微观结构极限订单模型中的算法交易

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英文标题：
《Algorithmic trading in a microstructural limit order book model》
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作者：
Fr\\\'ed\\\'eric Abergel (MICS), C\\^ome Hur\\\'e (LPSM (UMR\\_8001)), Huy\\^en
  Pham (LPSM (UMR\\_8001))
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We propose a microstructural modeling framework for studying optimal market making policies in a FIFO (first in first out) limit order book (LOB). In this context, the limit orders, market orders, and cancel orders arrivals in the LOB are modeled as Cox point processes with intensities that only depend on the state of the LOB. These are high-dimensional models which are realistic from a micro-structure point of view and have been recently developed in the literature. In this context, we consider a market maker who stands ready to buy and sell stock on a regular and continuous basis at a publicly quoted price, and identifies the strategies that maximize her P\\&L penalized by her inventory. We apply the theory of Markov Decision Processes and dynamic programming method to characterize analytically the solutions to our optimal market making problem. The second part of the paper deals with the numerical aspect of the high-dimensional trading problem. We use a control randomization method combined with quantization method to compute the optimal strategies. Several computational tests are performed on simulated data to illustrate the efficiency of the computed optimal strategy. In particular, we simulated an order book with constant/ symmet-ric/ asymmetrical/ state dependent intensities, and compared the computed optimal strategy with naive strategies. Some codes are available on https://github.com/comeh.
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中文摘要：
我们提出了一个微观结构建模框架，用于研究先进先出（FIFO）限额指令簿（LOB）中的最优做市策略。在这种情况下，LOB中的限额订单、市场订单和取消订单到达被建模为Cox点过程，其强度仅取决于LOB的状态。这些是高维模型，从微观结构的角度来看是真实的，最近在文献中得到了发展。在这种情况下，我们考虑一个随时准备以公开报价定期和连续买卖股票的做市商，并确定使其存货所受损益最大化的策略。我们应用马尔可夫决策过程理论和动态规划方法对最优做市问题的解进行了分析表征。论文的第二部分讨论了高维交易问题的数值方面。我们使用控制随机化方法结合量化方法来计算最优策略。对模拟数据进行了若干计算测试，以说明计算出的最优策略的有效性。特别是，我们模拟了一个具有常数/对称/非对称/状态依赖强度的订单，并将计算出的最优策略与朴素策略进行了比较。某些代码在上可用https://github.com/comeh.
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Algorithmic_trading_in_a_microstructural_limit_order_book_model.pdf (847.76 KB)

2022-5-31 11:33:01 上传

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关键词：算法交易 微观结构 Differential Applications Quantitative

微观结构极限订单模型中的算法交易。Fr'ed'eric Abergel+C^ome Hur'e* Huy^en Pham教授+弗雷德里克中央苏佩莱克MICS实验室。abergel@ecp.frLPSM-巴黎第七狄德罗大学，hure@lpsm.parisLPSM-巴黎第七狄德罗大学和CREST-ENSAE，pham@lpsm.parisWe提出一个微观结构建模框架，用于研究aFIFO（先进先出）限额订单（订单簿）中的最优做市政策。在这种情况下，订单簿中的限额订单、市场订单和取消订单到达被建模为点过程，其强度仅取决于订单簿的状态。这些是高维模型，从amicro结构的角度来看是真实的，最近在文献中得到了发展。在这种情况下，我们考虑一个做市商，他随时准备以公开报价定期、连续地买卖股票，并确定最大限度地利用其存货惩罚其损益的策略。针对订单到达采用指数核Hawkes过程建模的做市问题，提出了该方法的一种扩展。我们应用马尔可夫决策过程理论和动态规划方法对最优做市问题的解进行了分析。论文的第二部分讨论了高维交易问题的数值方面。我们使用控制随机化方法结合量化方法来计算最优策略。对模拟数据进行了几次计算测试，以说明计算出的最优策略的效率。特别是，我们模拟了一个具有常数/对称/非对称/状态依赖密度的订单，并将计算出的最优策略与朴素策略进行了比较。

有些代码在上可用https://github.com/comeh.Keywords:限价指令簿、纯跳跃控制过程、高频交易、高维仓促控制、马尔可夫决策过程、量化、局部回归1。简介大多数市场使用限额订单簿（order book）机制来促进交易。任何市场参与者都可以通过发送市场订单或限价订单与订单簿进行交互。在任何类型的市场中，做市商通过向其他市场参与者提供流动性发挥着基础性作用，这些参与者通常是那些不耐烦的代理人，他们愿意跨越买卖价差。做市策略产生的利润来自买卖订单的交替。从数学建模的角度来看，做市商问题对应于在订单簿中选择最优的下单策略。这种策略应该使做市商财富的预期效用函数最大化，直至对其库存进行惩罚。最近几年，有几项研究集中于通过随机控制方法进行市场营销的问题。Avellaneda和Stoikov（2007）的开创性论文*Ho和Stoll（1979）的工作提出了订单驱动市场中交易的框架。他们将股票的参考价格建模为维纳过程，距离参考价格δ远的买入或卖出流动性消费订单的到达由一个强度随δ呈指数形式递减的点过程描述。他们描述了使终端财富的指数效用函数最大化的最优做市策略。自这篇论文发表以来，其他作者一直在研究相关的做市问题。Gu’eant et al.（2012）通过处理投资风险，概括了Avellanda和Stoikov（2007）的做市问题。

Cartea和Jaimungal（2013）还设计了管理库存风险的算法。Fodra和Pham（2015b）以及Fodra和Pham（2015a）考虑了一个在准确性和可跟踪性之间达成良好折衷的模型，其中股票价格由马尔可夫更新过程驱动，并解决了做市问题。Guilbaud和Pham（2013）还考虑了中间价的amodel，将利差建模为一个离散的马尔可夫链，该链根据随机时钟跳跃，并从理论和数字两方面研究了做市策略的性能。Cartea和Jaimungal（2010）采用隐马尔可夫模型来检验订单簿的动态变化。最近，Cartea et al.（2015）和Gu’eant（2016）出版了专著，其中他们开发了不同上下文中的算法交易模型。El Aoud和Abergel（2015）将Avellaneda和Stoikov的框架扩展到期权做市。所有这些工程的一个共同特点是，考虑了价格或/和价差的模型，然后根据这些数量构建订单。这种方法产生的模型能够很好地预测订单的长期行为。这种选择的原因是，当受控过程是低维的时，通常更容易解决做市问题。然而，最近的一些工作引入了精确而复杂的微观结构订单模型。这些模型准确地再现了市场数据的短期行为。考虑到订单簿的状态和做市商的头寸，重点是事件的条件概率。Abergel et al.（2016）提出了订单簿模型，其中订单簿中的订单数量由泊松过程或霍克斯过程驱动。Contet al.（2007）还利用泊松过程对订单到达进行建模。Huang等人。

（2015）提出了订单的队列反应模型。在该模型中，订单的到达是由联合点过程驱动的，其强度仅取决于订单簿的状态（它们不依赖于时间）。还提供了订单驱动市场的其他可跟踪动态模型（见Contet al.（2007）、Rosu（2008）、Cartea et al.（2014））。本文采用Abergel等人（2016）的订单簿微观结构模型，解决了相关的交易问题。该问题是在分段确定性马尔可夫决策过程（PDMDP）的一般框架中提出的，参见B¨auerle和Rieder（2011）。在订单簿模型下，PDMDP公式是自然的。实际上，在两次跳跃之间，订单簿保持不变，因此可以将建模的订单簿视为一个点过程，其中时间成为状态空间的一个组件。至于控制，做市商将其策略定义为每个跳跃时间之后时间的确定函数。我们证明了做市问题的价值函数等于相关的非有限水平马尔可夫决策过程（MDP）的价值函数。这提供了固定点动态规划方程的值函数特征。Jacquier和Liu（2018）最近采用了类似的方法来解决最优清算问题，而Baradel et al.（2018）和Lehalle et al.（2018）也在订单框架的微观结构模型中解决了报酬函数最大化问题。本文的第二部分是数值模拟的价值函数。由于用于对订单进行建模的微观结构模型导致高维纯跳跃控制过程，因此计算具有挑战性，因此评估值函数是计算紧张的。

我们依靠控制随机化和马尔可夫量化方法来计算值函数。马尔可夫量化对于解决与高维马尔可夫过程相关的控制问题非常有效。我们首先量化跳跃时间，然后量化订单簿的状态空间。有关应用于受控过程的量化的一般描述，请参见Pag\'es等人（2004）。该算法中的投影非常耗时，但可以实现快速近似近邻算法（例如，参见Muja和Lowe（2009）），以减轻该过程。我们借用Huang等人（2015）的订单簿模拟中的订单到达强度值，以测试我们的最佳交易策略。本文的组织结构如下。第2节介绍了模型设置：我们展示了订单簿的微观结构模型，并展示了做市商如何与市场互动。在第3节中，我们证明了价值函数和最优交易策略的存在性，并给出了其特征。在第4节中，我们引入了一种基于量化的算法来数值求解一类具有有限时域的离散时间控制问题，然后将其应用于我们的交易问题。然后，我们给出了模拟订单的一些数值测试结果。第5节介绍了当订单到达由霍克斯过程驱动时我们模型的扩展，最后附录收集了本文中使用的一些结果。2、模型设置2.1。订单书代表我们考虑订单书的一个模型，其灵感来自Abergelet al.（2016）第6章中介绍的订单书。让我们来看看≥ 0、订单簿应该由投标方的K limits和要求方的K limits进行完整描述。

用时间t的最佳出价表示，这是市场参与者愿意在时间t出售股票的最低价，用时间t的最佳出价表示，这是市场参与者愿意在时间t购买股票的最高价格。我们使用向量对at，英国电信=在aKt，bt，bKt公司其中oAit是指从pbt中勾选出来的可用股份数量，o-Biti是指从pat中勾选出来的可用股份数量，用于描述订单。向量At和Bt分别描述了时间t上的ask和bid。数量ait，1≤ 我≤ K、 生活在离散空间qN中，其中q∈ R*是每个特定市场的最小订单量（批量）。数量位，1≤ 我≤ K、 生活在离散的空间中-qN。按照惯例，0的aiare为非负，biare为非正≤ 我≤ K、 滴答声大小 表示不同价格水平之间的最小间隔。在续集中，我们假设到达的订单具有相同的大小q=1，并将刻度大小设置为 = 1为简单起见。在尺寸为2K的移动框架外施加恒定边界条件，以确保LOB的两侧永远不为空：我们假设所有第k个限制都等于∞在ask侧，等于b∞在投标方∞, -b∞∈ N、 Theorder book可以随时从一般市场参与者处收到三种不同类型的订单：市场订单、限制订单和取消订单。

订单到达通过以下点过程建模：oM+代表买方市场订单流量，我们用λM+其强度表示，oM-表示卖出市场订单流量，我们用λM表示-其强度，oL+i，对于i∈ {1，…K}，代表ask侧ithlimit处的销售订单流量，wedenote按λL+iits强度，limit在文献中也称为报价或价格水平L-i、 对于i∈ {1，…K}，表示买方订单在投标方的ithlimit流动，wedenote为λL-IIT强度，oC+i，对于i∈ {1，…K}，表示ask侧ithlimit处的取消订单流，wedenote表示λC+iits强度，oC-i、 对于i∈ {1，…K}，表示投标方ithlimit处的取消订单流，wedenote为λC-IIT强度。在续集中，我们假设（Harrivals）来自一般市场参与者（市场订单、限制订单和取消订单）的订单按照马尔可夫跳跃过程发生，其强度仅取决于耦合a、 b类. 此外，我们假设所有的强度都是线性的w.r.ta、 b类和在两个事件之间保持不变。在（Harrivals）下，设λL，λC，λMbe正实常数，使得KXi=1λL+i（a，b）+KXi=1λL-i（a、b）≤ λL|a |+| b|,KXi=1λC+i（a，b）+KXi=1λC-i（a、b）≤ λC|a |+| b|,λM+（a，b）+λM-（a、b）≤ λM|a |+| b|,对于LOB的所有状态（a，b），其中| a |：：=PKk=1-akand | b |：：=PKk=1bk。备注2.1需要强度的线性条件来证明控制问题是适定的。备注2.2为简单起见，我们假设跳跃之间的强度为常数（哈里瓦尔）。第3节中提出的所有结果都可以推广到跳跃过程的强度在跳跃之间是确定的情况。

第5节考虑了这样一个扩展，其中使用具有指数核的霍克斯过程对阵列进行建模。备注2.3通过添加新流程，可以将一些信息集成到订单模型中。例如，可以添加一些将订单发送到最佳询价和最佳出价限额的外部过程，以模拟代理可能具有的中间价及其波动性的预测。执行SOI对于管理风险回报交易至关重要。s.2.2。做市商策略我们假设订单簿匹配是基于价格/时间优先级进行的，这意味着订单簿的每个限制都是一个队列，其中队列中的第一个订单是第一个要执行的订单。我们认为，做市商随时准备以报价定期、连续地发出买入和卖出限价指令。在随机控制理论中，将值函数描述为HJB方程解的一个常见假设是约束控制空间是紧的。本着这种精神，我们将做出以下假设：（Hcontrol）假设在任何时候，标记商下达的限制订单总数不超过固定（可能较大）整数M。此类订单簿有时在文献中被称为受FIFO（先进先出）规则管辖的订单簿。2.2.1。做市商的控制权。做市商可以随时选择在订单簿中保留、取消或持有头寸（只要她在订单簿中持有的头寸不超过'M）。她的职位由以下人员详细描述-维度向量rat、rbt、nat、NBT其中ra（分别rb）记录做市商卖出（分别买入）订单所在的限制；na（代表nb）记录每个做市商的卖出（代表买入）订单队列中的排名。为了保证做市商的策略是可预测的。r、 t。

对于订单到达过程产生的自然过滤，我们将做出以下假设。（Harrivals2）强度不取决于控制。此外，做市商不会跨越价差。为了简化理论分析，我们还做出以下假设：（Harrivals3）假设做市商在两个订单到达theorder book之间不会改变策略。换句话说，做市商在其中一个订单到达过程L±、C±、M±跳跃后立即做出决策，并将其保留到下一个订单到达跳跃时。备注2.4如果订单频繁跳转，则假设（Harrivals3）是温和的，因为在这种情况下，市场制造商可以频繁更改其决策。通过考虑跳跃之间的分段常数控制（这似乎很好地适应了行业中遇到的大多数时间离散化控制问题）或任何其他参数函数族，也可以很容易地对其进行放松。结果和证明可以扩展，主要依赖于PDMDP。我们在图1中提供了受控LOB的图形表示。请注意，做市商通过在某些限制下订单与订单簿进行交互。后者的排名在每次订单到达后都会发生变化。价格在队列中的数量和排名-8-7-6-5-4-3-2-1 MarketMaker的购买订单MarketMaker的所有订单New MarketMaker的出售订单图1：做市商的位置和她可能做出的决定的示例。在本例中：订单簿的ask端由a=（7，5，4）描述；投标方为b=(-6.-4.-5） 。市场制造商的位置由ra=（0，1，-1） 和rb=（0，2，-1；关联秩向量为na=（2，1，-1…）和nb=（4，2，-1） 。