从算法交易的角度看随机游走模型

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英文标题：
《Random walk model from the point of view of algorithmic trading》
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作者：
Oleh Danyliv, Bruce Bland and Alexandre Argenson
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Despite the fact that an intraday market price distribution is not normal, the random walk model of price behaviour is as important for the understanding of basic principles of the market as the pendulum model is a starting point of many fundamental theories in physics. This model is a good zero order approximation for liquid fast moving markets where the queue position is less important than the price action. In this paper we present an exact solution for the cost of the static passive slice execution. It is shown, that if a price has a random walk behaviour, there is no optimal limit level for an order execution: all levels have the same execution cost as an immediate aggressive execution at the beginning of the slice. Additionally the estimations for the risk of a limit order as well as the probability of a limit order execution as functions of the slice time and standard deviation of the price are derived.
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中文摘要：
尽管日内市场价格分布不正常，但价格行为的随机游走模型对于理解市场的基本原理同样重要，就像钟摆模型是物理学许多基本理论的起点一样。该模型是流动性快速移动市场的一个很好的零阶近似，其中队列位置不如价格作用重要。在本文中，我们给出了静态被动切片执行成本的精确解。结果表明，如果价格具有随机游走行为，则订单执行不存在最优限制水平：所有水平的执行成本都与切片开始时的即时积极执行成本相同。此外，还导出了限价单风险的估计以及限价单执行概率随切片时间和价格标准差的函数。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Random_walk_model_from_the_point_of_view_of_algorithmic_trading.pdf (939.26 KB)

2022-6-25 07:43:55 上传

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关键词：算法交易 随机游走 Quantitative Applications Econophysics

从算法tradingOleh Danyliv、Bruce Bland、Alexandre ArgensonFidessa group plc、One Old Jewry、London、EC2R 8DN、United KingdomAbstracts的角度来看，随机游走模型尽管日内市场价格分布不正常，价格行为的随机游走模型对于理解市场的基本原理非常重要，就像摆模型是物理学许多基本理论的起点一样。对于排队位置不如价格作用重要的流动性快速移动市场，该模型是一个很好的零阶近似。本文给出了静态被动切片执行成本的精确解。然而，如果aprice具有随机游走行为，那么订单执行就没有最优的限制级别：所有级别的执行成本都与切片开始时的即时积极执行相同。此外，还导出了限价指令风险的估计值，以及限价指令执行概率随时间和价格标准变化的函数。关键词：随机游走、订单书、最佳执行、限制订单、执行成本J：G12、G14、G171。简介：TWAP或VWAP等避免影响算法的标准策略（Johnson（2010））是将订单大小拆分为较小的子订单（切片），这些子订单使用执行策略进行交易（例如，见Markov（2012））。因此，切片是一种交易量小、市场影响小的订单，它试图在可能的情况下捕获买卖价差。子订单的简单被动策略是被动等待策略，在初始阶段，订单在特定级别被动交易，如果没有被动填充，则在切片间隔结束时积极填充。

在时间间隔结束时主动执行与罚款相关，因为价格从订单的限价移开，交易员必须支付罚款。Jeria、Schouwenaars和So fianos（20 09）描述了高盛的Piccolo算法，这是一个没有订单队列的被动执行的很好的例子：它的被动腿创建了“低于要求的买入”和“低于要求的卖出”作者感谢菲德萨集团有限公司的Xavier Cochi进行了有价值的讨论并启动了该项目。作者感谢我们巴斯大学的实习生马修·林奇的技术支持。本文所表达的观点是作者的观点，并不一定反映菲德萨集团股份有限公司或其任何子公司的观点。20192年8月14日，二叉树2上的概率高于竞价限制订单，如果未完成，则会积极执行。他们对19、8、21被动和6919主动子订单的分析表明，被动执行降低了市场影响，但事实上并不比立即主动执行好：主动订单的总成本估计为4.6个基点，主动订单的总成本为4.1个基点。虽然48%的订单都有差价，但未完成订单的清理成本很高。本文件对被动执行的基本过程进行了数学建模，其中价格是一个对称的随机过程，并使用此数学建模分析了限制价格对成本差异的影响。应该注意的是，所采取的方法忽略了到达或删除账簿的订单的队列位置，但仍然是快速移动的流动性市场的一个很好的替代品，世界市场上的大多数交易都是在这些市场上进行的。2、二元树上的概率us假设价格上移或下移的概率是sa me和is。二叉树的大小如图所示。

1是n，意味着价格应在总价格中包含n个随机步骤，最终价格r的分布范围为-n到n.n图1：证券价格建模为沿着二叉树行走：它从零开始，经过n步后，以值r结束。在n步长随机游走过程中，价格将使n↑步进和n↓下台。如果最终价格为r，则应满足以下等式：n↑- n↓= r（1） 2二叉树上的概率3步骤总数为n，给出第二个等式n↑+ n↓= n（2） 从（1）和（2）很容易得到n↑= （n+r）/2。沿着二叉树的随机行走可以构造为每一步上下移动的随机选择（相当于抛硬币）。要达到最终价值r，价格必须为n↑从possiblen向上移动（公平硬币流分析中n个硬币中的固定“头”）。该数字由二项式系数描述↑n=n！n↑!（n）- n↑)!.二叉树上可能的步骤总数为2n。因此，在n个随机步骤（如图1所示）中，价格具有最终值r的可能性isPn（r）=nCn↑n=nCn+rn。（3） 该公式适用于正r和负r（当价格低于标准水平时，r为负）。为了评估限额执行的价格，需要在触及（或穿透）k级后，价格具有r值的可能性。图2左图上的蓝线表示价格触及限制水平k，并在值r处结束，右图表示价格穿透水平k。rk2k+rrk2k+r图2：价格可以触及（左图）或穿透（右图）限制水平k。

蓝色线表示直接轨迹，绿色线表示反射轨迹，所有这些轨迹都具有相同的实现概率。3静态限制指令执行的成本4该概率可使用称为反射的技术计算，该技术基于直接路径和反射路径的概率相同的事实（Feller（1959））。当价格达到k级时，它可以选择以相同的概率向上或向下移动。图2绿线所示的真实蓝色路径的概率和反射路径的概率是等效的。绿色轨迹在2k+r处完成。使用公式（3），价格轨迹的概率达到k级，然后完成ta级r isPn（r | k）=Pn（2k+r）=nCn+2k+rn。（4） 为了计算价格在不达到k级的情况下具有最终值r的概率，必须计算在r级完成的所有轨迹，并减去在r级完成的轨迹数或越过k级限制的轨迹数。就概率而言，可以使用（3）中的减法（4）获得最终结果：Pn（r | k）=Pn（r）- Pn（r | k）=nCn+rn- Cn+2k+rn. （5） 当r为负值时，相同的公式也适用。如果r是一个大的正数，则会出现这样的情况，即在r处结束的轨迹不可能接触或穿过k层。图3说明了仍然可能接触时的极限情况。这种情况下的最大下移量为n↓= k： 价格在轨道开始后立即开始下跌，然后反弹。因此，正极的数量为n↑= n- n↓= n- k、 价格以临界值r结束*, 含义n↑- n↓= r*安德烈*= n-2k。对于大于该临界值的所有r，达到该水平（不接触k）的概率仅为r每一水平的概率rPn（r | k）=Pn（r）=nCn+Rn如果r>n- 2k。

（6） 上述概率如图4所示：具有不同限价的少数限价订单用直方图表示。直方图上的尖峰对应于极限或der的位置。k=1的情况是，限制指令距离另一侧一个刻度。根据图表，在这种情况下，几乎70%的or de R将被动执行。未达到极限水平Pn（r | k）的概率较小，其行为类似于基础工具的价格分布（虚线）。3、静态限价单执行的成本对于实际计算而言，在随机游走开始时将起始价格改为零是有用的。然后，正的购买价格将导致罚款，负的购买价格将导致利润。在切片时间内，每次价格未达到被动水平k，交易者将需要做出让步。激进的价格将是r，因为价格最终达到了r级。静态限额订单执行成本的总惩罚5r*-k-k-1-k+1图3：r的临界值。对于所有r>r*无法达到触摸级别。图4:n=10.3的二叉树的限价单执行价格分布静态限价单执行6未达到或超过被动水平的成本将是所有可能结果的所有惩罚的总和r。最终状态不能小于（或等于）-k且不能大于步骤数n。使用（4）和（6），未达到极限水平时的平均执行成本将等于（k） =n（n-2kXr=-k+1rCn+rn- Cn+2k+rn+nXr=n-2k+1rCn+rn），或重组后，（k） =n（nXr=-k+1rCn+rn-n-2kXr=-k+1rCn+2k+rn）。（7） 每次价格触及（或穿透）限价订单价格时，订单执行价格为-k

这种情况有两种不同的可能性：1。价格基本持平-k或低于此级别。在这种情况下，所有轨迹都会导致有限的执行，并且可以使用（3）计算这种情况的概率。执行的平均价格为-k×nCn+rn。2、价格触及或渗透水平-k、 但最终超过了水平- k、 使用公式（4）计算这种情况的概率，这种执行的平均价格为-k×nCn+2k+rn。价格行动所有可能结果的总和得出以下结果：（k）=-千牛(-kXr公司=-nCn+rn+n-2kXr=-k+1Cn+2k+rn）。（8） 限价执行的总成本包括限价达到时的利润，减去所有激进订单的成本（不涉及限价水平的轨迹）。由于价格是从零开始计算的，所以总执行成本等于带有负号的价格：限价执行给予负价格，这意味着利润。更改符号将造成正值意味着利润的情况：k=-(（k） ）+（k） ），（9）其中（k） 以及（k） 由（7）和（8）给出。使用数学归纳法可以证明k=0，换句话说，被动执行的收益与未触及限额指令的情况下的损失完全相同。使用变量替换r→ r- 2k在表达式（7）和（8）中，k级和下一个k+1级的利润差异可写为：k+1- k=nnXr=k+1Cn+rn--k-1Xr=-nCn+rn。（10） 4执行限额指令的风险7此表达式等于zer o，因为Cn+rn=Cn-注册护士。因此对于所有kk+1=k、 （11）k=0时的情况对应于sc enario，其中订单是以即时增长价格下的，我们知道k=0=0。

因此，对于所有k，k=0。这证明了被动执行切片没有最佳级别的事实：所有级别都会导致azero增益。这相当于在片的开头立即执行积极的执行。这一结果揭示了对Piccolo交易算法性能的观察结果（Jeria，Schouwenaars，So fia nos【2009年】）。限额指令执行的风险标准方法是考虑交易结果的标准偏差σxoδ（r，k）作为执行的风险度量。应该注意的是，对于简单的被动策略，δ（r，k）不是正态分布。在上一节中，我们证明了所有可能的最终值r的平均结果，（k） =Prδ（r，k）Pn（r）=0表示所有n。对于mσX=Xr（δ（r，k），执行结果的变化有一个简单的公式- k） Pn（r）=Xrδ（r，k）Pn（r），（12），其中结果取决于二叉树的长度n和到限制顺序k的距离。与平均执行成本的情况类似，结果的概率分为两部分（当触及限制顺序且未达到限制级别时）Pn（r）=Pn（r | k）+Pn（r | k。如果未达到限价指令，则价格运行的结果将等于最终价格r。在公式（7）的模拟Y中，σX（k）=XrrPn（r | k）=n（nXr=-k+1rCn+rn-n-2kXr=-k+1rCn+2k+rn）。（13） 如果命令是被动执行的，则使用与（8）中相同的概率，σX（k）=Xr(-k） Pn（r | k）=kn(-kXr公司=-nCn+rn+n-2kXr=-k+1Cn+2k+rn）。（14） 将此公式和公式（8）与达到限额水平时的平均执行价格进行比较，很容易注意到σ（k）=-k（k） 。使用经验证的关系（k） +（k） =0，σ（k）=-k（k） ，表达式（14）可以通过（13）中的和重写：σX=σX（k）+σX（k）=n（nXr=-k+1（r+kr）Cn+rn-n-2kXr=-k+1（r+kr）Cn+2k+rn）。

（15） 5偶数n的方差8（a）概率Pn（r）的分析近似值。轨迹只能在值0、2、4、。（b） 分布在每个点上的减半概率Pn（r）和相应的正态分布n（0，√n） 。图5：二叉树正态分布拟合概率Pn（r）。这个表达式是精确的，并且对参数n和k的奇偶组合有效。在替换后\'→ r+2k在（15）的第二项和简单但费力的变换中，变量可以写成显示其对极限水平k显式依赖的形式：σX=n（4knXr=k+1rCn+rn- 2knXr=k+1Cn+rn+kXr=-k+1rCn+rn），（16）或，使用概率Pn（r）的定义（3），σX=4knXr=k+1rPn（r）- 2knXr=k+1Pn（r）+kXr=-k+1rPn（r）。（17） （17）中的求和是对所有可能的值r进行的：如果二叉树的长度是偶数，那么最终价格位置r只能是偶数（见图5a）。如果n是奇数，那么可能的轨迹结束只能是奇数。被动顺序k的级别是独立的，可以是[0，n]范围内的任何数字。表达式（17）中的第一项为k的小值提供了主要贡献，该参数与之成线性关系。第二项较小，对应于k级的二阶。可以看出，第三项对应于k.5级的立方体。方差的分析近似（17）中的求和可以通过概率减半的求和总值r来近似（见图5b）。如果树很大，则概率和可以进一步替换为正态分布N（0，√n） 。

在大二元树5的极限下，方差9（n）的解析近似→ ∞) 和极限水平的小值（k→ 0）总和可简化如下：nXr=k+1rPn（r）→√2πnZ∞kre公司-r2ndr=rn2π+O千牛,nXr=k+1Pn（r）→√2πnZ∞ke公司-r2ndr=+Ok√n,kXr公司=-k+1rPn（r）→√2πnZk-kre公司-r2ndr=k×Ok√n.将近似积分的值代入表达式（17）和k上的二阶项，k级极限阶的标准偏差的近似公式为σX≈ 4krn2π- k、 （18）该近似值应以最大可能值n为上限，该值对应于等级k的情况≥ n、 然后，永远不会达到限制水平，限制顺序的方差等于基础价格的方差σ=n。将此限制添加到近似值（18）将使其在整个值k范围内工作，如图6所示。图6：不同限额订单水平的近似（18）和精确（17）差异。当顺序在片的开头被强制执行时，它们从零开始，对于所选的二叉树大小n=23，它们达到最大值23。近似值由最大可能值23限制。（18）中的第一项是线性超限水平k，提供了主要贡献。因此，限制顺序的方差结果σX∝ 对于c级，k失去了联系，这是algo交易中最重要的。此外，在实际系统中，长度为n的随机游动将持续订货时间T。这一次描述了系统的动态，我们称之为充足时间。被动填充概率的标准偏差10订单时间内的价格将为σ（T）=√n