Wright与Markowitz会面：标准投资组合理论在

技术A的初始成本优势如此强大，以至于需要至少20倍于技术B初始累积产量的需求，以防止A完全专业化，即使是对于高风险规避。随着需求的增加，我们观察到了熟悉的最佳切换，再次证明了预期未来需求在确定最佳生产组合中的作用是多么重要。在这种情况下，K-λ参数空间分为三个定性不同的区域：i）对于低K，100%技术A是最优的，ii）对于高K但低风险规避，100%技术B是最优的，以及iii）对于高K和至少中等风险规避，技术A的最佳比例约为0-40%。这样的结果在应用程序中可能非常有用，其中的关键挑战通常是简化决策空间的维数。对于较大的K，λ处的表面存在质的变化≈ 0.4。此处，目标函数的全局最优值从优化范围的边界移动到内部（发生此转换的λ值可在附录B.1中的分析中找到）。这类似于图。

3，当α从0.71增加到0.72，比如0.9（未显示），全局最小值向边界移动，然后粘在边界上（事实上，R上的函数最小值继续在优化范围之外移动，但这不是有效的解决方案）。为了进行比较，附录C显示了第3节中两种几乎相同的技术的相同需求风险面。为了总结模型的行为，请注意每个参数需要朝哪个方向移动，以摆脱对现有技术的锁定。在所有条件相同的情况下，避免锁定技术A需要：降低B成熟度、降低B初始成本、增加B经验指数、降低B波动性、增加需求K或增加风险规避λ。6两个周期模型在分析了最简单的单周期情况下的模型后，我们现在考虑将其扩展到两个周期。这使我们能够引入折扣并研究其对最佳生产时间的影响。这与经验曲线尤其相关，因为它们简化了现在投资以释放未来收益的概念，因此当前和未来收益的相对价值至关重要。考虑到目前对技术现状及其在各种投资情景下的可能发展的了解，转向多期设置允许我们调查我们现在或将来（或两者都不）计划投资一项技术的条件。我们简要讨论了我们方法的一些特点和局限性。我们考虑的扩展是静态的，从这个意义上讲，模型以目标函数定义的最佳方式为未来所有时期安排生产。这种静态分析依赖于当前对技术参数的估计，这些估计是基于相关技术的经验数据进行的。

但随着时间的推移，我们观察到噪音的存在，从而获得有关技术成本和参数的新信息。因此，在未来执行相同的优化过程可能会产生不同的结果，并且我们面临时间不一致的可能性。这是静态模型的一个限制。然而，为了支持静态方法，请注意，对于技术而言，投资组合调整成本可能非常高，这可能会导致对未来时期的高水平承诺。在该模型中，技术进步仅通过随机经验曲线机制发生，不存在外生的进步趋势。这是因为我们选择了零平均噪声η~ N（0，σ），我们之所以使用它，是因为它与Bylfond等人（2018）经验测试的模型非常接近。通过使用非零均值的正态噪声，可以建模一种外生的进展趋势。对于η~ N（u，σ），标准对数正态分布的期望值为eu+σ/2，因此如果u<-σ/2则在零生产条件下，一项技术的预期成本实际上可以在两个时期之间降低（参见等式（4））。这在多周期设置中尤其重要（尽管它也适用于单周期情况）。如果一项技术最初非常昂贵，而u非常负，那么等待技术改进可能确实是一种可行的策略。然而，在等待预期改善的同时，成本差异可能变得不太有利（相对于其他技术），抵消了目标函数中的任何好处。即使在标准财务回报的情况下，动态均值-方差投资组合问题也很难解决，参见g–rleanu&Pedersen（2013）。在我们的案例中，成本的非线性和时间依赖性增加了复杂性。

解决这个问题的一种方法是将决策空间和随机事件空间离散化，然后对生成的“场景树”应用反向归纳。参见Edirisinghe&Patterson（2007），了解该方法在标准均值方差投资组合问题中的应用。然而，即使是粗略的离散化，生成的树也会快速增长。因此，我们在这里不进行这种分析，而是将其留给未来的研究。通常，增加一种技术的经验是以牺牲另一种技术为代价的，如果在一种技术中“延迟生产”是最佳的，那么这只是由于目标函数中所有模型参数的复杂相互作用，而不是因为某项技术中的一些简单背景改进。这里我们继续使用零均值噪声。为了简单起见，就像在一个时期的案例中一样，我们使用技术生产，而不是投资，作为经验的代表。在单期情况下，这种区别并不显著，但考虑多期时，由于资本折旧，这种区别是显著的。因此，我们的多周期框架不模拟投资策略，只模拟生产策略。正确处理投资需要对生产和投资之间的关系进行建模，这需要至少一个额外的参数来表示折旧。我们不想让模型进一步复杂化，而只是考虑生产，同时强调这种差异。6.1优化我们使用与之前相同的第一个差异Wright定律模型（公式（2）），下标Snow表示不同的周期，单独的噪声冲击影响每个周期：log（cit）- 日志（cit-1） =-αi原木（zit）- 原木（zit-（1）+ ηit，i=A，B，t=1，2。

（19） 每项技术的产量都以明显的方式累积：zit=zi+Ptk=1qik。我们保留以下假设：每种技术都有其特定的噪声分布ηi~ N（0，（σi）），现在假设在每个周期中都有一个新的分布，ηit。为简单起见，我们假设冲击在时间和技术上都是不相关的（尽管明显相关的噪声可能在多周期环境中发挥重要作用）。第二阶段的平均单位成本由以下公式得出：ci=cizz公司αieηi=cizz公司αieηi+ηi.（20）这清楚地表明了连续冲击如何影响两个时期的成本：根据赖特定律，从一个时期到另一个时期的成本下降，但周期性冲击累积，可能会导致成本远离确定性经验曲线趋势。与标准经验曲线实施相比，这有一个优势，即从长远来看，由于经验的影响，成本不一定会下降，相反，它承认不确定的外部事件可能占主导地位。虽然在此设置中可以允许任何参数在不同时期内发生变化（例如，经验指数、噪声分布），但为了简单明了，我们将其全部固定。总产量设置为每个周期K，因此现在有两个生产约束：对于t=1，2，qAt+qBt=K。做出上述选择是因为模型很快变得笨拙，因此最好使用最简单的公式来捕获感兴趣的关键特性。我们用贴现率r实现指数贴现，并考虑整个系统的当前贴现成本：V（qA，qA）=Xt=1,2Xi=A，Be-r（t-1） 城市。（21）与一个时期的总成本（等式（6））相比，这现在是两个时期的生产函数。我们使用与之前相同的均值-方差目标函数，其详细信息见附录D。

优化问题是最小化的：qA，qAf（qA，qA）=EV（qA，qA）+ λVarV（qA，qA）（22）根据：qA∈ [0，K]，qA∈ [0，K]。6.2结果为了说明折现率r和风险规避λ如何在这两个时期内影响最优生产，我们确定了所有其他技术参数和生产约束，然后绘制了一系列r-λ对的目标函数。由于f现在是两个控制变量qA和qA的函数，我们将其值绘制为这些轴上的等高线/热图。图13显示了九对低、中、高贴现率和风险规避的结果：r=0.1、1.0、3.0、λ=0.1、0.5、3.0。这里使用的两种技术与第5节（表2）中的不对称情况相同，总产量KI设置为每个周期30个单位，因为这允许结果直接与图12中的一个周期情况相关。（此处显示的是单位产量，而不是百分比，以便于比较。）深蓝色对应较低的f值，深红色对应较高的值，尽管每个图的比例不同。同样通过蛮力优化获得的全局最小值显示为一个黑点（尽管这有时会形成几乎相同值谷的一部分）。6.3讨论我们观察到与单周期情况相同的现象：针对低风险厌恶的高度专业化解决方案（由于确定性学习反馈），针对高风险厌恶的更大差异（由于f中方差项的抵消效应），目标函数的多重优化，以及全局最优参数的不连续性。首先要注意的是，随着贴现率的增加，两个周期的问题变成了一个周期的问题。r=3.0列中的曲线图在Qa方向上几乎是一致的，因为第二阶段的成本被严重贴现，因此第二阶段生产的选择与f几乎没有差别。

这里的全局最优值对应于图12相关点所示的全局最优值。为了观察多个最优值的存在和全局最小值的瞬时切换，请考虑图13顶部和中间行最左侧的两个图。在顶行（λ=0.1）中，两个图由同心椭圆形等值线组成，最大偏移位于其中心。所有四个角都是局部极小值，反映出确定性经验曲线设置中的强烈反馈根本不鼓励任何多元化。如前所述，在多周期设置中，目标函数的选择比在单个周期中更微妙和重要；我们将此考虑留作将来的研究。选择这些值仅用于说明目的，以便清楚地显示各种特征。然而，为了证明这些贴现率的合理性，有必要考虑一个时期的长度约为30-40年。这可能是由能源部门的长远发展所推动的；例如，火力发电厂的设计寿命为30至40年。0 10 20 300102030qA2r=0.1λ=0.10 10 20 300102030r=1.00 10 20 300102030r=3.00 10 20 300102030qA2λ=0.50 10 20 3001020300 10 20 3001020300 20 30QA1010203QA2λ=3.00 10 20 30QA10102030 10 20 30QA10102030图13：显示一系列风险规避和贴现值的两个时期目标函数值的热图，作为技术领域第一和第二阶段生产的函数（qA，qA）。蓝色对应较低的f值，红色对应较高的值，全局最优值显示为黑点。这里使用的技术是第5节中的不对称技术：A是一种更便宜、成熟、现有的技术，B是一种年轻、快速学习的挑战者。当r从0.1变为1.0时，全局最优值从（0，0）切换到（30，30）（类似于图3）。

这是因为，当第二阶段成本仅作弱折扣时，technologyB较高的经验指数有可能产生足够低的预期第二阶段成本，值得在第一阶段将生产集中在B，然后在第二阶段收获回报。但当第二阶段的成本被适度地扣除时，这第二阶段的“回报”在f中的总价值较低，因此在任何一个阶段生产任何技术B都是不值得的。（这只是贴现的标准确定性经验曲线行为。）在中间一行（λ=0.5），我们再次观察到最佳切换行为，但情况更加微妙。f现在是一个马鞍，相反的角形成不同的极小值和极大值，作为f贡献的不同期望和方差分量，并以复杂的方式相互作用。然而，与第一行相比，这些地块的中心区域通常不那么吸引人，因为风险规避允许更多的平衡投资组合。当r从0.1到1.0变化时，全局最优值从（0，23）左右切换到（30，0）。当贴现非常弱时，最优策略再次是最初集中于技术B的生产，以降低成本，但随后在第二阶段略微多样化，以降低差异。当贴现适度时，技术B的预期成本降低值不足以覆盖A的初始成本优势，因此第一阶段的生产集中在A。然而，第二阶段的生产转向完全集中在技术B。这可能是由于f中的协方差项（见等式。

（52））包含产品qAqA，因此将其中一个项设置为零有好处，在这种特殊情况下，影响足够大，可以产生所示的bang-bang解决方案。然而，由于f的所有10个组成部分（见附录D）都是在这种适度风险规避/适度贴现制度下相互交易的，因此任何特定影响的相对大小都不清楚（无需进一步分析）。最后，在最底层（λ=3.0），风险厌恶情绪强烈，因此多元化是最佳的。解决方案空间的整个区域产生相同或相似的f值。这是因为，正如在一个周期的情况下，预期的进度与该进度的确定性进行了交换，并且相同的目标函数值可以通过许多不同的第一和第二周期生产组合来实现。正如在单周期问题中一样，由于目标函数的函数形式，当任何一个基础参数连续变化时，也会出现此处所示的r和λ参数的内在最佳切换行为。6.4情景比较中贴现和风险规避的影响虽然整个解决方案空间的优化对于理解模型的基本属性至关重要，但在某些情况下，这是不可取的或不可能的，最好简单地比较一组受限投资组合的绩效。我们将其称为场景比较（因为这更好地体现了比较以不同技术混合为特征的世界的想法）。如果存在其他系统约束，或者由于以下原因，解决方案空间非常大，则这可能很有用。首先，在实践中，技术并不是完美的替代品，因此，尽管它们在某些主要特征（即。

“生产”），其他次要特征可能要求以其他方式限制投资组合。对于0 1 2贴现率，R35445050665F（qA1，qA2，r）λ=0.10 1 2贴现率，r40506070λ=0.50 1 2贴现率，R6080100140160λ=3.095%A两个周期50-50两个周期95%B两个周期图14：显示在低、中、高风险规避制度下，三种不同技术情景下目标函数如何随贴现率变化的曲线图。这些技术与图13中的相同。对于低风险厌恶和中等风险厌恶，有一个临界贴现率分离制度，其中首选不同的情景。例如，不同时期的解决方案可能在许多实际情况下都是不切实际的。或者再举一个例子，考虑一下电网上的能源技术组合。虽然就年总发电量而言，它们可能被视为替代品，但为了确保电网稳定，必须满足许多其他工程和物理限制。这将对此类技术组合施加额外限制；当然，这些约束可以显式建模，并构建更复杂的目标函数，但这超出了本文的工作范围（和精神）。其次，考虑扩展模型以包括更多的技术和/或周期。随着控制变量数量的增加，蛮力优化很快变得难以计算，而且由于问题是非凸的（由于经验曲线反馈），局部优化方法不能保证找到全局最优。