基于凸优化的多周期交易

如果目的是实现稀疏交易，或者避免许多非常小的交易，那么可以使用凸约束或成本条件（costterms）来实现（以更好的方式）。非凸约束的其他示例（应避免）包括对所持资产数量的限制、非零持有的最小值，或将交易限制为股份的整数，或限制我们可以交易的资产总数。我们必须交易整数股的要求也是非凸的，但对于任何实际的投资组合都是相关的。对于规模合理的投资组合而言，将我们的交易清单（包含实数）四舍五入为整数股所导致的错误可以忽略不计。虽然应该避免使用非凸约束和目标项，并且通常不需要这些约束和目标项，但可以使用简单而强大的启发式方法来处理其中的许多约束和目标项，例如解决松弛问题、筛选非凸项，然后再次解决凸问题【22】。作为该方法的一个示例，考虑最小非零交易40单周期优化需求|（zt）i |≥  对于（zt）i6=0。我们首先在没有此约束的情况下解决SPO问题，找到一个解决方案z。我们使用此暂定交易向量来确定z的哪些条目将为零、负或正（即，我们持有、出售或购买哪些资产）。我们现在对交易向量施加这些符号约束：如果（~zt）i=0，（zt）i，我们需要（zt）i=0≥ 如果（▄zt）i>0和（zt）i，则为0≤ 如果（￠zt）i<0，则为0。我们再次用这些符号约束和最小贸易约束来求解SPO，它们现在是线性的，因此是凸的。这种简单的方法在实践中会非常有效。再举一个例子，假设我们被限制在任何给定的时间段内进行mostK非零交易。一个基于凸优化的非常简单的方案将非常有效。

首先，我们忽略限额来解决问题，并可能添加额外的“交易成本”，以阻止交易。我们采用此交易列表，找出K个最大的交易（买入或卖出）。然后，我们将约束添加到我们的问题中，即我们将只交易这些资产，然后我们再次解决portfoliooptimization问题，只使用这些交易。正如上面所述的例子，这种方法即使不是最优的，也会产生非常好的交易。这一近似值不会影响真正的利益衡量标准，即投资组合绩效。通常无需在全球范围内解决非凸问题，因为这大大增加了解决时间，并且在交易绩效方面没有带来实际好处。在投资组合优化中处理非凸问题的最佳方法是避免它们。4.8使用单周期优化思想。在本节中，我们简要地从较高的层面解释了如何在实践中使用SPO交易算法。我们不讨论什么可能是最关键的部分，即收益（和其他参数）估计和预测。相反，我们假设预测已经给出，并将重点放在如何使用SPO来利用它们。在SPO中，交易和持有成本中出现的参数可以受到我们对其真实价值的估计的启发或激励，但最好将其视为we4.8中的“旋钮”。使用单周期优化41turn实现我们喜欢的交易行为（参见，例如，[17，chapter8]、[35，19，41]），通过回测、假设模拟和压力测试进行验证。作为一个粗略但重要的例子，我们可以通过交易厌恶因子γtrade来衡量整个交易成本函数φtradetb。

（名称强调与风险规避参数的类比，该参数衡量目标中的风险项。）增加交易厌恶参数将阻止交易或减少成交量；减少它将增加交易量和营业额。我们甚至可以将1/γ交易视为我们将摊销所产生交易成本的时期数[31]。作为一个更复杂的例子，交易成本参数SAT用于模拟买卖价差，可以放大或缩小。如果我们增加这些资产，交易就会变得更加稀少，也就是说，有许多时期我们不交易每项资产。如果我们扩大3/2电力期限，我们鼓励或阻止大型交易。事实上，我们可以在SPO问题中加入水龙交易条款，这并不是因为我们认为这是一个很好的交易成本模型，而是为了比三分之二幂条款更能阻止大宗交易。任何SPO变化，如标定某些术语或添加新术语，都将通过回测和压力测试进行评估。同样的想法也适用于持有成本。我们可以通过正持有厌恶参数γholding来调整持有成本率，以鼓励或阻止持有产生持有成本的头寸，如空头头寸。如果持有成本反映了持有空头头寸的成本，那么参数γhold会衡量我们对持有空头头寸的厌恶程度。我们可以通过增加空头κT（wt+zt）的二次项来修改持有成本-, （用方块表示元素和κ≥ 0），这并不是因为我们的实际借贷成本率随着大量空头头寸的增加而增加，而是为了向SPO算法发送信息，表明我们希望避免持有大量空头头寸。另一个例子是，我们可以在持有成本中添加清算损失条款，并使用比例因子来控制其影响。我们增加这一术语并不是因为我们打算清算投资组合，而是为了避免在非流动资产中建立大额头寸。

通过增加流动损失项的比例因子，我们阻止SPO算法持有42个单期优化非流动头寸。交易、持有和风险规避参数。上述讨论表明，除了传统的风险规避参数外，我们还使用交易和持有成本的比例参数修改了（4.4）中的目标，这会产生SPO问题最大化^rTtzt- γtradet^φtradet（zt）- γholdt^φholdt（wt+zt）- γrisktψt（wt+zt）以1Tzt=0为准，zt∈ Zt，wt+Zt∈ Wt.（4.9），其中γtradet、γholdt和γrisktar是用于衡量各自成本的正参数。这些参数有时被称为超参数，它强调将统计模型与数据拟合时使用的超参数进行类比。超参数是我们“转动”（即选择或更改）以获得良好性能的“旋钮”，我们通过回测对其进行评估。我们甚至可以有三个以上的超参数，它们可以根据持有成本和交易成本来衡量各个条款。超参数的选择会极大地影响SPO方法的性能。它们应该通过反向测试、假设测试和压力测试进行选择。这种使用SPO的方式类似于优化在许多其他应用领域的使用方式，例如控制系统或机器学习。例如，在机器学习中，目标是找到一个能够对新数据做出良好预测的模型。大多数构建模型的方法都使用优化来最小化所谓的损失函数，该损失函数会惩罚未拟合观测数据，再加上一个正则化器，该正则化器会惩罚模型的敏感性或复杂性。这些函数中的每一个都是由数据生成的（过于简单的）理论模型所激发的。

但这些函数的最终选择，以及它们之间的（超参数）比例因子，是通过样本外验证或交叉验证来完成的，即在未看到的数据上测试模型。关于凸优化在控制或估计等应用中是如何本着这种精神使用的一般讨论，请参见【7】。4.8。使用单周期优化43判断预测值。在本文中，我们不考虑预测，这在交易中当然至关重要。对新提出的收益估计或预测最基本的检验是它能预测收益。这通常使用一个简单的模型来判断，该模型评估夏普比率或信息比率，隐式地忽略所有投资组合约束和成本。如果预测没有通过这些简单的SR或IRtests，那么它不太可能在交易算法中有用。但是，由于成本、投资组合约束和其他问题，在多期交易的背景下，拟议估计或预测的真实价值可能与简单的SR或IR预测测试所建议的非常不同。应在投资组合约束、其他预测（例如，交易量）、交易成本、持有成本、交易约束以及风险规避等参数选择的背景下判断新的拟议预测。这可以通过模拟、执行回测、假设模拟和压力测试来实现，在每种情况下，通过改变参数来实现最佳性能。该测试的结果是，与简单的SR和IR测试相比，预测的价值可能较低（通常情况下）或更高（通常情况下）。

这样做的一个后果是，预测的真实价值在很大程度上取决于正在交易的投资组合的类型和规模；例如，预测对于杠杆率适中的小型多空投资组合可能非常有价值，而对于大型只做多的投资组合则不太有价值。多期优化5.1动机在本节中，我们讨论了基于优化的策略，这些策略在选择当前期间的交易时考虑了有关多期的信息。在深入研究细节之前，我们应该考虑我们希望通过单周期方法获得什么。预测当前时期的回报已经足够困难了。为什么要尝试预测未来时期的回报率？一个原因是更好地考虑交易成本。在没有交易成本（和其他交易限制）的情况下，一次只考虑一个时期的贪婪策略是最优的，因为当前时期的业绩并不取决于之前持有的股票。然而，在任何现实模型中，当前持有量都会强烈影响回报预测是否能够有效实施。因此，我们应该考虑我们在当前时期进行的交易是否使我们在未来时期处于良好或不利的地位。虽然这种思想可以纳入单周期优化，但在多周期优化中处理起来更自然。例如，假设我们基于单周期优化的策略告诉我们要在很少交易的资产上做多。我们可能不想使用5.1。动机45进行交易，因为我们知道平仓将产生巨大的交易成本。单周期问题建模的是进入该职位的成本，而不是离开该职位的成本。为了模拟这样一个事实，即随着时间的推移，我们会将头寸恢复到基准水平，因此最终必须出售我们购买的头寸，我们需要对当前时期之后的时间进行建模。

（单周期优化的一个标准技巧是将交易成本翻一番，然后称为往返成本。）多期优化的另一个优点是，它可以在不同的时间尺度上自然地处理多个可能具有冲突性的回报估计（参见，例如，[28，54]）。作为一个例子，假设我们预测短期内回报率为正，但长期内回报率为负。第一个预测可能只与一天相关，而第二个预测可能与一个月或更长时间相关。在单周期优化框架中，当混合收益预测时，不清楚如何考虑不同的时间尺度。将这两个预测结合起来可能会取消它们，或者让我们根据更大的预测进行调整。但由此产生的行为可能非常不理想。如果交易成本很高，不采取任何行动可能是正确的选择，因为我们将不得不根据快速预测逆转任何交易，因为我们在未来时期遵循缓慢的预测。然而，如果交易成本较低，正确的选择是遵循快速预测，因为平仓很便宜。这种行为很自然地属于多周期优化，但很难在单个周期问题中捕获。在许多其他情况下，可以利用多周期（而不仅仅是当前周期）的预测进行多周期优化。我们在这里描述了其中的一些信号衰减和时变返回预测。概括以上关于快信号与慢信号的讨论，我们可以为每个返回预测信号指定一个指数衰减率。（这可以从历史上估计，例如，通过对信号值建立自回归模型。）然后，很容易用计算机在任何时间尺度上返回估计值。

预测精度的衰减也称为均值回归或α衰减（例如，参见46多周期优化[13、31、28]）。o波动性或风险的已知未来变化。如果我们知道未来的事件会增加风险，我们可能希望提前退出一些风险头寸。在MPO中，向低风险头寸的交易早在风险增加之前就开始了，交易会产生交易成本。在SPO中，只有当风险增加时，才会发生（较大）交易到较低风险头寸，从而导致较大的交易成本。相反，也可以利用已知的低风险期在多个期间更改约束。例如，假设我们希望在多个时期内降低投资组合的杠杆率，即将杠杆约束Lmaxover一些时期降低到较低的值。如果我们使用多期优化框架，我们很可能会产生比特定方法更低的交易成本，同时仍然利用我们的回报预测流动性或数量的已知未来变化。可以利用未来交易量或波动率预测来优化交易成本，例如，将某些交易推迟到交易结束。市场容量比市场回报具有更好的可预测性设置、关闭或转移投资组合。这些转换都可以通过MPO自然地处理，并结合随时间变化的约束条件和客观条件。5.2多期优化在多期优化中，我们通过解决规划期内的优化问题来选择当前交易向量zt，该规划期将h期延长到未来，t，t+1，t+H- 1.（单周期优化对应于H=1的情况。）t，t+1，…，时的许多量，t+H-当优化问题解决且资产交易为5.2时，1在时间t未知。

选择多周期优化47，因此在单周期情况下，我们将对其进行估计。对于任何数量或函数Z，我们让^Zτ| tdenote我们对Zτ的估计，给定我们在周期t开始时可用的所有信息。（推测为τ≥ t；否则，我们可以取^Zτ| t=Zτ，时间τ时Z的实现值。）例如，^rt |是在时间t对时间t的回报进行的估计（我们在单周期优化一节中表示了^rti）；^rt+2 |是在时间t时对时间t+2时的回报进行的估计。我们可以从（4.3）开始发展一个多周期优化问题。Letzt，zt+1，zt+H-1结束我们的计划交易序列。自然目标是总风险调整后的短期回报率，t+H-1Xτ=t^rTτ| t（wτ+zτ）- γτψτ（wτ+zτ）-^φ保持τ（wτ+zτ）-^φtradeτ（zτ）.（此表达式删除一个不依赖于交易的常数，并处理绝对或主动回报。）在这个表达式中，wt是已知的，但wt+1，wt+Hare不是，因为它们依赖于贸易，zt+H-1（我们将选择）和未知回报，通过动力学方程（2.11），wt+1=1+Rpt（1+rt）o （wt+zt），它将当前权重向量传播到下一个权重向量，给定trading和return向量。（这个真实的动力学方程确保了如果1Twt=1，我们就有1Twt+1=1。）在该目标中添加风险项γτψt（wτ+zτ）时，我们隐含地依赖于收益是独立随机变量的想法，因此总和的方差就是方差之和。我们还可以将γτψτ（wτ+zτ）解释为阻止我们持有某些投资组合的成本术语。简化动力学。我们现在做一个简化的近似：为了在我们的规划练习中将wt和ZT传播到wt+1，我们将假设Rpt=0和rt=0（即，一个周期48多个周期的优化回报比一个周期小）。

这将导致更简单的动力学方程wt+1=wt+zt。在这种近似情况下，我们必须添加约束1Tzt=0，以确保我们的规划练习中的权重添加到1，即1Twτ=1，τ=t+1，t+H。我们将使用约束tzτ=0，τ=t+1，t+H- 1、给出当前投资组合权重WT，且满足1Twt=1；对于τ=t+1，…，我们得到1Twτ=1，由于约束条件，t+H。（下文讨论了动力学简化的含义。）多周期优化问题。通过动力学简化，我们得出了MPO问题Maximizept+H-1τ=t^rTτ| t（wτ+zτ）- γτψτ（wτ+zτ）-^φ保持τ（wτ+zτ）-^φtradeτ（zτ）以1Tzτ=0，zτ为准∈ Zτ，wτ+Zτ∈ Wτ，Wτ+1=Wτ+zτ，τ=t，t+H- 1，（5.1）变量zt，zt+1，zt+H-1和重量+1，wt+H。请注意，wt不是一个变量，而是（已知）当前投资组合权重。当H=1时，多周期问题简化为单周期问题（4.4）。（我们可以忽略常数^rTt | twt，它不依赖于变量，如（5.1）而不是（4.4）所示。）利用wτ+1=wτ+zτ，我们可以消除交易变量zτ，从而得到等价问题maximizept+Hτ=t+1^rTτ| twτ- γτψτ（wτ）-^φ保持τ（wτ）-^φtradeτ（wτ- wτ-（1）受制于1Twτ=1，wτ- wτ-1.∈ Zτ，wτ∈ Wτ，τ=t+1，t+H，（5.2），变量wt+1，wt+H，下一个H周期的计划重量。这是（4.5）的多周期模拟。MPO公式（5.1）和（5.2）都是凸优化问题，前提是交易成本、持有成本、风险函数以及交易和持有约束都是凸的。5.2。多期优化49 MPO解释。MPO问题（5.1）或（5.2）可以解释如下。这些变量构成了一个交易计划，即在接下来的H期内执行的一组交易。