多周期鞅输运

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英文标题：
《Multiperiod Martingale Transport》
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作者：
Marcel Nutz, Florian Stebegg, Xiaowei Tan
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Consider a multiperiod optimal transport problem where distributions $\\mu_{0},\\dots,\\mu_{n}$ are prescribed and a transport corresponds to a scalar martingale $X$ with marginals $X_{t}\\sim\\mu_{t}$. We introduce particular couplings called left-monotone transports; they are characterized equivalently by a no-crossing property of their support, as simultaneous optimizers for a class of bivariate transport cost functions with a Spence--Mirrlees property, and by an order-theoretic minimality property. Left-monotone transports are unique if $\\mu_{0}$ is atomless, but not in general. In the one-period case $n=1$, these transports reduce to the Left-Curtain coupling of Beiglb\\\"ock and Juillet. In the multiperiod case, the bivariate marginals for dates $(0,t)$ are of Left-Curtain type, if and only if $\\mu_{0},\\dots,\\mu_{n}$ have a specific order property. The general analysis of the transport problem also gives rise to a strong duality result and a description of its polar sets. Finally, we study a variant where the intermediate marginals $\\mu_{1},\\dots,\\mu_{n-1}$ are not prescribed.
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中文摘要：
考虑一个多周期最优传输问题，其中规定了分布$\\mu\\u{0}、\\dots、\\mu\\u{n}$，并且传输对应于标量鞅$X$，边缘为$X\\u{t}\\sim\\mu\\t}$。我们引入了称为左单调传输的特殊耦合；它们的特征是其支持度的无交叉性，作为一类具有Spence-Mirrlees性质的二元运输成本函数的同时优化器，以及有序理论的最小性。如果$\\mu\\u{0}$是无原子的，但不是一般的，则左单调传输是唯一的。在一个期间的情况下，$n=1$，在多周期情况下，日期$（0，t）$的二元边值为左帘型，当且仅当$\\mu\\u{0}、\\dots、\\mu\\u{n}$具有特定的order属性。对输运问题的一般分析也给出了一个强对偶结果及其极集的描述。最后，我们研究了一个变量，其中中间边缘$\\mu\\u{1}、\\dots、\\mu\\u{n-1}$没有规定。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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关键词：Mathematical distribution Differential SIMULTANEOUS intermediate

多周期鞅运输*Florian Stebegg+Xiaowei Tan2019年5月21日摘要考虑一个多周期最优运输问题，其中分布u，unare指定，且传输对应于ascalar鞅X，边缘为Xt~ ut.我们引入了称为左单调传输的特殊耦合；它们的特征是其支持的无交叉性，具有aSpence–Mirrlees性质的一类二元运输成本函数的同时优化器，以及序理论的最小性。如果u为A，则左单调传输是唯一的，但不是一般的。在一个周期的情况下，n=1，这些传输减少到Beiglb"ock和Juillet的左帘耦合。在多周期情况下，日期（0，t）的双变量边缘为左帘型，当且仅当u，un具有特定的订单属性。对输运问题的一般分析也产生了一个强大的对偶结果及其极集的描述。最后，我们研究了中间边缘u，un-1未规定。关键词：最优运输；鞅耦合；DualityAMS 2010学科分类：60G42；49N051 IntroductionLetu=（u，…，un）是实线上概率度量的向量。Rn+1上的度量值P（其边缘由u给出）称为u的耦合（或传输），所有此类度量值的集合由∏（u）表示。我们应该对耦合P感兴趣，它是鞅；也就是说，Rn+1上的恒等式X=（X，…，Xn）是P下的鞅。因此，我们将总结所有边缘都有一个确定的第一时刻，并用M（u）表示该集合*哥伦比亚大学统计与数学系，mnutz@columbia.edu.Alfred P.支持的研究。

斯隆奖学金和NSF授予DMS-1512900和DMS-1812661。+佛罗里达哥伦比亚大学统计系。stebegg@columbia.edu.哥伦比亚大学数学系，xt2161@columbia.edu.of鞅耦合。Strassen[41]的经典结果表明，M（u）是非空的，当且仅当边缘为凸序，用ut表示-1.≤cu并根据ut-1（φ）≤ ut（φ）对于任何凸函数φ，其中u（φ）：=Rφdu。本文的第一个目标是介绍和研究一系列“规范”耦合P∈ 我们称之为左单调的M（u）。这些联结器专门适用于[8]中的左帘式联结器，在一步情况下n=1，广义上讲，这些联结器具有一些类似于经典最优运输的Hoeffing–Fréchet联结器的特性。事实上，lef-t-单调耦合的特征是序理论的极小性，作为某些类别的报酬（或成本）函数的同时最优传输，并且通过其支持上的无交叉条件。第二个目标是发展一个关于多周期鞅最优运输的强对偶理论，沿着[10]对于单周期鞅情形和[34]对于经典最优运输问题的思路。也就是说，Weintroducing提出了一个合适的对偶优化问题，并证明了一般运输报酬（或成本）函数不存在成人差距以及对偶优化器的存在。对偶结果是研究左单调耦合的重要工具。我们还为我们的问题的一个变体开发了类似的结果，其中中间边缘为u，un-1没有规定（第9节），但为了介绍的目的，我们应将重点放在完整的边缘案例上。1.1离开单调传输为了定位，让我们首先陈述主要结果，然后解释其中包含的术语。

以下是一个简化的版本。本文正文中的结果在某些技术方面更为强大。定理1.1。设u=（u，…，un）为凸序，P∈ M（u）这些边缘之间的阿马丁格尔迁移。以下是等效的：（i）P是f（X，Xt）的同时最优传输，1≤ t型≤ n每当f:R时→ R是一个光滑的二阶Spence–Mirrlees函数。（ii）P i s集中在左单调集Γ上 Rn+1。（iii）P输送u|(-∞,a] 到遮挡阴影Su，。。。，ut（u|(-∞,a] ）脚背t，适用于所有1≤ t型≤ n和a∈ R、 存在P∈ M（u）满足ing（i）–（iii），任何这样的P称为左单调输运。如果u是无原子的，则P是唯一的。现在我们来讨论定理中的项目。（i） 最佳运输。这个性质将P描述为同时最优传输。给定函数f:Rn+1→ R、 我们可以考虑报酬为f（或成本）的鞅最优运输问题-f），Su（f）=支持∈M（u）P（f）；（1.1）回想一下，P（f）=EP[f（X，…，Xn）]。一个Lipschitz函数f∈ C1,2（R；R）如果满足交叉导数条件fxyy>0，则称为Smooth二阶Spence–Mirrlees函数；这也被称为鞅Spence–Mirrlees条件，类似于经典Spence–Mirrleescondition fxy>0。给定这样一个由两个变量和1≤ t型≤ n、 我们可以考虑报酬为f（X，Xt）的n步鞅最优运输问题。特征化（i）表明左单调传输∈ M（u）同时是n个传输问题的优化器SF（X，Xt），1≤ t型≤ n、 对于一些（然后是所有）光滑的二阶Spence–Mirrlees函数f。在一步情况下，左Curtaincoupling的相应结果成立[8]；在这里，同步优化变成了单个优化。

鉴于（i）中的特征，一个直接的结果是，如果存在P∈ M（u），使得所有双变量投影P0t=Po （X，Xt）-1.∈M（u，ut）为左帘型，则P为左单调。然而，除非边缘满足一个非常特殊的条件（见命题6.9），否则这种传输不存在，并且通常阿列夫特单调传输的双变量投影不是左幕类型。（ii）几何形状。第二项通过其支撑的几何特性来表征P。A集合Γ 如果Rn+1对所有1都具有以下无交叉属性，则称其为左单调≤ t型≤ n： 设x=（x，…，xt-1） ，x′=（x′…，x′t-（1）∈ 兰迪-, y+，y′∈ R带y-< y+应为（x，y+）（x，y-), （x′，y′）是Γ到Firstt+1坐标的投影。那么，y′/∈ （y）-, 每当x<x′，y+。也就是说，如果我们考虑Γ中的两条路径，从x开始，一直到- 第三条路径从x′开始到x的右侧，然后在时间t，第三条路径不能跨入前两条路径之间，如图1所示。第（ii）项指出，左单调传输P∈ M（u）可以是uut-1utxy-ty+tx′y′tut-1utxy-ty+tx′y′t图1：左单调集中禁止配置的两个示例。其特点是集中在左单调集Γ上。（在Orem 7.16中，我们将陈述一个更强的结果：我们可以找到一个同时携带所有左单调传输的左单调集。）在n=1的一步情况下，左单调性与[8]的left窗帘特性一致。然而，我们强调，对于t>1，我们的无交叉条件不同于双变量投影（X，Xt）（Γ）的左幕属性，因为后者不包含前两条路径必须在t之前重合的限制-1（另见示例6.10）。

这与上述事实相对应，即二元边际p0t不必为左帘型。另一方面，投影的几何结构（Xt-1，Xt）（Γ）与左侧帷幕也有很大不同，因为我们的条件可能会排除t处从右侧和左侧穿过的第三条路径- 1，取决于起点x′，而不是x′t的位置-1.（iii）凸序。这个性质以序理论的方式刻画了左单调迁移，并将用于存在性证明。为了解释这一想法，假设u由许多原子组成，xN公司∈ R、 然后，对于任何固定的t，可以通过为每个原子指定“目的地”度量来确定u和ut的耦合。我们考虑所有链条u| xi≤cθ≤c···≤cθtof度量满足边缘约束θs的凸序θsin≤ usfor s≤ t、 在这些链中，保持末端测量θ，并根据凸序对它们进行比较。u| xinut穿过u的遮挡阴影，ut-1，表示u，。。。，ut（u| xi）被定义为θt中唯一的最小元素。A parHereu| xidenotes是xi处质量u（{xi}）的狄拉克度量。有关此构造的详细信息，请参见定义6.6和引理6.7。u和u的光耦合是指在ut的其余部分中，原子uxit依次映射到其遮挡阴影，从最左边的原子xind开始，从左到右继续。在一般措施的情况下，我们考虑限制u|(-∞,a] 而不是成功地映射原子。然后，特征化（iii）指出左单调平移P∈ M（u）映射u|(-∞,a] 到日期t时被遮挡的阴影≤ t型≤ n和a∈ R

这特别表明，二元投影sp0t=Po （X，Xt）-左单调耦合的1唯一确定。在正文中，我们还将通过在迄今为止的边缘上迭代无障碍的s阴影，对障碍阴影给出另一种定义；见第6节。上面专门讨论了一步格[8]的构造，它对应于t=1的情况，其中没有中间边缘阻碍s阴影。当t>1时，中间边缘的障碍物再次导致p0t不需要为Left窗帘类型。更准确地说，表征（iii）在边缘u上产生了一个尖锐的标准（命题6.9），准确地描述了这种重合的发生时间。（非）唯一性。上面我们已经看到，对于左单调输运P∈ M（u）双变量投影P0t，1≤ t型≤ n是唯一确定的。特别是，对于n=1，我们恢复了[8]的结果，即左单调耦合是唯一的。对于n>1，根据第一个边缘的性质，情况会有很大不同。在一个极端，我们将看到，当u为无原子时，存在唯一的左单调传输P∈ M（u）。此外，P有一个退化结构，使人想起Brenier定理：当P=u时，它可以分解 κ · · ·  κn其中每个一步运输核κ集中在两个函数的图上。另一种极端情况是，如果u是狄拉克质量，典型情况是存在大量左单调耦合，详细讨论见第8节。我们还将证明，即使唯一性成立，左单调传输一般也不是马尔可夫的（例7.17）。1.2对偶左单调传输的分析基于我们为一般奖励函数f:Rn+1得出的对偶结果→ (-∞, ∞] 具有可积下界。

形式上，传输问题的对偶问题su（f）=支持∈M（u）P（f）是最小值iu（f）：=inf（φ，H）nXt=0ut（φt），其中取实函数和可预测过程H=（H，…，Hn）的向量φ=（φ，…，φn），使得nXt=0φt（Xt）+（H·X）n≥ f（1.2）此处（H·X）n：=Pnt=1Ht（Xt- Xt公司-1） 是离散时间积分。所设计的结果（定理5.2）表明，不存在对偶间隙，即iu（f）=Su（f），并且只要对偶问题是有限的，就可以得到对偶问题。从对[10]中一步情况的分析中，我们知道这个断言不符合上述对偶的天真公式，并且需要对函数φ和域V的可积性进行几次放宽 Rn+1，其中需要不等式（1.2）。具体而言，需要放宽M（u）-极集合上的不等式；i、 e.不收取任何运输费用P∈ M（u）。定理3.1中描述了这些集合的特征，其中我们证明了M（u）-极集合正是投影到M（ut）的二维极集合的集合（并集-1，ut）对于某些1≤ t型≤ n、 对偶定理产生了一个单调性原理（定理5.4），它是左单调耦合分析的基础。与经典输运中的循环单调性条件类似，它允许我们研究给定函数f.1.3的最优输运支持几何。背景和相关文献[5]中引入了鞅最优输运问题（1.1），并以对偶问题为动机。事实上，在金融数学中，函数f被理解为写在基础X上的衍生工具的收益，（1.2）对应于通过静态交易欧洲期权φt（Xt）和根据策略H动态交易基础f的超边缘。

然后，值Iu（f）对应于f的最低价格，如果边际值x t~ u皮重从期权市场数据中得知。在文献[5]中，证明了（在对偶问题的上述“天真”表述中）不存在对偶gapif是充分正则的，而对偶存在即使在正则情况下也被证明是失败的。无模型套期保值的思想以及与Korokhod嵌入的联系可以追溯到【26】；我们参考【12、13、14、27、38、43】以获取更多参考。在研究给定n个边值的鞅的最大值时，也会出现一个特定的多周期鞅最优运输问题[22]。对n=1的一步情况进行了详细研究。特别是，[8]引入了左帘耦合，并开创了定理1.1的许多基本思想，[24]提供了该耦合的明确构造，[31]建立了边缘的稳定性。当n=1时，我们的对偶结果专门化为[10]中的结果。不出所料，我们会尽可能利用这些论文中的许多论点和结果。如上所述，正如下面的证明所示，多步骤案例允许更丰富的结构，并需要新颖的想法；例如，极性集的分析（定理3.1）非常复杂。在一步鞅情形下的其他研究工作已经研究了诸如前向启动跨接（28，29）或亚洲支付（40）的奖励函数。关于多维边缘的最新发展，我们也参考了[20，35]。一步鞅最优运输问题可以交替地研究为具有边际约束的最优Skorokhod嵌入问题；参见[2、3、6、7]。

在撰写本文时，正在准备对[2]进行多边缘扩展[1]，作者提请我们注意，至少在u为无原子且满足一些进一步条件的情况下，它将消除对Skorokhod图中定理1.1的厌恶。在[21]中还研究了具有多边缘约束的Skorokhodembeding问题。通过以马尔可夫方式合成ut的左幕传输核，可以获得与我们完全不同的多级耦合-1至ut，1≤ t型≤ n、 如【24】所述。在[32]中，这种耦合的连续时间限制为n→ ∞ 研究以找到所谓的Peacock问题的解，其中规定了连续时间鞅的边值；关于具有完全边缘约束的其他连续时间结果，请参见[23]和[33]。与连续时间鞅输运问题相关的早期贡献包括[16、17、19、36、39、42]。论文的其余部分组织如下。第2节确定了基本特征并回顾了一步案例的必要结果。在第3节中，我们描述了M（u）的极性结构。第四节介绍并分析了第五节对偶问题所涉及的空间，在这里我们陈述了对偶定理和单调性原理。第6节介绍了影子构造的左单调传输，第7节给出了支持度和最优性的等价刻画。第8节讨论了左单调传输的（非）唯一性。我们在第9.2节初步分析中对无约束中间边缘问题进行了分析，得出结论。在本文中，ut，u，ν表示具有有限初始力矩的R的有限测度，总质量不一定被归一化。将旋转推广到向量u=（u。