随机投资组合理论中的多项式过程

然后，战略θ被认为在时间范围[0，T]ifP内产生了一个与Д相关的相对轨道机会VθT≥ VхT= 1和PVθT>VθT> 此外，θ被称为强相对套利机会ifPVθT>VθT= 1、如果上述定义适用于Rd+值，我们称之为（强）长期相对套利。备注2.4。在上述定义中，我们考虑了具有初始资本1和1-容许交易策略的财富过程。然而，相对套利的存在显然并不依赖于此。事实上，就定义2.3而言，在时间范围[0，T]内，当且仅当phvv，vθT≥ Vv，vθTi=1，PhVv，vθT>Vv，vθTi>0。（2.1）请注意，vθ、vθ是自我融资、v-可接受的交易策略，初始资本为v.6 CHRISTA CUCHIEROWe现在提请我们注意与市场相关的相对套利机会。在本案例中，对于所有i，1-容许参考交易策略由νit=∑给出∈ {1，…，d}和t∈ [0，T]上述相对套利机会的定义如下：定义2.5（相对套利机会）。Letθ∈ J（S）是一种自我融资、1-可接受的交易策略。然后，据说θ会在时间范围[0，T]ifP内产生一个相对于市场的相对套利机会VθT≥∑T∑= 1和PVθT>∑T∑> 此外，相对于市场ifP，θ被称为强相对套利机会VθT>∑T∑= 1、如果上述定义适用于Rd+中的价值，我们称之为（强）相对于市场的长期相对套利。2.3。市场权重。从定义2.5可以明显看出，当选择总资本∑作为数字时，相对于市场的相对套利与经典套利相对应。这样做，将产生m个市场权重的过程，用u=（u，…）表示。

，ud），定义为ui=Si∑=SiPdi=1Si，i∈ {1，…，d}。（2.2）由于所有信号均假定为非负信号，u取单位单纯形中的值数据定义人d=（x∈ [0，1]d | dXi=1xi=1）。单位单纯形的内部，即{x∈ （0，1）d | Pdi=1xi=1}用表示d、 注意，假设u∈d、 备注2.6。（i） Le t us re mark，θ是资本化过程的自我融资交易策略，定义为2.1，当且仅当它是过程的自我融资交易策略时，后者定义为2.1，只需将S替换为u即可（见[26]和[36，命题2.3]）。特别是，用Yq表示相对财富过程，即Yq，t=Vq∑，t∑t，0≤ t型≤ T、 对于Yq，θ=q∑=q，（2.3）我们有Yq，θT=q+Ztθsdus，0≤ t型≤ T、 如前所述，我们将用Yθ表示Y1，θ。（ii）将其与定义2.5相结合，并使用（2.1）中v=∑的注释2.4得出以下关于horizo n[0，T]时期内市场的相对任意机会的等效公式，即Phy∑θT≥ 随机投资组合理论中的1i=1和PhY∑θT>1i>0多项式过程，以及PhY∑θT>1i=1的强相关套利机会。因此，市场相关套利的存在仅取决于市场权重过程u。3、多项式过程本节致力于对多项式过程进行非常简要的概述，这些过程已在[8]中介绍，并在几篇论文中进行了进一步的分析，特别是在[24]中，其中讨论了不同状态空间上多项式差分的存在性和唯一性问题。

对于特定状态空间上的跳跃差异d、 由于对市场权重过程u建模特别重要，我们参考[9]。我们在此将多项式过程定义为一类具有状态空间D的时间齐次马氏It^o-半鞅 定义在过滤概率空间上(Ohm, （Ft）t∈[0，T]，F，P），右连续过滤和T∈（0，∞]. 关于It^o-半鞅le X，我们指的是一个半鞅，其特征（BX，CX，νX）（关于某个截断函数χ）相对于Lebesgue测度绝对连续，即BX=Z·bXtdt，CX=Z·cXtdt，νX（dt，dξ）=KXt（dξ）dt，我们称之为（BX，CX，KX）微分半鞅特征。时间齐次马尔可夫性质由以下事实表示：假设X相对于（Ft）是马尔可夫的，即对于所有t，E[f（Xt）| Fs]=E[f（Xt）|σ（Xs）]，P-a.s≥ s和所有Borel函数f:D→ R满足E[| f（Xt）|]<∞ 对于所有t∈[0，T]，其中σ（Xs）表示由Xs评级的σ-代数基因。具体而言，微分特性（bX、cX、KX）是函数（b（Xt）、c（Xt）、K（Xt、dξ））t∈进程当前状态的[0，T]，其中b:D→ Rn，c:D→ Sn+是Borelfunctions，K（x，dξ）是从d到Rn的Borel变换核。在给出多项式过程的精确定义之前，让我们介绍一些进一步的符号。设Pmdenote为m阶多项式的有限维向量空间≥ D上的0，即多项式对Rnto D的限制，定义为Pm：=D x 7→mX | k |=0αkxk，αk∈ R,其中，我们使用多索引表示法k=（k，…，kn）∈ Nn，| k |=k+····+knandxk=xk···xkn。此外，我们用P表示所有多项式的向量空间onD。

每当s状态空间pm所指的有歧义时，我们用pm（D）表示它。以下多项式过程的定义不是[8]中给出的原始定义，但是，正如随后的理论所阐明的，在规定的力矩条件下，跳跃测量补偿器是等效的。对于略有不同的CHRISTA CUCHIEROde多项式过程的定义，依赖于相应鞅问题的解，而不是先验地假设马尔可夫过程的存在，请参见[24，9]。定义3.1。多项式过程X是状态空间为D且初值X=X的时间齐次马氏It^osemima鞅∈ D其差异特征（bXt、cXt、KXt（Dξ））t∈[0，T]=（b（Xt），c（Xt），K（Xt，dξ））T∈[0，T]，关于“截断”函数χ（ξ）=ξ，satisfyEZRnkξkmK（Xt，dξ）X=X< ∞ 对于所有m∈ N、 x个∈ D、 t型∈ [0，T]和bi（x）∈ Pi∈ {1，…，n}，cij（x）+ZRnξiξjK（x，dξ）∈ Pi，j∈ {1，…，n}，ZRnξkK（x，dξ）∈ P | k | k |=3。以下定理是对[8]中结果的重新表述。定理3。2、对于状态空间为D且[RRnkξkmK（Xt，Dξ）| X=X]的马氏It^o-半鞅X∞ 对于所有m∈ N、 x个∈ D、 t型∈ 以下是等价的：（i）X是一个多项式过程。（ii）x 7→ E[f（Xt）| X=X]∈ PK适用于所有k∈ N、 f级∈ Pk，x∈ D和t∈ [0，T]。证据方向（一）=> （ii）是【8，Theo-rem 2.15】的直接结果，而（ii）=> （i） 源自[8，推论2.14]。请注意，多项式过程的原始定义对应于（ii）中的陈述。备注3.3。上述定理中的第二个断言至关重要，因为它意味着s e半群（Pt）t∈与马尔可夫过程相关的[0，T]将Pk映射到Pk。这反过来意味着，XT多项式的期望值可以通过矩阵指数来计算。

更准确地说，每k∈ N、 存在一个线性映射a onPk，因此对于所有t∈ [0，T]，限制为Pk的半群（Pt）可以写为Pt | Pk=etA。多项式过程的这一关键特性允许在不知道概率分布或特征函数的情况下轻松高效地计算矩。备注3.4。正如引言中已经指出的，该模型类的另一个优点是在高维情况下进行模型c校准，这是我们在处理大型股票指数时通常会遇到的情况。事实上，可以应用积分或sp ot c方差的路径估计技术来确定扩散矩阵c的参数，其条目是过程当前状态下的二次多项式（更多详细信息，请参见备注4.13）。备注3.5。如上所述，引入多项式过程的另一种方法是通过鞅问题概念，例如随机投资组合理论中的多项式过程9【24，9】。为此，考虑以下线性运算符G:P→ 由gf（x）=nXi=1Dif（x）bi（x）+nXi定义，j=1Dijf（x）cij（x）+ZRnf（x+ξ）-f（x）-nXi=1Dif（x）ξi！K（x，dξ），与定义3.1中的（b，c，K）相比，这通常被称为扩展的单元生成器（比较[8，定义2.3]）。给定概率分布 关于D，关于（G）鞅问题的一个解，) 是一个c\'adl\'ag处理s X，其中D中的值是P（X∈ ·) =  由mft给出的过程mf：=f（Xt）- f（X）-ZtGf（Xs）ds是每f的局部鞅∈ P关于由x生成的过滤，即Ft=Ts>tfxs，FXs=σ（Xr | r≤ s） 。如果（G）的鞅问题存在唯一的（概率律意义上的）解，我们说G的鞅问题是适定的，) 对于任何初始分发 onD公司。

由于这种解是时间齐次马尔可夫It^o半鞅（马尔可夫性质见[13，定理4.4.2]），因此我们可以用定义3.1.4意义上的多项式过程来识别它。多项式市场权重和资产价格模型本节旨在介绍基于多项式过程的市场权重和资本化模型。我们首先回顾了[18]中介绍的波动稳定市场模型，并表明联合过程（u，S）是定义3.1意义上的多项式（见命题4.6）。随后，我们对所有多项式扩散模型（u，S）进行了特征化，取d×Rd+，其中u在其自身过滤中为马尔可夫，且（2.2）ho lds为真。本节结果的证明见附录B.4.1。容量稳定的市场模型。【18】中介绍的资产价格非相对稳定市场模型的动态通过hDSIT=Sit1+α2uitdt+puitdWit！定义！，Si=Si，i∈ {1，…，d}，（4.1）其中α≥ 0和（W，…，Wd）是标准布朗运动。我们在这里和在本文中始终考虑此类SDE的弱解，或相关鞅问题的等价解（比较备注3.5）。此外，我们假设过滤由S生成，即Ft=\\S>tfss，FSs=σ（Sr | r≤ s） 。（4.2）通过变量的变化，很容易看出这些模型是多项式的，如下所述。对于其公式，请回忆符号∑=dXj=1Sj。10 CHRISTA CUCHIEROProposition 4.1。（4.1）的波动率稳定模型（S，…，Sd）满足以下性质：（i）（S。

，Sd）是Rd++上的多项式过程，其不同特征（bS、cS、KS）的形式为BSI，t=1+αdXj=1Sjt，cSii，t=SitdXj=1Sjt, cSij，t=0，KSt=0。（4.3）（ii）总资本化过程的动态由BlackScholes模型描述，其形式为∑t=∑td（1+α）dt+dZt,（4.4）其中Z表示布朗运动。备注4.2。（i） 波动率稳定模型的名称源于这样一个事实，即总资本化过程遵循一个特定的Black-Scholes模型，而单个资产具有形式（4.1）的动态性。（ii）如引言中所述，小股的对数价格往往比大股的对数价格具有更大的波动性，这一经验特征反映在该模型类别中。事实上，从（4.1）可以很容易看出，我们的阻塞Sii=ui，但没有相关性，因为阻塞Sij=0。以下命题断言，市场权重也遵循单位单纯形上的多项式过程，更准确地说是所谓的多元雅可比过程（参见，例如[28]）。【27】和【40】中也有类似的陈述。让我们介绍一下由（u，…，ud）生成的过滤，我们用（Gt）表示，即Gt=\\s>tGuswith Gus=σ（ur | r≤ s） 。（4.5）注意Gt f自∑上的信息丢失后。提案4.3。在（4.1）的波动率稳定模型中，市场权重（u，…，ud）的动态可以通过mduit的多变量雅可比过程来描述=1+α-d（1+α）uitdt+quit（1- uit）dBit-Xi6=juitqujtdBjt，（4.6），其中B是d维标准布朗运动。尤其是（u，…，ud）是关于（Gt）的多项式过程，状态空间为d表bui，t=1+α的不同特征（bu，cu，Ku）- uitd（1+α），cuii，t=uit（1- uit），cuij，t=-uitujt，Kut=0。（4.7）随机投资组合理论中的多项式过程11备注4.4。

（i） 作为有效波动模型的示例，波动稳定市场模型表现出恒定的正超额增长率γu*（与（1.1）相比），γu*=dXi=1uidhloguii=dXi=1uiclog（u）ii=dXi=1cuiiui。从上述命题可以很容易看出γu*=d-1因此，熵函数只能产生相对套利（见【19，示例11.1】）。（ii）如[21]最近所示，正的超额增长率通常不足以在任意短时间范围内存在相对任意增长率。然而，波动率稳定市场模型的类别也允许这种类型的套利，如[3]中首次证明的那样。实际上，本文中的假设（2.8），即最小市场权重的瞬时方差满足cu（d）（d）≥ Ku（d）对于某些常数K，可以从（4.7）中清楚地看出。这里，索引（d）表示最小值。注释4.5。在下面的命题和随后的定理中，我们写出了ui和sj之间的瞬时协方差cu，sij和c∑，ui和ui和类似的c∑，Si之间的瞬时协方差。提案4.6。考虑（4.1）的波动率稳定模型。然后，连接过程（u，S）是关于（Ft）的多项式过程，取值d×Rd++。具体而言，uiand Sji以及ujand Sifor i 6=j之间的惯性矩协方差由cu，Sij，t=cu，Sji，t=-uitSjt=-ujtSit，i 6=Sit和uitbycu之间的jand，Sii，t=Sit- uitSit。此外，∑和ui之间的瞬时协方差，即所有i的cu，∑i，t=0∈ {1，…，d}。因此u和∑是独立的。4.2。多项式市场权重和资产价格模型的定义和特征。

受上述分析的波动率稳定模型的启发，我们现在的目标是描述所有满足关系（2.2）的扩散过程（u，S）以及d×Rd+，使得（u，S）是多项式和uMarkovian inits自身过滤。假设后者的原因在于，我们主要关注市场的相对绩效，并对资本分布曲线log k 7进行建模→ 对数u（k）。如第2节所述，仅建模u就足以达到这些目的。因此，假设u是马尔可夫的是合理的，特别是考虑到我们感兴趣的高维应用。我们首先给出多项式市场权重和资产价格模型类别的形式定义：定义4.7。设（u，S）是在过滤概率空间上定义的随机过程(Ohm, （Ft），F，P）取值d×Rd+，使得∑>0且ui=Si∑，对于alli∈ {1，…，d}。我们将（u，S）称为多项式市场权重和总价格模型if12 CHRISTA CUCHIERO（i）权重过程u是（4.5）中定义的自然过滤（Gt）（完全连续）的马尔可夫过程，以及（ii）联合过程（u，S）是多项式过程。备注4.8。（i） 请注意，上述定义的第二个要求很强，例如，分量u和S都可以是多项式过程，但它们的协方差结构是非二次形式的，因此jo int多项式特性丢失。我们将在4.14号提案中遇到这种情况，即“低”。然而，当计算u和的关节力矩时，关节多项式性质是相关的。（ii）请注意，我们无法在d×Rd+，因为（2.2）需要保持为真。

换句话说，状态空间可以双射映射到d×R++。为了通过参数限制来描述多项式市场权重和资产价格模型，让我们引入以下定义。实际上，其中引入的参数集表征了d（见提案4.19和[24，提案6.6]）。定义4.9。我们称三重态（βu，Bu，γu）为βu∈ Rd，Bu∈ Rd×dandγu∈ 如果oγu具有非负的o f-对角线元素且其所有对角线元素s等于0，o（Bu），则设置允许的单纯形参数1+（β1） 1=0和βui+Buij≥ 0表示所有i，j 6=i∈ {1，…，d}。我们现在准备陈述多项式市场权重和资产价格模型的特征，以及连续轨迹。定理4.10。以下断言是等效的：（i）过程（u，S）是一个具有连续轨迹的多项式市场权重和资产价格模型。（ii）过程u和∑是分别为DADR+。上述每个条件都暗示了以下断言：（iii）存在一个可容许的单纯形参数集（βu，Bu，γu）和参数κ，φ∈ R+满足2κ- φ≥ 0，λ，σ∈ R、 使得（u，S，∑）的差异特征由bui给出，t=βui+dXj=1Buijujt，bSi，t=βui∑t+dXj=1BuijSjt+κuit+λSit，cuii，t=Xi6=jγuijuitujt，cuij，t=-γuijuitujt，i 6=j，cSii，t=φSituit+σ（Sit）+Xj6=iγuijSitSjt，cSij，t=φSituj+σSitSjt- γuijSitSjt，i 6=j，cu，Sii，t=Xj6=iγuijSitujt，cu，Sij，t=cu，Sji，t=-γuijuitSjt=-γuijujtSit，i 6=j，b∑t=κ+λ∑t，c∑t=φ∑t+σ∑t，c∑，Si，t=φSit+σSit∑t，c∑，ui，t=0。随机投资组合理论中的多项式过程13相反，对于容许的单纯形参数集（βu，Bu，γu）和参数κ，φ∈ R+，λ，σ∈ R、 存在多项式市场权重和资产价格模型，其差异特征为上述形式。备注4.11。