Wright与Markowitz会面：标准投资组合理论在

因此，可能有必要使用启发式参数来指定一组受限的可用投资组合，并直接进行比较。现在，由于投资组合是在情景比较设置中确定的，这就允许对贴现和风险规避的影响进行替代性分析。我们用一个例子来说明这一点，使用了本节前面相同的两周期模型和非对称技术。假设由于额外的系统限制，只有三种方案可用：两个时期都有95%的技术A，两个时期都有50%的技术A，两个时期都有95%的技术Bin。图14显示了三种不同的风险规避制度（λ=0.1、0.5、3.0），在每种制度中，目标函数显示为每种情况下贴现率的函数。这表明贴现率如何影响每个风险规避机制中三种可用情景的偏好顺序。这些图很容易追溯到IG。以上第13条。当风险规避率较低时，两个时期的首选方案均为95%的技术B，用于轻度贴现，但随着贴现率的增加，这变得不那么有利，并且存在一个临界贴现率，高于该临界贴现率，两个时期的首选方案均为95%的技术a。当风险厌恶程度适中时，两个时期都为50%。g、 如果存在大量间歇性可再生技术，则可能还需要大量的储能或其他备份技术，具体取决于每日和季节性需求模式。对于低折扣，所有三种情况在折扣适中时大致相同，而当折扣较高时，两个时期的95%A是首选。当风险厌恶程度较高时，无论贴现率如何，两个时期的技术各占一半都是首选方案。第6.3节中给出的相同论点和解释适用于此处。

很明显，这只是一个程式化的模型，场景有限，但关键是在某些情况下，存在一个临界贴现率，在这种情况下，首选不同的场景。虽然这种结果在确定性情况下是众所周知的，在像这样的低维随机模型中也是微不足道的，但在多技术、多周期的环境中，这种技术可以提供对不同技术场景偏好顺序的基本洞察。7结论在本文中，我们考虑了两种遵循随机经验曲线的技术，并描述了最优投资（或生产）策略的特征。我们使用了一个objectivefunction来解释总投资组合成本和不确定性。最优投资取决于风险规避、初始条件（相对技术成熟度和初始成本）、进度特征（平均进度率和未来冲击的不确定性）和市场规模；在多期情况下，还应考虑贴现率。与经典的马科维茨投资组合相比，在我们的背景下，投资降低了边际成本，创造了越来越大的动机，继续投资于同一期权。但与这些自我强化效应导致完全专业化的确定性情况相反，我们发现，即使一种期权具有更好的内在技术特征，考虑不确定性和风险规避也会促进多元化。因此，我们的结果表明，专业化或多样化的选择如何取决于基础参数和初始条件。至关重要的是，我们发现问题的非线性导致了多个局部最优，因此可以同时存在非常不同的最优投资组合，而全局最优作为参数变化在它们之间瞬间切换。

这意味着在参数空间的关键区域内，其中一个参数的微小变化可能会导致最优投资组合发生非常显著的变化。我们在技术投资组合和金融资产投资组合之间建立了分析联系。内生技术变化的赖特定律模型可以在一系列近似中进行扩展，其领先项与金融资产的马科维茨模型中的领先项等效。只有高阶非线性项才有助于学习反馈，因此马科维茨模型可能被视为技术组合模型的无学习极限。我们还表明，模型中学习反馈的强度取决于一整套模型参数，但尤其取决于技术之前的累积产量和未来总需求水平。因此，每种技术都可能被视为存在于更类似资产和更类似技术的频谱上，具体取决于现有的一组特定参数。我们还考虑了两个时期的情况，并发现在情景比较设置中（即，当比较有限数量的可用投资组合时，就像在高维应用中一样），贴现率起着关键作用。对于给定的风险规避水平，贴现率决定了所引用的可用投资组合。这些发现有助于为理解技术在简单的均值-方差框架中的行为奠定理论基础，并深入了解在不确定的内生技术变革背景下，多重优化是如何产生的。确认该项目主要由新经济合作伙伴支持。该项目还获得了欧盟地平线2020研究与创新计划（Horizon 2020 research and Innovation Program）的资助。

730427（COP21 RIPPLES），以及欧盟第七框架计划（FP7/2007-2013）/第611272号ERC赠款协议（GROWTHCOM）下的欧洲研究理事会。作者感谢所有这些财政支持来源，此外，感谢牛津马丁学院新经济思想研究所的持续支持。我们还要感谢卡梅伦·赫本、亚历克斯·泰特尔博伊姆、托尔斯滕·海因里希、杰西卡·E·特兰西克和贝拉·纳吉的有益评论和讨论。附录A级数展开式（1+x）α的标准Maclaurin级数展开式近似为（1+x）α=∞Xn=0αnxnN | x |<1（23）=1+αx+α（α- 1） 2个！x+α（α- 1） （α- 2） 3个！x+。（24）其中αn是广义二项式系数αn=α（α- 1） 。（α- n+1）n！，α∈ C、 （25）将x设置为qi/zi（qi<zi），将α设置为-α原声1+七子-αi=1- αi七子+α（α+1）七子-α（α+1）（α+2）七子+ . . . . （26）然后从式（12）中，我们得到f=Xi=A，Bciqi1+七子-αie（σi）/2+λ（ciqi）1+七子-2αie（σi）e（σi）- 1.,hencef=Xi=A，Bciqi1- αi七子+α（α+1）七子- . . .!e（σi）/2（27）+λ（ciqi）1.- 2αi七子+ . . .e（σi）e（σi）- 1..因此，如果qi比zi小得多，那么通过丢弃级数展开式中除零阶项以外的所有项而形成的近似将是合理的。这给出了f的最低阶近似值，f≈Xi=A，Bciqie（σi）/2+λ慈济市e（σi）e（σi）- 1., （28）与马科维茨目标函数具有相同的形式，其中cie（σi）/2发挥预期收益的作用和（ci）e（σi）e（σi）- 1.差异的作用。注意，虽然级数展开式（26）在qi<zi的情况下收敛，并且在qi提供的零阶项（即1）的情况下合理地近似 zi，f（式（28））的较低近似值包括丢弃式（27）期望部分中的（qi）ziterm，因此只有在（qi）时才是合理的 zi。

因此，完全优化问题类似马科维茨的正确条件是K zi公司i、 可以类似地计算f的高阶近似值以及相应的有效性条件。参见Kraus&Litzenberger（1976）等，了解有关投资组合选择的更多详细信息，涉及偏好而非偏度。B第3.3B节随附的分析点。1多样化的开始对于一对给定的技术，由于回报增加，风险中性投资组合（λ=0）总是将生产完全集中在一种技术上，而对于风险规避程度较高的技术，投资组合在两种技术上都有所不同。通过计算角点解和内部解的交点，可以通过分析发现这两种制度之间发生过渡（即多元化开始）的风险规避值。这是通过在一阶条件方程（f（qA）=0）中替换相关边界条件（qA=0或qA=K），并求解λ来实现的。例如，考虑当αB≈ 图1中的0.8。对于低风险厌恶，最佳的投资组合是100%技术B，但随着λ的增加，存在一个值λ多元化，此时技术a首先进入投资组合。设置f（0）=0（公式（8）给出f），求解λ得到λ偏差（αB）=cAe（σA）/2- cB公司zBzB+KαBe（σB）/21.-αBKzB+K2K（cB）zBzB+K2αBe（σB）e（σB）- 1.1.-αBKzB+K（29）=EcA（0）- EcB（K）1.-αBKzB+K2KVar（cB（K））1.-αBKzB+K. （30）在该表达式中插入表1中的参数值，并将αB=0.8设置为λ偏差=0.255，这当然与图1一致。注意，该表达式独立于αA，仅在规定的参数空间的特定区域给出了解释（关于多样性），它本身并不确定qA=0是否为全局最小值；必须单独验证。

从100%技术A投资组合开始的多元化开始有一个等效表达式，计算方式完全相同。在为曲面的这两个主要特征建立了解析表达式之后，这只留下了曲面本身的不连续性，我们接下来将考虑这一点。B、 2不连续的位置观察到，在图3中，全局最小值随αB连续变化。这与目标函数的平滑度有关。事实上，全局最小值随所有基础参数不断变化，特别是在图1的整个αB-λ网格上。因此，当从两侧接近时，图1中表面不连续处的f值是相同的，因此我们有f（qA*) = f（K- 质量保证*). 这意味着在不连续性附近，其两侧的投资组合对称，约占50%的生产份额。例如，在图。3和4不连续性两侧（即最佳切换点）的相邻投资组合约为50%，约为20%和80%的股份。此外，如果qA*精确已知（即在小λ、全特化区域，其中qA*= 0或K），thisinsight允许通过分析计算不连续的位置。例如，考虑固定αB=0.65时发生的情况。随着风险规避从零增加，最优投资组合从0%切换到100%技术A。通过求解λ的f（0）=f（K），可以找到发生这种切换的临界值λswitch，从而得出λswitch=cA扎扎+KαAe（σA）/2- cB公司zBzB+KαBe（σB）/2K（cB）zBzB+K2αBe（σB）（e（σB）- （1）- （加利福尼亚州）扎扎+K2αAe（σA）（e（σA）- （1）=E钙（K）- EcB（K）K[Var（cB（K））- Var（cA（K））]。

（31）尽管如此，请注意，该表达式仅在规定的参数空间特定区域给出了解释（不连续的位置），它本身并不确定qA=0，K是否为全局最小值；这必须单独验证。同样的技术也可沿αb轴使用，以计算不连续发生时的αb值，即固定λ。一般来说，这没有初等闭式解，尽管对于特殊情况λ=0：求解αB的f（0）=f（K），λ=0，得到αB开关λ=0=logcAcB公司+（σA）- （σB）+ αAlog扎扎+K日志zBzB+K. （32）插入相关参数，我们在图1中找到αb开关|λ=0=0.596。对于λ的其他值，可通过数值计算得出该解。例如，将λ=0.1和解f（0）=f（K）作为αByields的值αBswitch=0.681，这与图1再次匹配。C类似技术的需求风险面为了与两种不对称技术的情况进行比较（图12），图15显示了图15中两种几乎相同技术的类似面：第3节中两种几乎相同技术的总需求和风险规避变化时技术A产量的最佳份额面，αB=0.65。第3节，αB=0.65（因此技术B的经验指数略高，但噪声方差也略高）。由于这些技术具有类似的特征，在K-λ空间中，很少有完全专业化等时的区域。（尽管K轴标度不同，但其他特征与图12大致匹配，因此比较是正确的。）与图12相比，对于λ高于0.2左右的任何值，最佳混合现在是多样化的（非常小的K除外），并且任何一种技术都是显性的，这取决于K。图。

6正是通过该图的λ=0.25截面，这解释了此处观察到的非常小的“壁架”的近似马科维茨原点。D两阶段目标函数这里我们提供了两阶段目标函数的期望和方差分量的表达式。我们有f（qA，qA）=EV（qA，qA）+ λVarV（qA，qA）, （33）式中，V（qA，qA）=Xt=1,2Xi=A，Be-r（t-1） citqit（34）=Xi=A，Bciqi+e-rciqi（35）是系统当前的总贴现成本，第一期和第二期技术成本由ci=ci给出zz公司αieηiand ci=cizz公司αieηi+ηi（36）。噪声冲击，ηA，ηA~ N（0，（σA））和ηB，ηB~ N（0，（σB）），都是独立的。现在，在单期问题中，技术的独立性意味着Var（V）中没有协方差项，但在这里，即使技术仍然是独立的，每种技术的第二期成本取决于其自身的第一期成本，因此需要考虑非零协方差项。要简化符号，请写入“cit=ci”zzt公司αi（37），使ci=\'cieηi and ci=\'cieηi+ηi.（38）然后需要以下结果：Eheηii=e（σi）/2（39）Eheηi+ηii=e（σi）（40）Vareηi= e（σi）e（σi）- 1.（41）Vareηi+ηi= e2（σi）e2（σi）- 1.（42）Coveηi，eηi+ηi= e3（σi）/2e（σi）- 1.. （43）因此，f的期望分量由[V]=E“Xi=A，Bciqi+E给出-rciqi#（44）=Xi=A，BE慈济市+ Ee-rciqi公司（45）=Xi=A，BEh'ciqieηii+Ehe-r'ciqieηi+ηii（46）=Xi=A，B'ciqie（σi）/2+e-r'ciqie（σi），（47）和方差分量byVar（V）=VarXi=A，Bciqi+e-rciqi！（48）=Xi=A，BVarCI QI+e-rciqi公司（49）=Xi=A，BVar(R)ciqieηi+e-r'ciqieηi+ηi（50）=Xi=A，B\'\'慈琪风险值eηi+e-r'次齐风险值eηi+ηi+ 2e类-r'ci'ciqiqiCoveηi，eηi+ηi（51）=Xi=A，B\'\'慈琪e（σi）e（σi）- 1.+e-r'次齐e2（σi）e2（σi）- 1.+ 2e类-r'ci'ciqiqie3（σi）/2e（σi）- 1.. （52）参考Alberth，S.&Hope，C。

（2007），“具有内生技术变化的气候建模：PAGE2002模型中的随机学习和最佳温室气体减排”，能源政策35（3），1795-1807。Alchian，A.（1963），“机身生产进度曲线的可靠性”，计量经济学31（4），679–693。Almgren，R.&Chriss，N.（2001），“投资组合交易的最佳执行”，风险杂志3，5–40。Arrow，K.J.（1962），“边做边学的经济影响”，《经济研究评论》，第155-173页。Arthur，W.B.（1989），“技术竞争、收益递增和历史事件锁定”，《经济杂志》第116-131页。Atkinson，A.B.和Stiglitz，J.E.（1969），“技术变革的新观点”，《经济杂志》79（315），573-578。Barreto，L.和Kypropos，S.（2004），“自下而上”能源系统ERIS模型中的内生研发和市场经验”，Technovation 24（8），615–629。Boyle，P.、Garlappi，L.、Uppal，R.&Wang，T.（2012），“凯恩斯与马科维茨：熟悉与多样化之间的权衡”，《管理科学》58（2），253–272。Brueckner，J.K.&Raymon，N.（1983），“在做中学到的最佳生产”，《经济动力学与控制杂志》6127-135。Cabral，L.M.和Riordan，M.H.（1994），“学习曲线、市场支配地位和掠夺性定价”，计量经济学：计量经济学学会杂志，第1115-1140页。Cowan，R.（1991），“乌龟和野兔：未知价值技术的选择”，《经济杂志》第801-814页。Criqui，P.、Mima，S.、Menanteau，P.&Kitous，A.（2015），“缓解策略和能源技术学习：用极点模型进行评估”，技术预测和社会变革90119–136。Dasgupta，P.&Stiglitz，J.（1988），“边做边学，市场结构和产业与贸易政策”，牛津经济论文第246-268页。David，P.A。

（1985），《克利奥与奎尔蒂经济学》，美国经济评论75（2），332-337。Della Seta，M.、Gryglewicz，S.和Kort，P.M.（2012），“learningcurve技术的最佳投资”，《经济动力学与控制杂志》36（10），1462-1476。Dutton，J.M.和Thomas，A.（1984），“将进步功能视为管理机会”，管理学院评论9（2），235–247。Edirisinghe，N.C.P.&Patterson，E.I.（2007），“多周期随机投资组合优化：块可分离分解”，《运筹学年鉴》152（1），367–394。G–rleanu，N.&Pedersen，L.H.（2013），“具有可预测回报和交易成本的动态交易”，《金融杂志》68（6），2309–2340。Gritsevskyi，A.&Naki'cenovi'c，N.（2000），“诱导技术变化的不确定性建模”，能源政策28（13），907–921。He，H.&Mamaisky，H.（2005），“具有价格影响的动态交易政策”，《经济动态和控制杂志》29（5），891–930。Kraus，A.和Litzenberger，R.H.（1976），“偏态偏好与风险资产的估值”，《金融杂志》31（4），1085-1100。Krey，V.和Riahi，K.（2013），《能源系统和气候政策不确定性下的风险对冲策略》，斯普林格美国，马萨诸塞州波士顿，第435-474页。Kroll，Y.，Levy，H.和Markowitz，H.M.（1984），“平均方差与直接效用最大化”，《金融杂志》39（1），47-61。Lafond，F.、Bailey，A.G.、Bakker，J.D.、Rebois，D.、Zadourian，R.、McSharry，P.和Farmer，J.D.（2018），“经验曲线预测技术进步的效果如何？制定分布预测、技术预测和社会变化的方法128、104–117。Majd，S.和Pindyck，R.S.（1989），“不确定性下的学习曲线和最优生产”，《兰德经济学杂志》20（3），331-343。Markowitz，H.（1952），“投资组合选择”，金融杂志7（1），77–91。Mazzola，J.B.和McCardle，K.F。