基于凸优化的多周期交易

期间平均实现回报率st=1，T isRp=TTXt=1磅。回报的另一个衡量指标是t期投资组合的增长率（或对数回报），定义为GPT=对数（vt+1/vt）=对数（1+Rpt）。投资组合的平均增长率是t=1，…，期间gpt的平均值，T对于每期收益率为20个小指标的情况，与之相比（实践中几乎总是如此），GPT非常接近Rpt。以上给出的回报率和增长率是每个时期的。为了便于解释，它们通常是年化的[3]：回报率和增长率乘以P，其中P是一年中的周期数。（对于交易日，我们有P≈ 250）波动性和风险。已实现波动率是投资组合回报时间序列的标准偏差，σp=TTXt=1（Rpt- Rp）！1/2。（这是最大似然估计；对于无偏估计，我们将1/T替换为1/（T-1） ）。波动率的平方就是平方风险。当Rpt很小时（与1相比），二次风险的良好近似值是回报的二阶矩（σp）≈TTXt=1（Rpt）。上面给出的波动率和二次风险是每个周期的。为了便于解释，它们通常是按年计算的。为了得到年化值，我们将波动率乘以√P，二次风险。（这种比例是基于不同时期的回报率是独立的随机变量的想法。）3.2与基准相关的指标基准权重。通常根据一个基准来衡量投资组合绩效，该基准以wbt权重集的形式给出∈ Rn+1，即资产的一部分（包括现金），并满足1Twbt=1。我们将假设基准权重为非负，即WBtar中的条目为非负。基准权重wbt=en+1（除最后一个值为1的条目外，所有条目的单位向量值均为0）表示现金或无风险基准。

更常见的是，基准由一组特定的资产组成，其权重与其3.2成比例。与基准21资本化相关的指标。t期的基准回报率为Rbt=rTtwbt。（当基准是现金时，这是无风险利率（rt）n+1。）主动和超额回报。（相对于基准的投资组合）的主动回报率为byRat=Rpt- 苏格兰皇家银行。在特殊情况下，当基准由现金组成（因此基准回报率为无风险利率），这被称为超额回报，表示为Rpt=Rpt- （rt）n+1。我们将相对于基准的平均主动回报率Ra定义为Rat的平均值。We haveRat=Rpt- Rbt=rTtwt公司- wbt公司+ rTtzt公司- φtradet（zt）- φholdt（wt+zt）。请注意，如果zt=0且wt=wbt，即我们持有基准权重且不交易，则主动回报为零。（这取决于基准权重为非负的假设，因此φholdt（wbt）=0。）主动风险。Rat的标准偏差表示为σa，是相对于基准的风险或主动风险。当基准为现金时，这是超额风险σe。当无风险利率不变时，这与风险σp.信息和夏普比率相同。投资组合相对于基准的（已实现）信息比率（IR）是主动回报率Ra相对于主动回报率σa标准偏差的平均值[32]，IR=Ra/σa。在现金基准的特殊情况下，这被称为夏普比率（SR）[58，59]SR=Re/σe。IR和SR通常使用回报率和风险的年化值[3]。单期优化在本节中，我们考虑基于优化的交易策略，在t期开始时，使用所有可用数据，我们确定当前交易向量（ut）1:n的资产部分（或标准化资产交易（zt）1:n）。

一旦我们知道实现成本，交易向量（zt）n+1的现金成分由自融资方程（2.9）确定。我们将其表述为一个凸优化问题，该问题考虑了一个时期内的投资组合绩效、投资组合的约束和投资风险（如下所述）。Theidea可以追溯到Markowitz【43】，他是第一个将投资组合的选择表述为优化问题的人。（我们将在下一节中考虑多周期优化。）当我们选择（zt）1:n时，我们不知道RTA和其他市场参数（因此也不知道交易成本函数φtradet），因此我们必须依赖这些数量和函数的估计。我们将在周期t开始时（即，当我们选择（zt）1:n）对数量或函数Z的估计表示为^Z。例如，^φtradeis是我们对当期交易成本函数的估计（取决于预测或估计的市场容量和其他参数）。我们估计的最重要数量4.1。风险回报优化23是当前期间的回报率rt，我们将其表示为^rt。（回报预测有时称为信号。）如果我们采用收益率和其他数量的随机模型，在选择资产交易时，考虑到t期开始时可用的所有数据，^Z可以是Z的条件期望。在继续之前，我们注意到，开发好的交易算法的大部分作用在于形成估计或预测，尤其是收益率rt【13，32】。然而，在本文中，我们考虑了给定的估计。

因此，我们关注的问题是，给定一组估计值，什么是基于它们进行贸易的好方法？尽管我们并不关注如何构建估算，但本文中的想法对估算的制定很有用，因为一组估算的价值在很大程度上取决于如何利用它们，即如何将估算转化为交易。为了正确评估一组拟议估计或预测的价值，我们必须使用具有良好交易算法的真实模拟对其进行评估。我们将我们的估计投资组合回报率写为^Rpt=^rTtwt+^rTtzt-^φ贸易（zt）-^φholdt（wt+zt），即（2.10），未知收益率rt替换为估计值^rt。估计的主动收益率为^Rat=^rTt（wt- wbt）+^rTtzt-^φ贸易（zt）-^φholdt（wt+zt）。每一项都包含一个不依赖于交易的术语，加上^rTtzt-^φ贸易（zt）-^φholdt（wt+zt），（4.1）交易回报减去交易和持有成本。4.1风险回报优化在基于优化的基本交易策略中，我们通过解决优化问题Maximize^Rpt来确定标准化资产交易ZT- γtψt（wt+zt）受zt影响∈ Zt，wt+Zt∈ WtTzt+φtradet（zt）+φholdt（wt+zt）=0，（4.2）24个单周期优化变量zt。这里ψt:Rn+1→ R是一个风险函数，如下所述，γt>0是风险规避参数。（4.2）中的目标称为风险调整后的估计回报。集合ZT和WTA分别是交易和持有约束集合，下面将对其进行更详细的描述。问题（4.2）中已知当前投资组合权重，即参数。

风险函数、约束集以及估计的交易和持有成本都可以依赖于portfoliovalue vt，但我们抑制了这种依赖性以保持符号的简洁。为了针对无风险利率或基准利率组合优化绩效，我们将^Rptin（4.2）替换为^Retor^Rat。根据（4.1），这些都具有不依赖于zt加上^rTtzt的常数形式-^φ贸易（zt）-^φholdt（wt+zt）。因此，在这三种情况下，通过解决问题Maximize^rTtzt，我们得到了相同的交易-^φ贸易（zt）-^φholdt（wt+zt）- γtψt（wt+zt）受zt影响∈ Zt，wt+Zt∈ WtTzt+^φtradet（zt）+^φholdt（wt+zt）=0，（4.3），带变量zt。（我们稍后将看到，绝对回报、超额回报和主动回报的风险函数不同。）目标有四项：第一项是交易的估计回报，第二项是估计交易成本，第三项是交易后投资组合的持有成本，最后一项是交易后投资组合的风险。请注意，前两项取决于交易zt，后两项取决于交易后组合wt+zt。（同样，第一个约束依赖于交易，第二个约束依赖于交易后投资组合。）估计与实现的交易和持有成本。我们选择的资产等级由（zt）1:n=（z？t）1:n给出，其中z？这是（4.3）的最佳选择。以美元计算，资产交易为（ut）1:n=vt（z？t）1:n。真正的标准化现金交易价值（zt）n+1由非现金资产交易（z？t）1:n和已实现成本的自我融资条件（2.9）得出。这（通常）与（z？t）n+1不同，后者是通过解决优化问题（4.3）得到的标准化现金交易价值。数量（zt）n+1是4.1的标准化现金交易值。

风险收益优化25实现成本，而（z？t）n+1是估计成本的标准化现金交易价值。已实现现金交易价值（zt）n+1和计划或估计现金交易价值（z？t）n+1之间的（小）差异对交易后持有约束wt+z？有影响？t型∈ Wt.当我们求解（4.3）时，我们要求具有估计现金余额的交易后投资组合满足约束条件，这与要求具有已实现现金余额的交易后投资组合满足约束条件的要求不同。这种差异通常非常小，因为我们对交易成本的估计误差与真实交易成本相比通常很小，而真实交易成本又与投资组合总价值相比很小。但应记住，已实现的交易后投资组合wt+ztcan（轻微）违反了约束，因为我们仅约束估计的交易后投资组合wt+z？t满足约束条件。（假设完美的交易执行，与交易后投资组合的资产部分相关的约束（wt+z？t）1：nwillhold精确。）简化自我融资约束。我们可以通过将自融资约束Ttzt+φtrade（zt）+φholdt（wt+zt）=0替换为约束1Tzt=0来简化问题（4.3）。在所有实际情况下，成本条件与总投资组合价值相比都很小，因此近似值很好。

乍一看，通过在优化问题中使用简化约束Tz=0，我们实际上忽略了交易和持有成本，这不会产生好的结果。但我们仍然在目标中考虑了交易和持有成本。通过这种近似，我们得到了简化问题Maximize^rTtzt-^φ贸易（zt）-^φholdt（wt+zt）- γtψt（wt+zt），以1Tzt=0，zt为准∈ Zt，wt+Zt∈ Wt.（4.4）溶液z？t简化问题略微高估了实际现金交易（zt）n+1，因此高估了交易后现金余额26单期优化（wt+zt）n+1。优化中使用的成本函数只是对实现值的估计；在大多数实际情况下，该估计误差远大于简化1Tzt=0时引入的近似值。一个小优势（在多期交易案例中会很有用）是，在优化问题（4.4）中，wt+zt是一组很好的权重，即1T（wt+zt）=1；其中，在（4.3）中，1T（wt+zt）（通常）略小于1。我们可以根据变量wt+1=wt+zt重新编写问题（4.4），我们将其解释为交易后投资组合权重：最大化^rTtwt+1-^φtradet（重量+1- wt）-^φholdt（重量+1）- γtψt（wt+1）受1Twt+1=1，wt+1影响- wt公司∈ Zt，重量+1∈ Wt，（4.5）与可变Wt+1.4.2风险度量风险度量ψtin（4.3）或（4.4）传统上是使用收益的随机模型估计收益的方差【43，39】。但它可以是衡量我们持有投资组合的感知风险的任何函数。我们首先描述了传统的风险度量。绝对风险。

假设收益率r是随机的，协方差矩阵∑t∈ R（n+1）×（n+1），rptis的方差由var（Rpt）=（wt+zt）T∑T（wt+zt）给出。这给出了周期t的传统二次风险度量，ψt（x）=xT∑tx。必须强调的是，∑是在收益是随机的假设下对收益协方差的估计。通常假设现金回报率（无风险利率）（rt）n+1已知，在这种情况下，∑皮重的最后一行和最后一列为零。4.2。风险衡量27主动风险。假设RTI是随机的，协方差∑t，则主动收益率的方差var（Rat）=（wt+zt- wbt）T∑T（wt+zt- wbt）。这给出了传统的二次主动风险度量ψt（x）=（x- wbt）T∑T（x- wbt）。当基准为现金时，这将降低至xT∑tx，即绝对风险，因为∑皮重的最后一行和最后一列为零。在续集中，我们将处理主动风险，当基准是现金时，主动风险将减少到绝对或超额风险。风险规避参数。风险规避参数γtin（4.3）或（4.4）用于衡量估计收益和估计风险的相对重要性。在这里，我们描述了在忽略成本的情况下，在最大化预期增长率的近似值中，特定值γt=1/2是如何产生的。假设收益率R是分布中的独立样本，且w是固定的，则投资组合收益率Rpt=WTR是一个（标量）随机变量。最大化预期投资组合增长率E log（1+Rpt）的权重向量（根据1Tw=1，w≥ 0）被称为Kelly最优投资组合或对数最优投资组合【38，10】。使用对数对数的二次近似（1+a）≈ 一-（1/2）awe obtainE日志（1+Rpt）≈ ERpt公司- （1/2）（Rpt）= uTw-（1/2）重量（∑+uT）w，其中u=Ert，∑=E（rt-u）（rt-u）皮重返回rt的平均值和协方差。

假设|u与∑相比很小（这是实际每日收益和协方差的情况），预期增长率可以很好地近似为uTw-（1/2）wT∑w。因此，在单期优化问题（4.3）或（4.4）中，风险规避参数γt=1/2的选择对应于近似最大化的增长率，即Kelly最优交易。在实践中，我们发现Kelly最优投资组合往往具有太多的风险[10]，因此我们预计风险规避参数γtar的有用值大于1/2.28单期优化因子模型。当资产数量n较大时，协方差估计值∑t通常指定为低阶（“因子”）分量，加上对角矩阵∑t=Ft∑ftFTt+Dt，称为因子模型（用于二次风险）。此处英尺∈ R（n+1）×kis因子加载矩阵，∑ft∈ Rk×kis是FTrt（因子收益向量）协方差的估计，以及Dt∈ R（n+1）×（n+1）是一个负对角矩阵。系数k的数量远小于n（通常为几十对几千）。每个条目（Ft）ij是资产ito因子j的负荷（或敞口）。因子可以代表经济概念，如工业部门、特定国家的敞口、会计计量等。例如，对于技术资产，技术系数的载荷为1，对于其他行业的资产，载荷为0。但因子加载矩阵可以使用许多其他方法找到，例如通过数据驱动分析。矩阵dt解释了单个资产回报的额外方差，超出了factormodel预测的方差，称为特质风险。当在问题（4.3）或（4.4）中使用因子模型时，它可以大大提高求解速度【55，7】。

如果问题的表述方式使解算器可以利用因子模型，那么计算复杂性也会从O（n）（nk）fl-ops下降，从而节省O（（n/k））。当（通常情况下）n为数千，k为数十时，加速比可能很大。（第4.7节详细讨论了计算问题。）我们现在提到一些在实践中非常有用的不太传统的风险函数。转化风险。我们可以将非线性变换应用于常见的二次风险，ψt（x）=Д（（x- wbt）T∑T（x- wbt）），式中：R→ R是一个非减量函数。（它也应该是凸的，以保持优化问题的可处理性，我们将在下面讨论。）4.2。风险度量29这允许我们对不同级别的二次风险形成厌恶情绪。例如，我们可以取ν（x）=（x-a） +。在这种情况下，TransformedDisk不评估高达a的二次风险水平的成本。这有助于达到目标风险水平，或最大限度地寻求回报，高达风险阈值a。另一个选项是Д（x）=exp（x/η），其中η>0是一个参数。这评估了远远大于η的强大风险成本，并与随机优化中使用的风险规避密切相关。transformedrisk优化问题（4.3）的解决方案与传统风险函数的解决方案相同，但风险规避参数的值不同。因此，我们可以将转换风险厌恶视为一种自动调整风险厌恶参数的方法，随着风险的增加而增加。最坏情况下的二次风险。我们现在超越了传统的二次风险，创建了一个风险函数，该函数对市场条件的不可预测变化更为稳健。我们将投资组合x的最坏情况风险定义为ψt（x）=maxi=1，。。。，M（x- wbt）T∑（i）T（x- wbt）。这里∑（i），i=1。