多周期鞅输运

我们通过χ=0和χkt（xt）=infx定义χ=（χkt）∈ψkt（xt）（t-1Xs=0φks（x）s（xs）+（H·x）t；那么k的jtk上的χktis凹≥ 1作为职能的一部分。我们首先表明{χkt=+∞} nφk′t-1=+∞o∪ {χk′t-1=+∞}.尤其是，此类点仅存在于φkt（xt）=∞. 假设χkt（xt）=+∞ 和k≥ 1，则XT的前置路径与所有Jktupto t的前置路径一致- 1，但{Pt-1s=0φks（x）s（xs）<∞} 必须保持M（u）-q.s.为φ∈ Lc，g（u）。因此，我们必须有xt∈ 它然后，通过定义，χt（xt）=χkt-1（xt）+φkt-1（xt），权利要求如下。接下来，我们验证χ满意度（4.2）和（4.3）。为了便于注释，我们现在设置χn+1≡ infx公司∈VnPns=0φks（x）s（xs）+（H·x）no≥ 0、将χ的定义上限限制为一组路径x，其中xt+1=xt∈ It+1k′∩ Jtkyieldsχt+1（xt）=χk′t+1（xt）=infx∈ψk′t+1（xt）（tXs=0φks（x）s（xs）+（H·x）t+1）≤ infx公司∈ψkt（xt）（t-1Xs=0φks（x）s（xs）+（H·x）t）+φkt（xt）=χkt（xt）+φkt（xt）。自从∪k′≥0It+1k′=R，在我们检查χkt>-∞ 叉≥ 1和χt>-∞ 保持ut-a.s.，这也意味着χt>-∞ 保持ut-1-几乎可以肯定。我们对t进行归纳≥ 1、明确χn+1≥ 0>-∞. 现在，对于t≤ n归纳假设是χt+1>-∞ 几乎可以肯定地从φ保持ut∈ Lc，gandχt+1>-∞ ut-a.s.我们有φkt<∞, χt+1>-∞ 将ukt-a.s.保持为χktis凹，Jktis为uktwe拓扑支撑的凸包，然后得到χkt>-∞ 在所有的jktf上，从前面的不等式。当k=0时，不等式产生{χt=-∞}  {χt+1=-∞}∪{φt（xt）=∞} 这两组都是utnullsets。最终ut-1（{χt=-∞}) = 0是对角线分量的子集，其中ut-1以ut为主。Set'φkt：=φkt+χkt-χt+1 | Jtkfor 0≤ t型≤ n然后是φkt≥ 此外，选择任意P∈ M（u），崩解P=u κ · · ·  κn一些随机核κt（x，…，xt-1，dxt）。

从引理4.16我们知道u（φ）=P“nXt=0φkt（X）t（Xt）+（H·X）n#<∞.因此，我们可以将Fubini的核定理应用于Lemma 4.16的证明中的表达式0≤nXt=0φkt（x）t（xt）+（H·x）n=nXt=0φkt（x）t（xt）+nXt=1χt（xt-（1）- χkt（x）t（xt）+ （H·x）nand获得“nXt=0φkt（x）t（Xt）+（H·x）n#=nXt=0Xk≥0ukt（(R)φkt）+nXt=1Xk≥1（ut-1.- ut）k（χkt），表明右侧是有限的，因此χ是φ的凹面慢化剂。最后，第二项权利要求源自ukt（(R)φkt）≥ 我们的封闭性结果的最后一个工具是凹函数在一步情况下的紧性；参考【10，提案5.5】。提案4.20。Letu≤cν与dom-ain（I，J）和leta不可约∈ 我是u和ν的公共重心。Letχm:J→ R是凹函数，使得χm（a）=χ′m（a）=0和supm≥1（u- ν） （χm）<∞.存在一个子序列χmk，它将点tw ise收敛到一个凹函数χ：J→ R、 和（u- ν） （χ）≤ lim infk（u- ν） （χmk）。我们现在准备陈述并证明命题4.10在广义对偶中的相似性。提案4.21。Let fm:Rn+1→ [0，∞], m级≥ 1是一系列功能，以便→ f点宽度和宽度（φm，Hm）∈ Dgu（fm）应确保supmu（φm）<∞. 然后存在（φ，H）∈ Dgu（f）带u（φ）≤ lim信息→∞u（φm）。证据自（φm，Hm）∈ Dgu（fm）和fm≥ 0，我们可以在引理4.19中引入一系列凹慢化剂χmas。引理4.13（i）和（ii）中（φm，Hm）的归一化，以注释4.14的一般形式，允许我们在不损失一般性的情况下假设χt，m≡ 0和χkt，m（akt）=（χkt，m）′（akt）=0，其中aktis是ukt的重心。该修正是广义对偶空间的主要升力。虽然广义对偶有足够的自由度来选择这种归一化，但没有广义的对偶则没有。

这与不同时间t的间隔I、J可能重叠有关；另请参见图2和示例3.2之前的段落。通过对每个分量传递命题4.20中的子序列，并使用对角参数，我们得到逐点极限χkt:Jtk→ R表示χkt，mafter传递到另一个子序列。自φkt，m+χkt，m-χt+1，m≥ Jtkandχkt上的0，m→ χkt以及χt+1，m→χt+1，我们可以应用Komlos引理（以[15，引理A1.1]及其备注的形式）来寻找凸组合|φkt，m∈ conv{φkt，m，φkt，m+1，…}对于0，其收敛ukt-a.s≤ t型≤ n、 我们可以在不失去一般性的情况下假设▄φkt，m=φkt，m。因此，我们可以设置φkt：=lim supφkt，mon jtkfort=1，n、 φ：=lim infφ0，mTo be specific，让我们把χ′mis作为左导数，这并不重要。观察这个不等式在修改φ和χ后仍然成立，如引理4.13所示。取φkt，m→ φktukt-a.s.和φkt+χkt- χt+1≥ Jtk上的0。现在我们可以应用Fatou引理和命题4.20来推断u（φ）=nXt=0Xk≥0ukt（φkt+χkt- χt+1）+nXt=1Xk≥1（ut-1.- ut）k（χkt）≤nXt=0Xk≥0lim infukt（φkt，m+χkt，m- χt+1，m）+nXt=1Xk≥1lim inf（ut-1.- ut）k（χkt，m）≤ lim infnXt=0Xk≥0ukt（φkt，m+χkt，m- χt+1，m）+nXt=1Xk≥1（ut-1.- ut）k（χkt，m）= lim infu（φm）<∞.特别是，我们看到φ∈ Lc，g（u），带凹面慢化剂χ。仍然需要构造可预测的过程H=（H，…，Hn）。在轻度滥用符号的情况下，我们将用（x，…，xt）的相应函数来识别Ht（x，…，xn）-1） 在这个证明中。我们首先定义k=（k，…，kt）和x=（x，…，xt），使k=k（x），函数Gkt，mand GktbyGkt，m（x）：=tXs=0φkss，m（xs）+tXs=1Hs，m（x，…，xs-1） ·（xs- xs型-1） ，Gkt（x）：=lim inf Gkt，m（x）。给定k=（k，…，kt），我们写k′=（k，…，kt-1） 。我们声称存在一个F-可预测过程H，对于所有1≤ t型≤ n、 Gk′t-1（x，…，xt）-1） +φktt（xt）+Ht（x。

，xt公司-1） ·（xt-xt公司-（1）≥ Gkt（x，…，xt）。（4.4）一旦建立了这一点，命题后面会有归纳法，因为G（0）（x）=φ（x）和Gkn（x，…，xn）≥ f（x，…，xn）。为了证明这个说法，写下函数g的凹壳的gconc，并观察lim inf[Gk′t-1，m（x，…，xt）-1） +Ht，m（x，…，xt）-1） ·（xt- xt公司-1） ]≥ lim inf[（Gkt，m（x，…，xt-1，·）- φktt，m（·））conc（xt）]≥ [lim inf（Gkt，m（x，…，xt-1，·）- φktt，m（·）]conc（xt）≥ [Gkt（x，…，xt-1，·）- φktt（·）]conc（xt）=：φkt（x，…，xt-1，xt）。通过构造，^φktis在最后一个变量中是凹的，s atis fiesgk′t-1（x，…，xt）-（1）≥φkt（x，…，xt）-1，xt-1） 。允许t^φkt表示最后一个变量的左偏导数，并设置hkt（x，…，xt-1） ：=t^φkt（x，…，xt-1，xt-1） 对于kt≥ 1和Hkt（x，…，xt-1） =0表示kt=0；那我们就有了-1（x，…，xt）-1） +Hkt（x，…，xt）-1） ·（xt- xt公司-（1）≥φkt（x，…，xt）-1，xt-1） +Hkt（x，…，xt）-1） ·（xt- xt公司-（1）≥φkt（x，…，xt）-1，xt）≥ Gkt（x，…，xt）- φktt（xt）。最后，对于任何（x，…，xt-（1）∈ Rt，我们定义Ht（x，…，xt-1） as（Hkt（x，…，xt-1） ，如果k=k（x，…，xt-1，xt）对于某些xt∈ R0，否则；这是明确的，因为k（x，…，xt）仅取决于（x，…，xt-1） 。可预测过程满足（4.4），因此证明是完整的。命题4.10的证明。鉴于备注4.15和命题4.17，结果来自命题4.21.5对偶定理和单调性原则。本节的第一个目标是多步鞅输运问题的对偶结果；它确定了对偶问题中不存在对偶缺口和优化器的存在。

（众所周知，原问题的优化器只在附加条件下存在，如f的连续性。）第二个目标是描述最优运输几何的单调性原则；这将是双重结果的结果。如上所述，我们考虑一个凸阶边缘向量u=（u，…，un）。主要问题和双重问题如下。定义5.1。设f:Rn+1→ [0，∞]. 主要问题isSu（f）：=支持∈M（u）P（f）∈ [0，∞],式中，如果f不可测，则P（f）表示外积分。双重问题isIu（f）：=inf（φ，H）∈Du（f）u（φ）∈ [0，∞].我们记得函数f:Rn+1→ [0，∞] 称为集合{f的上半解析≥ c} 都是解析f或c∈ R、 其中，Rn+1的子集是波莱尔映射下波兰空间的波莱尔子集的图像，则为缩放分析。任何Borel函数都是上半解析函数，任何上半解析函数都是普适可测函数；我们参考【11，第7章】了解背景。下面是公布的二元性结果。定理5.2（对偶性）。设f:Rn+1→ [0，∞].（i） 如果f是上半解析的，则Su（f）=iu（f）∈ [0，∞].（ii）如果Iu（f）<∞, 存在一个双优化器（φ，H）∈ Du（f）。证据鉴于我们之前的结果，大部分证明遵循了[10，定理6.2]中一步情况下相应结果的路线；因此，我们将简明扼要。我们提到，就可测性条件而言，本定理比所引用的定理更一般（f是上半解析的，而不是Borel）；这要归功于Givenher的全球证明。第1步。使用引理4.8，我们可以看到Su（f）≤ Iu（f）适用于所有上部半连续f:Rn+1→ [0，∞].第2步。

使用德拉瓦莱-普桑定理和我们的假设，即边缘有一个有限的第一时刻，存在递增的超线性增长函数ζut:R+→ R+这样x 7→ ζut（| x |）对于所有0是ut-可积的≤ t型≤ n、 定义ζ（x，…，xn）：=1+nXt=0ζut（| xt |），并设Cζ为所有连续函数f的向量空间，使得f/ζ在单位处消失。然后，可以使用Hahn–Banach分离参数来表示Su（f）≥ Iu（f）适用于所有f∈ Cζ；论证的细节与[10，引理6.4]的证明相同。第3步。设f b e有界且上半连续；然后存在一个有界连续函数序列fm∈ Cb（Rn+1），按点递减为f。作为Cb（Rn+1） Cζ，在前两步中，所有m的Su（fm）=Iu（fm）。设U是Rn+1上所有有界、非负、上半连续函数的集合。我们回忆起地图C：[0，∞]注册护士+1→ [0，∞] 如果它是单调的，在[0]上连续的，则称为aU容量，∞]Rn+1并在U上按顺序向下连续。功能f 7→ Su（f）是U-容量；这源于M（u）的弱紧性和[34，命题1.21，1.26]中的论证。因此Su（fm）→ Su（f）。f 7的单调性→ Iu（f）和步骤1，我们得到Iu（f）≤ lim Iu（fm）=lim Su（fm）=Su（f）≤ Iu（f）。第4步。由于步骤3中U上的Su=Iu，Iu在U上顺序向下连续，就像Su一样。另一方面，命题4.10意味着它在[0]上连续向上，∞]Rn+1。因此，Iu是aU容量。第5步。设f:Rn+1→ [0，∞] 是上半解析的。对于任何电容C，Choquet的电容定理表明C（f）=sup{C（g）：g∈ U、 g级≤ f} 。由于Su和Iu是U上重合的U电容，因此Su（f）=Iu（f）。这就完成了（i）的证明。第6步。

为了确定如果Iu（f）是有限的，那么就可以得到Iu（f）的上限，我们需要应用命题4.10中的常量序列fm=f。我们可以轻松放宽f的下限。备注5.3。设f:Rn+1→ (-∞, ∞] 假设存在φ∈Qnt=0L（ut），且可预测的过程H使F≥nXt=0φt（Xt）+（H·X）非V。然后我们可以将定理5.2应用于[f-Pnt=0φt（Xt）- （H·X）n]+并获得其对f的类似断言。对偶结果根据经典输运理论中的循环单调性条件，给出了描述最优鞅输运支持的单调性原理。下面推广了[8，引理1.11]和[10，推论7.8]对于一步鞅输运问题的结果。定理5.4（单调性原理）。设f:Rn+1→ [0，∞] 假设Su（f）<∞. 存在Borel集Γ Rn+1具有以下特性。（i） A度量值P∈ M（u）集中在Γ上，当且仅当它最适合于Su（f）。（ii）设u=（u，…，un）为凸序边缘als的另一个向量。如果“P”∈ M（°u）集中在Γ上，那么对于S（f）而言，P是最佳的。的确，如果（φ，H）∈ Du（f）是Iu（f）的优化器，那么我们可以取Γ：=（nXt=0φt（Xt）+（H·X）n=f）∩ 五、 证明。Su（f）<∞, 定理5.2表明，Iu（f）=Su（f）<∞ 存在一个双重优化器（φ，H）∈ Du（f）。特别是，我们可以如上所述。（i） 作为0≤ f和P（f）≤ Su（f）<∞ 对于所有P∈ M（u），我们看到fis P-可积所有P∈ M（u）。sincept=0φt（Xt）+（H·X）n≥ 在有效域V上为0，且P[Pnt=0φt（Xt）+（H·X）n]=u（φ）=Iu（f）<∞通过引理4.8，我们还得到了NT=0φt（Xt）+（H·X）n的P-可积性≤ P“nXt=0φt（Xt）+（H·X）n- f#=u（φ）- P（f）=Su（f）- P（f）和等式成立的充要条件是P集中在Γ上。（ii）我们可以假设“P”是一个概率测度，其中“P（f）<∞.

作为第一步，我们表明M（(R)u）的有效域V是M（u）的有效域V的子集。为此，有必要证明如果1≤t型≤ n和x∈ R为uut-1（x）=uut（x），然后是uut-1（x）=u？ut（x），如果+uut-1（x）=+uut（x），然后+uut-1（x）=+u？ut（x），左导数也是如此-（参见提案2.3）。实际上，对于t和x，uut-1（x）=uut（x），我们假设 V表示Γ （Xt）-1，Xt）-1.(-∞, x]∪ [x，∞).同时使用E'P[Xt | Ft-1] =Xt-1且“P”集中在Γ，u”ut上-1（x）=E'P[| Xt-1.- x |]=E'P[（Xt-1.- x） 1Xt-1.≥x] +E'P[（x- Xt公司-1） 1Xt-1.≤x] =E'P[（Xt- x） 1Xt-1.≥x] +E'P[（x- Xt）1Xt-1.≤x] =E'P[| Xt- x |]=所需的u？ut（x）。如果另外+uut-1（x）=+uut（x），然后Γ V表示Γ （Xt）-1，Xt）-1.(-∞, x]∪ （十），∞).由于P集中在Γ上，因此+uut-1（x）=P[Xt-1.≤ x]-\'\'P[Xt-1> x]=(R)P[Xt≤ x]-\'\'P[Xt>x]=+u？ut（x）根据需要。相同的参数可用于左导数，我们已经证明了'V 五、 考虑到该包含项，不等式=0φt（Xt）+（H·X）n≥ 因为P集中在Γ上，\'P“nXt=0φt（Xt）+（H·X）n#=P（f）<∞.我们可以遵循引理4.19证明中的论点来构造一个调节子χ，并证明（φ，H）∈ Dg？u（f），其中我们隐式使用注释4.15中详述的嵌入项。（注意引理4.19的证明使用了条件（φ，H）∈ Dg？u（0）仅用于建立？P【Pnt=0φt（Xt）+（H·X）n】<∞. 在目前的情况下，后者是先验的，不需要条件。）然后，我们可以修改提案4.17中的χas，以查看（φ，H）∈ D？u（f）。

因此，我们可以应用引理4.8来获得‘P（f）=‘P’nXt=0φt（Xt）+（H·X）n#=’u（φ），而对于任何其他P′∈ M（|u）我们有p′（f）≤ P′“nXt=0φt（Xt）+（H·X）n#=(R)u（φ）=P（f）。这表明∈ M（(R)u）是最佳值。6左单调传输在本节中，我们定义了通过阴影性质的左单调传输，并证明了它们的存在性。6.1准备工作在讨论n步情况之前，我们回顾了关于左单调传输（也称为左帘耦合）的一步版本的基本定义和结果。第一个概念是所谓的阴影，将其定义为度量值u将非常有用≤pcν为正凸序，表示u（φ）≤ 对于任何非负凸函数φ，ν（φ）。显然，这个阶比凸阶u弱≤值得注意的是，u的质量可能比ν小。下面是[8，引理4.6]的结果。引理6.1。Letu≤pcν。然后是setJu；νK：={θ：u≤cθ≤ ν} 非空且包含唯一的最小元素Sν（u）对于凸阶：Sν（u）≤cθ表示所有θ∈ Ju；νK。度量Sν（u）称为ui nν的阴影。ul最好记住以下图片：如果u是Diracmeasure，则其在ν中的阴影是质量和重心相等的度量θ，chosensuch使方差最小，受约束θ的约束≤ ν。第二个概念是一类奖励函数。定义6.2。一个Borel函数f:R→ R称为二阶Spence–Mirrlees，如果y 7→ f（x′，y）- 对于任何x<x′，f（x，y）是严格凸的。我们注意到，如果f是充分可微的，这可以表示为交叉导数条件fxyy>0，也被称为鞅Spence–Mirrlees条件，类似于经典Spence–Mirrleescondition fxy>0。在一步情况下，左单调输运是唯一的，可以被描述为：；查阅

[8，定理4.18，4.21，6.1]，其中该传输称为左帘耦合，以及[37，定理1.2]f或所述一般性中的第三等效性。提案6.3。Letu≤cν和P∈ M（u，ν）。以下g是等效的：（i）对于所有x∈ R和A∈ B（R），P[(-∞, x] ×A]=Sν（u|(-∞,x] ）（A）。（ii）P i s集中于Borel集Γ R正在优化（x，y-), （x，y+，（x′，y′）∈ Γ，x<x′=> y′/∈ （y）-, y+。（iii）P是Su，ν（f）的优化器，用于部分（然后是全部）f:R→ R二阶Spence–存在函数∈ L（u），b∈ L（ν）带| f（x，y）|≤ a（x）+b（y）。存在唯一度量值“P”∈ M（u，ν）满足（i）–（iii），P称为（一步）左单调输运。如果u是一个离散度量，则可以理解（i）中的特征如下：左单调传输'P从左到右处理u的原子，将每个原子映射到剩余targetmeasure中的阴影。接下来，我们再记录两个关于阴影的结果，这些结果将在下面使用。第一个，引用自【9，定理3.1】，概括了上述观点，即原子仍然映射到其阴影，但可以按任何给定顺序进行处理；在一般（非离散）情况下，该阶数由从均匀测度到u的耦合π确定。提案6.4。Letu≤cν和π∈ ∏（λ，u），其中λ表示[0，1]上的Lebesguemeas ure。然后存在唯一度量Q∈ π（λ，u，ν）在r上，如Qo （X，X）-1=π和q |[0，s]×R×Ro （X，X）-1.∈ M（πs，sν（πs）），s∈ R、 其中πs：=π|[0，s]×Ro （十）-我们还需要以下关于阴影的事实。引理6.5。（i） 设u，u，ν为满足u+u的有限度量≤pcν。然后u≤pcν- Sν（u）和Sν（u+u）=Sν（u）+Sν-Sν（u）（u）。（ii）设u，ν，ν为有限的度量，使得u≤pcν≤cν。然后，Sν（u）≤pcν。此外，Sν（Sν（u））=Sν（u）当且仅当Sν（u）≤cSν（u）。证据第（i）部分是【8，定理4.8】。