随机投资组合理论中的多项式过程

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Polynomial processes in stochastic portfolio theory》
---
作者：
Christa Cuchiero
---
最新提交年份：
2017
---
英文摘要：
  We introduce polynomial processes in the sense of [8] in the context of stochastic portfolio theory to model simultaneously companies\' market capitalizations and the corresponding market weights. These models substantially extend volatility stabilized market models considered by Robert Fernholz and Ioannis Karatzas in [18], in particular they allow for correlation between the individual stocks. At the same time they remain remarkably tractable which makes them applicable in practice, especially for estimation and calibration to high dimensional equity index data. In the diffusion case we characterize the joint polynomial property of the market capitalizations and the corresponding weights, exploiting the fact that the transformation between absolute and relative quantities perfectly fits the structural properties of polynomial processes. Explicit parameter conditions assuring the existence of a local martingale deflator and relative arbitrages with respect to the market portfolio are given and the connection to non-attainment of the boundary of the unit simplex is discussed. We also consider extensions to models with jumps and the computation of optimal relative arbitrage strategies.
---
中文摘要：
我们在随机投资组合理论的背景下引入了[8]意义上的多项式过程，以同时模拟公司的市场资本化和相应的市场权重。这些模型在很大程度上扩展了Robert Fernholz和Ioannis Karatzas在[18]中考虑的波动稳定市场模型，特别是它们考虑了各个股票之间的相关性。同时，它们仍然具有显著的可处理性，这使得它们在实践中适用，尤其是对高维股票指数数据的估计和校准。在扩散情况下，我们利用绝对量和相对量之间的转换完全符合多项式过程的结构性质这一事实，刻画了市场资本化和相应权重的联合多项式性质。给出了关于市场投资组合存在局部鞅平减指数和相对套利的显式参数条件，并讨论了与单位单纯形边界未达到的关系。我们还考虑了带跳跃模型的扩展和最优相对套利策略的计算。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
--

---
PDF下载：
--> Polynomial_processes_in_stochastic_portfolio_theory.pdf (471.42 KB)

2022-5-31 12:19:16 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：随机投资组合理论 投资组合理论 投资组合 多项式 Mathematical

随机Portfoliotheorycrista CUCHIEROAbstract中的多项式过程。我们在随机投资组合理论的背景下引入了[8]意义上的多项式过程，以同时模拟公司的市场资本化和相应的市场权重。这些模型极大地扩展了Robert Fernholzand Ioannis Karatzas在[18]中所考虑的波动稳定市场模型，特别是它们考虑了各个股票之间的相关性。同时，它们仍然具有很强的可处理性，这使得它们在实践中适用，尤其是对高维股票指数数据的估计和校准。在分歧情况下，我们利用溶质和相对量之间的转换完美地满足多项式过程的结构特性这一事实，刻画了市场资本化和相应权重的联合多项式特性。给出了保证局部鞅解存在的显式参数条件，并讨论了与未达到单位单纯形边界的关系。我们还考虑了带跳跃模型的扩展和最优相对ar比特率策略的计算。1、导言自从Rober t Fernholz（例如[17，22，16]）关于随机投资组合理论（SPT）的开创性著作以来，许多模型捕捉了公司市值的共同行为，用Sifor i=1表示，d、 在大型股票指数中有人提出。这方面的主要目标之一是再现经验观察到的资本分配曲线的形状和动态，这些曲线随时间变得非常稳定（见【17，图5.1】）。

另一个主要方面是分析某些投资组合相对于市场投资组合的相对表现，进而开发出允许所谓相对表现的模型。迄今为止使用的模式ls可大致分为o以Atlas和混合Atlas模型为例的基于等级的模型[4，31]；o多样化的模式[17，20]；o将波动率稳定的有效波动率模型[20]和广义波动率稳定模型[41]作为子类。虽然基于排名的模型旨在与经验观察到的随时间变化的资本分布曲线的稳定性相匹配，但不同且有效的波动模型的定义取决于股票市场的某些描述性特征，这些市场有2000个数学科目分类。60J25、91G10、60H30。关键词和短语。随机投资组合理论、相对套利、多项式过程、单位单纯形上的扩散、边界达成、可处理建模。2 CHRISTA Cuchierot最终导致了相对套利。我们在此简要评论这些模型类的主要属性。作为SPT的整个领域，基于秩的类型模型吸引了理论方面的大量关注，是数学上有趣的问题的丰富来源，尤其是在相互作用粒子系统领域，这是研究的一个活跃领域（见参考文献[44，第6节]）。

然而，就实际适用性而言，有两个缺点，即资本化不相关（至少在Atlas模型中）的常见假设和基于等级（与名称相比）的建模的可处理性有限。第二类模型是由Diversity提出的，它结合了一种条件，即防止所有市场资本集中到一个单一的股票中（所谓的市场多样性），以及对数价格的瞬时协方差矩阵的强非退化性。s.R.Fernholz的关键见解是，在这两种条件下，系统性地跑赢市场组合是可能的，即使在任意的短时间范围内（见[20]）。然而，这种组合并不是唯一发生相关套利的组合，尤其是强非简并条件，在估计高维协方差矩阵时通常很难在实践中验证。事实上，导致引入高效挥发性模型的另一个条件与市场权重的波动性有关，更准确地说，与ΓH（·）=dXi=1Z·|itdhloguiit，（1.1）给出的累积超额增长率有关，其中ui表示时间t时第i支股票的市场权重≥ 0，对于i=1，d、 事实上，假设ΓH（·）的斜率远离零是这类模型的定义属性。正如R.Fernholz andI所证明的那样。[18]中的Karatzas模型允许在具有一定功能生成的投资组合的足够长的时间范围内进行相对套利，但正如[21]中最近所示，通常不足以在套利短期内进行利率相对套利。有效波动性模型的例子是[18]中介绍的所谓波动性稳定市场模型。

正如综述文章[19]所述，这些模型之所以引人注目，有几个原因，特别是因为总体市场资本化过程遵循一个特定的Black-Scholes模型，而个别股票反映了一个经验事实，即较小股票的原木价格往往比较大股票的原木价格具有更大的波动性。尽管这与股票市场特征一致，有一个主要缺点，即个人股票之间缺乏相关性，因此，他们对现实市场情况建模的适用性受到限制。为了克服这一缺点，我们在本文中提出了这一模型类别的一个重要但仍然可以扩展的扩展，我们称之为多项式市场权重和资产价格模型。事实上，波动率稳定模型的另一个显著特性是，资产价格和市场权重分别遵循多项式过程。文献[8]中介绍的多项式过程（另见文献[24]）构成了一类时间齐次马氏It^o半鞅，从某种意义上说，（混合）矩的计算只需要矩阵指数的计算，这类半鞅本质上是可执行的。随机投资组合理论3中与此性质相关的计算优势多项式过程已在许多问题中得到利用。特别是，数学金融中的应用包括利息率、信用风险、随机波动率模型、人寿保险负债和方差掉期（se e[12、1、2、6、23]）。

在目前情况下，它可用于实施最优套利（见第4节）以及对高维均衡指数（如标准普尔500指数）进行模型校准，例如使用矩法或路径协方差估计技术，利用矩的分析知识以及协方差结构的特定函数形式。在一篇配套论文[7]中，我们实际研究了多项式模型对市场数据（MSCIworld指数，300只股票）的校准，并发现了非常令人失望的结果。特别是，它们能够很好地匹配典型的形状和波动的资本分布曲线。SPT设置的特殊性不同于其他金融应用，是市场投资组合的选择，因此市场权重成为主要关注的建模数量。因此，需要建立状态空间为单位单纯形的可处理模型。

因此，一种是自然而然地导致多项式过程，因为通常认为最具可伸缩性的类，即L'evy和a'ne过程，在紧连通状态空间上是确定的（见[38]）。综上所述，多项式市场权重和资产价格模型为高维股票市场建模提供了一种工具，具有高度的可操作性（实际上，在直接建模市场权重时，它们可以被视为最具可操作性的类别）股票之间存在相关性的可能性；o与经验市场特征的一致性，如与资产规模成反比的波动性结构，以及排名市场权重的“正确”波动（资本分布曲线）。因此，本文的一个目标是描述这些模型，这些模型通过权重和资本化（ut，St）的联合过程≥0是多项式。对于差异模型，只有当总资本化过程（即Pdi=1Si）是一个对R++的多项式差异，独立于单位单纯形上市场权重的多项式差异时，才会出现这种情况（见定理4.10）。此外，如果不允许S的特性依赖于u，则PDI=1必然会遵循Black-Scholes模型，比波动率稳定模型更一般（见推论4.16）。关键点在于，市场权重过程可以具有更丰富的协方差结构，而在波动率稳定模型的情况下，它对应于WrightFisher微分，有时也称为多元Jacobi过程（参见例[28]）。在目前的情况下，市场权重过程是单位单纯形上的一般多项式微分，Damir Filipovi\'c和Martin Larsson首先描述了这一点（另见[9]）。

尽管灵活性显著提高，但它与波动率稳定模型的子类有许多共同的可取特性。例如，在定理5.1中精确规定的某些参数条件下，累积超额增长率的斜率有界远离零，因此多项式市场权重模型可以归入高波动性模型。特别是，它们允许在长期范围内进行相对套利，这种套利是由所谓的投资组合产生的【19，示例11.1】。此外，与波动率稳定模型一样，短期套利（即使只有长期投资组合）上存在（强）相对套利也是可能的，可以从[3]中推断出来。4 CHRISTA Cuchieror与此相关的是相对套利和局部鞅定义（参见[43]、[33]）存在的精确表征，我们提供了第5节。作为副产品，我们在单位单纯形上获得了多项式模型边界达到的精确条件。在未达到某些边界段的情况下，我们讨论了基于多项式的可计算近似最优任意策略。本文的其余部分结构如下：第2节和第3节专门介绍随机投资组合理论的一般背景和多项式过程的精确概念。在第4节中，我们回顾了波动率稳定市场模型的定义，展示了它们的多项式性质，以及多项式市场权重和资产评估价格差异模型的全貌，依赖于d×Rm+在附录B第4.2.1节中得到证明，我们考虑了带跳跃的扩展，而第5节完全致力于分析多项式市场权重模型的基本性质（相对轨道、局部鞅函数、完备性的存在）。1.1。

符号对于一个随机过程，我们通常用X表示（Xt）t≥0并对其组件使用上标索引，但使用下标索引的Semi-MartingalCharacteristics除外。在这种情况下，超级ipt索引表示它们所属的流程，例如，流程X的特征bXdenotes-dRift。我们用N表示自然数，N：=N∪ {0}非负整数，R+非负整数。符号Rn×n、Sn和Sn+分别表示n×n实、实对称和实对称正半有限元。此外，ithcanonical单位向量a nd1的eistands是其条目均等于1.2的向量。随机投资组合理论的背景和概念我们首先回顾了随机投资组合理论（SPT）的一般背景和一般概念。有关更详细的说明，请参阅[17、19、36、21]。2.1。市场模型和交易策略。设T>0表示某个时间范围，并设(Ohm, F、 （Ft）t∈[0，T]，P）是具有右连续过滤的过滤概率空间。因此，我们认为≥ 2，具有S的Rd+-值半鞅∈ Rd++，对应于公司（未贴现）市场资本化，即股价乘以流通股数量。Wedenote by∑所考虑的股票市场的总资本，即∑=dXi=1Si，并要求∑是严格正的，即P[σt>0，t型≥ 0]=1。与此相反，个人资本化被允许消失。根据有关SPT的常见文献（特别是[36]），我们考虑只投资于这些d资产的交易策略，而不引入银行账户。定义2.1。

（i） 我们称一个可预测的、Rd值的S-可积过程为财富过程Vv，θ的交易策略，其中Vv，θt=dXi=1θitSit，0≤ t型≤ T、 在Vv，θ=v的情况下，随机投资组合理论5中的多项式过程是根据策略θ和初始资本v>0的投资的时间T值。每个θit代表在t时持有的股份数量≥ ithasset中的0。（ii）如果Vv，θsatisfiesvv，θt=v+ZtθsdSs，0，则交易策略称为自我融资≤ t型≤ T、 其中，积分是在向量随机积分的意义上理解的。（iii）如果Vv，θ，则交易策略称为v-容许≥ 0和Vv，θ-≥ 0.（iv）如果交易策略从不卖空任何股票，即θ取Rd+的值，则称为仅多头策略。我们用J（S）表示所有自我融资、1-容许交易策略的集合。注释2.2。初始资本的标准值为1。为了简单起见，我们将为V1，θ写Vθ。如果半鞅S的每个分量都是严格正的，则可以通过乘法（与上述加法相反）建模方法，这在SPT中是标准的，有时也很方便。在这种情况下，一个Rather会考虑-而不是与股票数量对应的交易策略，即所谓的投资组合，其价值代表当前投资于每项资产的财富比例（更多详情请参见附录A）。2.2。相对于市场的相对套利。一个至关重要的兴趣量是两个可接受的投资组合相对于彼此的性能。在这方面，随后定义的相对套利概念起着重要作用。定义2.3（相对套利机会）。Let^1，θ∈ J（S）自我融资，1-可接受的交易策略。