[0，τ）+Xτ-[τ+∞).（1.1）我们称停止时间的补偿器τ为过程1的补偿器[τ，∞).我们说，如果停止时间τ是正的，并且如果其补偿器在[0，τ]上是连续的（分别是绝对连续的），则停止时间τ是完全不可访问的（分别是有强度的）。给定过滤G=（Gt）t∈R+和a G停止时间τ，对于a in Gτ，我们用τa G停止时间aτ+1Ac表示∞.我们在He等人（1992年，第VIII.3节）定义的一组可预测的区间类型I上使用半鞅。特别地，X是I上的局部鞅（分别是Y=L X on I）表示Xτn局部鞅（分别为Yτn=L （Xτn））（1.2）参见He et al.（1992，定义5.21），了解局部可积非减量过程补偿器的作用。参见inHe等人（1992）的定理3.9。imsart aop版本。

2014年10月16日文件：不变性决赛。德克萨斯州日期：2014年2月6日S.CR'EPEY和S.SONGholds至少有一个或相当于任何一个非减损的停止时间序列，例如∪ [0，τn]=I。He等人（1992年，定理8.18 3）确保了此类序列的存在。从计算的角度来看，对于每个在τn处停止的过程，可预测区间上的随机演算可简化为R+上的标准随机演算。但是，如果托氏积分Yτnexplode为n，则过程l可以与I上的X可积，而不必在R+上局部可积→ ∞.给定过滤G和概率测度Q，我们用SI（G，Q）和MI（G，Q）表示可预测区间（或R+，当符号中没有提到区间I时）上的（G，Q）半鞅和局部鞅的各自集合。G可预测和可选σ场用P（G）和d O（G）表示。纵观报纸，Ohm 是否为配备σ场a的空间，Q为a上的概率测量，G=（Gt）t∈R+是a的子σ场的过滤，θ是G的停止时间，f=（Ft）t∈R+是G的一个子过滤。过滤F和G都应该满足一般条件。关于过滤F，我们必须处理两个概率度量q和P。因此，族字母“q”和“P”分别用于（F，q）和（F，P）局部鞅。默认情况下，E表示Q期望值，而P期望值由EP表示。2、前期工作。2.1。条件（B）。我们考虑以下情况：条件（B）。对于任何G可预测过程L，都存在一个F可预测过程L′，称为L的F可预测约化，使得1（0，θ]L=1（0，θ]L′。注2.1等式1（0，θ]L=1（0，θ]L′）是不可区分的。

但是，如果asF满足通常的条件，我们可以找到一个L′的版本，以便在这里保持平等。条件（B）对应于过滤设置的经典渐进式放大，其中较大的过滤G表示参考过滤F的θ渐进式放大。例如，与此经典情况相比，在条件（B）中使用较大过滤G的可能性很大，在克雷佩和宋（2016）的动态马歇尔-奥尔金copula模型中（见下文第4.4节）。作为条件（B）的直接结果，我们有：{0<θ<∞} ∩ Gθ-= {0<θ<∞} ∩ Fθ-,我们重新调用gθ-= G∨ σ{B∩ {t<θ}，B∈ Gt，t∈ R+}，Fθ-= F∨ σ{A∩ {t<θ}，A∈ 英尺，吨∈ R+}。但我们可以说得更多。我们引入了正确的连续过滤F=（Ft）t∈R+，其中（2.1）英尺=B∈ 答：A.∈ 英尺，B∩ {t<θ}=A∩ {t<θ}在信贷风险文献中也称为L违约前流程（参见Bielecki、Jeanblanc、an d Rutkowski（2009））。参见He等人（1992年，定理4.26））和引理2.2 2）。参见He等人（1992，推论3.23 2））。参见He等人（1992年，定义3.3，方程式（3.3））。并在我们假设F满足通常条件的情况下完成。imsart aop版本。2014年10月16日文件：不变性决赛。德克萨斯州日期：2017年2月6日不变性乘以5（seeDellacherie等人（1992年，北卡罗来纳州第XX章）o75））。引理2.1 F、G和θ满足条件（B），当且仅当G是次过滤关。证据假设条件（B）。对于任何t∈ R+和B∈ Gt，1B（t，∞)是一个G可预测过程，具有有界的F可预测约化K，使得1（0，θ）B（t，∞)=（0，θ）K1（t，∞). 然后1B{t<s≤θ}=Ks{t<s≤θ}，hencelim infs↓tB{t<s≤θ}=lim infs↓tKs{t<s≤θ}。但是lim infs↓tB{t<s≤θ}=1B{t<θ}和lim infs↓tKs{t<s≤θ}=（lim infs↓tKs）1{t<θ}，这证明了B∈Ft.反过来（参见Jeulin和Yor（1978）中的引理1），假设G是一个次过滤。

对于任何t>0，对于任何B∈ Gt，让A∈ F满足B∩ {t<θ}=A∩ {t<θ}，所以在（0，θ）B（t，∞)= 1（0，θ）A（t，∞).注意1A（t，∞)是一个F可预测的过程。对于任何B∈ G、 1（0，θ）B{0}=0，这是一个可预测的过程，∞)（t>0，B∈ Gt）和1B{0}（B∈ G） 生成G可预测σ-代数，这证明了条件（B）。在本文的后半部分，假设条件（B）。Leto·andp·表示（F，Q）可选和可预测的投影，h·、·i和[·、·]表示（F，Q）可选和可预测的括号。我们介绍了一些与θ相关的过程，这些过程用直接的大写字母表示。我们写J=1[0，θ），因此J-= 1{0<θ}[0，θ]。处理条件（B）的基本工具是Az'ema supermartingale S=oJ ofθ，即St=Q（θ>tFt），t∈ R+，w，正则Doob-Meyer分解S=S+Q- D、 其中Q是从0开始的（F，Q）鞅，而D是1{0<θ}[θ]的（F，Q）对偶可预测投影，∞). 对这项工作有用的S的最经典性质在A部分重新命名。Eulin和Yor（1978）或ChapitreXX inDellacherie、Maisonneuve和Meyer（1992）关于扩大结果渐进性的证明仅要求G是一个次过滤关。因此，在引理2.1的视图中，所有这些结果都在条件（B）下成立。《下一集》收集了我们在续集中需要的主要内容。引理2.2 1）对于任何G停止时间τ，都存在一个F停止时间τ′，我们称之为τ的F约化，使得{τ<θ}={τ′<θ} {τ=τ′}。2） 设（E，E）为可测空间。任意P（G） E（分别为O（G） E） 可测函数gt（ω，x）允许P（F） E（分别为O（F） E） 减少，即a P（F） E（分别为O（F） E） 可测函数g′t（ω，x），使得1（0，θ）g=1（0，θ）g′（分别为1[0，θ）g=1[0，θ）g′）几乎处处成立。