随机投资组合理论中的多项式过程

实际上，我们有| ecuii |=Xj6=iγuijuiuj>Xj6={i，d}γijuiuj=Xj6=i | ecuij |。根据【29，定理6.1.10】，ecu因此是严格的正定义，这意味着cu具有等级d- 1.备注C.5。通过类似的论证，实际上有必要假设存在一些指数j，使得所有i的γuij>0，以获得相同的结论。引理C.6。设γu为γuij>0，对于所有由容许参数（βu，bu）描述的i 6=j和bua漂移。设J={J，…，jk}，0≤ k≤ d、 表示在{uji=0}上buji=0且集E：={u∈ 对于所有j，d |uj>0/∈J} 。然后存在一些函数Eλ：E→ 研发部-1在e.证明中，EBu=ecueλ（u）（C.5）。定义λ如下λ（u）=（ecu）+ebu，（C.6），其中（ecu）+表示摩尔-彭罗斯伪逆。设OuDu（Ou）是ecu与正交矩阵e s Ou和对角矩阵Xu的光谱分解。我们在这里写上标u表示对u的依赖性。然后（ecu）+由（cu）+=Ou（Du）+（Ou）给出,其中（Du）+ii=DuIIIif Duii6=0，否则为0。引理C。4，如果μ∈d、 和（ecu）+因此与（ecu）一致-1、这已经证明了d、 因此，当某些ji的uji=0时，（C.6）给出的Eλ也满足（C.5），这有待证明∈ J、 在这种情况下，假设buji=0，而cuji，k=0表示所有k∈ {1，…，d}由于cu的形式。特别注意，对于ud=0，上述考虑因素已经得出了该定理。让我们选择以Ou为单位的IGenvector的顺序，以便每当uji=0时，Duji=0。现在将（C.6）插入（C.5）yieldsebu=ecueλ（u）=ecu（ecu）+ebu=OuIu（Ou）ebu，38 CHRISTA Cuchierow其中Iu是对角线矩阵，除指数ji外，所有条目均等于1，其中uji=0。因此（C.5）相当于（Ou）ebu=Iu（Ou）ebu自（（Ou）起，此等式成立ebu）ji=0。实际上，0=ecujiji=dXk=1（Oujik）Dukk意味着当Dukk6=0时，Ojik=0。

当bk=0时，只要Dukk=0，则产生索赔（（Ou）ebu）ji=0，在tur n中是引理的断言。引理C.7。设γu为γuij=1表示所有i 6=j，并用eau表示该特定形式γ的ecu。然后，在上d、 eau的逆项由（eau）给出-1kk=uk+ud（eau）-1kl=ud，k 6=l.（C.7）验证。通过简单的计算，可以很容易地验证逆的形式。备注C.8。注意，γu的上述形式产生了挥发性稳定模型的扩散矩阵，其条目如命题4.3所述。此外，观察在这种情况下，eau将池塘与尺寸d的cu相对应- 引理C.9。设γu为γuij>0，所有i 6=j。设置γ*= mini6=jγuij，leteau如引理C.7所示。然后ecu- γ*eau为正半定义。此外，秩（ecu）=秩（eau）。证据注意，矩阵ecu-γ*eau将池塘与由bγuij=γij给出的某些矩阵bγu生成的扩散矩阵（删除最后一行和列）相关联- γ*, i 6=j。由于bγu的所有条目都是非负的，因此cu的正半不确定性- γ*au和US依次为ecu-γ*eau如下。对于最后的陈述，请注意，b oth矩阵的秩等于简单的相应边界段的维数，即d-1如果u∈d、 等等。命题5.11的证明。我们遵循备注5.10中概述的想法。实际上，考虑一个多项式序列（pn）n∈非DAP接近u7→ 1E（u）点方向，使pn(对于所有n，d\\E）=0。假设Z是命题5.4中的严格正局部鞅，定义q：=E[ZT]<1，这对应于定义5.9中给出的1的超高价格UTof，并且由于存在相对套利，它严格小于1。设δ>0，使得q+δ<1。B y支配收敛（选择多项式有界序列）存在一些n，因此对于所有n≥ n | E[pN（uT）ZT]- q |≤ δ。设ε>0。

自pn（u）→ 1E（u）为n→ ∞ 由于P在setE外没有质量，因此存在一些en，对于N≥ enP[pN（uT）>q+δ]≥ 1.- ε。随机投资组合理论中的多项式过程现在取nε=max（n，en），这意味着pnε（uT）E[pnε（uT）ZT]>1≥ 1.- ε.我们现在的目标是找到命题陈述中给出的策略，即yεT=pnε（uT）E【pnε（uT）ZT】。为此，让Q表示F¨ollmer度量，正如Remark5.10中已经介绍的那样，满足P<< Q，其中|τ是鞅，其中τ=inf{t>0|ut/∈ E} =inf{t>0 | Zt=0}。进一步考虑一个与u具有相同协方差结构的多项式鞅^u，并用^Q表示其在路径空间上的定律。然后，通过相应鞅问题的唯一性，uτ和uuτ的定律重合。定义nowpnε（t，^ut）：=E^Q【pnε（^ut）| Ft】。多项式性质为u，u7→ pnε（t，u）是一个多项式，特别是在两个变量中都具有很好的正则性，以应用它的公式，其中yieldspnε（t，ut）=pnε（t，ut）=pnε（0，u）+ZTdXi=1Dipnε（t，ut）d，ut，^Q-a.s.自（pnε（t，ut））t∈[0，T]和^u是^Q-鞅。显然，通过在时间τwehavepnε（^uT）停止∧ τ） =pnε（0，^u）+ZT∧ τdXi=1Dipnε（t，^ut）d^ut，^Q-a.s。由于u和^uc定律与随机区间[0，τ∧ T）]。自P起<< Q和P[τ>T]=1，这意味着pnε（uT）=pnε（0，u）+ZTdXi=1Dipnε（T，uT）duT，P-a.s.define nowθi，εbyθi，ε=Dipnε（T，uT）E[pnε（uT）ZT]（C.8），注意E[pnε（uT）ZT]=EQhpnε（uT）1{ZT>0}i=E^Q pnε（uT）]=pnε（0，u），其中，第一个等式来自广义Bayes规则（例如[42，定理5.1]），第二个等式来自于|τ和|uτ定律重合且pnε(d\\E）=0。

因此，这是自u7年以来的第一个断言→ pnε（t，u）是一个与时间相关的多项式。关于第二个，Yθεtclarlay将P-a.s.收敛到由ut=E[ZT]给出的最佳仲裁年龄，因为pn（uT）→ 每年1个。s、 ，因为P在E之外没有质量。40 CHRISTA CUCHIEROReferences【1】D.Ackerer和D.Filipovi'c.线性信用风险模型。SSRN提供：http://ssrn.com/abstract=2782455，瑞士金融研究所，2016年。[2] D.Ackerer、D.Fil ipovi\'c和S.Pulido。雅可比随机波动率模型。https://arxiv.org/abs/1605.07099v1，2016年。[3] A.Banner和D.Fernholz。波动稳定市场中的短期相对套利。《金融年鉴》，2008年。[4] A.D.Banner、R.Fernholz、I.Karatzas等人，《股票市场的Atlas模型》。《应用概率年鉴》，15（4）：2296–23302005。[5] R·F·巴斯和E·A·珀金斯。具有H¨older连续系数和超马尔可夫链的退化随机微分方程。变速箱。美国。数学Soc。，355（1）：373-405（电子版），2003年。[6] S.Biagini和Y.Zhang。人寿保险负债的多项式微分模型。https://arxiv.org/abs/1602.07910，2016年。[7] C.Cuchiero、K.Gellert、M.Guirich、A.Platts、S.Shivan和J.Teichman。随机投资组合理论中区域相关多项式模型的实证研究。工作文件，2017年。[8] C.Cuchiero、M.Keller Ressel和J.Teichman。多项式过程及其在数学金融中的应用。《金融与随机》，16（4）：711–7402012。[9] C.Cuchiero、M.Larsson和S.Svaluto Ferro。单位单纯形上的多项式跳差。预印本，可在http://arxiv.org/abs/1612.04266v1，2016年。[10] F.Delbaen和W.Schachermayer。资产定价基本定理的一般版本。数学安。，300（3）：463–5201994年。[11] F.Delbaen和W.Schachermayer。

绝对连续局部鞅测度的存在性。安。应用程序。概率。，5（4）：926–9451995年。[12] F.Delbaen和H.Shirakawa。具有上下限的利率模型。《亚洲金融市场》，2002年9:191–209。[13] S.N.Ethier和T.G.Kurtz。马尔可夫过程。概率与数理统计中的威利级数：概率与数理统计。约翰·威利父子公司，纽约，1986年。特征化和收敛。[14] D.Fernholz和I.Karatzas。关于最优套利。安。应用程序。概率。，20（4）：1179–12042010。[15] D.Fernholz和I.Karatzas。套利的概率方面。《当代定量金融》，第1-17页。柏林斯普林格，2010年。[16] R.Fernholz。关于股票市场的多样性。《数理经济学杂志》，31（3）：393–4171999。[17] R.Fernholz。随机投资组合理论。数学应用。Springer Verlag，纽约，2002年。[18] R.Fer nholz和I.Karatzas。波动稳定市场中的相对套利。《金融年鉴》，1（2）：149–1772005年。[19] R.Fernholz和I.Karatzas。随机投资组合理论：概述。数字分析手册，15:89–1672009。[20] R.Fernholz、I.Karatzas和C.Kardaras。股票市场的多样性和相对套利。财务Stoch。，9（1）：2005年1月1日至27日。[21]R.Fernholz、I.Karatzas和J.Ruf。波动性和套利。https://arxiv.org/abs/1608.06121，2016年。[22]R.Fernholz和B.Shay。随机投资组合理论与股票市场均衡。《金融杂志》，37（2）：615-6241982。[23]D.Filipovi\'c、E.Gourier和L.Mancini。二次方差交换模型。《金融经济学杂志》，119（1）：44–682016。[24]D.Filipovi\'c和M.Larsson。多项式微分和应用金融。《金融与随机》，20（4）：931–9722016。【25】H.F¨ollmer。超鞅的退出测度。Z

WAHRSCHEINLICHKEITSTOREIE和Verw。Gebiete，21:154–166，1972年。[26]H.Geman、N.El Karoui和J.-C.Rochet。计价方式的变化、概率测度和期权定价的变化。《应用概率杂志》，第443-4581995页。【27】I.戈亚。贝塞尔和波动稳定过程。哥伦比亚大学博士论文，2014年。随机投资组合理论中的多项式过程41【28】C。Gourieroux和J.Jasiak。应用于平滑过渡的多元Jacobi过程。《计量经济学杂志》，131（12）：475–5052006。【29】R.A.霍恩和C.R.约翰逊。矩阵分析。剑桥大学出版社，1985年。H.Hulley和M.Schweizer。最小市场模型和最小鞅测度。《当代定量金融》第35-51页。柏林斯普林格，2010年。【31】吨。Ichiba，V.Papathanakos，A.Banner，I.Karatzas，R.Fernholz等，《混合阿特拉斯模型》。《应用概率年鉴》，21（2）：609–6442011。[32]J.Jacod和A.N.Shiryaev。随机过程的极限定理，《数学科学基本原理》（Grandlehren der Mathematischen Wissenschapten）第288卷。Springer Verlag，柏林，第二版，2003年。【33】Y.Kabanov、C.Kardaras和S.Song。无arbi变换器和局部鞅分解器。https://arxiv.org/abs/1501.04363，2015年。【34】J.卡尔森。随机波动率模型的教学笔记。《从随机计算到数学金融》，第343-368页。柏林斯普林格，2006年。【35】I.Karatzas和C.Kardaras。半鞅金融模型中的num'eraire投资组合。财务Stoch。，11（4）：447–4932007年。【36】I.Karatzas和J.Ruf。由Lyapunov函数生成的交易策略。https://arxiv.org/abs/1603.08245，2016年。【37】S.Karlin和H。M、 泰勒。随机过程中的第二个过程。学术出版社[Harcourt Brace Jovanovich出版社]，纽约-伦敦，1981年。[38]P.Kruhner和M.Larsson。

具有紧致状态空间的一类过程。工作文件，2016年。[39]E。Mayerhofer、O.Pfa Offel和R.Stelzer。积极定义跳跃效应的强大解决方案。随机过程。应用程序。，121（9）：2072–20862011年。【40】S.Pal.波动稳定市场模型下的市场权重分析。安。应用程序。概率。，21（3）：1180–121320011年。[41]R.Pickov\'a.广义波动稳定过程。《金融年鉴》，10（1）：101–1252014。【42】J.Ruf。套利套期保值。数学《金融》，23（2）：297–3172013年。【43】M.Schweizer和T.Kochiro。关于有界风险的无无界pro-fit条件的一个注记。《金融与随机》，18（2）：3934052014。【44】A.Vervuurt。随机投资组合理论主题。https://arxiv.org/abs/1504.02988，2015年。【45】H.-J.沃纳。关于广义逆的矩阵单调性。线性代数应用。，27:141–1451979年。维也纳大学，Oskar Morgenstern Platz 1，A-1090 Vienna电子邮件地址：christa。cuchiero@univie.ac.at