Wright与Markowitz会面：标准投资组合理论在

因此，如果K Zi对于这两种技术，则目标函数可近似为asf（qA）≈Xi=A，Bcie（σi）/2qi+λci公司e（σi）e（σi）- 1.（qi），（14）最优清算问题也是如此，参见Almgren&Chriss（2001）。它不再包括经验指数αi。附录A显示了扩展的详细信息，以及高阶项。除了方差成分的符号差异外，这与马科维茨模型（公式（11））的形式相同，即它是二次生产。在这种限制下，学习不起任何作用，也没有反馈过程可以通过生产影响未来成本（因为这是由更高的订单条款表示的）。因此，类似马科维茨的投资组合问题是赖特定律投资组合问题的极限情况，因为学习效果趋于零。等式（13）表明，对于给定的技术，低学习状态可以以两种方式存在：第一，如果其学习率本质上很小，第二，如果其初始累积产量与总需求相比非常大。后一种情况是有问题的，因为它取决于K，而不仅仅取决于技术本身。在其他条件相同的情况下，询问→ 0技术越来越像标准金融资产，因为噪音越来越主导学习效果。此外，非常成熟的技术在模型中自动拥有类似于标准金融资产的资产（因为根据赖特定律定义，随着成熟度的增加，收益的增量会减少）。注意，该分析依赖于模型参数是静态的假设，例如经验指数是常数，而不取决于K的大小。

在任何实际应用中，这一假设都需要进行适当的调整，事实上，这与单期或多期框架是否更合适的问题密切相关（例如，后者可以允许采用更细粒度的方法来建模技术成熟度）。然而，这里显示的两个投资组合系统之间的简单分析联系值得注意，因为它揭示了投资组合环境中技术成熟度的有趣视角。在任何给定的问题中，每种技术都位于更像技术和更像资产的范围内，这取决于整个参数集。我们使用“类似资产”只是为了表示学习效果相对于噪音可以忽略不计，就像标准金融资产一样。最后，考虑学习和非学习投资组合问题如何在最低阶上进行分析。如附录A所示，f的近似值包括最低阶“学习”项（即-αiqizi）isf（qA）≈Xi=A，Bcie（σi）/21.- αiqiziqi+λci公司e（σi）e（σi）- 1.1.- 2αiqizi（qi）。（15） 因此，学习最直接的效果是线性减少αi中的期望和方差分量，从而使αi越高的技术在优化中表现越好。此外，请注意，虽然对f的zerothorder近似（公式（14））在qA中是二次的，因此总是只有一个最小值，但对f的一阶近似在qA中是三次的，因此在优化范围内可能有两个局部最小值（取决于参数）。因此，引入学习对应于引入目标函数的多重局部最优。注意，由于使用了特定的噪声模型（等式（4）），σiterms仍保留在期望分量中。

它们是固定的，独立于气（确实可以通过不同的噪声选择来避免），所以不要影响论点。3优化结果此处的目标是了解两种竞争技术之间的最优产量分配如何取决于特定的技术学习参数（经验指数α和波动率σ）和初始条件（成本竞争力和累计产量z），在不同的风险规避水平λ下，对于固定需求dk。为此，我们首先保持所有模型参数不变，然后改变技术B经验指数α带风险规避λ。这将生成一个元组网格（αB，λ）。在该网格的每一点上执行优化（7），并绘制优化结果集合，给出技术A的优化生产曲面，作为总生产的份额，qA*/K、 然后，可以针对其他每个技术参数σB、cb和zB重复整个过程。3.1经验指数α的影响我们将初始条件和参数值设置为表1所示的值。这里使用了几乎相同的技术，因为这使我们能够最有效地了解各种不同参数的影响。（第5节考虑了非对称技术。）请注意，总需求是每项技术初始累积产量的两倍。因此，这些技术相对来说是不成熟的，因为相对于过去发生的事情，还有很多学习的潜力。如上所示，这是必要的，因为如果这两种技术都足够成熟，就会出现一种近乎马科维茨的情况。图1显示了最佳技术A生产份额qA的表面*/K、 在α带λ值网格上。

这表明了风险厌恶和相对经验如何影响最优投资组合的构成。符号说明Tech A Tech BZ技术成熟度1初始成本2α经验指数0.5[0-1]σ技术波动率1.0 1.1K需求2λ风险规避[0-1]表1：两种几乎相同的技术情况下的参数值，如图1所示：技术A中的最佳产量表面占总产量的份额。这表明最优投资组合如何随风险规避λ和技术B经验指数αB（αA固定为0.5）而变化。红色区域对应于较高产量的技术A是最佳的，蓝色区域对应于较高产量的技术B是最佳的。低风险厌恶导致更专业的投资组合和更高的参数敏感性（由表面不连续性表示），而高风险厌恶导致更大的多样性和更低的参数敏感性。参数值如表1所示。当风险厌恶度较低时，最佳策略是将生产完全集中在A或B（暗红色和蓝色高原地区），具体取决于相对经验指数。当风险规避程度较高时，这两种技术的投资组合会有所不同。这与对确定性经验曲线（其中专业化始终是最优的）和标准投资组合理论（其中多元化降低了投资组合风险）的一般理解是一致的。然而，这些制度之间过渡的性质取决于模型参数，这是一个非常有趣的问题。对于低至中度风险厌恶，表面存在不连续性，表明对模型参数极端敏感的区域。在这一地区，经验指数或风险厌恶的增量变化可能导致最优投资组合的巨大变化。

相比之下，对于高风险厌恶，表面是光滑的，因此最优投资组合对参数的微小变化具有鲁棒性。正如我们将看到的（第3.3.2节），这是由于目标函数在低风险厌恶状态下存在多个局部极小值，而在高风险厌恶状态下存在单个全局极小值。在λ=0边界上，方差项在优化中不起作用，因此生产集中在具有最佳预期结果的技术中。随着风险规避增加，达到0.2左右，噪声方差的不对称性变得明显，从100%A切换到100%B的阈值逐渐转移到更大的αB值。更高经验指数技术（该地区的B）的参考值根据资产B的预期回报uB0.00.20.40.60.81.0风险规避λ0.00.20.40.60.81.0资产A股qA0.00.20.40.60.81.0进行交易。图2：图1所示的技术投资组合表面的Markowitz投资组合模拟。这是不同风险规避值和资产B预期收益的资产A最佳投资份额的表面。与以前一样，投资组合在高风险规避方面更加多样化，在低风险规避方面更加专业化，并且仍然存在完全专业化的区域，其中一种技术的表现优于另一种技术。然而，与技术相比，表面是连续的λ>0，由于目标函数的凸性。针对低噪声技术（a）的偏好，因为优化会惩罚更大的噪声方差。随着风险厌恶情绪的增加，进一步的投资组合变得越来越平衡。当曲面的两个局部最优值彼此接近一个公共值时，曲面的不连续性变得不那么明显。最终，不连续性消失，随后存在一个稳定的全局最优解。

（在模型中，只有λ=0是严格的边界，并且曲面在所示边界之外的其他方向上延伸。）因此，一些技术和风险偏好的组合比其他组合更为稳健：在某些地区，解决方案对基础参数的变化并不特别敏感，而在其他地区，则极其敏感。在不稳定区域，参数估计错误可能导致选择的技术组合与真正的最佳组合相差甚远。3.2与Markowitz-Portfoliost的比较为了说明技术组合中的非线性如何影响相对于金融资产情况的优化结果，我们绘制了等效Markowitz系统的最优portfolioweights对应曲面，公式（10）。将式（11）中的模型参数设置为uA=0.5、sA=1.0、sB=1.1，图2显示了不同资产B预期收益uB和风险规避λ的最优agrid曲面。通常的模式是：投资组合更加多样化，风险厌恶程度更高，而更专门化，风险厌恶程度更低。当一种资产的表现优于另一种资产时，就会出现完全专业化，再次出现深红色和蓝色高原区域。然而，关键的区别是，现在表面到处都是连续的，除了λ=0边界上的一个点，其中uA=uB。没有风险规避的正值，在该值下，投资组合从一种状态瞬时转移到另一种状态；投资组合随着风险规避和模型参数的变化而不断变化。这是因为马科维茨问题是凸的。

如果f中没有Wright定律的非线性，投资组合就不存在随参数变化而即时切换的多个局部极小值，也不存在参数空间的henceno不稳定区域。3.3分析接下来，我们提供一些分析观察结果，有助于理解图1.3.3.1角点和内部解中问题的特征和曲面的形状，因为优化域是有界的（qA∈ [0，K]），解决方案是cornersolutions或interior solutions。角落解决方案（qA*= 0或K）满足f（qA*) 6=0几乎在参数空间中的任何位置，而内部解决方案（qA*∈ （0，K））始终满足f（qA*) = 角点溶液与qA形成深红色水平平台*= 图1左侧的K和带有qA的深蓝色水平地板部分*= 图的前面为0（加上图2上的等效面积）。曲面的所有其他点都是内部解决方案，在这些点上，最优投资组合是不同的。3.3.2目标函数的局部和全局最小值模型中的非线性产生了有趣的行为，因为在某些参数空间区域，目标函数具有多个局部最优值。图3显示了目标函数如何沿参数空间中的一条特定直线变化：风险规避固定在λ=0.25，技术B经验指数变化（因此这对应于图1中的一段）。绘制了三个不同αB值的目标函数，显示了不同的局部极小值是如何出现和消失的。当αb变大时，全局最小值从一个局部最小值切换到另一个局部最小值，同时存在几乎相等的目标值的非常不同的投资组合。当表面不连续时，如图。

1穿过全局最小值开关，从一个局部最小值切换到另一个局部最小值。这意味着参数估计错误可能导致投资组合与所选择的正确最优投资组合显著不同。图4绘制了不同optima相对于αB的位置。这表明，如果αBis的测量值为0.7±0.02，那么最佳产量份额大致为20:80，但根据真实值的不同，任何一种技术都可能是主导技术。最后，由于图4只是图1中λ=0.25的部分，很明显，如果所有的最优值都绘制在图1上，而不仅仅是全局最小值，那么曲面将在自身下方折叠，平滑地连接不连续的上边缘和下边缘。这种几何结构在尖点突变分岔中是众所周知的（参见塞曼（1976），波斯顿和斯图尔特（2014））。虽然我们的设置有所不同，但由于这里的参数不是动态的，因此相似之处值得注意；两者都涉及绘制基础非线性系统的零点，从而产生一个多值曲面，表示0.0 0.20.40.6 0.8 1.0技术a生产份额qA/K9.79.89.910.0f（qA，αB）αB=0.70αB=0.71αB=0.72图3：三个不同技术B经验指数的目标函数（通过在此处编写αBas f参数来强调）。最小值显示为红色，风险规避系数λ=0.25，所有其他参数与之前相同。对于较小的αB，这里有一个单一的内部局部最小值，生产主要集中在a中。当α增加时，会出现第二个局部最小值，然后成为全局最小值，生产转换为主要集中在B中。这是图。

1是交叉的-目标价值大致相等的高度差异化投资组合同时存在。0.680.70 0.720.740.76 0.780.80 0.82技术B经验指数αB0.00.20.40.60.81.0技术A生产份额qA/K优化边界内局部最小值或局部最大值全局最小值图4：与toFig相对应的变化αB的目标函数最优值的位置。这是图1中λ=0.25的截面。明显的局部极小值出现和消失为αb值。临界值αB开关≈ 0.71全局最优在两个极小值之间即时切换。图5：最佳技术A生产份额的表面，类似于图1，但对于可变风险规避λ和技术B参数σB、cB、zB。替代稳定状态。附录B描述了可通过分析得出的系统的一些基本特性。3.3.3其他技术参数c的影响，四个技术参数对{ci，zi，αi，σi}i=A，B，到目前为止，我们只研究了：经验指数αi。为此，我们保持所有参数不变，包括αA，然后在变化α带λ值的网格上解决优化问题。为了研究其他三个参数对，对它们中的每一个重复相同的过程。图5显示了结果，αB=0.65，所有其他固定参数设置为表1中的值。曲线图与图1相反，因为虽然αi的高值对应于模型中更好的性能，但其他参数则相反（例如σi的高值受到的惩罚更大）。因此，我们可以看到，所有技术参数都会产生与经验指数相同的效果，每对参数都有自己不同的稳定和不稳定区域。通过考虑图。

3-在参数空间的任何一点上，objectivefunction是一条类似于这些的曲线，扰动任何一个基础参数都会导致曲线及其最优值发生类似的平滑变化，就像它对αi所做的一样。模型中唯一剩下的参数是需求K，我们接下来将研究它。3.4总需求的影响；需求驱动锁定在目前使用的示例系统中，总需求K是两种技术初始累积产量的两倍（K=2zA=2zB）。因此，学习的潜力很大，该模型的表现与马科维茨案例非常不同。我们现在考虑这种行为如何随着需求的变化而变化。直观地说，我们预计，在allelse相等的情况下，K越大，积累经验的潜力就越大，因此投资组合将越集中于一种技术。我们证明了我们的模型产生了这种行为，并详细展示了从小K、低学习状态到大K、高学习状态的过渡。在图6中，技术A经验指数仍然固定在αA=0.5，而不是在我们也固定它之前改变αBas，而是在αB=0.65和变化K。风险规避固定在λ=0.25，其他参数如表1所示（因此技术B的进展速度比A快，但噪音仍然略大）。该图显示了目标函数的局部和全局最优值如何随K变化，而所有其他参数都是held0 246 8 10 12总产量K0.00.20.40.60.81.0技术A生产份额qA/KOOptimization界限内部局部最小值或局部最大值全局最小值Arkowitz近似最小值图6：显示目标函数的最优值如何随总产量K变化的图。还显示了f的马科维茨近似最小值（公式14），以供比较。