不变性时间

此外，通过选择合适的版本，可以使这些关系在任何地方都保持不变。3） 我们有∈ M（F，Q）==> Qθ--J-S- hS、Qi∈ M（G，Q）。（2.2）4）对于任何K∈ S{S->0}（F，Q）使得S- K+[S，K]∈ M{S->0}（F，Q），我们有Kθ-∈M（G，Q）。参见inHe等人（1992）的定理3.21。imsart aop版本。2014年10月16日文件：不变性决赛。tex日期：2017年2月6日S.CR'EPEY和S.Song相反，对于任何M∈ M（G，Q）带在{θ<∞}, M的任意F可选约化M′在S{S中->0}（F，Q），1{S->0}米\'-是M的F可预测减少-andS公司- M′+[S，M′]∈ M{S->0}（F，Q）。5） Az'ema supermartingale S允许可预测的乘法分解S=SQD，对于有限的变化可预测因子D=E(-1{S->0}S- D） 以及由逐点limitQ=limn定义的局部鞅因子Q→∞E（pS Q） ζn，（2.3），其中（ζn）n∈Nis（A.8）中出现的顺序。特别地，在随机集{pS>0}上，我们有Q=E（pS Q） ，D=E(-S- D） 安第斯山脉（pS D） E类(-S- D） =1。（2.4）如果STI为阳性，则Q=E（pS Q） >0保持[0，T]。证据1） 在第XX章中得到证实，no75 a）Dellacherie等人（1992年）；3） 已在Capitre XX，n中验证o77 b）Dellacherie等人（1992年）；4） Song（2016b，引理6.5和6.8）证明了这一点。5） 已在Song中得到证明（2016b，引理3.9和3.10）。具体而言，（2.4）是歌曲（2016b，引理3.9）。在（2.3）中，E（pS）的极限存在并具有局部鞅性质 Q） ζ通过Song（2016b，引理3.10）到达limitQ。请注意- D（分别为pS Q） 在{S上定义良好-> 0}，by（A.7）（分别在{pS>0}，by（A.8））。关于2），我们首先考虑过程的问题，即没有可测量空间（e，e）。设χ为有界G∞可测量的随机变量和Y是（c\'adl\'ag）Gmartingale和终端变量χ。通过经典结果（参见Dellacherie et al。

（1992年，第XX n章o每t∈ R+，我们有几乎确定的恒等式jtyt=JtE[χ| Gt]=JtStE[Jtχ| Ft]=JtXt，其中xt=o（Jχ）tSt{St>0}。ByDellacherie和Meyer（1975年，Chapitre VI no47），过程o（Jχ）是c\'adl\'ag，因此实际上，JX=JY在不可区分的意义上成立。这证明了G鞅Y存在一个可选约化。设C表示所有有界B（R+）的类 G∞可测函数L，如G·oL，允许F可选约化，其中G·o表示（G，Q）可选投影。根据He等人（1992）的单调类定理1.4，我们可以证明C是一个函数单调类。由上可知，C包含所有随机变量（a，b）χ，其中a，b∈ R+和χ是有界的G∞可测量的随机变量。因此，根据单调类定理，C包含所有有界B（R+） G∞-可测量的随机变量。特别地，每个有界G可选过程都允许F可选约简。通过取极限，将结果推广到一般G可选过程。由于F满足通常的条件，任何消逝的可测量过程都是F可预测的（定理4.26 inHe等人（1992））。对于任何G可选过程L，F可选在信贷风险文献中被称为关键引理（参见G.Bielecki et al.（2009，引理3.1.2））。imsart aop版本。2014年10月16日文件：不变性决赛。tex日期：2017年2月6日不变性乘以7reduction K，存在一个可忽略的集合O，使得J-K=J-L在O以外的任何地方都适用。因此，d e finingek=K- （K）- 五十） 1O，该流程是可选的且令人满意的-eK=J-我无处不在。因此，在过程的情况下，我们已经证明了引理第2部分的可选版本。利用单调类定理的标准推理证明了可测空间（E，E）存在的结果。引理第2部分的可预测版本也可以得到类似的证明。

事实上，进程的可预测版本（即没有可测量空间（e，e））精确到条件（B）（参见remark2.1）。回想相应的F可预测和可选Girsanov公式，涉及从概率度量e q到某些q绝对连续概率度量P的度量变化的密度过程q：以M（F，q）为界的q==> Q-q- 总部，Qi∈ M（F，P），（2.5）分别为P∈ M（F，P）<==> P∈ S{q->0}（F，Q）和Q- P+[q，P]∈ M{q->0}（F，Q）。（2.6）观察Jeulin-Yor公式（2.2）和引理2.2（4）在过滤的逐步扩大领域，是这些各自的Girs和ov度量变化公式的形式类似物，Az'ema supermartingale S扮演度量变化密度q的角色。从所谓的广义Girsanov公式（可能在非绝对连续概率度量之间）开始，并将Az'ema S超鞅S表示为“广义密度”，这些形式上的类比可以转化为过滤公式相应的放大证明（参见Yoeurp（1985）和S on g（1987，2013））。请注意，Jeulin-Yor公式的经典公式是用Qθ表示的，而不是用Qθ表示的-在（2.2）中，asQ∈ M（F，Q）==> Qθ-J-S- （hS，Qi+B）∈ M（G，Q），（2.7），其中B是过程的（F，Q）双重可预测投影θQ1{θ≤·}（参见Jeulin和Yor（1978，Theorem）。然而，正如Jeulin和Yor（1978）中定理1的证明所示，Jeulin-Yor公式（2.2）中的括号hS，qi与Qθ有内在联系-, 而不是Qθ。下一个结果表明，G可预测和可选过程的F可预测和可选约化在随机区间{S上唯一定义-> 0}（其中包含{0<θ<∞}, 查阅

（A.11）和{S>0}。引理2.3两个F可预测（分别为可选）过程K和K不可区分shableon[0，θ]（分别为[0，θ]）在{S上是不可区分的-> 0}（分别为{S>0}）。证据否则，可预测截面定理（考虑引理中的可预测情况）将意味着F可预测停止时间σ的存在，使得cf。He等人（1992年，定理12.18）。参见He等人（1992年，定理4.8）。imsart aop版本。2014年10月16日文件：不变性决赛。tex日期：1978年2月6日S.CR'EPEY和S.SONGE[1Kσ6=eKσSσ-{σ<∞}] > 0，与Ehkσ6=eKσSσ相矛盾-{σ<∞}i=EhK6=eKS- （1{σ>0}[σ+∞))i=EhK6=eKJ- （1{σ>0}[σ+∞))i=EhKσ6=eKσJσ-{σ<∞}i=0。引理的可选版本可以简单地修改。对于下面定理3.1的（首次）证明，我们需要对随机区间{pS>0}和{S进行明确的比较-> 0}。设=inf{s>0；Ss=0}，η=inf{s>0；pSs=0，Ss-> 0}。（2.8）引理2.4我们有η=inf{s>0；Ss-= sD>0}=inf{s∈ {S-> 0}；E类(-S- D） s=0}。（2.9）此外，我们还有η≥ 、 η=on{η<∞} 和（2.10）{S-> 0}\\{pS>0}=[η]。特别是，η是F可预测的。证据（2.9）中的第一个等式来自（A.2）。随机指数E(-S- D） 在{S中的t处消失-> 0}当且仅当t型-S- D=-第一个-tD=-1，即St-= tD。因此，inf{s∈ {S-> 0}；E类(-S- D） s=0}=inf{s∈ {S-> 0}；不锈钢-= sD}=inf{s∈ {S-> 0}；不锈钢-= sD>0}=inf{s>0；Ss-= sD>0}=η，这证明了（2.9）中的第二个等式。引理的其余部分是引理3.2（参见引理3.3和3.6）在Song（2016b）中的结果。引理2.5我们有1{pS=0} Q=0。证据根据（A.2），我们有-≥因此{pS=0} Q=1（，∞) Q+1（0，）{S-=0} Q+1{pS=0，S->0} Q=1（，∞) Q+1{S-=0}Q1[，∞)+ ηQ1【，∞),引理2.4。第一项为空，因为Q在（，∞) （参见（A.10））。由于SONG（2016b，引理3.4和3.7），第二项为空。

第三项为空，因为（参见（A.2）和引理2.4）1{η<∞}ηQ=1{η<∞}{S->0，pS=0}（S-pS）=0。imsart aop版本。2014年10月16日文件：不变性决赛。tex日期：2017年2月6日不变性乘以92.2。朝向条件（A）：交易对手风险BSDEs动机。从第3节的理论发展来看，这一节主要是出于动机，可以毫无损害地进行。有关应用程序的更多信息将在第4节中介绍。我们考虑：-违约风险敞口，或银行在其对手违约时的“恢复”，形式为1{θ<T}Gθ，其中T>0表示某个到期日，θ表示对手的违约时间，G是G可预测的过程（对于简单的陈述，请参见下面的评论（2.12）），-a P（G） B（R）银行的融资成本系数gt（ω，x）。假设θ具有强度γ，则交易对手风险倒向随机微分方程（BSDE），该方程将违约风险Gθ定价为θ（如果<T），融资成本G直到θ∧ 对于某些过程Zin S（G，Q），T可表示为以下BS DE:（2.11）ZT公司-{T≤θ} =0，Zθ∧T-+R·∧θ∧T（gs（Zs-) + （Gs）- Zs公司-)γs）ds∈ M（G，Q）。为简洁起见，我们在这种稍微不寻常的情况下提出了交易对手风险BSDE，这是inCr'epey和Song（2015，定理3.1）的方程式（3.8），因为这种公式最便于后面的讨论。此外，我们在此仅以最基本的形式陈述问题。为了符合应用，Repey和Song（2015）的假设涵盖了更一般的BSDE，其中g=Gt（x，u），g=Gt（x，u），（2.12），其中附加参数u对应于Z鞅部分随机积分表示中的被积函数。

尤其是（2.12）中G的依赖关系，其中t中的依赖关系不一定是可预测的类型，使得（2.11）的对应形式成为非标准BSDE。本质上，theDu ffe et al.（1996）对（2.11）的方法在于忘记θ（或“将θ发送到单位”），这导致一个“没有θ”的模拟方程，其中θ仅通过其强度γ间接表示。然后暂定s etsZ=eZθ-, 式中，EZ是不含θ的简单方程的解。然而，这只为（2.11）提供了一个解Z，如果Ez不在θ处跳跃。在下文第2.2.1节中讨论的基本简化形式设置中，这种无跳跃条件是可以满足的。但是，除了这种限制性情况外，无跳跃条件是无法验证的，并且通常不成立。解决这一问题的一种方法是引入“减少的BSDE”，前提是满足条件（B）。对于R+（或任何可预测的时间间隔集）上的任何c\'adl\'ag过程X，我们写下X=X+g′·（X）-) + （G′）- 十、-)γ′型 λ。（2.13）imsart aop版本。2014年10月16日文件：不变性决赛。tex日期：201710年2月6日S.CR'EPEY和S.Song观察到，假设BSDE（2.11）有一个解Z，让U=Z′表示Z的可选缩减，则BSDE（2.11）中的鞅项满足Zθ∧T-t+Zt∧θ∧Tgs（Zs-) + （Gs）- Zs公司-)γsds=Uθ∧T-t+Zt∧θ∧Tg’s（美国-) + （G\'s- 我们-)γ′sds=Uθ∧T-t=（UT-)θ-t、 （2.14）这建议用引理2.2 4）求解BSDE（2.11）。

也就是说，我们考虑S{S中某些进程U的以下BSDE->0}（F，Q）：（2.15）UT-ST公司-= 0，S-UT公司-+ [S，UT-] ∈ M{S->0}（F，Q）。基于Lemma2.2 4），以下结果在Cr'epey和Song（2015）中得到了验证。命题2.1 BSDE（2.11）和（2.15）在以下意义上是等价的：-如果Z是BSDE（2.11）的解，那么U=Z′是BSDE（2.15）的解；-相反，如果U是BSDE（2.15）的解，则Z=Uθ-是BSDE（2.11）的解决方案。在（2.15）中，θ仅通过U中的γ′间接表示（参见（2.13））。从这个意义上讲，从（2.11）到（2.15）传递会从方程中删除θ。然而，除了Sis连续且不增加以致于[S，·]=0的简单情况之外，这是以（2.15）鞅条件中的额外括号为代价的。为了解开我们在这里面临的难题，让我们暂时假设下面第3节开头所述的条件（a），对于一些不变性测度P。在这个条件下，鉴于（2.14），S{S中的任何解U->0}（F，P）至（2.16）UT-ST公司-= 0，UT-∈ M{S->0}（F，P）产生一个解Z=Uθ-至（2.11）（自Sθ起-> 0，参见（A.11））。与（2.11）相比，这种方法允许去掉方程中的θ，并且不再以牺牲更复杂的鞅条件为代价。事实上，（2.16）中的摩尔条件与（2.11）中的模约化条件基本相同。从这个角度来看，条件（A）和相关的不变性度量P显示为“deus ex machina”，用于处理（2.11）。具体应用见第4.3节。然而，这种假设条件（A）的方法提出了两个重要问题：1。条件（A）有多强？2.

在条件（A）下，（2.16）和（2.11）之间是否存在等价性，并且不仅仅（2.16）意味着（2.11）？（例如，对于下面第4.3节中提到的应用，确实需要等效性）。这两个问题是我们介绍和研究条件（A）的最初动机。关于第一个，条件（a）的完整表征和它的amild效率条件分别被建立为定理3.2-3.3和定理3.5。第二个问题在R'epey和Song（2015，定理3.1和4.3）中给出了肯定的答案，基于下面关于不变性测度P.imsart-aop ver下局部鞅的定理3.7。2014年10月16日文件：不变性决赛。tex日期：2017年2月6日不变性乘以112.2.1。基本简化表单设置。浸入性质是在Br'emaud和Yor（1978，第284页）的（H）假设下首次引入的，这意味着所有F局部鞅都是G局部鞅。在历史上备受关注的布朗过滤F的情况下（参见Mansuy和Yor（2006）），浸没特性的重要性在于S是一个分解和可预测的过程。在这种情况下，“UT-∈ M{S->0}（F，Q）“通过Yoeurp引理，证明了（2.15）中更复杂的鞅条件。照着当扩大过滤方法而不改变度量值成功地处理定价方程时，人们倾向于将沉浸视为“简单”的情况，如（2.11）（参见第3节Indufie et al.（1996）或Collin Dufresne et al.（2004，第1379页）之前的评论，并参见下面的评论（3.22）和（H.3）或提案6.1inBielecki和Rutkowski（2001））。然而，一方面，浸没对于这个目的来说是必要的，因为θ之后发生的任何事情在这里都是无关的。

另一方面，即使在布朗情况下，沉浸也不足以赋予（2.11）到（2.15）之间的逆向含义。事实上，（2.11）和（2.15）之间等价性的关键属性（包括跳跃模型）不是浸入，而是连续和非递增的属性（参见命题2.1后的注释），它对应于伪停止时间避免F停止时间的情况（参见第4.1节）。在续集中，我们称之为“基本约化形式设置”，与本文的不变性时间所提供的“扩展约化形式设置”相比，S没有鞅分量（即Q=0），θ有强度（因此S=S+D是连续的，由Lemma.1）和G由θ逐步扩大。这类最简单的情况是Coxprocess框架（seeBielecki et al.（2009，C第3章）），在这种情况下，imm假设成立，但即使在基本的简化形式设置中也不一定需要这样。3、不变性测度和不变性时间。对于满足条件（B）的给定三重态（F，G，θ），对于给定的正常数T，我们引入以下条件：条件（a）。在FTsuch上存在一个与Q等价的概率测度P，对于任何（F，P）局部鞅P，Pθ-是[0，T]上的（G，Q）局部鞅，即∈ M（F，P）==> Pθ-∈ M[0，T]（G，Q）。如果满足此条件，我们将随机om时间θ称为不变性时间，将相关概率测度P称为不变性测度。如果θ是G p可预测且F=G，则p=Q是不变性度量。但我们最感兴趣的是θ有一个非平凡的完全不可访问的部分，θ不是停止时间。

在条件（A）中改变度量值的可能性是重要的，例如，在克雷佩和宋（2016）的动态高斯copula模型中（见下文第4.4节）。据我们所知，概率文献中以前从未考虑过条件（A）。与之相关的是，人们可能会想到Jaco d（1987）的密度假设，该假设最初是在初始放大设置中提出的，并在JeanBlanc和Le Cam（2009）的渐进放大设置中加以考虑，在这种情况下，存在一种度量变化，使参考过滤和随机时间θ独立。然而，在不变性度量下，P、F和θ不需要beSeeHe等人（1992，练习9.4 1））。imsart aop版本。2014年10月16日文件：不变性决赛。德克萨斯州日期：2017年2月6日S.CR'EPEY和S.SONGindependent。不变性时代的精神是不把独立的情况扩大到一个计量单位。在条件（A）中，在θ之前停止，而不是在ps eudo stoppingtimes（参见第4.1节）的情况下，在第2.2节的激励应用中自然出现。在这一点上，在条件（A）中，有（至少）两个原因可以在θ之前停止，而不是在θ处停止。首先，考虑到引理2.2的可选版本（在本文假设的条件（B）下），Pθ-是由F的信息决定的，这不是Pθ的情况。其次，如等式（2.7）后所述，Jeulin-Yor公式（2.2）中的括号hS，Q ii与Qθ有内在联系-, 而不是Qθ。本节是对条件（a）的理论研究。