Wright与Markowitz会面：标准投资组合理论在

当K从大约0变为1时，系统将从类似马科维茨的低学习区域过渡到类似技术的学习区域。当需求较小时（大约K<4），更确定、进展较慢的技术A（αA=0.5）占据投资组合的主导地位，但当需求较高时，有足够的发展空间，使得噪音较大、进展较快的技术B（αB=0.65）成为最佳。当全局最优值在目标值相等的不同局部极小值之间切换时，这些状态之间的转换是瞬时的。风险规避固定在λ=0.25，其他参数值如表1所示。常数-与图4类似，但K为自变量。除了f的最大值和最小值外，该图还显示了f的马科维茨近似值的最小值，以供比较。随着需求的变化，我们再次观察到投资组合状态之间的瞬时切换。当K从大约0变为1时，技术A在最佳投资组合中所占的份额（黑线虚线）最初急剧下降，然后逆转方向并再次增加，这是由于学习潜力的增加。在这里，技术从更“类似资产”的方式转变为更“类似技术”的方式，因为f级数展开中的更多高阶项开始产生影响（见等式（15））。事实上，对于非常小的K，f的最小值和f的马科维茨近似值的最小值（即黑色和黄色虚线），技术的解决方案与金融资产的解决方案几乎相同。

但随着K的增加，由于f中非线性的影响越来越大，两条曲线会出现分歧，最终导致当K刚刚超过3时出现第二个最小值。当K大约在1到4之间时，尽管技术B具有较大的经验指数，但需求仍然太低，无法在其经验曲线上取得足够的进展，从而超过其较高的可变性，因此技术a占据主导地位。但当扭结增加时，会超过一个阈值（K≈ 4） ，生产突然转向B。因此，我们观察到一种需求驱动的技术锁定解锁，即如果只考虑少量的未来需求，那么继续投资于进展较慢、不确定程度较低的技术是最佳的，但如果市场规模足够大，那么现在转向噪音较大、进展较快的技术是最佳的。0.0 0.20.40.6 0.8 1.0技术A生产份额qA/K9.69.810.010.2f（qA，ρ）ρ=-0.1ρ=0.0ρ=0.1图7：噪声相关性ρ的三个不同值的目标函数。最小值显示为红色，风险规避固定为λ=0.25，技术B经验指数为αB=0.7，所有其他参数与之前相同。ρ=0线对应于图3中的αB=0.7线。相关性越大，投资组合越专业，反之亦然。3.5相关噪声在实际条件下，冲击η影响不同技术的冲击并非独立的。例如，这可能是由于相同的创新影响了两种技术，降低了成本。为了研究这种情况下优化是如何变化的，我们假设ηa和ηBisρ之间的相关性。然后Var中的协方差项五（qA）为非零，因此term2λqAqBcAzAzA+qAαAe（σA）/2cBzBzB+qBαBe（σB）/2（eρσAσB- 1） （16）必须添加到目标函数（等式（8））。图7显示了ρ的三个不同值的目标函数。

技术B经验指数固定为αB=0.7，所有其他参数与之前相同，允许与图直接比较。3、显然，增加技术成本之间的相关性的效果是降低多元化的效益；i、 e.对于固定风险厌恶，相关性增加会导致更专业的投资组合，相关性降低会导致更多样化的投资组合。实际上，在这个例子中，反相关（ρ=-0.1）导致f变得凸出，因此具有唯一的最小值。（这可以通过增加λ来实现。）图1也可以使用该版本的f（包括相关项）重新创建，并且观察到相同的影响。这是单期投资组合中的标准行为，不会影响我们的主要发现，因此我们继续只考虑不相关的噪声。4高效前沿技术组合也可以在高效前沿框架中查看。这项技术在投资组合理论中很有名，涉及到将每个投资组合标绘为预期收益/方差空间中的一个点。我们首先描述了前面介绍的受限马科维茨问题的方法，然后展示了它如何应用于技术（注意，我们只考虑无风险资产的情况。）4.1金融资产在上文定义的马科维茨系统（等式（10））中，有两种资产，收益分布已知。资产A的投资组合权重qA是单个自由控制变量。每个qA∈ [0，1]描述了一个独特的投资组合，由于Qa0到1的变化，所有可行的投资组合都是跨范围的。对于给定的风险厌恶值，这些投资组合中只有一个是等时的。每个投资组合都有一个回报分布V（qA），即预期和方差，可用于绘制代表投资组合的预期方差空间中的一个点。

这给出了著名的马科维茨图：x轴是PortfolioVencence，Var五（qA）, y轴是预期收益，E五（qA）. 当Qa从0到1变化时，可行的投资组合集是在这些轴上绘制的曲线。图8显示了固定参数uA=0.5、uB=0.65、sA=1.0和SB=1.1的两种资产的可行集（参见第3.2节）。这条水平抛物线被称为马科维茨子弹。颜色方案与之前相同（参见图2），因此深红色对应100%资产A，深蓝色对应100%资产B。根据f（等式（10））的定义，我们得到了E[V]=f（V）+λVar（V），因此在这些轴上，对于任何风险规避的固定值，f的等值线（即f的水平集）只是梯度λ的直线。位于给定等值线上（即与可行集的交点）的每个投资组合的f值由y轴截距给出。然后，因为我们想在这个问题中使f最大化，所以这个λ的最优投资组合是可行集和梯度λ的等值线的唯一交点，具有最高的轴截距。效率边界定义为对λ的某个值而言是最优的所有投资组合的集合。因此，由于λ∈ [0，∞), 这里的有效边界是图中左上象限最远的可行集部分。这些要素都如图8.4.2技术所示。与马科维茨模型相比，在技术模型中，我们希望最小化方差和预期成本，因此目标函数方差部分的符号是颠倒的。因此，f的等值线现在是向下倾斜的直线，具有梯度-λ∈ (-∞, 0）。

由于较低的f现在更好了，最优组合是可行集与y轴截距最小的等值线的交点。因此，有效边界由最靠近图表左下象限的可行集部分组成。我们首先绘制了两种技术在低学习状态下的期望方差图，然后绘制了两种技术在高学习状态下的期望方差图，从而证明了Markowitz模型和技术模型之间的这些差异。这些如图所示。9和10，与图8类似。在图9中，技术B的经验指数αB=0.65，其他参数如表1所示，但需求除外，其设置为K=0.1。图8：马科维茨系统方程（10）的可行投资组合集，其中uA=0.5，uB=0.65，sA=1.0，sB=1.1。这是投资组合的轨迹，因为资产A在投资组合中的比例从0%（深蓝色，qA=0）到100%（深红色，qA=1）不等。为了说明风险规避和最优性在几何上的关系，绘制了风险规避λ=0.25的f等值线。与可行集相切点处的黑点是该λ的唯一最优投资组合。另外两个黑点代表两个完整的专业化组合。图9：两种技术在低学习状态下的可行组合。这是投资组合的路径，即从0%（深蓝色，qA=0）到100%（深红色，qA=K）的投资组合中技术A产量的比例。这里的技术有αA=0.5，αB=0.65，其他参数如表1所示，但需求除外，其设置为K=0.1。这严重限制了学习的潜力，因此问题接近Markowitz，因此可行集几乎是抛物线。

f的等值线现在向下倾斜，有效边界是可行集的最左下部分。绘制了与风险规避λ=0.25相对应的等值线。与可行集相切点处的黑点是该λ的唯一最优投资组合。图10：类似于图9的技术的可行投资组合集，但demandnow设置为更高的值K=2。这些技术不再处于低学习状态，非线性反馈导致可行集被拉伸和倾斜。绘制了四个风险规避值的等值线，显示了可行集的变换几何体如何导致效率边界现在由两个断开的组件组成。存在一个风险规避临界值（0.02<λ开关<0.1），在该临界值下，同时存在两个最优投资组合（100%技术a和100%技术B）。这就是期望方差空间中瞬时最优切换的表现形式。以这种方式限制生产，学习效果非常小，因此我们处于近似马科维茨状态，因此可行集几乎是抛物线。该图清楚地表明，与马科维茨问题相比，技术问题中的有效前沿和等值线是如何不同的（图8）。在图10中，所有参数与图9相同，但需求除外，它现在返回到表1中的值，K=2，因此技术不再处于低学习状态。正如这些图所示，技术和金融资产在该框架中的表现方式有两个显著差异。首先，对于技术而言，可行集是存在和延伸的。这是因为目标函数在portfolioweights中是高度非线性的，而不仅仅是二次函数。其次，作为这一结果的直接结果，有效前沿现在可能会被分成两个不相连的部分。这是图中的情况。

10，其中有效前沿包括左侧的红色长段（主要是技术A）和右侧的孤立终点（100%技术B）。效率边界的这种分裂是如何在期望方差空间中体现瞬时最优切换的：当风险厌恶从λ=0变为∞ 最优投资组合从一端到另一端跨越有效边界，在临界值λ=λ开关处从一个组件跳到另一个组件。在不连续点f有两个不同的等价极小值，并且有两个最优投资组合，它们都位于梯度的同一等值线上-λ开关。在这种情况下，这些是100%A和100%B投资组合。注意，由于图10中的αB=0.65，因此所示的有效边界对应于图1中穿过表面的αB=0.65截面。因此，最优投资组合风险规避的变化可以在两张图上等价地追踪出来。附录B.2给出了λ开关的闭合表达式。在期望方差框架中观察问题表明，最优的等值技术投资组合可以同时共存（不同于金融投资组合）。类似的价值组合可能有较大的期望值和较小的方差，或者相反，或者介于两者之间。由于可行集不再是抛物线（由于赖特定律的非线性），在最佳等值线附近可能会有许多非常不同的投资组合。例如，在图。

10技术A（红色）约占60-90%的所有投资组合都非常接近最佳λ=0.25等值线，因为可行集在这里的曲率非常低。这暗示了我们期望在多技术模型中看到的行为。不断增长的回报动态允许通过多种不同的方式，利用各种技术的期望和差异的不同组合，生成具有相同价值的投资组合。这将导致具有许多局部极小值的高度非凸优化问题。4.3需求对有效前沿图的影响。11更详细地显示了总需求对可行集和最优投资组合的影响。这些技术是固定的，与图中的相同。9和10。K是唯一变化的参数。尽管每个地块中轴线上的比例不同，但它们之间的比例是恒定的。实际上，虚线都有梯度λ=-0.25；它们是对应于λ=0.25的最优投资组合的等值线。当K很小时，学习的潜力很小，因此这些技术表现为“类似资产”的方式，可行集几乎是抛物线马科维茨子弹。Heretechnology A（红色）在所有风险规避价值的最优投资组合中占据主导地位。随着K的增加，学习的潜力增加，因此f中的非线性开始有图11：αA=0.5，αB=0.65和变化K的可行投资组合，其他参数如前所述固定（表1）。同样，深蓝色对应于0%的技术A（qA=0），深色对应于100%（qA=K）。虚线是f的λ=0.25等值线，黑点是这种风险规避的最佳组合。为清晰起见，省略了轴刻度（每个图的轴刻度不同）。

这些图显示了当K较小时，问题如何从类似马科维茨的低学习状态过渡到当K较大时的高度非线性高学习状态。影响和可行集开始扭曲。在K=1左右时，蓝色的臂降到红色的臂下，将效率边界一分为二，这表明首次出现了两个同等价值的投资组合。此处为λ≤ λ开关100%技术B（蓝色）是最佳的，但对于λ≥ λ开关技术A（红色）占主导地位。在大约k=4时，两臂交叉和可行集的大部分非常接近λ=0.25等值线。因此，在这种情况下，有许多不同的近乎最优的投资组合。在这一点之后，可行集的两臂完全交叉，因此技术b对所有风险规避值都是主导的。随着K变得非常大（>10），学习的潜力非常大，几乎完全专业化最快的学习技术（B）对于所有级别的风险规避来说都是最佳的。图11可以与图6联系起来（尽管注意，沿可行集的距离增量与qA/K中的增量并不线性对应）。显然，该分析依赖于噪声与总产量K无关的假设，因此，可以在不影响冲击大小的情况下进行更多的生产和学习。5非对称技术和逃逸锁到目前为止，本文的重点是两种几乎对称的技术，研究当一个参数改变时，当所有其他参数保持不变时，最优投资组合的行为。我们现在考虑一个更现实和有趣的例子，在这个例子中，麻醉技术受到了新来者的挑战。假设在这样的环境中，成熟、缓慢的acheap学习技术A受到昂贵、年轻、快速的learningtechnology B的挑战。

表2显示了此处使用的参数值。符号说明Tech A Tech BZ技术成熟度100 1初始成本1 2α经验指数0.15 0.2σ技术波动率0.1 0.1K需求【0-100】λ风险规避【0-1.2】表2：年轻昂贵技术与低价技术竞争情况下的参数值。这种情况的极限情况是，一种技术是“安全”技术，成本不变（αa=σa=0）。然后，在几乎马科维茨政权（K zB），目标函数减少了tof≈ 加利福尼亚州K- qB级+ cBe（σB）/2qB+λcB公司e（σB）e（σB）- 1.（qB）（17）（参见等式（14））。这是一条最小Qb的凸抛物线*=加利福尼亚州- cBe（σB）/22λcB公司e（σB）e（σB）- 1., （18） 安全和新技术之间的最佳解决方案差异的条件是0<qB*< K、 这类似于具有安全资产和风险集合的马科维茨投资组合问题。然而，在这种低学习率的制度之外，安全技术的简化并不会提高分析的可处理性，因此数值解方法仍然适用。图12：在不同需求K和风险规避λ的情况下，与挑战者技术B（蓝色）竞争时，现有技术A（红色）的最佳产量份额。参数值如表2所示。技术A具有强大的初始成本优势，因此当需求较低（因此学习潜力较低）时，对于所示的所有风险规避值，完全专注于inA是最佳选择。随着需求的增加，学习的潜力也在增加，为了开发更快的学习挑战者，全局优化将切换到新的局部最小值，其中技术B占主导地位。重复第3.4节的需求驱动锁定分析，图12显示了总需求和风险规避轴上的最优投资组合曲面。