基于凸优化的多周期交易

交易成本9请注意，此标准化数量不一定等于1。2.3交易成本交易产生的交易或交易成本（美元），我们称为φtradet（ut），其中φtradet:Rn+1→ R是（美元）交易成本函数。我们假设φtradedoes不依赖于（ut）n+1，即不存在与现金账户相关的交易成本。为了强调这一点，我们有时会将交易成本写为φtrade（（ut）1:n）。我们假设φtradet（0）=0，即当我们不交易时，没有交易成本。虽然φtradet（ut）通常是非负的，但在某些情况下它可能是负的，如下所述。我们假设交易成本函数φtradetis是可分离的，这意味着其形式为φtradet（x）=nXi=1（φtradet）i（xi），即交易成本分解为与单个资产相关的交易成本之和。我们将（φtradet）i（从R到R的一个函数）称为资产i，周期t的交易成本函数。我们注意到，一些作者使用了不可分离的交易成本模型，例如Grinold的二次动态模型【31】。通用交易成本模型。scalartransaction成本函数的合理模型（φtradet）iisx 7→ a | x |+bσ| x | 3/2V1/2+cx，（2.2），其中a、b、σ、V和c是下文所述的实数，x是阿道尔贸易额[32]。数字a是时间段开始时资产买卖价差的一半，表示为资产价格的分段（因此是无单位的）。我们还可以在这一术语中包括经纪人佣金或费用，这些佣金或费用是买卖股票数量（或美元价值）的线性函数。数字b是一个正恒量，单位为反向美元。数字V是一段时间内该资产的总市场交易量，以美元价值表示，因此| x | 3/2/V1/2有美元单位。

数字σ是最近一段时间内对应的模型价格波动率（标准差），单位为美元。根据一个标准的经验法则，交易一天的成交量会使价格波动一天左右，这表明数字b的值在1左右。（然而，在实践中，b的价值是通过将上述模型与已实现交易成本数据相匹配来确定的。）数字c用于在transactioncost函数中创建不对称。当c=0时，买卖的交易成本相同；它是| x |的函数。当c>0时，出售资产要比购买资产便宜，这通常发生在买方比卖方提供更多流动性的市场中（例如，如果在限价订单交易中账簿不平衡）。交易成本的不对称性也可以用来模拟交易执行期间的价格变动。当| c |>| a |时，可能会产生负交易成本。交易成本模型（2.2）中的常数随资产和交易周期的变化而变化，也就是说，它们通过i和t进行索引。标准化交易成本。交易成本模型（2.2）为indollars。我们可以通过vt（总投资组合价值）将其标准化，并用zi（资产i的标准化交易）表示，从而得到函数（为了简单起见，t被抑制）ai | zi |+biσi | zi | 3/2（Vi/v）1/2+cizi。（2.3）与（2.2）的唯一区别在于，我们使用标准化资产体积Vi/v，而不是美元体积Vi。这表明，相同的交易成本公式可用于表示美元交易成本作为美元交易的函数，交易量以美元表示，或标准化交易成本作为标准化交易的函数，以投资组合价值标准化的交易量。由于一些符号的滥用，我们将t期间的归一化交易成本写成φtradet（zt）。

当transactioncost函数的参数被规范化时，我们使用资产量也被规范化的版本。归一化交易成本φtradet（zt）依赖于投资组合价值vt以及其他参数的当前值，但我们抑制了这种依赖性以减轻符号。2.4。持有成本11其他交易成本模型。可以使用其他交易成本模型。常见的变量包括分段线性模型，或在贸易值zi中添加二次项[2、31、28]。几乎所有这些都是凸函数。（我们稍后讨论。）非凸的交易成本术语的一个例子是资产中任何非零交易的固定费用。然而，对于模拟，交易成本函数可以是任意的。2.4持有成本我们将在tth期间持有交易后投资组合h+。这将导致基于持有的成本（美元）φholdt（h+t），其中φholdt:Rn+1→R是持有成本函数。与交易成本一样，它通常是负相关的，但在某些情况下也可能是负的，如下所述。持有成本可以包括与期限长度相关的因素；例如，如果我们的周期是交易日，但持有成本是在所有日期（包括周末和节假日）进行评估的，则日持有成本可能会乘以3。为简单起见，我们假设持有成本函数不依赖于交易后现金余额（h+t）n+1。基本持有成本模型包括做空时借入资产的费用，其形式为φholdt（h+t）=sTt（h+t）-, （2.4）其中（st）i≥ 0是t期间做空资产的借款费用i，和（z）-= 最大值{-z、 0}表示数字z的负部分。这是在投资期内做空交易后资产的费用，这里我们在期初提前支付此费用。

我们假设持有成本不依赖于现金账户，要求（st）n+1=0。但如果需要，我们可以包括现金借款成本，在这种情况下（st）n+1>0。这是借款的溢价，而不是利率，利率包含在我们模型的另一部分中，如下所述。按投资组合价值归一化的持有成本（2.4）可以用权重和归一化交易表示为φhold（h+t）/vt=sTt（wt+zt）-. （2.5）12模型与交易成本一样，我们使用相同的函数符号表示标准化的持有成本，将上述数量写为φholdt（wt+zt）。（对于上述持有成本的特定形式，没有滥用符号，因为φhold在以美元或标准化形式表示时是相同的。）更复杂的持有成本函数出现了，例如当资产包括ETF（交易所买卖基金）时。多头头寸产生与hi成比例的费用；当我们持有空头头寸时，我们赚取的费用是相同的。这很容易被建模为持有成本中的线性项。（此外，我们还可以收取做空的标准费用。）这导致φholdt（wt+zt）=sTt（wt+zt）形式的住宿成本-+ fTt（wt+zt），其中FTI是一个向量，当资产i是ETF时，（ft）i表示资产i的每期管理费。甚至可以使用更复杂的持有成本模型。一个例子是借款成本的分段线性模型，当空头头寸超过某个阈值时，该模型会增加边际借款利率。这些更一般的持有成本函数几乎总是凸的。然而，对于模拟而言，持有成本函数可以承受。2.5自我融资条件我们假设没有外部现金流入或流出投资组合，交易和持有成本在期初从现金账户支付。

这种自融资条件可以表示为asTut+φtradet（ut）+φholdt（h+t）=0。（2.6）此处-1Tutis指投资组合中交易产生的现金总额；（2.6）表示，该现金流出必须平衡产生的现金成本，即交易成本加上持有成本。自融资条件意味着v+t=vt- φtradet（ut）- φholdt（h+t），即交易后价值是交易前价值减去交易和持有成本。2.5。自我融资条件13自我融资条件（2.6）将现金交易金额（ut）n+1与资产交易联系起来，（ut）1:n，由（ut）n+1=-T（ut）1:n+φtrade（（ht+ut）1:n）+φholdt（（ut）1:n）. （2.7）在这里，我们假设交易和持有成本不依赖于n+1（现金）成分，将参数明确写为前n个成分，即与（非现金）资产相关的成分。公式（2.7）表明，如果我们得到非现金资产的交易价值，即（ut）1:n，我们可以找到满足自我融资条件（2.6）的现金交易价值（ut）n+1。我们在这里提到一个稍后会提到的微妙之处。交易算法选择资产交易（ut）1:n在交易成本函数φtrade和（可能）持有成本函数φholdtar已知之前。交易算法必须使用这些函数的估计来选择交易。公式（2.7）给出了实现的现金交易金额。规范化自我融资。通过将美元自我融资条件（2.6）除以投资组合价值vt，我们可以用权重和标准化交易来表达自我融资条件，即asTzt+φtrade（vtzt）/vt+φholdt（vt（wt+zt））/vt=0，其中我们使用ut=vtzt和h+t=vt（wt+zt），成本函数OVE是美元价值版本。

用标准化值表示成本，我们得到zt+φtradet（zt）+φholdt（wt+zt）=0，（2.8），其中成本是标准化版本。与美元版本一样，假设成本不取决于现金价值，我们可以用非现金资产交易价值（zt）1表示现金交易价值（zt）n+1:nas（zt）n+1=-T（zt）1:n+φtrade（（wt+zt）1:n）+φholdt（（zt）1:n）. （2.9）14模型2.6投资交易后投资组合和现金在一个时期内进行投资，直至下一个时期开始。下一时间段的投资组合由HT+1=h+t+rt给出o h+t=（1+rt）o h+t，t=1，T- 1，其中rt∈ Rn+1是t+1期间的资产和现金回报向量，以及o 表示向量的Hadamard（elementwise）乘法。t期内资产i的收益定义为（rt）i=（pt+1）i- （pt）i（pt）i，i=1，n、 资产价格在投资期间的部分增长。我们在此假设，价格和回报经过调整，以包括股票分割和股息的影响。我们假设价格是非负的，所以1+rt≥ 0（其中不等式表示元素）。我们提到了上述定义的另一种替代方法，即日志返回，log（pt+1）i（pt）i=log（1+（rt）i），i=1，n、 对于与一相比较小的回报率，对数回报率与上述回报率非常接近。数字（rt）n+1是现金回报，即无风险利率。在简单模型中，现金存款和贷款的现金利率相同。我们还可以通过在（2.4）中取（st）n+1>0，在持有成本函数中包括借入现金的溢价（例如）。选择资产交易（ut）1:NAR时，资产回报（rt）1:NAR未知。有理由假设现金利率（rt）n+1未知。下一期投资组合价值。

为了将来的参考，我们为下一期投资组合的价值计算出了一些有用的公式。我们有vt+1=1Tht+1=（1+rt）Th+t=vt+rTtht+（1+rt）Tut=vt+rTtht+rTtut- φtradet（ut）- φholdt（h+t）。2.7。15投资组合回报未建模的方面。t期的投资组合实现回报率定义为RPT=vt+1- vtvt，投资组合价值在此期间的分数增长。它可以表示为Rpt=rTtwt+rTtzt- φtradet（zt）- φholdt（wt+zt）。（2.10）这很容易解释。t期间的投资组合回报由四部分组成：oRTTW是指不含交易或持有成本的投资组合回报，oRTTZT是指交易回报，o-φtradet（zt）是交易成本，并且o-φholdt（wt+zt）是持有成本。下一期权重。我们可以根据当前权重wt和归一化的等级zt，以及返回rt，使用上面的等式，推导出下一个周期权重wt+1的公式。单代数给定SWT+1=1+Rpt（1+rt）o （wt+zt）。（2.11）根据定义，我们有1Twt+1=1。当rt=0时，这个复杂的公式将wt+1=wt+ZT。为了便于将来使用，我们注意到，当后期回报率比1小时，我们有wt+1≈ wt+zt。2.7未建模的方面我们在此列出了我们的模型忽略的实际交易的一些方面，并讨论了一些必要时处理这些方面的方法。外部现金。我们的自我融资条件（2.6）假设没有外部现金进入或离开投资组合。通过将（2.6）的右侧替换为存入账户的外部现金（存入账户的现金为正，提取的现金为负），我们可以很容易地将外部存款和现金提取包括在内。16模型股息。股息通常包含在资产回报中，这意味着股息被重新投资。

或者，我们可以在持有成本中加入资产的现金股利，增加期限-dTtht，其中dt是t期间股息率的向量（以持有资产的美元/美元为单位）。换句话说，我们可以将现金股息视为负持有成本。非即时交易。我们的模型假设所有交易都是在每个投资期开始时进行的，但这些交易实际上是在投资期的某一部分执行的。这可以用交易成本中的线性项来建模，这可以解释执行过程中价格的变化。我们还可以改变动力学方程HT+1=（1+rt）o （ht+ut）至ht+1=（1+rt）o ht+（1- θt/2）（1+rt）o 式中θ是交易发生时间的分数。在本次修改中，当θt>0时，我们无法获得交易的全期回报，因为我们正随着价格的变动而进入头寸。处理非即时交易的最简单方法是使用更短的时间段。例如，如果我们对日常交易感兴趣，但交易是在整个交易日进行的，并且我们希望对这种影响进行建模，那么我们可以移动到每小时一次的模型。执行不完善。这里我们区分了ureqt（请求交易）和ut（实际实现交易）。在回测模拟中，我们可能会假设所请求的交易中的一部分（非常小）仅部分完成。多期价格影响。这是一个时期内大量订单对未来时期资产价格的影响。在我们的模型中，交易成本只是当期交易向量的函数，而不是之前交易向量的函数。2.8。模拟17贸易结算。在交易结算中，我们跟踪一天和两天前交易产生的现金（在每日模拟中），以及通常的（无负担）现金账户，其中包括三天或三天以上交易产生的所有现金，这些现金已经结算。

空头费用来自未支配现金，与交易相关的现金立即转入一天前类别（用于日常交易）。合并/收购。在一定时期内，一家公司购买另一家公司，将被收购公司的股份以某种比率转换为收购公司的股份。这将修改资产持有更新。在现金收购中，被收购公司的头寸被转换为现金。破产或解散。资产持有量减至零，可能需要支付现金。交易冻结。类似的行动是冻结交易，在某些时期内，资产不能买卖，或两者兼而有之。2.8模拟我们的模型可用于模拟投资组合在t=1、…、，T当使用上述标准模型时，这需要以下数据。（如果使用更一般的交易或持有成本函数，还需要它们所需的任何数据。）初始投资组合和现金账户价值，h∈ 注册护士+1.o资产交易向量（ut）1:n。现金交易价值（ut）n+1由（2.7）根据自我融资条件确定交易成本模型参数∈ 注册护士，英国电信∈ 注册护士，ct∈ Rn，σt∈ Rn和Vt∈ 注册号：做空率st∈ 注册号：返回rt∈ 注册护士+1.o现金股利率dt∈ Rn，如果它们不包括在报告中。18建模测试。在回测中，这些值将是过去实现的值，其中（ut）1:n交易算法提出的交易将被测试。这种测试估计了不同交易或不同交易算法下投资组合的演变情况。模拟确定了模拟期内的投资组合和现金账户价值，从中可以计算出下文第3章所述的其他指标。

作为一个简单的例子，我们可以每天、每周或每季度将重新平衡的绩效与给定的目标投资组合进行比较。一个简单但信息丰富的反向测试是使用投资组合中执行的实际交易来模拟投资组合的演变。然后，我们可以比较一段时间内实际和模拟或预测的投资组合持有量和总价值。真实的和模拟的投资组合价值不会完全相同，因为我们的模型依赖于交易和持有成本的估计，假设即时交易执行，等等。假设模拟。在假设模拟中，我们更改用于执行模拟的数据，即返回、卷等。使用的值是（可能）可能发生的值。这可以用来对交易算法进行压力测试，使用的数据虽然没有出现，但非常具有挑战性。在模拟中增加不确定性。任何投资组合演化的模拟都依赖于交易和持有成本的模型，而交易和持有成本又取决于参数。这些参数并不确切，而且在任何情况下，模型都不完全正确。因此，问题出现了，我们应该在多大程度上信任我们的模拟？检查这一点的一个简单方法是进行多个模拟，在那里我们随机地以合理的数量扰动模型参数。例如，我们可能每天将每日交通量与其真实（实现）值相差10%。如果用合理数量的参数进行的模拟产生了不同的结果，我们知道（不幸的是）我们不能相信这些模拟。度量可以使用几个通用的性能度量来评估投资组合的性能。3.1绝对指标我们首先考虑以绝对值衡量投资组合价值增长的指标，而不是与基准投资组合或无风险利率进行比较。回报和增长率。