多周期鞅输运

，un），我们将为联轴器组写入∏（u）；也就是说，在Rn+1上测量P，这样Po 十、-1t=0ut≤ t型≤ n其中X=（X，…，Xn）：Rn+1→ Rn+1是标识。此外，M（u）是所有P的子集∈ π（u）是鞅，意味着zxsa（X，…，Xs）dP=ZXtA（X，…，Xs）dP≤ t和Borel集合A∈ B（卢比+1）。我们用F={Ft}0表示≤t型≤n标准过滤Ft：=σ（X，…，Xt）。通常，F-可预测过程H={Ht}1≤t型≤nis是Rn+1上的一系列实函数，例如Htis Ft-1-可测量；i、 e.Ht=Ht（X，…，Xt-1） 对于某些Borel可测量的ht:Rt→ R、 给定F-可预测过程H，离散随机积分{（H·X）t}0≤t型≤由（H·X）t定义：=tXs=1Hs·（Xs- Xs型-1） 。如果X是测度P下的鞅，则H·X是广义条件期望意义下的广义（不一定可积）鞅；参见[30，提案1.64]。如果ut，我们说u=（u，…，un）是凸序的-1.≤cut适用于所有1≤ t型≤ n即ut-1（φ）≤ ut（φ）对于任意凸函数φ：R→ R、 这意味着ut-1和ut的总质量相同。该顺序还可以通过势函数suut:R来表征→ R、 uut（x）：=Z | x- y |ut（dy）。以下性质是基本性质：（i）uutis非负和凸，（ii）+uut（x）- -uut（x）=2ut（{x}），（iii）lim | x|→∞uut（x）=∞1ut6=0，（iv）lim | x|→∞uut（x）- ut（R）| x- bary（ut）|=0，其中+和-分别表示右导数和左导数，而重心（ut）=（Rxdut）/ut（R）是重心。因此，我们可以将uut连续扩展到'R=[-∞, ∞]. Strassen的以下结果是经典的（参见[41]；最后一个陈述如[18，推论2.95]中所述）。提案2.1。设u=（u，…，un）为R上的有限度量值，第一时刻和总质量相等。

以下为等效值：（i）u≤c···≤cun，（ii）uu≤ · · · ≤ uun，（iii）M（u）6=,（iv）存在随机核κt（x，…，xt）-1，dxt），使z | xt |κt（x，…，xt-1，dxt）<∞ andZxtκt（x，…，xt-1，dxt）=xt-1对于所有（x，…，xt）∈ R和1≤ t型≤ n、 和ut=（u κ · · ·  κn）o （Xt）-1对于所有0≤ t型≤ n、 所有内核都是随机的（即归一化的），如下所示。具有（iv）中第一个性质的核κt称为鞅核。2.1一步案例为了方便读者，我们总结了[8]和[10]f中关于一步问题（n=1）的一些结果，稍后将使用这些结果。在这一节中，我们用（u，ν）而不是（u，u）来表示凸序中的给定边缘。定义2.2。配对u≤如果集合i={uu<uν}断开且u（i）=u（R），则cν是不可约的。在这种情况下，让J是I和I的任何端点的并集，这些端点是ν的原子；那么（I，J）是M（u，ν）的域。第一个结果是将运输问题分解为不可约部分；参见【8，定理8.4】。提案2.3。Letu≤cν和let（Ik）1≤k≤Nbe{uu<uν}的（开放）成分，其中N∈ {0，1，∞}. 设置I=R \\∪k≥1Ikanduk=uIkfor k≥ 0，因此u=Pk≥0uk。然后，存在唯一分解ν=Pk≥0νk，u=ν和uk≤所有k的cνk≥ 1，该分解满足所有k的Ik={uuk<uνk}≥ 1、此外，任何P∈ M（u，ν）允许唯一分解P=Pk≥0PK这样的PK∈ M（uk，νk）表示所有k≥ 我们观察到，测量针提案2.3将u传输到其自身，并集中在:=  ∩ 我在这里 = {（x，x）：x∈ R} 是对角线。因此，指数k=0的传输问题实际上不是一个不可约问题，但我们仍将（I，I）称为该问题的域。

当我们想强调这一区别时，我们称（I，I）为对角域和（Ik，Jk）k≥1 M（u，ν）的不可约域。类似地，集合Vk：=Ik×Jk，k≥ 1将被称为不可约分量，V：=称为M（u，ν）的对角线分量。这个术语指的是【10，定理3.2】的以下结果，该结果本质上说明了分量是唯一可以通过鞅传输充电的集合。我们称a集为B集 RM（u，ν）-极性如果它是P-对于所有P为Null∈ M（u，ν），其中空集通常是零测度的Borelset中包含的任何集。提案2.4。Letu≤cν和B Rbe一个Borel集合。那么B isM（u，ν）-极性当且仅当存在u-null集Nu和ν-null集Nν，使得B （Nu×R）∪ （R×Nν）∪[k]≥0Vkc、 [10，引理3.3]的以下结果也将有用；它是证明上述命题的主要成分。引理2。5、让u≤cν不可约，设π为rw上的有限测度，其中π满足π≤ u和π≤ ν。然后，就有了SP∈ M（u，ν），使得P在绝对连续性意义上支配π。3极性结构本节的目标是确定边缘u=（u，…，un）对鞅传输造成的所有障碍，因此相反，s etsByπ≤ u我们的意思是π（A）≤ u（A）对于每个Borel组A R、 这确实可以收费。我们记得，如果Rn+1的子集B是所有P的P-null集，则称其为dm（u）-polar∈ M（u）。命题2.4中一步案例的结果已经显示出一种明显的极性挫折 Rn+1：如果对于某些t，有一个M（ut-1，ut）-极坐标系B′ R如此B Rt公司-1×B′×Rn-t、 那么B必须是M（u）-极性。下面显示了这些集合的并集实际上是M（u）的唯一极性集合。定理3.1（极性结构）。设u=（u。

，un）为凸序。然后a Borel集合B Rn+1为M（u）-极性当且仅当存在utnullsets NTB时n[t=0（Xt）-1（Nt）∪n[t=1（Xt-1，Xt）-1.[k]≥0Vtkc（3.1）其中（Vtk）k≥1是M（ut）的不可约组分-1，ut），VT是对应的对角线分量。在陈述证明之前，我们先介绍一些附加术语。（3.1）的第二部分可按asn[t=1（Xt）]进行泄压-1，Xt）-1.[k]≥0Vtkc类=n\\t=1[k≥0（Xt-1，Xt）-1（Vtk）c类=[k，…，kn≥0n\\t=1（Xt-1，Xt）-1（Vtkt）c、 （3.2）对于每k=（k，…，kn），setVk=n\\t=1（Xt-1，Xt）-1（Vtkt） 在（3.2）的最后一个表达式中出现的Rn+1as将被称为M（u）的不可还原成分；这些集合自Vtk以来是不相交的∩ Vtk′= 对于k 6=k′。此外，我们称他们的unionV=∪kVk M（u）的有效域。粗略地说，一个不可约组分VKI是来自各个步骤（t）的一系列不可约组分- 1，t）。在【8，10】中考虑的一步情况下，分解传输问题是可能的，也是有用的。图2：阴影区域表示k=（1，1）的Vkfor。深入到它的不可约成分中，并在很大程度上分别研究它们；参见提案2.3。这在多步骤情况下是不可能的，如下例所示。示例3.2。考虑两步鞅输运问题，边缘u=δ，u=（δ-1+δ）和u=（δ-2+2δ+δ）。

然后它们的不可约分量由v={（x，x，x）：x给出/∈ (- 2，2）}V={（x，x）：x∈ (- 2.-1] }×[-2,0]V={（x，x）：x∈ [1，2）}×[0，2]V=(-1，1）×{0}×{0}V=(-1，1）×[-1，0）×[-2，0]V=(-1，1）×（0，1）×[0，2]，只有一个鞅输运P∈ M（u），由p=（δ（0，-1.-2） +δ（0，-1,0）+δ（0,1,0）+δ（0,1,2））。而V上支持P∪ 五、 它不能分解为分别支持Vand V的两个鞅部分：Vand Vare不相交，但P | V=（δ（0，-1.-2） +δ（0，-1,0）不是鞅。定理3.1证明的主要步骤是以下引理。引理3.3。设Vkbe为M（u）的不可约组分，并假设λuπ集中在Vk上，使得πt≤ ut对于t=0，n、 然后存在一个传输P∈ M（u），在绝对连续性意义上支配π。推迟证明，我们首先展示这是如何暗示定理的。定理3.1的证明。清晰（Xt）-对于t=0，…，1（Nt）为M（u）-极性，nand（Xt-1，Xt）-1.Sk公司≥0Vtkcis M（u）-对于t=1，…，极性，n、 这表明（3.1）对于B Rn+1为M（u）-极性。相反，假设（3.1）不成立；我们证明了B是非m（u）-极性的。根据（3.2），如果需要，通过传递到B的子集，我们可以假设B V=[kVk=[kn\\t=1（Xt-1，Xt）-1（Vtkt）。我们还可以假设不存在ut-nullset ntb∪nt=0（Xt）-1（Nt）。根据经典最优输运[4，命题2.1]的结果，这意味着B不是∏（u）-极性；i、 e.我们可以找到一个测量ρ∈ π（u），使得ρ（B）>0。我们现在写B=SkB∩ Vk。Asρ（B）=Pkρ（B∩ Vk）>0，我们可以找到一些k，使得ρ（B∩ Vk）>0。但π：=ρ| Vksaties the Assumptions of Lemma 3.3，其产生P∈ M（u），使P>> π。

特别是，P（B）>0，B不是M（u）-极性。3.1引理3.3的证明引理3.3的推理遵循时间步数n的归纳；其严格的公式要求对运输问题的后续步骤进行一定程度的控制。因此，我们首先陈述了引理（核心部分）的一个更定量的版本，该版本是根据归纳论点定制的。定义3.4。设u为凸序，V为m（u）的有效域。我们说，如果存在不相交的紧积集合，则有限测度π有一个紧支撑族，公里数 V带π(∪iKi）=π（Rn+1），使得Ki 对于某些不可约分量，对于所有i=1，m、 定义3.5。设u为凸序，t≤ n和σ≤ ut在R上测量。如果t=n，我们说σ是对角兼容的（与u），如果是紧积集，我们指的是集K=a×···················，其中每个 R比较紧凑。有一个有限族的紧集L，Lm公司 带σ的R(∪iLi）=σ（R）。然而，如果t<n，我们还需要，对于每个i，或者（a）Li Ik表示M（ut，ut+1）或（b）Li的某些不可约成分（Ik，Jk） I这里是t+1≤ t′型≤ n以便李 Is表示所有t的对角线分量M（us，us+1）≤ s<t′和Li 对于M（ut′，ut′+1）的某些（非对角线）不可约分量（It′k，Jt′k），我们设置Ink=Jnk=rf以便于记法。引理3.6。设t<n，设L Ibe包含在M（ut，ut+1）的对角线分量中的紧凑间隔，使得ut（L）>0。存在一个紧密间隔L′ L，ut（L′）>0和t+1≤ t′型≤ n使得L′ Is表示所有t的M（us，us+1）对角线分量≤ s<t′和L′ It′k对于M（ut′，ut′+1）的一些（非对角线）不可约分量（It′k，Jt′k），为了便于记法，我们再次设置Ink=Jnk=R。证据对于t=n，该陈述基本满足- 因为我们可以取L′=L。

对于t<n- 1，考虑M（ut+1，ut+2）的不可约成分族（It+1k，Jt+1k）。我们区分了三种情况。（i） 首先，考虑以下情况：∩ It+1k= 对于所有k≥ 1，则L包含在M的对角线分量中（ut+1，ut+2）。（ia）如果L={x}由一个具有正质量的单点组成，那么我们可以通过归纳得出t+1的结果。（ib）如果L的端点不在某些成分Itk的边界上，则观察ut | L=ut+1 | L。我们可以找到L′ 从t+1的thelemma语句中。然后L′给出的结果为ut（L′）=ut+1（L′）>0。（ic）如果L包含多个点，并且是某个组件Itk的端点。当这个端点x有正的点质量时，我们可以设置l′={x}，并得出（ia）中的结论。如果端点质量为零，我们可以找到 L使用ut（(R)L）>0压缩，其中不包含（ib）中的端点和参数。（请注意，可能最多有两个端点。）（ii）接下来，让k≥ 1应确保ut+1（L∩ It+1k）>0（尤其是RL∩ It+1k6=). 然后我们可以找到一个紧区间L′ L∩ 它+1k使得ut（L′）>0，我们直接看到L′满足引理的陈述。（iii）最后，假设有k≥ 1带L∩ It+1k6= 但是ut（L∩It+1k）=0。特别是这意味着L 6 It+1k。此外，这意味着It+1k6 五十、 否则，ut+1（It+1k）=ut（It+1k）=ut（L∩ It+1k）=0，这与It+1k的定义相矛盾。因为L是一个紧区间，而它+1k是一个开放区间，所以我们得到L+1k是一个紧区间，ut（L+1k）=ut（L）>0。请注意，对于固定的L，最多可以有两个这样的组件It+1K，如有必要，我们将在（i）情况下删除这两个组件。引理3。7.让t≤ n和let J R是一个间隔，使得ut（J）>0。然后我们可以找到一个紧凑的区间K J，ut（K）>0，以便ut | Kis对角兼容。证据t=n的情况很简单。因此，设t<n。

我们认为家族{Ik}k≥1对应于m（ut，ut+1）的不可约分量的开集，并区分两种情况。（i） 有一些k≥ 1使ut（Ik∩ J） >0。在这种情况下，我们可以选择一个紧区间K Ik∩ J使得ut（K）>0。（ii）现在假设ut（Ik∩ J） =0表示所有k≥ 1、然后我们注意到最多有两个组件Ik，Ikso，Iki∩ J 6= andJ \\（Ik∪Ik）仍然是具有正ut质量的非空区间，因为Ik不能包含在J中。因此，我们可以在不丧失一般性的情况下假设J 土地紧凑。现在我们可以应用引理3.6来找到子区间 J使ut | Kis对角兼容。引理3.8。让t≤ n且设π是Rt+1上的一个度量，该Rt+1具有一个关于u的紧支撑族，u和满意度πs≤ usfor s≤ t、 另外，假设π是对角相容的。然后在Rt+1上有一个鞅测度Q，它在绝对连续性意义下表示π，并且有一个关于u，…，的紧支撑族，u和满意度Qs≤ usfor s≤ t、 此外，QT可以选择为对角兼容。最后，可以选择Q，使得dQ=gdπ+dσ，其中密度g有界，且测度σi相对于π是奇异的。证据我们在t上进行归纳。对于t=0，没有什么可以证明的；我们可以设置Q=π。考虑t≥ 假设引理已经为（t）给出- 1） -步骤措施。我们分解π=π′ κ（x，…，xt）-1，dxt）（3.3），观察π′满足引理的条件。特别是π′t-1必须对角兼容：支持的紧集包含在M（ut）的不可约分量中-1，ut）或在对角线组件中。

M（ut）对角分量的任何此类紧子集-1，ut）必须对应于πtso支持的众多紧凑集合中的一个，它们继承了这些集合的兼容性属性。通过归纳假设，我们找到一个鞅测度Q′>>具有所述性质的rtn上的π′。特别是边缘Q′t-1与u对角兼容。再次，让{Ik}k≥1be M（ut）的不可约域（Ik，Jk）的开区间-1，ut），并让我记下相应的对角线域。我们将通过适当地操纵κ来构造鞅核^κ。让我们观察一下，由于π集中在V上，并且对于u，…，有一个紧凑的支持家族，ut，π′-a.e.x=（x，…，xt）的以下保持-（1）∈r和紧集的有限族li，其性质（a）或（b）来自定义3.5：oκ（x，·）=δxt-1无论何时xt-1.∈ 一、 oκ（x，·）集中在一些含Li的Li上 Jkfor xt公司-1.∈ Ikwithk公司≥ 1和Q′t-1（Ik）>0。通过改变π′-nullset上的κ，我们可以假设这两个性质适用于所有x∈ Rt.步骤1。接下来，我们认为我们可能会改变Q′和κ，使得边缘（Q′） κ） t=（Q′） κ）o 十、-1满意度（Q′） κ） t型≤ ut.（3.4）实际上，回想一下dQ′=dQ′abs+dσ′=g′dπ′+dσ′，其中密度g′有界，σ′相对于π′是奇异的。利用Lebesguedecomposition定理，我们找到了一个Borel集a 使σ′（A）=σ′（Rt）和π′（A）=0。通过用常数标度Q′，我们可以假设g′≤ 1/2。Asπt≤ ut，边缘（Q′abs κ） 然后以ut为界，并保持为界（σ′） κ） 用同样的方法罐头。注意，Q′t-1.≤ ut-1内含物σ′t-1.≤ ut-1、我们可以在集合A上任意改变κ，而不会失效（3.3）。实际上，对于M（ut）的每个不可约分量（Ik，Jk-1，ut）我们选择并固定一个紧凑的间隔Kk jk，ut（Kk）>0，使得ut | Kk对角兼容；这可以通过Emma 3.7实现。对于x=（x。

，xt-（1）∈ 这样的xt-1.∈ Ikwe然后定义κ（x，·）：=ut（Kk）ut | Kk。设置k=ut（Kk）/ut-1（Ik）。然后：=信息：Q′t-1（Ik）>0k∧ 1是严格正的，因为只有很多k和Q′t-1（Ik）>0（这是归纳假设的目的，即Q′t-1对角线兼容）。Asσ′t-1.≤ ut-1，我们可以再次缩放Q′，以获得σ′t-1.≤ut-1、我们现在有（σ′| Rt）-1×Ik κ） t=σ′t-1（Ik）ut（Kk）ut | Kk≤ut-1（Ik）ut（Kk）ut | Kk≤ut | Kk。对于对角域，相应的不等式成立，因为我们有κ（x，·）=δxt-1对于xt-1.∈ Iandσ′t-1 | I≤ut-1 | I≤ut | I.作为一个序列，我们有（σ′）κ） t型≤utas是需要的，因此我们可以在下面的内容中假设（3.4）。第2步。我们现在构造一个鞅核^κ，使得Q=Q′ ^κ具有所需的属性。对于固定不可约分量（Ik，Jk），我们有Q′t-1 | Ik=Q′t-1 | K对于一些紧凑型K Ik。我们可以找到紧凑区间B-, B类+ jk与ut（B）-) > 0和ut（B+）>0，使得B-在x<y<z forx的意义上，位于K的左侧，B+位于K的右侧∈ B-, y∈ K和z∈ B+。通过引理3.7，我们可以进一步假设我们有B+ ITK和B- Itk′对于某些k，k′≥ 0，其中（Itl）l≥0属于M（ut，ut+1）的组分，且ut | B±对角兼容。接下来，我们定义两个非负函数x 7→ ε-（x） ，ε+（x）表示x=（x，…，xt-（1）∈ Rt公司-1×K如下：o对于x，使bary（κ（x，·））<xt-1，设ε+为唯一数，例如κ（x，·）+ε+（x）·ut | B+具有重心xt-1，o对于x，bary（κ（x，·））>xt-1，设ε-是唯一数，如κ（x，·）+ε-（x） ·ut | B- 具有重心xt-1，oε±（x）=0，否则。注意这些数字总是存在的，因为B-B+与点xt之间的距离为正-1.∈ K、 现在，我们通过^κ（x）：=c（ε-· ut | B-+ κ+ε+·ut | B+，其中0<c≤ 1是一个规范化常数，使得^κ再次是一个随机tickernel。