Wright与Markowitz会面：标准投资组合理论在

当学习参数为零或总市场规模与初始产量相比非常小时，我们恢复了经典的投资组合设置。除了我们的一般动机（能量系统）和我们模型的两个主要组成部分（经验曲线和均值-方差投资组合理论），我们的设置还与处理随机过程最优控制的大量文献有关，这与经济学和运筹学很好。更直接的兴趣是技术、研发和创新问题的应用，其中收益递增和锁定问题更为突出。当投资期权使其变得越来越好时，历史很重要。Atkinson&Stiglitz（1969）已经指出，本地化技术进步的一个重要来源是边做边学，这将证明投资于一种还不是最便宜的技术是合理的。在技术选择文献中，众所周知，收益和不确定性的增加可能会导致技术选择不足占主导地位的情况（David 1985）。Arthur（1989）在一个网络外部性下运行的两个竞争标准的模型中表明，如果机会在早期偏向一个本质上更差的选项，则该选项积累的经验为其获得边际消费者提供了有利条件。随着这一优势的积累，它可能永远超过切换到本质上更好的选项所带来的好处。在这种情况下，apolicy maker对一项政策感兴趣，该政策能够在做出最终选择之前，对不同选择的优点进行最佳探索。Cowan（1991）在双臂bandit框架中描述了社会规划师的最优决策，其中每个时期都有两种技术中的一种选择。

在该模型中，存在一个称为Gittins索引的最优策略，但根据该策略，最终将选择单一技术。因此，早期的厄运可能会导致社会规划师锁定错误的技术。WhileOne是指考虑市场影响的情况。市场影响（Market impact）承认，大量交易只是违反了原子性假设，因此一个人对需求量或供应量的选择会影响价格。在这种情况下，这是一种负面反馈，文献集中于寻找最佳清算策略（Almgren&Chriss 2001，He&Mamaisky 2005）。金融投资组合中包含反馈效应的另一种情况是，需要考虑对资产的了解。熟悉特定资产的投资者对预期回报做出更精确的估计，因此该资产相对而言比其他资产更有价值（Boyle et al.2012）。反过来，持有大量特定资产会使获取有关该资产的信息更有价值，从而产生鼓励专业化的积极反馈（Van Nieuwerburgh&Veldkamp，2010）。这种理论文献通常指的是边干边学，它试图一次模拟其他形式的收益递增，因此没有更明确地模拟成本如何随着投资而降低。Zeppini（2015）在离散选择框架中考虑了清洁和肮脏技术的学习曲线，社会互动是提高采用和锁定回报的额外来源。他发现，与传统政策（如污染税）相比，促使清洁技术更快地沿着其学习曲线向下发展的政策，有更大的潜力促使技术平稳过渡，而传统政策（如污染税）只能通过足够大的规模来诱导均衡转变才能起作用。

最后，文献的另一个分支通过假设进一步的技术进步是通过重组实现的，将收益递增的好处与技术多样性的好处进行了对比。这意味着放弃专业化带来的收益增加，并保留一系列多样的技术以供进一步重组（Van den Bergh 2008，Zeppini&Van den Bergh 2013）是有一定价值的。本文的组织结构如下。第2节定义了经验曲线的随机过程和单周期情况下的优化问题，并说明了其与马科维茨投资组合的关系。第3节介绍了优化的主要结果，并说明了在哪些条件下，多样化是最佳的。它还通过描述最优值的数量和性质如何随基础参数值变化，详细分析了目标函数，并研究了总需求的影响。第4节返回到金融和技术投资组合的比较，并展示了引进技术后效率前沿是如何变化的。第5节通过研究一种成熟、廉价但学习速度慢的技术主导市场，但面临来自一个年轻、昂贵但学习速度快的挑战者的竞争的案例，为摆脱锁定创造了条件。第6节介绍了多期模型，并探讨了贴现如何在两期环境中与风险规避和学习相互作用。最后，第7节得出结论。2单周期模型考虑在一个时间段内开发单一技术。时间t时，该技术的单位成本为ct（以美元/单位计量），其累计产量（以单位计量）为zt。设t=0为当前时间，t=1为某个给定的未来时间。当前单位成本为C，当前累计产量为z。

该期间的产量为q，t=1时的累计产量为z=z+q。我们首先给出了单一技术的随机模型，然后考虑两种此类技术的组合。2.1赖特定律经验曲线的标准形式为isct∝ zt公司-α、 （1）其中常数α是该技术的经验指数（或Wright指数）。这导致了文献中经常使用的两个相关概念：“进步率”是指当收益增加来自消费者方面时，通常如Arthur（1989）所述，他们通常通过使用Rosenberg（1982）所述的方法来学习。在整个一期模型演示中，我们交替使用术语“投资”和“生产”。一般来说，文献考虑生产，尽管阿罗（1962）的原稿使用了投资。在这里，我们只向前看了一步，所以这不是一个重要的区别。定义为累计产量每翻一番后的相对成本水平=-α、 虽然“学习率”被定义为每次这样的倍增后的相对成本降低，但LR=1- 2.-α。Dutton&Thomas（1984）报告了不同研究的学习率，发现绝大多数在5%到40%之间，对应的α值大约在范围内（0.07，0.7）。然而，矿物和化石燃料等商品大多含有α≈ 0，因为从长期来看，它们没有表现出显著的成本下降（Newbold et al.2005，McNerney et al.2011）。Wright（1936）在飞机生产的背景下首次指出了成本与累计产量之间的幂律关系，因此我们称之为Wright定律。从那时起，人们发现它很好地描述了许多技术的可用证据（Nagy et al.2013）。

与大部分关于经验曲线的理论文献只涉及确定性形式相比，我们明确地建模了不确定性。为此，我们通过假设等式（1）：log（c）的对数差异版本上的加性噪声η，使未来成本随机- 对数（c）=-α对数（z）- 对数（z）+ η。（2） 该方程模拟了这样一种情况，即在一个时期内，对数-对数空间中的潜在线性趋势按照赖特定律前进，但随后受到阿兰多姆冲击。这是将不确定性纳入经验曲线模型的最简单可能的方法之一，此处选择该模型是为了其清晰和简单。t=1时的生产成本，解释为期间成本内的平均值（或常数），然后由c=c给出zz公司αeη=czz+qαeη。（3） 因此，存在未来可能成本c的分布，等式（3）清楚地显示了它如何取决于：i）技术的当前状态，c，z，ii）技术的经验指数α，iii）在这段时间内生产q的选择，以及iv）噪声分布η。接下来，我们假设冲击为正态分布，平均值为零，方差为σ，η~ N（0，σ）。众所周知，该噪声模型是对数正态回报金融资产的合理假设，但在考虑技术时需要进行一些调整。Lafond等人（2018年）发现，该模型在预测理论预测误差与实际预测误差方面，对51项技术时间序列的数据具有相当好的拟合效果，尽管他们首选的模型允许自相关。因此，成本是对数正态分布的，根据标准的对数正态特性，其期望值和方差由[c]=c给出zz+qαeσ/2，（4）Var（c）=czz+q2αeσeσ- 1.. （5） 另一种方法是使学习率α随机，而不是成本。

Mazzola和McCardle（1996）考虑了贝叶斯学习者如何从更多的生产中获益，不仅通过降低成本，而且通过改进学习参数的估计。请注意，正是zhere的存在区分了学习效果和规模收益递增。第6节讨论了非零平均噪声。随机经验曲线的这两个特性由四个参数c、z、α、σ唯一指定，现在将用于构建投资组合模型。2.2优化考虑两种独立的技术，A和B，每种技术都按照上述权利定律的形式发展，具有各自的技术特定参数。我们用上标标记变量和参数（例如qA、cA、zA、αA、σA）。假设这些技术是完美的替代品，并且存在固定的外生需求K，这必须通过两种技术的某种生产组合来满足，即存在生产约束K=qA+qB。生产是非负的，所以qA、qB∈ [0，K]，选择Qa也确定qB=K- 质量保证。在下面的优化中，我们使用qA作为控制变量，并根据技术A中总产量的份额，qA/K给出结果。在此期间的总生产成本为V（qA）。这只是单位成本乘以单位生产量dV（qA）=Xi=A，Bciqi的总和，（6），其中随机成本对生产量qi呈非线性变化，如式（3）所示。因此，对于一组固定的已知技术参数{ci，zi，αi，σi}i=a，带总需求K，每种选择的生产qa映射到总成本V的分布。解决这类问题的工具已经很成熟，例如Krey&Riahi（2013）。目标是了解参数和生产选择如何共同产生总系统成本分布，从而确定最佳生产组合。

我们对V进行均值-方差分析，因为它简单、直观，并且清楚地说明了系统的关键特性。Letλ≥ 0为风险规避参数，f为均值-方差目标函数。然后将优化问题最小化：qAf（qA）=E五（qA）+ λVar五（qA）（7） 受制于：qA∈ [0，K]。因此，目标是确定生产组合，在满足生产约束的同时，将预期总生产成本降至最低，再加上一个表征可能结果分布范围的额外术语。风险规避参数λ衡量方差项在f中的贡献，反映出完美替代性假设在该模型中至关重要的程度，在现实中，技术往往不是不断变化的替代品，可能不可能只采用一点不同的技术。事实上，许多技术采用决策完全是二元的，例如选择企业范围的软件系统。这是模型的一个限制，因此应仔细选择应用程序的域。由于自始至终假设需求和总产量相等，因此我们可以互换使用这些术语。假设需求是非弹性的，价格是由竞争决定的（这是能源市场的典型情况）。在这些条件下，成本最小化等同于利润最大化。如前所述，由于经验技术成本噪声冲击很好地符合对数正态分布，因此本文采用了财务文献中的标准结果。特别是，在一个周期设置中使用平均方差决策框架是合理的，因为它提供了所有常用效用函数的良好近似值（滑轮（1981），Kroll等人（1984））。

然而，在多周期环境中（如我们在第6节中所考虑的）效用函数的选择要微妙得多，不同的目标函数可能更可取。决策者倾向于将成本不确定性风险降至最低。在风险中性的情况下（λ=0），方差项的权重为零，因此优化只会发现具有最低预期总成本的生产组合（在这种情况下，只有一种技术）。相反，在高风险厌恶情况下（λ 1） f中的第二项主导了倒立，因此优化可以发现总成本不确定性最低的生产组合，而不管其预期如何。在中间阶段，这两个术语在确定优化结果方面都起着重要作用。使用等式。（4） ，（5）和（6）问题（7）中的目标函数可以明确地写为f（qA）=Xi=A，Bci子字+气αie（σi）/2qi+λci子字+气αiqi！e（σi）e（σi）- 1.. （8） 因此，f只是每种技术的一个基于成本预期的组件和一个基于成本差异的组件的总和；由于技术相关性假设（即ηa和ηBare不相关），协方差项为零。（第3.5节考虑了相关噪声的情况。）这是一个非凸优化问题，因此它可能有多个局部极小值。由于只有一个自由变量qA，所以通过蛮力优化来解决问题相对比较快。通过qA表示最佳值*尽管模型简单，但通过标准分析技术了解其行为的范围相当有限。这是因为产品术语（zi+qi）-目标函数中的αiqii意味着f的差异只会产生越来越多的相似乘积项，这使得只有在少数限制情况下才可能使用最优值或其他系统属性的闭合形式表达式。

因此，我们的大多数结果和分析都基于数值优化（因此进行了广泛检查，以确保它们代表整个参数空间）。2.3技术成熟度和无学习限制2.3.1 Markowitz投资组合考虑标准金融资产的Markowitz投资组合分析主题（Markowitz 1952）。设r=（r，…，rn）t为随机收益向量（可能相关），w=（w，…，wn）t为投资组合权重向量。投资组合收益率分布为V（w）=wTr，在此基础上，以w为控制变量进行均值-方差优化。问题的经典形式是最大化：wf（w）=E[V（w）]- λVar（V（w））（9）受制于：Xj=1，。。。，nwj=1。因为这是一个均值-方差优化，所以它看起来非常类似于我们的技术组合问题（7）。尽管存在一些差异；三个是超级官方的，但一个是基本的。首先，在马科维茨案例中，决策者寻求高预期投资组合回报和低方差，而在技术案例中，他们寻求低预期投资组合成本和低方差，因此（7）和（9）中的方差项存在符号差异。其次，通常允许卖空，因此投资组合权重wjare不限于非负。第三，收益率通常被认为是相关的，人们非常注意理解这些相关性。最后，这两个问题之间的根本区别在于，在马科维茨案例中，资产回报率是纯随机的，因此投资组合权重不会影响资产绩效，而在经验曲线模型中，随机成本明确取决于生产，因此投资组合权重会影响技术绩效。

平均而言，一个人对某项技术的投资越多，其收益就越好；在技术组合模型中存在非线性反馈，但在马科维茨模型中不存在。2.3.2比较金融和技术投资组合为了更好地理解这两种投资组合类型之间的差异，我们使用马科维茨模型的限制版本进行了更准确的比较：无卖空、强制预算、不相关的双资产模型。这与我们在标准金融环境下的技术组合问题直接等价。它消除了上面列出的第二和第三种超官方差异，从而更容易观察反馈效果。假设有两种资产，A和B，具有不相关的正常回报率rA~N（uA，（sA））和rB~ N（uB，（sB））。然后让Qa和qB=（1- qA）是分别投资于A和B的财富比例，qA，qB∈ [0，1]（无卖空条件）。然后，投资组合回报分布为V（qA）=Pi=A，Briqi，目标函数为最大化isf（qA）=E五（qA）- λVar五（qA）（10） =Xi=A，Buiqi- λ四七. （11） 注意，这是投资组合权重qi的二次方。然后回到技术组合问题，考虑到目标函数中需求K和初始累积产量za和zb的作用，一个简单的计算揭示了金融和技术模型之间的联系。观察技术目标函数，等式（8），可以写成f（qA）=Xi=A，Bciqi（1+qizi）αie（σi）/2+λ磁气（1+棋子）αie（σi）e（σi）- 1.. （12） 当qi/zi很小时，我们可以用更简单的形式来近似。如果技术i的最大未来产量远小于其当前累计产量（K zi），然后是qi/zi 1和二项级数表示（1+齐子）-αi=1- αiqizi+αi（αi+1）七子+ . . . （13） 可以使用。