多周期鞅输运

我们还定义了对角域上x的^κ（x）=κ（x）。对于每个k≥ 1，让B±K表示与上述Ikas相关的集合。一旦开始，数字c：=输入：Q′t-1（Ik）>0[ut（B-k）∧ ut（B+k）]是严格正的，因为只有很多k具有Q′t-1（Ik）>0。我们现在可以定义Q：=C·（Q′） ^κ）。那么Q是一个鞅输运，其边值满足Qs≤ Q’s≤ usfor0≤ s≤ t型- 1鉴于Qt≤ utby（3.4），^κ的构建和C的选择；确实，f对于每个xt-1.∈ Itkwe have3C^κ（x）≤ 3Cε-· ut | B-+ 3Cκ+3Cε+·ut | B+≤ ut | B-+ κ+ut | B+≤ 2ut+κ。要查看QTi对角兼容，请观察QTi由一个紧凑型集合的有限族支持，该紧凑型集合由以下组成：o紧凑型集合的有限族 我有点担心-1 |(R)Li是对角可比的（根据归纳假设，Q′t-1对角线兼容），o一系列紧凑型Li JK代表一些k≥ 1带Q′t-1（Ik）>0，使Qt | Li≤ ut | Li是对角兼容的，并且o集合B±kF对于有限多个k，使得Q′t-1（Ik）>0，其中qt | B±k≤ ut | B±kis对角兼容。还需要检查Q是否具有关于π的所需分解。实际上，^κ可以分解为^κ=cκ+（1- c） κ⊥其中κ⊥是κ的单数。回顾分解Q′=Q′abs+σ′，wethen haveQ′ ^κ=cQ′abs κ+（1- c） Q\'abs κ⊥+ σ′型 ^κ。最后两项关于π=π′是奇异的κ、 第一项对于有界密度是绝对连续的。引理3.3的证明。设π为边值为πt的测度≤ ut对于所有集中在某些不可还原组分V=VK上的T，尤其是有效域V。步骤1。我们首先分解π=P∞m=1πm，使得每个πm都符合引理3.8的要求，t=n。实际上，设V=∩nt=1（Xt-1，Xt）-1（Vtkt），首先假设1的kt6=0≤ t型≤ n

然后，我们可以把V写成非空区间的乘积：V=a×············································································································································∩ 对于1<t<n，它+1kt+1。因此，我们可以选择在=∪m级≥1Kmt用于所有t.设置π：=π| Qnt=0Km和πm：=π| Qnt=0Km\\Qnt=0Km-1TM>1产生所需的分解。如果一个或多个1的kt=0≤ t型≤ n、 我们有V 。在这些修改之后，πmca可以如上定义；请记住，对角线组件始终是闭合的。第2步。对于每个测度πm，引理3.8产生一个鞅测度Qm>> πm具有引理中规定的性质。特别是，每个QM都有一个紧凑的支持系列。我们在下面显示存在∈ M（u），使Pm>> Qm，然后P：=P-mPmsatis公司∈ M（u）和P>> π根据需要。为了完成证明，还需要证明≥ 1存在0<<1和\'Qm∈ M（u- （Qm，…，Qmn）），我们可以通过设置Pm得出结论：=Qm+(R)Qm∈ M（u）。根据命题2.1，setM（u- 如果边值为凸序，则（Qm，…，Qmn））为非空；如果势函数满足ut，则（Qm，…，Qmn））为非空-1.- uQmt-1.≤ uut- uQmt（3.5），对于t=1，n、 因此，对于固定t，可以用该性质找到>0，我们将问题归结为一个关于一步鞅运输问题的问题。事实上，我们有uut-1.≤ uuton R。由于QM有一个compactsupport系列，特别是由V支持，因此有一个紧凑集Kj的有限集合 R使每个KJI包含在其中一个间隔中-1KJ来自（ut）的分解-1，ut）转化为不可约组分，qm将质量f从kjt传输到每个j的自身，qm是补体上相同的Mongetransport(∪jKj）c。

在每个Kj上，[10，引理3.3]的顶部中的步骤（a）和（b）产生>0，因此（3.5）保持Kj，并且我们可以独立于j选择>0，因为有很多j。另一方面，（3.5）通常保持(∪jKj）csince uQmt-1=设置的uQmton。这就完成了证明。4对偶空间在这一节中，我们引入了对偶优化问题的域，并证明了它具有一定的封闭性。后者将在下一节中对对偶定理至关重要。我们需要一个二重空间元素可积性的广义概念。为此，我们首先回顾凹函数的积分，详见【10，第4.1节】。定义4.1。Letu≤cν与域（I，J）不可约且letχ：J→ R是凹函数。我们定义（u- ν） （χ）：=ZI（uu- uν）dχ′+ZJ\\I|χ| dν∈ [0，∞]哪里-χ′是-χon I和|χ|是在边界点J\\I处χ跳跃的绝对大小。备注4.2。如【10，引理4.1】所示，该积分定义良好且满足（u- ν） （χ）=ZIχ（x）-ZJχ（y）κ（x，dy）u（dx）对于任何P=u κ∈ M（u，ν）。此外，它与差异u（χ）一致- 当χ∈ L（u）∩ L（ν）。为了以后的参考，我们记录了积分的另外两个性质。引理4.3。Letu≤cν与域（I，J）不可约且letχ：J→ Rbe凹面。（i） 假设i有一个有限的右端点r，对于某些a，χ（a）=χ′（a）=0∈ 一、 然后χ≤ 0和χ1[a，∞)是凹面的。如果ν有一个atomat r，那么χ（r）≥ -Cν（{r}）（u- ν） （χ1[a，∞))对于常数C≥ 0仅取决于u，ν。（ii）对于a、b∈ R、 凹函数χ（x）：=χ（x）+ax+b满足度（u- ν） （(R)χ）=（u- ν） （χ）。证据第一部分为【10，备注4.6】，第二部分直接从‘χ′’=χ′’和(R)χ=χ。现在让我们回到向量u=（u，…）的多步骤情况。

，un），并在不一定有φt的情况下引入u（φ）：=Pnt=0ut（φt）∈ L（ut）。如前所述，与[10]相比，多步运输问题并没有分解为不可约的组件，这迫使我们直接对积分进行全局定义。定义4.4。设φ=（φ，…，φn）是Borel函数φt:R的向量→\'R.Borel函数的向量χ=（χ，…，χn）χt:R→ R被称为φ的acocave慢化剂，if为1≤ t型≤ n、 （i）M（ut）的不可约成分的每个域（i，J）的χt | Jis凹-1，ut），（ii）χt | I≡ 0表示对角线域Iof M（ut-1，ut），（iii）φt- χt+1+χt∈ L（ut），其中χn+1≡ 我们还召集了≡ 0.然后用u（φ）定义φ的模积分：=nXt=0ut（φt- χt+1+χt）+nXt=1Xk≥1（ut-1.- ut）k（χt）∈ (-∞, ∞], （4.1）式中（ut-1.- ut）k（χt）表示定义4.1对M（ut）的k-三次可约分量的积分-1，ut）。备注4.5。慢化积分与模数χ的选择无关。要看到这一点，考虑第二个慢化剂χ表示φ；那么我们就有（￠χt+1- χt+1）- （￠χt- χt）∈ L（ut）。我们可以假设（4.1）是至少一个主持人的定义。使用备注4.2和任意κtsuchthatut-1. κt∈ M（ut-1，ut）用于1≤ t型≤ n、 以及福比尼定理forkernels，nXt=1Xk≥1（ut-1.- ut）k（χt）- （ut-1.- ut）k（￠χt）=Z··ZnXt=1χt（xt-（1）- χt（xt）κn（xn-1，dxn）··κ（x，dx）u（dx）-Z···ZnXt=1χt（xt-（1）- χt（xt）κn（xn-1，dxn）··κ（x，dx）u（dx）=nXt=0ut（（χt+1- χt+1）- （χt- χt））。现在可以得出（4.1）对两个慢化剂产生相同的值。为了以后参考，我们还记录了以下属性。备注4.6。如果χ是凹面慢化剂，定义4.4（ii）意味着χt=Xk≥1χt | Itk=Xk≥1χt | Jtkwhere（Itk，Jtk）是M（ut）的第k个不可约域-1，ut）。接下来，我们介绍了在缓和意义下具有有限积分的函数空间。定义4.7。

我们用Lc（u）表示所有向量φ的空间，其中包含一个慢化子χ，pnt=1Pk≥1（ut-1.- ut）k（χt）<∞.因此，u（φ）是φ的定义∈ Lc（u），我们有u（φ）=Ptut（φt）表示φ∈ ∏nt=0升（ut）。在以下意义上，该定义也与鞅运输下的预期一致。引理4.8。Letφ∈ Lc（u），并设H=（H，…，Hn）为F-可预测。如果nXt=0φt（Xt）+（H·X）nis从下方以M（u）的有效域V为界，则u（φ）=P“nXt=0φt（Xt）+（H·X）n#，P∈ M（u）。证据让P∈ M（u），设χ为φ的凹慢化剂，在不丧失一般性的情况下，假设0为下限。使用备注4.6，我们得到Pnt=0φt（Xt）+（H·X）nequalsnXt=0（φt- χt+1+χt）（Xt）+nXt=1Xk≥1（χt | Itk（Xt-（1）- χt | Jtk（Xt））+（H·X）n≥ 根据假设，函数（φt- χt+1+χt）（Xt）是P-可积的。因此，剩余表达mus t的负部分也是P可积的。写入Pt：=Po （X，…，Xt）-1使用（χt | Jtk）+线性增长，我们可以看到，对于任何崩解，P=Pn-1. κn，Z“nXt=1Xk≥1（χt | Itk（Xt-（1）- χt | Jtk（Xt））+（H·X）n#κn（X，…，Xn-1，dXn）=n-1Xt=1Xk≥1（χt | Itk（Xt-（1）- χt | Jtk（Xt））+（H·X）n-1+Xk≥1Zχn |墨水（Xn-（1）- χn | Jnk（Xn）κn（X，…，Xn-1，dXn）。与内核迭代集成，使Pt=Pt-1. κ并观察到我们可以应用Fubini定理toPnt=1Pk≥1（χt | Itk（Xt-（1）-χt | Jtk（Xt））+（H·X）由于其负部分是P-可积的，我们得到了PnXt=1Xk≥1（χt | Itk（Xt-（1）- χt | Jtk（Xt））+（H·X）n=nXt=1Xk≥1（ut-1.- ut）k（χt），结果如下。我们现在可以定义我们的双重空间。使用非负奖励函数f会很方便，现在我们将放松这个约束；参见备注5.3。定义4.9。设f:Rn+1→ [0，∞]. 我们用Du（f）表示所有对（φ，H）的集合，其中φ∈ Lc（u）和H=（H。

，Hn）是一个F-可预测过程，使得nxt=0φt（Xt）+（H·X）n≥ f在V上，引理4.8，在任何P下左手边的期望∈ M（u）由缓和积分u（φ）给出；当我们考虑对偶问题inf（φ，H）时，这将被视为（φ，H）的对偶代价∈Du（f）u（φ），见下文第5节。以下闭性性质是关于对偶空间的关键结果。提案4.10。Let fm:Rn+1→ [0，∞], m级≥ 1是一系列功能，以便→ f点宽度和宽度（φm，Hm）∈ Du（fm）应确保supmu（φm）<∞. 然后存在（φ，H）∈ Du（f）带u（φ）≤ lim信息→∞u（φm）。4.1提案证明4.10试图直接按照【10】的思路证明提案4.10，以解决凹型慢化剂控制的技术问题。粗略地说，他们不允许进行足够多的规范化；这与上述事实有关，即多步骤问题无法分解为其组件。我们将引入一个广义对偶空间，其中包含由分量索引的函数族，并在这个更大的空间中证明命题4.10的“提升”版本。一旦实现了这一点，我们也可以推断出原始空间中的封闭性结果。（愿意接受建议4.10的读者可以跳过本小节，而不会失去太多连续性。）定义4.11。设φ={φkt:0≤ t型≤ n、 k级≥ 0}是一个borelfunction族，由一个函数φkt:Jtk组成→对于M（ut）的每个不可约组分（Itk，Jtk），R-1，ut），按k索引≥ 1和1≤ t型≤ n、 函数φt:It→\'R f或对角线分量由1确定≤ t型≤ n和一个函数φ：R→\'R表示t=0。同样，设χ={χkt:1≤ t型≤ n、 k级≥ 0}是一个函数族，由一个凹函数χkt:Jtk组成→ R foreach不可约分量（Itk，Jtk）和Borel函数χt:It→ R表示对角线分量。

我们还召集了≡ 0并定义函数χt：=Pk≥0χkt |对于t=1，n、 以及χn+1≡ 对于φ，我们称χ为凹慢化剂，如果对于所有t=0，n和k≥ 0，φkt+χkt- χt+1∈ L（ukt）和sumPk≥0ukt（φkt+χkt-χt+1）收敛于(-∞, ∞], 式中，ukt是m（ut）分解过程中第k个不可还原组分的第二个边缘-1，ut），如提案2.3和u≡ u。然后用u（φ）：=nXt=0Xk定义广义模型积分≥0ukt（φkt+χkt- χt+1）+nXt=1Xk≥1（ut-1.- ut）k（χkt）。对Itkis的限制对于避免总额中的“重复计算”非常重要。请注意，间隔J可能在其端点重叠。这个积分与广义鞅的概念无关。我们用Lc，g（u）表示所有族φ的集合，这些族允许凹慢化剂χ，使得nxt=0Xk≥0 |ukt（φkt+χkt- χt+1）|+nXt=1Xk≥1（ut-1.- ut）k（χkt）<∞.对于φ∈ Lc，g（u），u（φ）的值与模数χ的选择无关。如备注4.5所示。现在我们可以引入广义对偶空间。定义4.12。设f:Rn+1→ [0，∞]. 我们用Dgu（f）表示所有对（φ，H）的集合，其中φ∈ Lc，g（u），H=（H，…，Hn）是F-可预测的，nxt=0φktt（xt）+（H·x）n≥ f（x）对于所有x=（x，…，xn）和k=（k，…，kn），使得（xt-1，xt）∈ （Itkt，Jtkt）对于某些（不可约或对角）分量，t=1，n、 我们观察到，对于任何x∈ V对应的k=（k，…，kn）是唯一定义的，其中指数k≡ 0的存在纯粹是为了便于注释。以下引理阐述了在选择Dgu（f）元素时的某些自由度，以供以后参考。引理4.13。Let（φ，H）∈ Dgu（f），设χ为相应的凹面慢化剂。让1≤ t型≤ n、 设（Itk，Jtk）是M（ut）的不可约分量的域-1，ut）和c，c∈ R

通过（i）或（ii）引入新的家族（▄φ，▄H）和▄χ）：（i）定义▄φkt（y）=φkt（y）- （cy）- c） ，▄χkt（y）=χkt（y）+（cy- c） ，▄φk′t-1（x）=φk′t-1（x）+（cx- c） | Itk，￠χk′t-1=χk′t-1、~φk′s=φk′s、~χk′s=χk′s for s/∈ {t- 1，t}，~Ht=Ht+c | X-1吨-1（Itk），~Hs=Hs对于s 6=tw，其中k′运行在Subscript中相应步骤的所有组件上。给定不可约分量（I，J），表示法（x，y）∈ （I，J）表示x∈一、 y型∈ J、 而对于对角线分量（I，I），应理解为x=y∈ 一、 （ii）定义φt=φt+χt- χt+1 | It，▄χt=0，▄φkt=φkt- χt+1，§χkt=χkt代表k≥ 1，t=0，n、 然后（▄φ，▄H）∈ Dgu（f）和￠χ是相应的凹面慢化剂。此外，我们有nXt=0φktt（xt）+（H·x）n=nXt=0▄φktt（xt）+（▄H·x）和φkt+χkt- χt+1=▄φkt+▄χkt- 对于所有k，χt+1≥ 1，t=0，n、 以及u（φ）=u（￠φ）。证据（i） 如果x等于（xt-1，xt）/∈ Itk×Jtk，则▄φktt（xt）=φktt（xt）fort=0，n和▄H（x）=H（x）。否则，▄φktt（xt）+▄φkt-1吨-1（xt-1） +~Ht（xt- xt公司-1） =φktt（xt）+φkt-1吨-1（xt-1） +Ht（xt- xt公司-1） ，▄φkt+▄χkt- χt+1=φkt+χkt- χt+1和|φk′t-1+￠χk′t-1.- χt=φk′t-1+χk′t-1.- χt.以及（ut-ut-1） k（χkt）=（ut-ut-1） k（￠χkt），这些标识仅是断言。（ii）与（i）中类似，所述术语在解释上一致。备注4.14。引理4.13（i）的修改可以同时应用于许多k，没有困难。在这种情况下，我们设置▄φk′t-1（x）：=φk′t-1（x）+Xk≥1（ckx- ck）| Itk，以及￠φkt（y）=φkt（y）- （cky- ck）和￠χkt（y）=χkt（y）+（cky- ck）对于组件k≥ 1在步骤t中，点态等式s保持如上所述，特别是缓和积分不会改变。备注4.15。

任意（φ，H）∈ Du（f）诱导元素（φg，H）∈ Dgu（f），u（φg）=u（φ），通过选择一些凹面慢化剂χ作为φ并设置φkt：=φt | Jtk，χkt：=χt | Jtk。现在我们展示了广义对偶空间的引理4.8的类似物。引理4.16。Letφ∈ Lc，g（u），设H=（H，…，Hn）为F-可预测。如果nXt=0φkt（x）t（xt）+（H·x）nis从下方以M（u）的有效域V为界，则u（φ）=P“nXt=0φkt（x）t（xt）+（H·x）n#，P∈ M（u）。证据让P∈ M（u），设χ为φ的凹慢化剂，使得χt≡ 0并假设0是下限。很容易看出pnt=0φkt（x）t（xt）+（H·x）nequalsnXt=0（φkt（x）t-χt+1+χkt（x）t）（xt）+nXt=1（χkt（x）t（xt-（1）-χkt（x）t（xt））+（H·x）n≥ 假设Pnt=0（φkt（x）t- χt+1+χkt（x）t）（xt）是P可积的。因此，剩余表达mus t的负部分也是P可积的。写入Pt：=Po （X，…，Xt）-1使用（χkt）+线性增长，我们可以看到，对于任何崩解，P=Pn-1. κn，Z“nXt=1（χkt（x）t（xt-（1）- χkt（x）t（xt））+（H·x）n#κn（x，…，xn-1，dxn）=n-1Xt=1（χkt（x）t（xt-（1）- χkt（x）t（xt））+（H·x）n-1+Zh（χkn（x）n（xn-（1）- χkn（x）n（xn））iκn（x，…，xn-1，dxn）。与内核迭代集成，使Pt=Pt-1.κ并观察到我们可以应用Fubini定理toPnt=1（χkt（x）t（xt-（1）-χkt（x）t（xt））+（H·x）由于其负部分是P可积的，我们得到了P“nXt=1（χkt（x）t（xt-（1）- χkt（x）t（xt））+（H·x）n#=nXt=1Xk≥1（ut-1.- ut）k（χkt），结果如下。接下来，我们确定从Du（f）提升到Dgu（f）不会改变双重成本的范围。提案4.17。设f:Rn+1→ [0，∞]. 我们有{u（φg）：（φg，H）∈ Dgu（f）}={u（φ）：（φ，H）∈ Du（f）}。证据备注4.15显示了“包含”.” 为了显示相反的情况，我们可以应用引理4.13（i）和备注4.14来修改给定的一对（φg，H）∈ Dgu（f），使得x的φkt（x）=0∈ Jtk\\Itk，对于M（ut）的所有不可还原电源（Itk，Jtk-1，ut）和1≤ t型≤ n

这里我们使用了thatx∈ Jtk应用utk（{x}）>0，参见定义2.2，因此φg∈ Lc，g（u）表示φkt（x）∈ R也就是说，通过向φkt添加一个函数，这些端点确实可以移动到0。设χgbe为φg的凹慢化剂。使用上述引理4.3（ii）和againLemma 4.13，我们可以修改χkt以满足x的χkt（x）=0∈ Jtk\\Itk，对于M（ut）的所有不可约域（Itk，Jtk-1，ut）和1≤ t型≤ n、 这里，终点处χkt的完整性来自引理4.3（i）和（ut-1.-ut）k（χkt）<∞.仍然通过（φg，H）表示修改的对偶元素，我们定义φ∈ Lc（u）和相应的凹面慢化剂χ乘以φt（x）：=φkt（x），χt（x）：=χkt（x），对于x∈ Jtk；由于φkt和χkt在属于多个集合Jtk的点处消失，因此它们得到了很好的定义。通过构造，我们得到了u（φ）=u（φg），结果如下。定义4.18。让1≤ t型≤ n和xt∈ R、 序列x=（x，…，xt）是xt的前置路径，如果索引（k，…，kt）是（xs-1，xs）∈（ISK，JSK）对于M（us）的某些分量（不可约或对角线）-1，us），适用于所有1≤ s≤ t、 我们为（唯一）关联序列（k，…，kt）写（x）f，然后是上述意义上的路径x，并为kt=k的所有前置路径的s et写ψkt（xt）。这些概念将有助于下一步的封闭性结果，即“正则化”凹慢化剂。为了下面一些表述的具体性，我们召集∞ - ∞ := ∞.引理4.19。Let（φ，H）∈ Dgu（0）。存在φ的凹慢化剂χ，使得φkt+χkt- χt+1≥ JTK上的0对于所有t=0，n、 k级≥ 1和（4.2）φt+χt- χt+1≥ 0ut-a.s.对于所有t=1，n、 （4.3）因此，nXt=1Xk≥1（ut-1.- ut）k（χkt）≤ u（φ）。证据修复1≤ t型≤ n和let（Itk，Jtk）是m（ut）的某些组分的域-1，ut）。