基于凸优化的多周期交易

求解（5.1）或（5.2）是基于计划期内关键数量的预测和一些简化假设，形成一个交易计划。除第一笔交易外，我们不打算执行这一系列交易。我们有理由问，为什么我们要在未来的贸易中进行优化，zt+H-1，因为我们不打算执行它们。答案很简单：作为规划工作的一部分，我们对其进行优化，只是为了确保我们现在不会进行任何将使我们在未来处于abad地位的交易（即zt）。执行计划练习，但仅执行当前操作的想法出现并被用于许多领域，如自动控制（称为模型预测控制、MPC或滚动地平线控制）[40、45]、供应链优化[14]等。MPC在金融领域的应用包括[33、9、6、54]。关于动力学简化。在继续之前，让我们讨论动力学方程的简化，在这里，我们替换exactweight updatewt+1=1+Rpt（1+rt）o （wt+zt），通过假设rt=0，简化版本wt+1=wt+zt。乍一看，这似乎是一个粗略的简化，但这种假设只是为了在我们的规划过程中宣传投资组合的前瞻性；在我们的目标框架内，我们确实考虑了回报。因此，我们忽略了二阶条件，如果每个周期的回报率与一个周期的回报率相比很小，我们就不能做得太远。以类似的方式，为τ=t+1添加约束1Tzτ=0，t+H- 1表明我们忽略了交易和持有成本，因为如果zτ是已实现的交易，我们将有1Tzτ=-φtradeτ（zτ）- φholdτ（wτ+zτ）。

如上所述，该假设仅用于在我们的规划工作中传播我们的投资组合；我们在目标中确实考虑了成本。50个多周期优化终端约束。在MPO中，有一个相当长的范围，我们可以添加一个终端（相等）约束，它要求最终计划权重取一些特定值，wt+H=wterm。终端投资组合权重的合理选择是（我们对）t+H期间的基准权重WB。为了优化绝对或超额回报，终端权重将是现金，即wterm=en+1。这意味着我们的规划工作应该以全部现金完成投资组合。这并不意味着我们打算在H期内清算投资组合；相反，这意味着我们应该像这样执行我们的计划。这将防止Pus犯下错误，进入我们的回报预测似乎是一个有吸引力的位置，然而，放松代价很高。对于相对于基准的优化，自然终端约束应位于（预测的）基准中。请注意，添加端子约束会减少变量的数量。我们解决了问题（5.1），但wt+Ha给定常数，而不是变量。初始权重wt也是一个给定常数；中间权重wt+1，重量+小时-1是变量。5.3计算MPO问题（5.2）有Hn变量。一般来说，凸优化的复杂性随着变量数量的立方而增加，但在这种情况下，可以利用问题的特殊结构，使计算效果在H（地平线）中线性增长。因此，解决MPO问题（5.2）应该比解决SPO问题（4.5）慢一个因素H。对于一般的H（比如几十个），这不是一个问题。但是对于H=100（比如说），解决MPO问题可能是一个巨大的挑战。

基于ADMM[8，9]的分布式方法可用于解决使用多个处理器的MPO问题。在大多数情况下，我们可以解决生产中的MPO问题。问题是回测，因为我们必须多次解决这个问题，而且参数有很多变化。5.4。如何使用MPO 515.4如何使用MPO关于如何使用SPO的一般想法也适用于MPO；例如，我们将MPO问题中的参数视为我们调整的旋钮，以便在回测和压力测试下获得良好的性能。在MPO中，我们必须提供未来H期内每个时期的每个数量预测。这可以使用复杂的预测来完成，每个时期的预测可能不同，或者以非常简单的方式，使用恒定的预测。5.5多尺度优化MPO交易需要估计未来H个交易周期内的所有相关数量，如回报、交易成本和风险。在本节中，我们描述了MPO的简化，该简化需要更少的预测，以及更少的计算来执行每个阶段所需的优化。我们仍然为未来H期的交易和权重制定了一个计划，但我们假设交易只在短期内发生了几次；在其他时间段，计划的portfoliois保持不交易。这保留了我们有追索权的想法；但这大大简化了问题（5.1）。

我们描述了短期、中期和长期三种交易的想法，以及最终满足终端约束的额外交易TWT+H=wb。具体地说，我们在（5.1）中增加了一个约束条件，即对于τ=t，τ=t+Tmed，τ=t+Tlong，τ=t+H，交易（即zτ6=0）仅在未来的特定时期发生- 1，其中1<Tmed<Tlong<H- 1、在我们的交易计划中，我们将zshort=zt视为我们的短期交易，zmed=zt+Tmedasour中期交易，zlong=zt+tlong视为我们的长期交易。最终非零贸易zt+H-1由Terminal约束确定。例如，我们可以取Tmed=5，Tlong=21，H=100。如果周期代表天，我们计划现在（短期）、a52多周期优化周（中期）和月份（长期）进行交易；在99天内，我们达到了基准。我们仅有的变量是短期、中期和长期交易以及相关权重，由wshort=wt+zshort、wmed=wshort+zmed、wlong=wmed+zlong给出。为了确定要进行的交易，我们求解（5.1），将所有其他zτ设置为零，并使用上面给出的权重。这导致了一个与（5.1）形式相同的优化问题，但交易和权重只有三个变量，目标中有三个术语，加上一个额外的术语，表示与t+H时基准的最终交易相关的交易成本- 1.实现我们开发了一个开源Python包CVXPortfolio[11]，它实现了本文讨论的投资组合模拟和优化概念。该软件包依靠Pandas[46]来管理数据。Pandas实现了memorydatabases中的结构化数据类型（类似于R数据帧），并为访问和操作它们提供了丰富的API。通过Pandas，很容易将我们的包与数据库后端连接起来。

该软件包使用凸优化建模框架CVXPY【21】来构建和解决投资组合优化问题。该软件包提供了一个面向对象的框架，其中包含类别代表回报、风险度量、交易成本、持有约束、交易约束等。单周期和多周期优化模型是从这些类别的实例构建的。Eachinstance为任何给定的周期t生成CVXPY表达式和约束，从而可以轻松地将实例组合到单个convexmodel中。在第7章中，我们给出了一些使用cvxportfolio的简单数值例子。54实现6.1组件我们简要回顾软件包中的主要类。实现额外的类，例如新的策略或风险度量，是一个很好的解决方案。回报估算。AlphaSource类的实例仅使用时段t的可用信息生成时段t的返回估计值^rtt。最简单的AlphaSource实例将Pandas dataframe包装为每个期间的返回估计数：alpha\\u source=AlphaSource（return\\u estimates\\u dataframe）多个AlphaSource实例可以混合成线性组合。风险度量。RiskMeasure类的实例生成一个convexcost，表示给定时期t的风险度量。例如，FullSigma子类生成成本（wt+zt）t∑t（wt+zt），其中∑t∈R（n+1）×（n+1）是一个显式矩阵，而FactorModel子类使用∑t的因子模型生成成本。任何风险度量都可以切换为绝对风险或主动风险，并使用风险规避参数进行加权。该包提供了第4.2节讨论的所有风险措施。成本。TcostModel和HcostModel类的实例分别生成交易和持有成本估算。同样的类别既适用于投资组合优化问题中的成本建模，也适用于交易模拟中的已实现成本计算。

成本对象也可以用来表示其他客观条件，如软约束。约束条件。该包提供了代表第4.4节和第4.5节中讨论的每个约束的类。例如，LeverageLimit类的实例会生成一个杠杆限制约束，该约束可以随时间段而变化。约束对象可以转换为软约束，软约束是成本对象。6.1。组件55策略。Policy类的实例使用时段t中可用的信息获取holdings wtandvalue VT和output trades ZT。使用SinglePeriodopt子类构建单时段优化策略。构造函数采用AlphaSource、成本列表，包括风险模型（乘以其系数）和约束。例如，以下代码段构造了一个SPOpolicy：spo\\u policy=SinglePeriodOpt（alpha\\u source，[gamma\\u risk*factor\\u risk，gamma\\u trade*tcost\\u model，gamma\\u hold*hcost\\u model]，[leverage\\u limit]）多周期优化策略的构造类似。该包还为简单的策略（如定期重新平衡）提供子类。模拟器。MarketSimulator类用于运行交易模拟或反向测试。实例是用历史回报和其他市场数据以及交易和持有成本模型构建的。给定MarketSimulator实例market\\u sim，通过调用run\\u backtest方法运行backtest，方法包括初始投资组合、策略以及开始和结束期间：backtest\\u results=market\\u sim。run\\u backtest（init\\u公文包、策略、start\\u t、end\\t）可以在不同的条件下并行运行多个back测试。

背面测试结果包括第3章中讨论的所有指标。示例在本节中，我们提供了简单的数字示例，说明了以上开发的想法，所有这些想法都是使用CVXPortfolio和开源市场数据（以及一些没有开源数据的近似值）执行的。这些代码可用athttps://github.com/cvxgrp/cvxportfolio/examples.Given我们的近似值，以及我们将在下面提到的模拟的其他不足之处，我们展示的特定数值结果不应该太认真。但这些模拟足以说明真实现象，例如交易成本可以发挥的关键作用，或者超参数搜索的重要性。7.1模拟数据从2012年1月到2016年12月，我们对截至2016年12月的标准普尔500指数的组成部分进行了为期5年的研究。我们选择在此期间持续交易的股票。（通过这样做，我们引入了生存偏差，这并不是一个问题，因为这些例子只是为了说教。）我们从Quandl7.2中收集开源市场数据。投资组合模拟57【56】。数据包括实现的每日市场回报率rt（使用收盘价计算）和交易量Vt。我们使用美联储的隔夜利率作为现金回报。在[1]之后，我们用一个简单的估计量（σt）i=| log（popent）i近似每日波动率- log（pcloset）i |，其中（popent）i和（pcloset）i是t期资产i的开盘价和收盘价。我们无法找到买卖价差的开源数据，因此我们使用了所有资产和期间的价值=0.05%（5个基点）。对于所有资产和期间，我们使用st=0.01%（1个基点）作为持有成本。

我们为交易和持有成本模型的其他参数选择了标准值：所有资产和期间的bt=1、ct=0、dt=0。7.2投资组合模拟为了说明回测投资组合模拟，我们考虑一个旨在跟踪统一投资组合基准的投资组合，该投资组合的权重wb=（1/n，0），即所有非现金资产的价值分数相等。这不是一个特别有趣或很好的基准投资组合；我们仅将其作为一个简单的示例来说明交易成本的影响。投资组合从w=wb开始，由于资产回报率偏离此权重向量。我们定期重新平衡，这意味着使用tradevector zt=wb-wt.对于t的其他值（即wedo not re balance的周期），我们的zt=0。我们对两个初始投资组合价值（1亿美元和100亿美元）分别进行了六次回测模拟。这六种模拟的重新平衡频率各不相同：每日、每周、每月、每季度、每年或从不（也称为“持有”或“买入并持有”）。对于每个模拟，我们给出了投资组合的主动回报率Ra和主动风险σa（在第3.2节中定义），年度平均交易成本Tptt=1φtradet（zt），年度平均营业额Tpt=1k（zt）1:nk/2。表7.1显示了结果。（出于完整性考虑，包括主动回报，但没有特殊意义；它是交易成本加上一个小的随机成分的负值。）我们观察到，正如预期的那样，交易成本取决于投资组合的总价值，重新平衡频率的选择会影响交易成本和ac58示例重新平衡主动主动主动交易。总营业额。

频率回报风险成本每天1亿美元-每周0.07%0.00%0.07%220.53%-每月0.07%0.09%0.04%105.67%-每季度0.12%0.21%0.02%52.71%-每年0.11%0.35%0.01%29.98%-每年0.10%0.63%0.01%12.54%持有-每天0.36%1.53%0.00%100亿美元-每周0.25%0.01%0.25%220.53%-每周0.19%0.09%0.16%每月105.67%-每季度0.20%0.21%0.10%52.71%-每年0.17%0.35%0.07%29.99%-每年0.13%0.63%0.04%12.54%持有-0.36%1.53%0.00%0.00%表7.1：不同初始值和不同平衡频率的投资组合模拟结果。所有值均为年化值。积极风险。（每日重新平衡时，主动风险并非完全为零，因为交易成本的可变性包含在投资组合回报中。）图7.1分别显示了两种组合的主动风险与交易成本。7.3单周期优化在本节中，我们展示了第4章中开发的单周期优化模型的一个简单示例。投资组合从总价值V=1亿美元开始，分配等于统一投资组合w=（1/n，0）。我们施加了Lmax=3的杠杆约束。该模拟使用第7.1节中定义的市场数据。SPO中使用的预测和风险模型如下所述。风险模型。所有权风险模型，例如MSCI（前巴里巴）的模型，被广泛使用。这里我们使用一个简单的因素风险模型es7.3。单期优化59图7.1：两种初始投资组合规模的主动风险与交易成本。线上的点对应于重新平衡频率。使用与[1]类似的程序，根据过去实现的回报进行估值。我们在每个月的第一天进行估算，并将其用于本月的其余时间。设t为估计时间段，t-Mr是两年前的时间段。

考虑已实现收益窗口的二阶矩∑exp=MriskPt-1τ=t-MriskrτrTτ，其特征分解∑exp=Pni=1λiqiqTi，其中特征值λ为独立阶。我们的因子风险模型isF=[q···qk]，∑f=diag（λ，…，λk），D=nXi=k+1λidiag（qi）diag（qi），其中k=15。（选择对角矩阵D，使因子模型F∑fFT+D和经验二阶矩∑Exp具有相同的对角元素。）返回预测。无风险利率是准确已知的，（rt）n+1=（rt）n+1，对于所有t。非现金资产的回报预测是60个示例。它们是使用多种方法生成的，从分析预测到复杂的机器学习技术，都是基于各种数据馈送和来源。对于这些例子，我们通过将零平均噪声添加到实际收益中，然后重新缩放，来生成模拟收益预测，以获得（大约）最小化均方误差的收益估计。当然，这不是一个真实的回报预测，因为它使用的是实际实现的回报；但我们在这里的目的只是为了说明想法和方法。对于所有t，非现金资产的回报估计为（^rt）1:n=α（（rt）1:n+t） ，（7.1）其中t型~ N（0，σ一） 都是独立的。我们使用噪声方差σ=0.02，因此噪声分量的标准偏差约为14%，约为比已实现回转式的标准偏差大10倍的系数。选择比例因子α以最小化均方误差（（^rt）1:n-（rt）1:n），如果我们认为RTA是方差为σr的随机变量，即α=σr/（σr+σ). 我们使用典型值σr=0.0005，即实现的回报标准偏差约为2%，因此α=0.024。我们的典型回报预测约为±0.3%。