多周期鞅输运

从引理6.7的观点来看，这是通过应用定理6.8中的definingshadow性质直接得出的，其中x=a。可积条件（7.4）意味着设置g（x，y）：=f（x，0）+f（0，y）- f（0，0）+h（x）y，三项组成g（x，Xt）=[f（x，0）+h（x）x]+[f（0，Xt）- f（0，0）]+[(R)h（X）（Xt- 十） ]是P可积的，且P[g（X，Xt）]在P上是常数∈ M（u）。用f替换GF- g、 因此，我们可以假设f（x，0）=f（0，y）=fy（x，0）=0，对于所有（x，y）∈ R、 （7.5）在该归一化之后，通过部分积分得到表示f（x，y）=ZyZx（y- t） fxyy（s，t）ds dt。（7.6）引理7.14。定理7.12在以下附加条件下成立：存在一个常数c>0，这样x 7→ f（x，y）在{x>c}和{x<-c} ，y 7→ f（x，y）i在{y>c}和{y<-c} 。证据部分积分意味着f或全部（x，y）∈ R、 我们有表示F（x，y）=-Zc公司-cZc公司-c类(-∞,s] （x）（y）- t） +fxyy（s，t）ds dt+[f（x，-c）- (-c） fy（x，-c） ]+[f（c，y）- f（c，-c）- fy（c，-c） （y）- (-c） ）]+财年（x，-c） y.由于附加条件，后三项的形式为g（x，y）=φ（x）+ψ（y）+h（x）y，且为线性增长。因此，如上所述，P′[g（X，Xt）]=P′的顺式常数∈ M（u）。如果P∈ M（u）是左单调的，P′∈ M（u）是任意的，Fubini定理和引理7.13得出p[f]=-Zc公司-cZc公司-cP[1(-∞,s] （x）（y）- t） +]fxyy（s，t）ds dt+C≥ -Zc公司-cZc公司-cP′[1(-∞,s] （x）（y）- t） +]fxyy（s，t）ds dt+C=P′[f]，其中P，P′被理解为关于（x，y）的积分，Fubini定理的应用由被积函数的非负性来证明。定理7.12的证明。设f如定理所示。我们将构造函数fm，m≥ 1满足引理7.14的假设以及asP[fm]→ P【f】表示所有P∈ M（u）。一旦实现了这一点，定理就从引理中推导出来。事实上，我们可以假设f如（7.5）中所示被归一化。

让m≥ 1 andletρm:R→ [0，1]是一个光滑函数，使得ρm=1[-m、 m]且ρm=0开[-m级- 1，m+1]c.鉴于（7.6），我们定义了fmbyfm（x，y）=ZyZx（y- t） fxyy（s，t）ρm（s）ρm（t）ds dt。然后，Fms满足引理7.14的假设，常数c=m+1。此外，我们有0≤ fm（x，y）≤ fm+1（x，y）≤ f（x，y）表示x≥ 0和x的相反不等式≤ 0，以及fm（x，y）→ f（x，y）表示所有（x，y）。让P∈ M（u）。由于f是P-可积的，在{x上分别应用单调收敛≥ 0}和{x≤ 0}产生P[fm]→ P[f]，证明是完整的。备注7.15。函数f（x，y）：=tanh（x）p1+y证明了定理7.12中所有凸序边缘u的条件，因为后者假设有一个有限的一阶矩。我们现在可以收集前面的结果，特别是得到定理1.1中所述的等价性。定理7.16。设u=（u，…，un）为凸序。存在一个左单调、非退化、通用可测集Γ Rn+1对于任何P∈ M（u），以下是等效的：（i）P是Su（f（X，Xt））的优化器，只要f是sm ooth二阶Spence–Mirrlees函数和1≤ t型≤ n、 （ii）P i集中在Γ上，（ii’）P集中在左单调集上，（iii）P是左单调的；i、 e.P0t运输u|(-∞,a] 至Su，。。。，ut（u|(-∞,a] ）适用于所有1≤ t型≤ n和a∈ R、 此外，存在P∈ M（u）满足（i）–（iii）。证据设Γ为定理7.10为注释7.15中的函数ft=(R)fo提供的集。给定P∈ M（u），定理7.10表明（i）意味着（ii），而这意味着（ii’）。定理7.7和备注7.3表明（ii’）意味着（iii），而定理7.12表明（iii）意味着（i）。

最后，定理6.8说明了左单调变换的存在性。我们以一个示例结束本节，该示例表明左单调变换一般不是马尔可夫变换，即使它们是唯一的并且（6.2）适用于u。示例7.17。考虑边缘u=δ+δ，u=δ+δ，u=δ-1+δ+δ+δ。运输P∈ M（u）由p=δ（0,0,0）+δ（1,0，-1） +δ（1,0,1）+δ（1,2,2）是左单调的，因为它的支撑是左单调的（图4），并且它显然不是马尔可夫的。另一方面，不难看出，这是以M（u）为单位构建左单调传输的唯一方法。图4：示例7.17.8中非马尔可夫传输的支持左单调传输的唯一性在本节中，我们考虑左单调传输的（非）唯一性。事实证明，u中原子的存在在这方面很重要，让我们从以下简单的观察开始。备注8.1。设u=（u，…，un）为凸序。如果u是狄拉克质量，则每个P∈ M（u）是lef t-单调的。实际上，M（u，ut）是1的单态≤ t型≤ n、 因此p0t必须是（一步）左单调传输。利用这一观察结果，以下结果表明，当n≥ 例8.2。设u=δ，u=δ-1+δ，u=δ-2+δ+δ。注意，M（u）中的任何元素都是左单调的。此外，M（u）是连续的，因为M（u，u）包含两个测量值的凸包pl=δ(-1.-2） +δ(-1,0）+δ（1，-2） +δ（1,2），Pr=δ(-1.-2） +δ(-1,2）+δ（1,0）+δ（1,2）。相应的支架如图5所示。图5：对相同边缘的两个左单调传输的支持。该示例说明，当u具有原子时，通常可以预期非唯一性。另一方面，我们有以下唯一的结果。定理8.3。设u=（u，…，un）为凸序。

如果u是无原子的，则存在唯一的左单调传输P∈ M（u）。本节的其余部分专门用于证明。让我们称核κ（x，dy）二项式if为所有x∈ R、 测量值κ（x，dy）最多由两个点质量组成。如果一个鞅输运可以只用二项式核分解，则称之为二项式输运。我们将证明当u为无原子时，任何左单调迁移都是二项式鞅，然后通过凸性论证得出唯一性。第一步是以下集合论结果。引理8.4。让k≥ 1为整数和Γ Rt+1。对于x∈ Rt，我们用Γx表示：={y∈ R：（x，y）∈ Γ}x处的截面。如果集合{x∈ Rt：| x |≥ k} 是不可数的，那么它有一个累积点。更准确地说，有x=（x，…，xt）∈ r和y<···<ykinΓx对于所有大于0的，存在x′=（x′，，x′t）∈ r和y′<···<y′kinΓx′满足（i）kx- x′k<，（ii）x<x′，（iii）最大值=1，。。。，k | yi- 是的。证据这个证明类似于[8，引理3.2]中的证明，因此省略了。以下关于二项式结构的陈述概括了[8]中一步情况的结果，并且具有独立的意义。提案8.5。设u=（u，…，un）为凸序，并设u为无。存在一个普遍可测集Γ Rn+1使得每左单调传输P∈ M（u）集中在Γ上，对于所有1≤ t型≤ n和x∈ Rt，|{y∈ R：（X，…，Xt）-1（x，y）∩ Γ6=}| ≤ 2.（8.1）特别地，每个左单调传输P∈ M（u）是二项鞅。证据设Γ如定理7.16所示；然后每个左单调P∈ M（u）集中在Γ上。设At为所有x的集合∈ 使（8.1）失效。提供不可数的支持；引理8.4得到点x，x′，对于某些y，y∈ Γtxand y∈ Γtx′我们有y<y<y。

这与Γ的左单调性（定义7.1）相矛盾，因此At必须是可数的。因此，（X，…，Xt-（1）-1（At）是Borel，P-对于所有P为null∈ M（u），因为u是无原子的。集合Γ′=Γ\\∪nt=1（X，…，Xt-（1）-1（At）则具有所需的属性。定理8.3的证明。我们将用n上的归纳法来证明这个结果。对于n=1，结果由命题6.3得到，无论有无原子。为了说明诱导步骤，设P′为唯一的左单调输运inM（u，…，un-1） 设P=P′ κ和P=P′ 两个n步左单调转运蛋白的κbe分解。那么，P+P=P′κ+κ再次是左单调的，命题8.5得出，（κ+κ）/2必须是二项式核P′-a.s。同时利用κ和κ的鞅性质，只有当κ=κ保持P′-a.s时，这才是真的，因此P=P.9自由中间边缘在本节中，我们讨论了中间边缘约束u，un-1省略；也就是说，仅规定了第一个和最后一个边缘u，unar。（人们可以将结果类似地调整到一种情况，即给出了一些中间边缘，但不是所有中间边缘。）原始空间用Mn（u，un）表示，由Rn+1上的所有鞅测度P组成，其中u=Po（十）-1和un=Po（Xn）-1、为了与前面的章节进行连接，我们注意到mn（u，un）=[M（u），其中并集接管所有向量u=（u，u，…，un）-1，un），按对流顺序排列。9.1极性结构我们首先描述Mn（u，un）的极性组。为此，我们引入了不可约成分的类似物。定义9。1.Letu≤cunand let（Ik，Jk） Rbe是命题2.3意义下相应的不可约域。

Mn（u，un）的n阶分量是setsA上标m表示m次笛卡尔积；nis是Rn+1中的对角线。（i） 墨水×Jk，其中k≥ 1，（ii）英寸+1∩ n、 （iii）Itk×{p}n-t+1，其中p∈ Jk\\i和1≤ t型≤ n、 k级≥ 1、特征描述采用以下形式。定理9.2（极性结构）。Letu≤cun.A Borel组B Rn+1为Mn（u，un）-极性当且仅当存在u-空集和un空集nn，使得b （N×Rn）∪ （Rn×Nn）∪[VjC此处，接头运行在所有n阶组件Vjof Mn（u，un）上。事实证明，我们以前的结果可以通过下面的引理来证明这个理论，这个引理可能是独立的。引理9.3。Letu≤cν与域（I，J）不可约，ρ是集中在J上的概率。然后，存在概率u≤cθ≤cν满足θ>> ρ使得u≤cθ和θ| I≤c（ν- θ| J\\I）都是不可约的。证据第1步。我们首先假设ρ=δxf对于某些x∈ J并表明存在满足u的θ≤cθ≤cν和θ>> δx。如果ν在x上有一个原子，我们可以选择θ=ν。因此，我们可以假设ν（{x}）=0，尤其是x∈ 一、 设a为u和ν的公共重心，并假设x<a。对于所有b∈ R和0≤ c≤ ν（{b}），测量值νb，c：=ν|(-∞,b） +cδbsatisνb，c≤ ν、 当x<a时，存在唯一的b，c，使得bary（νb，c）=x。设置α=νb，cand=α（R），我们就有δx≤cα≤ ν、 对于x，一个类似的构造会得到这个结果≥ a、 这种α的存在意味着δx≤pcν，0≤ ≤ 因此，阴影Sν（δx）得到了很好的定义。通过将ν限制到一个区间（可能包括端点处的原子分数）给出该度量；参见【8，示例4.7】。此外，在可能减小质量后，间隔是有界的。

因此，对于所有<δx的函数，势函数的差异susν（δx）- uδx≥ 0在紧致区间外消失，并一致收敛为0，如→ 0.另一方面，作为u≤cν是不可约的，差分uν- uu≥ 0在I的紧致子集上一致有界远离零，在J I上具有非零导数。加在一起，uν- uSν（δx）+uδx≥ uu（9.1）对于足够小的>0，因此θ：=ν- Sν（δx）+δx质量u≤cθ≤cν；此外，θ>> δxasν（{x}）=0。第2步。我们转向J上的一般概率测度ρ的情况。通过步骤1，我们可以找到每个x的测度θxf∈ J使u≤cθx≤cν和θx>> δx.map x 7→ θx可以很容易地选择为可测量的（通过以可测量的方式为（9.1）选择）。然后我们可以定义概率测度θ′（A）：=ZJθx（A）ρ（dx），A∈ B（R）表示u≤cθ′≤cν。此外，我们还有θ′>> ρ；确实，如果∈ B（R）是θ′-nullset，那么θx（a）=0表示ρ-a.e.x，因此ρ（a）=0表示θx>> δx。最后，θ：=（u+θ′+ν）/3具有这些性质。由于I上的uu<uν是不可约的，因此I上的uu<uθ<uν≤cθ和θ| I≤c（ν- θ| J\\I）是不可约的。引理9.4。Letu≤cunand设π为Rn+1的度量，其集中于Mn（u，un）的n阶组分V，且其第一和最后边缘满足π≤ u，πn≤ un。然后存在P∈ Mn（u，un），使P>> π。证据I f V=英寸+1∩ n、 那么π必须是一个相同的输运，我们可以把P看作M（u，u，…，u，un）的任何元素。因此，我们可以在定义9.1中确定V为（i）或（iii）型，然后通过定义k≥ 1，该u≤cunis与域（I，J）不可约。使用引理9.3，我们可以找到中间边缘utwithu≤cu≤c···≤cun-1.≤cun确保ut>> πt对于所有1≤ t型≤ n- 1和每个步骤ut-1.≤cut，1≤ t型≤ n有一个由（I，J）给出的不可约域，以及（可能）J上的对角分量。

我们注意到，V是M（u，u，…，un）的不可约分量，如定理3.1之后所述。设ft=dπt/dutbe为m的边缘日期t的Radon–Nikodym导数≥ 1，我们定义了度量πm<< π乘以πm（dx，…，dxn）=2-明尼苏达州-1Yt=1ft（xt）≤2米！π（dx，…，dxn）。然后，边缘πmt满足更强的条件πmt≤ ut用于0≤ t型≤ n、 因此，我们可以将引理3.3应用于u=（u，…，un）和不可约复合元V，以找到Pm∈ M（u） Mn（u，un）小于Pm>> πm.注意到PM≥1.-mπm>> π、 我们看到P：=Pm≥1.-mPm公司>> π满足引理的要求。定理9.2的证明。通过遵循定理3.1.9.2对偶证明中的论点，从引理9.4推导出结果。在这一节中，我们为具有自由中间边的输运问题建立了一个对偶定理。定义9.5。设f:Rn+1→ [0，∞]. 主要问题是nu，un（f）：=支持∈Mn（u，un）P（f）∈ [0，∞]对偶问题isInu，un（f）：=inf（φ，ψ，H）∈Dnu，un（f）u（φ）+un（ψ）∈ [0，∞],式中，Dnu，un（f）由所有三元组（φ，ψ，H）组成，使得（φ，ψ）∈ Lc（u，un）和H=（H，…，Hn）可以用φ（X）+ψ（Xn）+（H·X）n预测≥ f Mn（u，un）-q.s.e.不等式对所有P保持P-a.s∈ Mn（u，un）。与定理5.2类似的内容如下。定理9.6（对偶性）。设f:Rn+1→ [0，∞].（i） 如果f为上半解析，则Snu，un（f）=Inu，un（f）∈ [0，∞].（ii）如果单位为u，un（f）<∞, 存在一个对偶优化器（φ，ψ，H）∈ Dnu，un（f）。证明的主要步骤再次是接近结果。我们只讨论以下情况：≤cunis不可约；可以沿着第4节的线路获得对generalcase的扩展。提案9.7。Letu≤cunbe不可约且let fm:Rn+1→ [0，∞]是一系列功能，以便fm→ f点方向。此外，let（φm，ψm，Hm）∈ Dnu，un（fm）等于supmu（φm）+un（ψm）<∞.

然后存在（φ，ψ，H）∈ Dnu，un（f），使得u（φ）+un（ψ）≤ lim信息→∞u（φm）+un（ψm）。证据让ut，1≤ t型≤ n- 1应确保u=（u，…，un）为凸序且ut-1.≤cut对所有1不可约≤ t型≤ n通过规定它们的潜在功能，可以很容易地构建这样的u皮重。设置φm=（φm，0，…，0，ψm）wehave（φm，Hm）∈ Dgu（fm），因此可以应用命题4.21获得（φ，H）∈ Dgu（f）。证明该命题的构造得到φt≡ 1的0≤ t型≤ n- 因此，（φ，φn，H）∈ Dnu、un（f）和u（φ）+un（φn）=u（φ）≤ lim信息→∞u（φm）=lim infm→∞u（φm）+un（ψm）。定理9.6的证明。根据命题9.7的强度，证明类似于定理5.2.9.3中的单调传输。我们对左单调传输的结果的模拟有些退化：对于无约束的中间边缘，相应的耦合是第一个- 1步和最后一步中的（一步）左单调传输。完整结果如下所示。定理9.8。让P∈ Mn（u，un）。以下是等效的：（i）P是所有smoothsecond-order Spence–Mirrlees函数f和1的Snu，un（f（X，Xt））的同时优化因子≤ t型≤ n、 （ii）P i s集中在左单调集Γ上 Rn+1如此-1={（x，…，x）：x∈ Γ}。（iii）对于0≤ t型≤ n- 1，我们有Po （Xt）-1=u和Po （Xt，Xn）-1是（一步）左单调传输，单位为M（u，un）。存在唯一的P∈ Mn（u，un）满足（i）–（iii）。证据如（iii）中所述的传输P存在且唯一，因为等边值之间的相同传输和左单调传输inM（u，un）存在且唯一；参见提案6.3。（ii）和（iii）的等价性来自同一命题，并且从u到u的唯一鞅传输是恒等式。让P∈ Mn（u，un）满足（i）。

尤其是，P是Snu，un（f（X，Xn））的优化器，根据命题6.3，这意味着P0n=Po（X，Xn）-1是（一步）左单调传输，单位为M（u，un）。Fort=1，n- 1，P是Snu，un的优化器(-1{X≤a} | Xt- b |），对于ALA，b∈ R、 这意味着p0t传输u|(-∞,a] 到{θ：u的最小元素|(-∞,a]≤cθ≤pcun}在凸阶意义上，即θ=u|(-∞,a] 。因此，对于t=1，…，p0t必须是相同的传输，n- 1除最后一个边缘外，所有边缘均等于u。相反，设P∈ Mn（u，un）具有（iii）中的性质。那么，对于Snu，un，P是最佳的(-1{X≤a} （Xt）- b） +）适用于所有1≤ t型≤ 这可以推广到光滑二阶Spence–Mirrleesfunctions的最优性（i），如定理7.12的证明。参考文献【1】M.Beiglb"ock、A.M.G.Cox和M.Huesmann。多边缘Skorokhod嵌入的几何。预印本arXiv:1705.09505v12017。[2] M.Beiglb"ock、A.M.G.Cox和M.Huesmann。最佳传输和Skorokho d嵌入。在通风孔中。数学208（2）：327–4002017年。[3] M.Beiglb"ock、A.M.G.Cox、M.Huesmann、N.Perkowski和D.J.Pr"omel。通过Vovk的外部度量进行路径超级复制。财务Stoch。，21（4）：1141–1166，2017年。[4] M.Beig lb"ock、M.Goldstern、G.Maresch和W.Schachermayer。优化和更好的交通计划。J、 功能。分析。，256（6）：1907–19272009。[5] M.Beiglb"ock、P.Henry-L abordère和F.Penkner。期权价格的模型独立边界：大众运输方法。财务Stoch。，17（3）：477–501，2013年。[6] M.Beiglb"ock、P.Henry Laborère和N.Touzi。单调鞅运输计划和Skorokhod嵌入。随机过程。应用程序。，127（9）：3005–30132017。[7] M.Beiglb"ock、M.Huesmann和F.Stebegg。根到Kellerer。在Séminairede probabilitéS XLVIII《数学课堂讲稿》第2168卷中。，第1-12页。柏林斯普林格，2016年。[8] M.Beiglb"ock和N.Juillet。