多周期鞅输运

为了获得（ii）中的第一句话，我们观察到Sν（u）≤ ν≤cν和henceSν（u）（φ）≤ ν（φ）≤ 对于任何非负凸函数φ，ν（φ）。关于第二种说法，“只有当”的含义直接来自于表6.1中阴影的定义。要显示反向含义，假设Sν（u）≤cSν（u）。那么，我们有u≤cSν（u）≤cSν（Sν（u））≤ ν和Sν（u）≤cSν（u）≤ ν。这些不等式意味着Sν（Sν（u））∈ Ju；νK和Sν（u）∈ JSν（u）；νK，现在阴影的最小属性显示为sν（u）≤cSν（Sν（u））和Sν（Sν（u））≤cSν（Sν（u））=需要的Sν（u）。6.2构建多步左单调传输我们的下一个目标是定义和构建多步左单调传输。以下概念至关重要。定义6.6。Letu≤pcu≤c···≤cun.用于1≤ t型≤ n、 uinut通过u的遮挡阴影，ut-1由Su、…、，。。。，ut（u）：=Sut（Su，…，ut-1（u））。由于引理6.5（ii），遮挡阴影得到了很好的定义。以下描述提供了另一种定义。引理6.7。Letu≤pcu≤c···≤cunand 1≤ t型≤ n、 然后Su，。。。，ut（u）是setJu中唯一的最小元素；utKu，。。。，ut-1： ={θt≤ ut：θs≤ us，1≤ s≤ t型-1，u≤cθ≤c···≤cθt}表示凸阶；即Su，。。。，ut（u）≤cθ表示所有元素θ。证据对于t=1，这通过引理6.1中阴影的定义成立。对于t>1，我们归纳地假设Su，。。。，ut-1（u）是ju中的最小元素；ut-1Ku，。。。，ut-2、考虑任意元素θt∈ Ju；utKu，。。。，ut-1并固定一些u≤cθ≤c···≤cθt-1.≤cθtwithθs≤ us，1≤ s≤ t型- 1、那么θt-1.∈ Ju；ut-1Ku，。。。，ut-2尤其是Su，。。。，ut-1（u）≤cθt-1、回想一下Su，。。。，ut（u）被定义为≤cofJSu，。。。，ut-1（u）；utK={θ≤ ut:Su，。。。，ut-1（u）≤cθ} {θ≤ ut：θt-1.≤cθ} θt。因此，Su，。。。，ut（u）≤cθt和asθt∈ Ju；utKu，。。。，ut-1是任意的，这表明Su，。。。，ut（u）是Ju的最小元素；utKu，。。。，ut-1.

最小元素的唯一性来自于θt≤cθ和θt≤cθtimplyθt=θt。我们现在可以陈述本节的主要结果。定理6.8。设u=（u，…，un）为凸序。然后就有了SP∈ M（u），使得双变量投影P0t：=Po （X，Xt）-1满足性P0T[(-∞, x] ×A]=Su，。。。，ut（u|(-∞,x] ）（A）对于x∈ R、 A∈ B（R），适用于所有1≤ t型≤ n、 任何此类P∈ M（u）称为左单调传输。我们观察到，一个n步左单调迁移纯粹是通过其二元投影P定义的o （X，Xt）-1、在一步式情况下，这完全决定了运输。对于n>1，我们将看到可以有多个（然后是很多）左单调传输；事实上，它们形成了一个凸紧集。第8节将对此进行更详细的讨论，其中还将显示，如果uisatomless，则唯一性确实成立。定理6.8的证明。第1步。我们首先构造测度πt∈ ∏（λ，ut），0≤ t型≤ n使得πt |[0，u((-∞,x] ）]×Ro 十、-1=Su，。。。，ut（u|(-∞,x] ）适用于所有x∈ R、 以及测量Qt∈ ∏（λ，ut-1，ut），1≤ t型≤ n使qt |[0，u((-∞,x] ）]×R×Ro （X，X）-1.∈MSu，。。。，ut-1（u|(-∞,x] ），Su，。。。，ut（u|(-∞,x] （）（6.1）对于所有x∈ R、 实际上，对于t=0，我们取π∈ π（λ，u）为量化耦合。然后，将命题6.4应用于π，得到度量Q，我们可以定义π：=Qo （X，X）-1、归纳式地进行，将命题6.4应用于πt-1产生Qt，进而允许我们定义πt：=Qto （X，X）-1、步骤2。对于1≤ t型≤ n、 考虑崩解Qt=πt-1. κtof Qt。根据（6.1），我们可以选择κt（s，xt-1，dxt）是鞅核；即Zxtκt（s，xt-1，dxt）=xt-1保留f或所有（s、xt-（1）∈ R、 我们现在定义一个度量π∈ 通过π=π，Rn+2上的∏（λ，u，…，un） κ · · ·  κn.那么，π满足πo （X，Xt）-1=πt-1和πo （X，Xt，Xt+1）-1=1的QT≤ t型≤ n、 设置P=πo （X。

，Xn+1）-1得出定理。以下结果研究了左单调传输的双变量投影P0tof，并特别表明p0t可能与左限幅耦合不同，单位为M（u，ut）。提案6.9。设u=（u，…，un）为凸序，设P∈M（u）是左单调输运。以下是等效的：（i）二元投影P0t=Po （X，Xt）-1.∈ M（u，ut）对于所有1都是左单调的≤ t型≤ n、 （ii）边缘u满足u（u|(-∞,x] （）≤c···≤cSun（u|(-∞,x] ）适用于所有x∈ R、 （6.2）证明。给定u≤ u，引理6.5（ii）的迭代应用表明，遮挡阴影与普通阴影一致，即Su，。。。，ut（u）=1的Sut（u）≤ t型≤ n、 当且仅当Su（u）≤c···≤cSun（u）。命题如下，将此观察值应用于u=u|(-∞,x] 。下面的例子说明了这个命题，并表明（6.2）可能确实会失败。分位数耦合（或Fréchet–Hoe ffing耦合）由（F）定律给出-1λ，F-λ下的1u），其中F-1u是u的逆c.d.f。图3：左面板显示了示例6.10中对左单调传输pf的支持。右面板显示了对P（顶部）的支持和对左侧单调传输的支持，单位为M（u，u）（底部）。支架的构件由对角线表示。示例6.10。考虑边缘u=δ-1+δ，u=δ-2+δ，u=δ-4+δ+δ。然后，集合M（u）由单个传输P组成；参见图3的左面板。因此，P必然是左单调的。同样，P=Po （X，X）-1是M（u，u）的唯一元素。然而，P=Po （X，X）-1是吉文比δ(-1.-4） +δ(-1,0）+δ(-1,4）+δ（1，-4） +δ（1,0）+δ（1,4），而M（u，u）中唯一的左单调输运可以被发现为δ(-1.-4） +δ(-1,0）+δ（1，-4） +δ（1,0）+δ（1,4）。因此，不存在传输P∈ M（u），使得Pand-Pare-left单调，命题6.9表明（6.2）失败。备注6.11。

当然，我们关于左单调输运的所有结果都有“右单调”类似物，是通过在实线上反转方向获得的（即替换x 7→ -x无处不在）。7几何和最优性在这一节中，我们介绍了导言中宣布的运输的最优性及其支撑的几何性质，并证明它们等价地刻画了左单调运输。7.1 Spence–Mirrlees类型奖励函数的最佳传输几何第一个目标是表明特定奖励函数的最佳传输集中在集合上 Rn+1满足我们接下来介绍的某些无交叉条件。给定1≤ t型≤ n、 我们写Γt={（x，…，xt）∈ Rt+1：（x，…，xn）∈ Γ对于某些（xt+1，…，xn）∈ 注册护士-t} 对于Γ在第一个t+1坐标上的投影。定义7.1。LetΓ Rn+1和1≤ t型≤ n、 考虑x=（x，…，xt-1） ，x′=（x′…，x′t-（1）∈ R和y+，y-, y′∈ R带y-< y+，使得（x，y+，（x，y-), （x′，y′）∈ 那么，如果y′，则投影是左单调的/∈ （y）-, 每当x<x′，y+。集合Γ是左单调的如果所有1都是左单调的≤ t型≤ n、 我们还需要以下概念。定义7.2。LetΓ Rn+1和1≤ t型≤ n、 如果对于所有x=（x，…，xt），投影Γ是非退化的-（1）∈ R和y∈ R使得（x，y）∈ Γt，以下保持：（i）如果y>xt-1，存在y′＜xt-1这样（x，y′）∈ Γt；（ii）如果y<xt-1，存在y′>xt-1这样（x，y′）∈ Γt。集合Γ称为nondegenerateifΓtis nondegenerate for all 1≤ t型≤ n、 广义而言，这一定义表示，任何通往右翼的道路都存在通往左翼的道路，反之亦然。对于支持amartingale的集合，在以下意义上，非退化不是一个限制。备注7.3。

设u为凸序，V为其有效域，且Γ 五、 （i）存在一个非退化的、普遍可测的集合Γ′ Γ因此P（Γ′）=1表示所有P∈ M（u），P（Γ）=1。（ii）固定P∈ M（u），P（Γ）=1。存在一个非退化的、borelmeasureable集Γ′P 使得P（Γ′P）=1。Γ的这个术语是滥用的，因为Γ=Γ实际上是一个投影本身，它将从上下文中明确其含义。脚注11在此也适用。证据设Nt为所有x的集合∈ Γt参见第7.2节定义（i）或（ii）。如果P是P（Γ）=1的鞅，我们可以看到Nt×Rn-t+1为P-null。此外，nTi是普遍可测的（作为Borel集的投影），我们可以设置Γ′：=Γ\\n[t=1（Nt×Rn-t+1）证明（i）。转向（ii），普遍可测性意味着存在一个Borel集N′t N使N′t\\N为Pt-1-null，其中Pt-1=Po （X，…，Xt）-（1）-1、然后我们可以设置Γ′P：=Γ\\∪nt=1（N′t×Rn-t+1）。接下来，我们将按照[8，定义1.10]的思路介绍竞争对手的概念。定义7.4。设π为Rt+1上的有限测度，其边缘具有有限的第一时刻，并考虑分解π=πt κ、 其中，π是π在第一个t坐标上的投影。A测度π′=πt 如果πt-a.e x=（x，…，xt）具有相同的最后边缘和bary（κ（x，·））=bary（κ′（x，·）），则κ′是π的竞争对手-1） 。利用这些定义，我们现在制定了定理5.4（i）中所述单调性原理的变体，这将便于推断Γ的几何结构。引理7.5。设u=（u，…，un）为凸序，1≤ t型≤ n，让f：Rt+1→ [0，∞) 博雷尔。考虑f（X，…，Xn）：=(R)f（X，…，Xt），并假设Iu（f）<∞. Let（φ，H）∈ Du（f）是Iu（f）的优化器，其性质为φs≡ Hs公司≡ 0表示s=t+1。

，n并定义集合：=（nXt=0φt（Xt）+（H·X）n=f）∩ 五、 设π为Rt+1上的一个有限支持概率，该概率集中在Γt上。然后π（(R)f）≥ π′（\'f）对于π的任何t-竞争对手π′，集中于Vt.证明。回想一下，第一个t坐标的投影π和π′Ton。因此，π[Ht·（Xt- Xt公司-1） ]=ZHt·（bary（κ（X，…，Xt-1，·）- Xt公司-1） dπt=ZHt·（bary（κ′（X，…，Xt-1，·）- Xt公司-1） dπ′t=π′[Ht·（Xt- Xt公司-1） 】。还利用最后的边缘重合，我们推断π[(R)f]=π“tXs=0φs（Xs）+（H·X）t#=π′”tXs=0φs（Xs）+（H·X）t#≥ π′[’f]。接下来，我们给出了一个中间结果，将Spence–Mirrlees奖励函数的最优性和支持度的左单调性联系起来。引理7。6、让1≤ t型≤ n和letΓ V是一个子集，使得Γtisnodegenerate。此外，设f:Rt+1→ 对于二阶Spence–Mirrlees函数，R的形式为f（X，…，Xt）=f（X，Xt）。假设对于任何集中在Γ上的有限支持概率π和集中在Vt上的π的y竞争因子π′，我们有π（f）≥ π′（f）。然后，投影是左单调的。证据考虑（x，y），（x，y），（x′，y′）∈ Γt满足x<x′，假设y<y′<y的矛盾。我们定义λ=y-y′y-yandπ=λδ（x，y）+1- λδ（x，y）+δ（x′，y′）π′=λδ（x′，y）+1- λδ（x′，y）+δ（x，y′）。然后，π和π′在第一个t边缘上具有相同的投影πt=π′，并且它们的最后一个边缘也重合。此外，崩解π=πt κ和π′=πt κ′，度量值κ（x），κ（x′），κ′（x），κ（x′）都有重心y′。因此，π和π′是t竞争对手。我们还必须让π′集中在Vt上，通过V的形状。现在我们的假设意味着π（f）≥ π′（f），但'f的二阶Spence-Mirrlees性质意味着π（f）<π′（f）。7.2左单调传输的几何学下一步，我们建立了具有左单调支持的传输在定理6.8的意义下是indeedleft单调的。定理7.7。设u=（u。

，un）为凸序，设P∈ M（u）集中于一个非退化的左单调集Γ Rn+1。那么P是左单调的。在说明定理的证明之前，我们记录了实线上关于测度的两个辅助结果。第一个是建议2.1的直接结果。引理7。8.设a<b和u≤cν。如果ν集中在(-∞, a] ，则为u，此外为ν（{a}）≥ u（{a}）。模拟值适用于[b，∞ ).第二个结果是[8，引理5.2]。引理7.9。设σ是R上σ（R）=0且σ=σ的非平凡有符号测度+- σ-是它的哈恩分解。存在一个∈ 支持（σ+）和b>a，使R（b- y） +[a，∞)dσ（y）>0。我们现在可以给出定理的证明；其灵感来源于【8，定理5.3】，对应于n=1的情况。定理7.7的证明。由于命题6.3涵盖了n=1的情况，我们可以假设该定理已被证明适用于n的传输- 1.采取步骤，集中精力进行归纳论证。对于每x∈ R我们用utx表示边缘（P|(-∞,x] ×Rn）o 十、-1吨。I nParticle，我们得到ux=u|(-∞,x] utxis是uxunder Pafter t步后的图像。为简洁起见，我们还设置了νtx：=Su，。。。，ut（ux）。根据定义，如果utx=νtxf对于所有x，P是左单调的∈ R和t≤ n、 根据诱导假说，我们可以假设这对t≤ n- 1、我们通过矛盾论证并假设存在x∈ R使得unx6=νnx。然后，有符号测度σ：=νnx- unx非常重要，我们可以用∈ 补充（σ+）如引理7.9所示。观察σ+≤ un- unx其中un- unx是un |（x，∞)在P下。因此∈ SUP（un- unx）当P集中在Γ上时，我们得出结论，存在一个点序列xm=（xm，…，xmn）∈ Γx<xm和xmn→ 一

（7.1）此外，根据引理6.7中阻塞阴影的特征，我们必须有νnx≤cunxasunx∈qux；unyu，。。。，un-1由于unx是uxunder amartingale传输的图像。第1步。我们声称，对于所有x=（x，…，xn-1） 带x≤ x和XN-1.≤ a、 它认为Γx∩ （a），∞) = ,其中Γx={y∈ R：（x，y）∈ Γ}是Γ在x上的截面。通过对比，假设对于某些x，x≤ x和xn-1.≤ a我们有Γx∩ （a），∞) 6=, 然后特别是Γx∩ （xn-1.∞) 6=. 鉴于Γ的非泛型性，我们得出以下结论：Γx∩ (-∞, xn公司-1） 6= 因此，Γx∩ (-∞, a） 6=. 对于足够大的m，定义7.1中x′使用xmfrom（7.1）表示，这与Γ的左单调性产生了矛盾，并且该权利要求的证明是完整的。第2步。类似地，我们可以证明，对于所有x=（x，…，xn-1） 带x≤ X和xn-1.≥ a、 Γx∩ (-∞, a） =.第3步。接下来，我们考虑边缘utx，a：=P|(-∞,x] ×Rn-2×(-∞,a] ×Ro 十、-1吨。然后，特别是un-1x，a=un-1台|(-∞,a] unx，ais是un的图像-1x，aunderp的最后一步。因此，证明的步骤1意味着unx，ais集中在(-∞, a] 。我们还写出νnx，a：=Sun（un-1台|(-∞,a] ）。我们有un-1x，a≤cunx，aas M（un-1x，a，unx，a）6=, 和unx，a≤ unx≤ un.因此，νnx，a≤cunx，a（7.2）由阴影的最小值决定。接下来，我们展示νnx- νnx，a≤cunx- unx，a.（7.3）观察unx- unx，aisun的图像-1x |（a，∞)根据P，预测集中在[a，∞) 步骤2。利用这一观察结果，unx，ais集中在(-∞, a] 如上所述，以及νnx，a（{a}）≤unx，a（{a}）作为（7.2）和引理7.8的结果，我们得到了unx-unx，a=（unx-unx，a）|[a，∞)≤ （un-unx，a）|[a，∞)≤ （un-νnx，a）|[a，∞)≤ un-νnx，a。我们还有un-1x |（a，∞)≤cunx-unx，因为后者是前者在P下的图像。

与前面的显示一起，我们建立了unx- unx，a∈qun-1x |（a，∞); un- νnx，ay。另一方面，νnx- νnx，a=Sun-νnx，a（un-1x |（a，∞))根据引理6.5（i）中阴影的可加性性质，因此（7.3）遵循s阴影的最小值。第4步。回想步骤3，unx，ais集中在(-∞, a] 和unx- unx，ais集中在[a，∞). 因此，νnx，ais集中在(-∞, a] 和νnx- νnx，ais集中在[a，∞), 引理7.8。此外，我们有νnx，a（{a}）≤ unx，a（{a}）通过相同的引理，最后是函数7→ （b）- y） +[a，∞)（y） 在[a]上是凸的，∞) a<b。使用这些因素和（7.3），Z（b- y） +[a，∞)（y） νnx（dy）=Z（b- y） +[a，∞)（y） （νnx- νnx，a）（dy）+（b- a） νnx，a（{a}）≤Z（b- y） +[a，∞)（y） （unx- unx，a）（dy）+（b- a） unx，a（{a}）=Z（b- y） +[a，∞)（y） unx（dy）。这与a和b的选择相矛盾，参见引理7.9，从而完成了证明。7.3最优性在本节中，我们将左单调传输和左单调集与Spence–Mirrlees f函数的最优传输问题联系起来。定理7.10。对于1≤ t型≤ n、 让ft：R→ R是二阶Spence–Mirrlees函数，因此| ft（x，y）|≤ a（x）+at（y）表示s ome a∈ L（u）和at∈ L（ut）。存在一个普遍可测的非退化左单调集Γ′ Rn+1任何同时优化∈ M（u）表示Su（ft（X，Xt）），1≤ t型≤ n主要集中在Γ′。特别地，任何suchP都是左单调的。证据最后一个断言之后是定理7.7的应用，因此我们可以集中精力寻找Γ′。对于每个1≤ t型≤ n、 我们使用定理5.2和Mark 5.3找到一个对偶优化器（φ，H）∈ Du（ft）表示Iu（ft（X，Xt）），并定义Borel集Γ（t）：=（nXs=0φs（Xs）+（H·X）n=ft）∩ 五、 这里，我们可以选择一个双优化器，使得φs≡ Hs公司≡ 0表示s=t+1，n、 （这可以通过将定理5.2应用于仅涉及边缘（u，…）的传输问题来实现。）。

，ut），并使用相应的双优化器。）定理5.4表明，任何同时优化∈ 对于所有t，M（u）集中在Γ（t）上，因此也集中在Borel集上：=n\\t=1Γ（t）。使用备注7.3（i），我们发现了一个普遍可测的非退化子集Γ′ Γ具有s ame属性。由于投影（Γ′）包含在投影（Γ（t））t中，引理7.5和引理7.6得出（Γ′）对于所有t都是左单调的；也就是说，Γ′是左单调的。备注7.11。在定理7.10中，如果我们只想找到一个非退化的左单调集Γ′P Rn+1这样一个给定的同时优化RP∈ M（u）集中在Γ′P上，那么我们可以选择Γ′P为Borel而不是普遍可测。随后，用证据中的注释7.3（ii）代替注释7.3（i）的应用。以下是与定理7.10的相反。定理7.12。给定1≤ t型≤ n、 让f∈ C1,2（R）应确保fxyy≥ 0并假设以下可积条件成立：（f（X，Xt），f（0，Xt），f（X，0），\'h（X）X，\'h（X）Xtare P-可对所有P∈ M（u），（7.4），其中'h（x）：=y | y=0[f（x，y）- f（0，y）]。然后每左单调传输∈ M（u）是Su（f）的优化器。当f是Lipschitz连续时，可积条件明显成立；特别是，光滑的二阶Spence-Mirrlees函数（如引言中所定义）满足了任何u的定理假设。证明将基于以下Spence–Mirrlees函数的构建块进行近似；结构新颖，可能具有独立的兴趣。引理7.13。让1≤ t型≤ 设f（X，…，Xn）：=1(-∞,a] （X）Д（Xt）用于凹函数Д和a∈ R、 然后每左单调传输∈ M（u）是Su（f）的优化器。证据