萧条市场中二阶价格敏感性的计算

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英文标题：
《Computation of second order price sensitivities in depressed markets》
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作者：
Youssef El-Khatib and Abdulnasser Hatemi-J
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Risk management in financial derivative markets requires inevitably the calculation of the different price sensitivities. The literature contains an abundant amount of research works that have studied the computation of these important values. Most of these works consider the well-known Black and Scholes model where the volatility is assumed to be constant. Moreover, to our best knowledge, they compute only the first order price sensitivities. Some works that attempt to extend to markets affected by financial crisis appeared recently. However, none of these papers deal with the calculation of the price sensitivities of second order. Providing second derivatives for the underlying price sensitivities is an important issue in financial risk management because the investor can determine whether or not each source of risk is increasing at an increasing rate. In this paper, we work on the computation of second order prices sensitivities for a market under crisis. The underlying second order price sensitivities are derived explicitly. The obtained formulas are expected to improve on the accuracy of the hedging strategies during a financial crunch.
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中文摘要：
金融衍生品市场的风险管理不可避免地需要计算不同的价格敏感性。文献中包含大量研究工作，研究了这些重要值的计算。其中大多数工作考虑了著名的Black和Scholes模型，其中假设波动率为常数。此外，据我们所知，他们仅计算一阶价格敏感性。最近出现了一些试图扩展到受金融危机影响的市场的作品。然而，这些论文都没有涉及二阶价格敏感性的计算。为基础价格敏感性提供二级衍生工具是金融风险管理中的一个重要问题，因为投资者可以确定每个风险源是否以不断增长的速度增长。在本文中，我们研究了在危机下市场的二阶价格敏感性的计算。明确推导了潜在的二阶价格敏感性。所获得的公式有望在金融危机期间提高对冲策略的准确性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Computation_of_second_order_price_sensitivities_in_depressed_markets.pdf (111.03 KB)

2022-5-31 11:54:28 上传

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关键词：敏感性 Quantitative Computation derivatives Calculation

哈提卜省二阶价格敏感性的计算*Abdulnasser Hatemi-J+金融衍生品市场的抽象风险管理不可避免地需要计算不同的价格敏感性。文献中包含了大量研究工作，研究了这些重要值的计算。其中大多数工作考虑了著名的Black和Scholes模型，其中假设波动率为常数。此外，据我们所知，他们仅计算一阶价格敏感性。最近出现了一些试图扩展到受金融危机影响的市场的作品。然而，这些论文都没有涉及二阶价格敏感性的计算。为潜在的价格敏感性提供二级衍生工具是金融风险管理中的一个重要问题，因为投资者可以确定每个风险源是否在以不断增长的速度增长。在本文中，我们研究了在危机下市场的二阶价格敏感性的计算。明确推导了潜在的二阶价格敏感性。所获得的公式有望在金融危机期间提高对冲策略的准确性。关键词：欧式期权、布莱克-斯科尔斯模型、金融危机、价格敏感性、二阶价格敏感性。数学学科分类（2000）：91B25、91G20、60J60。JEL分类：G10、G13和C60.1简介价格敏感性是当今金融风险管理的一个组成部分。有许多论文专门讨论这个问题。从著名的Blackand Sholes（1970）模型开始，当前文献为不同的波动率模型提供了价格敏感性。最近，为了*阿联酋大学数学科学系，Al Ain，邮政信箱15551。

阿拉伯联合酋长国。电子邮件：YoussefElkhatib@uaeu.ac.ae.+阿联酋大学经济与金融系，Al Ain，邮政信箱：15551，阿拉伯联合酋长国。电子邮件：Ahatemi@uaeu.ac.ae.determine是否每个风险源都在增加。因此，在这种情况下，二阶价格敏感性的计算是一个相关且重要的问题。据我们所知，二阶价格敏感度仅适用于现有文献中未考虑市场危机的模型。在本文中，我们为一个以金融危机为特征的市场提供了具有封闭式解的期权定价模型的二阶价格敏感性。我们提供的第二个订单价格敏感性是Vanna、Volga和Vega bleed，使用文献中现有的含义。Vanna是期权织女星相对于资产价格变化的变化，可以看作织女星的德尔塔。伏尔加是溢价相对于波动率的二阶导数。织女星出血是波动性和成熟时间的二级溢价。论文的其余部分结构如下。在第2节中，我们介绍了危机模型的期权定价，并给出了不同一阶价格敏感性的值。在第3节中，我们根据建议的危机模型推导出不同的二阶价格敏感性。最后一节对论文进行了总结。2期权定价和价格敏感性在危机中本节中，我们介绍了危机模型，请读者参考[7]、[8]、[1]，了解有关崩溃期间金融资产建模的更多详细信息。在[6]中，作者计算了抑郁症患者的价格敏感性。

在这项工作中，我们使用[5]中获得的定价公式提供了二阶价格敏感性。我们考虑一个概率空间(Ohm, F、 P）和布朗运动过程（Wt）t∈[0，T]生活在其中。我们用（Ft）t表示∈[0，T]由（Wt）T生成的自然过滤∈[0，T]。市场上有一个标的风险资产为S的欧式看涨期权。无风险资产的回报率用r表示。为了简单起见，我们使用D表示风险中性概率。如【5】中所述，我们假设，对于最近关于跳跃建模的论文，我们参考【2】中的跳跃扩散模型，参考【4】中的Malliaivn演算计算价格敏感性，并参考【3】中的跳跃扩散模型。资产价格过程S=（St）t∈[0，T]由dst=rStdt+（σSt+αert）dWt控制，（2.1），其中T∈ [0，T]和S>0，σ和α是常数。（2.1）isSt的解=S+ασ经验值r-σt+σWt-ασert，t∈ [0，T]。（2.2）注意，当α=0时，STI减少到Black-Scholes模型的对数正态过程。在下一小节中，我们将介绍期权定价公式以及上述崩溃模型的不同价格敏感性，如【5】所述。2.1看涨期权价格【5】中的下两个命题用于计算二阶价格敏感性。我们假设价格过程（St）t∈[0，T]在风险下，中性概率由（2.2）给出。Letdα=σ√Tln公司S+ασK+ασerT+ （r+σ）T, （2.3）和dα=σ√Tln公司S+ασK+ασerT+ （r）-σ） T= dα- σ√T，（2.4）和Φ（d）=Rd-∞e-u/2√2πdu。然后我们有命题1，标的资产S=（St）t的欧洲看涨期权的溢价∈[0，T]，走向K和成熟度T isC（ST，K）=E[E-rT（ST- K） +]=S+ασΦ（dα）-Ke公司-rT+ασΦ（dα），（2.5）Let（ξxt，u）u∈[t，t]是asdξxt，u=rξxt，udu+σξxt，udWu，u定义的过程∈ [t，t]，ξxt，t=x。我们有ξt=ξ0，t，t∈ [0，T]。

下一个命题将统计危机模型中欧洲看涨期权和看跌期权的价格。命题2标的资产S=（St）t的欧式看涨期权和欧式看跌期权的价格∈[0，T]，罢工K和到期T，时间T∈ [0，T]，分别由C（T，St）给出=St+ασertΦ（dαt，1）-Ke公司-r（T-t） +ασertΦ（dαt，2），和p（t，St）=St+ασertΦ（dαt，1）-Ke公司-r（T-t） +ασertΦ（dαt，2）+Ke-r（T-t）- St，其中dαt，1=σ√T- t型ln公司St+ασertK+ασerT+ （r+σ）（T- t）, （2.6）和dαt，2=σ√T- t型ln公司St+ασertK+ασerT+ （r）-σ） （T- t）.2.2价格敏感性下一个命题给出了危机模型的不同价格敏感性。命题3标的资产S=（St）t的欧洲看涨期权的价格敏感性∈[0，T]，罢工K和到期T，时间T∈ [0，T]分别由 : =CSt=Φ（dαt，1）Γ：=CSt=e-（dαt，1）/2（σSt+αert）p2π（t- t） =e-（dαt，1）/2Stσp2π（t- t） Θ：=Ct=-Stσ+αert√2πτe-（dαt，1）- rKe公司-rτΦ（dαt，2）+rασert（Φ（dαt，1）- Φ（dαt，2））=-Stσp2π（T- t） e类-（dαt，1）- rKe公司-r（T-t） Φ（dαt，2）+rασert（Φ（dαt，1）- Φ（dαt，2））ρ：=（t- t） Ke公司-r（T-t） Φ（dαt，2）+αtσertΦ（dαt，1）- Φ（dαt，2）ν：=ασert（Φ（dαt，2）- Φ（dαt，1））+e-（dαt，1）√2πSt+ασert√T- t、 此外，在类似情况下，欧洲看跌期权的价格敏感性如下所示。 : = Φ（dαt，1）- 1Γ：=Stσp2π（T- t） e类-（dαt，1）/2Θ：=-Stσ+αert√2πτe-（dαt，1）- rKe公司-rτΦ（dαt，2）+rασert（Φ（dαt，1）- Φ（dαt，2））+rKe-rτρ：=（T- t） Ke公司-r（T-t） Φ（dαt，2）+αtσertΦ（dαt，1）- Φ（dαt，2）- τKe-rτν：=ασert（Φ（dαt，2）- Φ（dαt，1））+e-（dαt，1）√2πSt+ασert√T- t、 有关上述命题的证明，请参见[5]。3危机时间二阶价格敏感性的计算在本节中，我们计算危机模型的二阶价格敏感性。

更准确地说，我们计算以下二阶导数：Vanna：=织女星S=CSσ、 伏尔加：=织女星σ=Cσ、 植物人：=CTσ、 罢工mma：=删除DeltaK级=CK、 命题4标的资产S=（St）t的欧式看涨期权的二阶敏感性∈[0，T]，罢工K和到期T，时间T∈ [0，T]，分别由Vanna给出=CSσ=ασSt- Ke公司-rτKe-rT+ασΓ-dαt，2e-（dαt，1）σ√2π。伏尔加=Cσ=-2ασertΦ（dαt，2）- Φ（dαt，1）+ασerte-（dαt，2）√2πdαt，2σ-e-（dαt，1）√2πdαt，1σ+√τ√2πe-（dαt，1）1.- dαt，1St+ασertdαt，1σ.素食的=CTσ=ασerte-（dαt，2）√2πdαt，2τ-e-（dαt，1）√2πdαt，1τ+√τ√2πe-（dαt，1）St+ασert2τ- dαt，1dαt，1τ.罢工mma=CK、 在哪里dαt，2σ=-dt，1σ+ασ√τertKe公司-rτ+ασertSt- Ke公司-rτSt+ασert, （3.1）dαt，2σ=dαt，1σ-√τ。（3.2）和dαt，2τ=dαt，1τ-σ√τ、 在哪里dαt，1τ=2στ√τln公司St+ασertK+ασerT+ （r+σ）τ+2στ√τr+σ. （3.3）证明。我们利用提案3中所述的第一或第二价格敏感性。可通过区分Vega与基础资产价格的关系来计算Vanna，如下Vanna=CSσ=νSt公司=“ασert（Φ（dαt，2）- Φ（dαt，1））+e-（dαt，1）√2πSt+ασert√T- t型#St=ασertSt公司Φ（dαt，2）- Φ（dαt，1）+√T- t型√2πe-（dαt，1）1.- dαt，1St+ασertdαt，1St公司.但请注意Φ（dαt，1）St=Γ和dαt，1St=σ√τ（St+ασert）Φ（dαt，2）St公司=Φ（dαt，2）dαt，2dαt，2dαt，1dαt，1St公司=Φ（dαt，2）dαt，2dαt，1St=e-（dαt，1-σ√τ）√2πdαt，1St=e-（dαt，1）-στ+dαt，1σ√τ√2πdαt，1St公司=Φ（dαt，1）dαt，1dαt，1StSt+ασertKe-rτ+ασert=Φ（dαt，1）StSt+ασertKe-rτ+ασert=ΓSt+ασertKe-rτ+ασert，其中τ：=T- t是成熟的时间。图斯瓦纳=CSσ=νSt公司=“ασert（Φ（dαt，2）- Φ（dαt，1））+e-（dαt，1）√2πSt+ασert√T- t型#St=ασertΓSt- Ke公司-rτKe-rτ+ασert+√τ√2πe-（dαt，1）1.- dαt，1St+ασertσ√τ（St+ασert）=ασertΓSt- Ke公司-rτKe-rτ+ασert+e-（dαt，1）σ√2π（σ√τ- dαt，1），给出（3.1）。

类似地，伏尔加可以计算如下：=Cσ=νσ=“ασert（Φ（dαt，2）- Φ（dαt，1））+e-（dαt，1）√2πSt+ασert√T- t型#σ=-2ασertΦ（dαt，2）- Φ（dαt，1）+ασertσΦ（dαt，2）- Φ（dαt，1）+√τ√2πe-（dαt，1）1.- dαt，1St+ασertdαt，1σ,具有σΦ（dαt，2）- Φ（dαt，1）=Φ（dαt，2）σ-Φ（dαt，1）σ=Φ（dαt，2）dαt，2dαt，2σ-Φ（dαt，1）dαt，1dαt，1σ=e-（dαt，2）√2πdαt，2σ-e-（dαt，1）√2πdαt，1σ、 使用dαt，2σ=-dt，1σ+ασ√τertKe公司-rτ+ασertSt- Ke公司-rτSt+ασert,dαt，2σ=dαt，1σ-√τ。织女星出血是织女星在时间变化时的变化。我们计算织女星出血如下：素食=Cτσ=ντ=“ασert（Φ（dαt，2）- Φ（dαt，1））+e-（dαt，1）√2πSt+ασert√τ#τ=ασerte-（dαt，2）√2πdαt，2τ-e-（dαt，1）√2πdαt，1τ+√τ√2πe-（dαt，1）St+ασert2τ- dαt，1dαt，1τ.请注意dαt，2τ=dαt，1τ-σ√τ和dαt，1τ=2στ√τln公司St+ασertK+ασerT+ （r+σ）τ+2στ√τ（r+σ），结束证明。4结论金融机构和投资者经常使用SPRICE敏感性来应对不同的金融风险来源。最近，文献提出了以危机为特征的市场价格敏感性公式。这是一个重要的问题，因为正是在危机期间，迫切需要能够中和或至少降低风险的成功工具。另一系列文献有助于引入二阶价格敏感性。据所知，二阶价格敏感性尚未针对危机市场开发。因此，我们在本文中的主要目标是为一个正在经历危机的市场引入二阶价格敏感性。所有新提出的公式都表示为命题，每个基本命题都提供了数学证明。本报告中提出的公式有望使金融风险对冲更加精确。参考文献[1]G。

Dibeh和H.M.Harmanani。崩溃后放松期的期权定价。Physica A.，380357–365，2007年。[2] Y.El Khatib和Q.M.Al-Mdallal。跳跃扩散市场中期权定价的数值模拟。阿拉伯数学科学杂志，18（2）：199–208，2012年。[3] Y.El Khatib、M.A.Hajji和M.Al Refai在金融危机期间跳跃式差异市场中的期权定价。《应用数学与信息科学》，7（6），23192013年。[4] Y.El Khatib和A.Hatemi-J.关于跳跃式差异结构下价格敏感性的计算。《统计应用与概率杂志》，1（3）：171–182，2012年。[5] Y.El Khatib和A.Hatemi-J.关于高度波动期期权的定价和对冲。arXiv:1304.4688。，2013年。【6】Y.El Khatib和A.Hatemi-J.金融市场崩溃后价格敏感性的计算。电气工程和智能系统，239–248。Springer纽约，2013年。[7] R。萨维特。期权价格的非线性和混沌效应。J、 期货标记。，1989年9月50日至7月7日。[8] D.索内特。股市崩溃的原因：复杂金融市场中的关键事件。普林斯顿大学出版社，普林斯顿，新泽西州，2003年。