随机投资组合理论中的多项式过程

请注意，列出过程的所有特征（u，S，∑）当然是多余的，它们可以根据对S或（u，∑）特征的了解来确定。备注4.12。（i） 对于波动率稳定模型，上述参数取以下值：βu=1+α1，Bu=-d1+αId，γuij=1，对于所有i 6=j，κ=φ=0，λ=d（1+α），σ=1。（ii）与备注4.2相比，我们发现总资本化过程∑不一定是Black-Scholes模型，但可以对应于一个有效过程，更准确地说，如果σ=0，则是一个CIR过程。（iii）个别股票仍然可以反映这样一个事实，即较小股票的原木价格比较大股票的原木价格具有更大的波动性，但考虑到其他相关性，特别是我们有CLOG Sii，t=uitσSit+Pi6=jγuijSjt+φuit∑t！，阻塞Sij，t=-γuij+σ+φ∑t。这是相对于波动率稳定模型的关键优势。备注4.13。在此，让我们简要评论这些模型在校准方面的实际适用性，更精确地估计u的瞬时协方差。注意，cu的结构允许从对数usinceTZTclog（u）ij，tdt=-γij，i 6=j。这种简单的关系能够估计任何维度的瞬时协方差参数，并已在[7]中成功实现，以将多项式市场权重和资产价格模型校准为构成MSCI世界指数的300只股票的市场数据。在这种特殊情况下，这意味着估计44700个γu参数s，这是在对资产之间的相关结构b进行一定假设的情况下，甚至在大约300个时间点的时间序列的scars e数据集上也是可能的。

正如引言中所述，不仅可以证明该方法的可行性，而且可以证明多项式模型符合数据井，并且从资本分布曲线的形状和波动来看，显示出有希望的经验特征。如果我们只要求过程u和S中的每一个都是多项式（但不一定是联合的），那么我们在上述定理中获得的∑和u之间相当强的独立性就可以放宽。事实上，在这种情况下，我们有以下主张。提案4.14。考虑一个It^o扩散过程，它取Rd+中的值，∑=Pdi=1Si>0。设（Ft）为（4.2）中规定的S生成的过滤。对于所有i，定义ui=Si∑∈ {1，…，d}。那么以下断言是等价的：（i）过程S和u都是多项式（但不一定是联合的）。CHRISTA CUCHIERO（ii）S的不同特征由BSI给出，t=βui∑t+dXk=1BuikSkt+λiSit，cSii，t=（ζ+2λi）（Sit）+Xk6=iγuikSitSkt，cSij，t=（ζ+λi+λj- γuij）SitSjt，其中（βu，Bu，γu）是允许的单纯形参数集，参数ζ∈ R、 λ∈ rD应确保ζ11+ ∧- γu∈ Sd+，其中∧ij=λi+λj，尤其是ζ+2λi≥ 0代表所有i∈ . . . {1，…，d}。此外，上述每个条件都暗示了以下断言。（iii）（u，∑）的不同特征由bui给出，t=βui+dXj=1Buijujt，cuii，t=Xj6=iγuijuitujt，cuij，t=-γuijuitujt，i 6=j，b∑t=dXi=1λiSit，c∑t=ζ∑t+2∑tdXi=1λiSit，c∑，ui，t=λiSit- uitdXk=1λkSkt，and cu，Sii，t=Xj6=iγuijSitujt+λiuitSit- （uit）dXk=1λkSkt，cu，Sij，t=-γuijuitSjt+λiuitSjt+uitujtdXk=1λkSkt，i 6=j。备注4.15。注意，对于容许的单纯形参数集（βu、Bu、γu）和参数ζ∈ R、 λ∈ Rd使ζ1 1+ ∧- γu∈ Sd+，其中∧ij=λi+λj，满足下面命题4.19中Rd+-值多项式过程的必要条件。

然而，让我们注意到，只有在特定的参数情况下，S的鞅问题的适定性才是已知的。对于ins tancet，如果cSij=0，即ζ+λi+λj=γuij，则为这种情况，根据[5，推论1.3]。与[24，备注6.5]中的断言进行比较。最后，将定理4.10和命题4.14结合起来，得出了一个次级推论，即在具有连续轨迹的多项式市场权重和资产价格模型中，其中S是关于其自身过滤的多项式，总资本化过程∑是Black-Scholes模型。因此，在这种情况下，我们发现了与命题4.1相似的结构，但资产之间的关联结构更为一般。推论4.16。以下断言是等效的：（i）过程（u，S）是一个多项式市场权重和资产价格模型，具有连续的系数，使得S是通过（4.2）定义的自身过滤的多项式。（ii）过程u和∑是dandR++分别具有∑是随机投资组合理论15中形式为d∑t=λ∑tdt+σ∑tdzt多项式过程的Black-Scholes模型，对于某些参数λ，σ∈ R和Z是布朗运动。4.2.1。jum ps扩展。在下面的命题中，我们考虑一个跳跃扩展，它仍然会产生多项式市场权重和设定价格模型。提案4.17。设u和∑是独立的多项式过程（两个分量都可能有跳跃）分别为dand和R++。假设各跳跃度量满足u7→Z（ξu）kK（u，dξu）∈ P(d） 对于| k |=2∑7→Z（ξ∑）K（λ，dξ∑）∈ P（R++）。（4.8）对于i，定义Si=ui∑∈ {1，…，d}。然后（u，S）是多项式市场权重和资产价格模型。备注4.18。

（i） 请注意，跳跃测量（4.8）的条件无论如何满足| k |≥ 3通过过程u和∑的多项式性质。（ii）有关u跳跃结构的规格，请参考【9，第6节】。（iii）如果∑是一个具有跳跃的有效CIR过程，则满足∑的假设。4.2.2。多项式过程开启d×Rm+。上述结果的证明基于以下命题，该命题给出了状态空间多项式扩散过程参数的必要条件d×Rm+。这是[2.4]中所得结果的推广。对于其公式，表示I={1，…，d}和j={d+1，…，d+m}。此外，xind xJstand表示向量x，分别由前t d和后m个元素组成。提案4.19。考虑一个多项式微分过程X ond×Rm+，and表示I={1，…，d}和J={d+1，…，d+m}。（i） 然后其扩散矩阵cXt=c（Xt）由cii（x）=Xi6=j，j给出∈Iγijxixj，（I∈ 一） ，cij（x）=-γijxixj，（i，j∈ 一、 I 6=j），cij（x）=0，（I∈ 一、 j∈ J） ，cjj（x）=αjjxj+xj（φJ+θ（j） xI+π（j） xJ），（j∈ J） ，cij（x）=αijxixj，（i，J∈ J、 i 6=J），其中γij=γji∈ R+，θ（j）∈ Rd，π（j）∈ Rm+，π（j）j=0，φ∈ rm带φj≥ maxi公司∈Iθ-（j） iandα∈ Sm使得α+Diag（πxJ）诊断（xJ）-1.∈ Sm+适用于所有xJ∈ Rm++，其中∏∈ Rm×mis是π（j）列的矩阵。（ii）漂移向量bXt=b（Xt）满足性（x）=βI+BIIxIβJ+BJIxI+BJJxJ,16 CHRISTA CUCHIEROwhereβ∈ Rd+m，B∈ Rd+m×d+m这样的BII1+（βI1）1=0和βi+Bij≥ 0表示所有i，j∈ I，j 6=I，βj≥ maxi公司∈IB公司-jifor all j公司∈ J和BJJ∈ Rm×mhas非负o f-对角线元素。备注4.20。请注意，中部件的漂移部分d也可以写成βI+BIIxI=ebixi，其中ebii，ij=βI，I+BII，ij表示所有j∈ {1，…，d}满足BII1=0和BII，ij≥ 0对于所有i，j∈ 一、 I 6=j。

为了与文献一致，我们保留了一个常数项的符号。在上述参数条件下，还得到了鞅问题解的存在性。然而，通常不知道定义3.1意义上的适定性以及因此而存在的多项式过程。然而，在某些参数限制下，这是可以实现的。特别是，当m=1时，下列公式成立，并且与定理4.10的条件有关。提案4.21。考虑命题4.19中给出的参数。假设i 6=j的αij=0，则与命题4.19中所述特征相对应的鞅问题是适定的。5、多项式模型中的相对套利本节致力于描述在所谓的有界风险无无界利润（NUPBR）条件下，多项式差异市场权重和资产价格模型中存在的相对套利机会。注意，由于备注2.6，相对套利仅取决于市场权重过程u。因此，我们只考虑并称之为多项式市场权重模型。回想一下，它们是根据可容许的简单参数集（βu、Bu、γu）来表征的。回想一下，在[10]中引入的（NUPBR）条件意味着集合{YθT | Tθ∈ J（u）}概率有界。这里，J（u）表示与定义2.1类似的u相关的所有自我融资、1-容许交易策略的集合。这种（NUPBR）条件是连续时间经济合理模型的最低要求，也是随机投资组合理论中的常见假设。以下定理提供了（NUPBR）下相对ar比特率的特征。它的证明以及随后命题和引理的证明如附录C定理5所示。1.

让T∈ （0，∞) 表示某个特定的时间范围，并让u成为市场权重的非经济差异过程带u的数据∈d、 由允许的单纯形参数集（βu，Bu，γu）描述，对于alli 6=j，γuij>0∈ {1，…，d}。然后，以下断言是等效的：（i）模型满足性（NUPBR），存在较强的相对套利机会。（ii）存在一些i∈ {1，…，d}使得对于{ui=0}中的某些元素，bui>0，对于所有此类指数i，我们有2βui+mini6=j（2Buij- γuij）≥ 0.（5.1）随机投资组合理论中的多项式过程17备注5.2。（i） 注意，（5.1）加上γuij的严格正性，尤其意味着{ui=0}上的bui>0。（ii）与波动稳定市场模型（见备注4.4）类似，多项式市场权重模型显示正超额增长率γu*=dXi=1uidhloguii=dXi=1uiclog（u）ii=dXi=1cuiiui≥ mini6=jγuijd- 1，当γuij>0时，所有i 6=j且u取值其中后者与（5.1）相当∈ {1，…，d}。因此，可以在足够长的时间范围内产生功能性产生的相对收入机会，如【19，示例11.1】所示。（iii）在uta kes va lues in的条件下dandγuij>0对于所有i 6=j，也可以从[3]中看出，在任意时间范围内存在强的仅长期相对套利。实际上，本文中的假设（2.8），即最小市场权重满意度的瞬时方差为u（d）（d）≥ 由于tocu（d）（d）u（d）=Xj6=（d）γu（d）juj，满足某些常数K的Ku（d）≥ mini6=jγuij（1- u（d））≥d- 1dmini6=jγuij，其中我们使用u（d）≤d、 备注5.3。众所周知，（NUPBR）等价于asupermartingale偏差的存在，这是一个D=1且DT>0的非负过程D，因此DYθ是所有θ的超级Martingale∈ J（u）（参见例如[35]）。

更准确地说，如【43】所示，这可以加强到严格正局部鞅定义的存在（另请参见【33】及其参考文献），即严格正局部鞅Z，Z=1，因此Zu是局部鞅。以下命题建立了多项式市场权重模型的完备性和严格正局部鞅的唯一性，这一性质与随后构建强相对套利相关。在定理5.1的证明中，还需要证明强相对套利的存在性。提案5.4。设u为市场权重的多项式微分过程定理5.1的das满足一个等价条件（i）或（ii）。然后，以下断言成立：（i）如备注5.3所述，存在一个唯一的严格正局部鞅。（ii）该模型是完整的，因为每个有界FT可测索赔Y都可以通过一些策略ψ进行复制。更精确地说，Y=E[Y ZT]+ZTψsdus，P-a.s.为真。备注5.5。严格正的局部鞅导数Z可以用E表示(-R·λ（u）duc），其中ucdenotes是u和λ的可分部分，在引理c.6.18 CHRISTA Cuchieroth中是特殊的。定理5.1的证明基于随后的引理和命题，这些引理和命题本身很有趣。我们首先断言，具有非退化扩散矩阵的连续多项式鞅，对于所有i 6=j，γuij>0在任意时间范围内以正概率到达每个边界段。引理5.6。设u为市场权重的连续多项式鞅d、 由允许的单纯形参数集（βu，Bu，γu）描述，对于所有i 6=j，βu=0和Bu=0，γuij>0∈ {1，…，d}。然后对于任何T>0，k∈ {1。

，d}，u∈d、 对于某些t，我们有ukt=0≤ T具有正概率。下一个命题用容许单纯形参数集上的精确条件刻画了边界的不可达性。提案5.7。设u为市场权重的多项式微分过程D由允许的单纯形参数集（βu、Bu、γu）描述，ui>0P-a.s。那么以下断言是等效的：（i）对于所有t>0，uit>0 P-a.s.（ii）2βui+mini6=j（2Buij- γuij）≥ 0、备注5.8。O观察该条件（5.1）因此准确地对应于{ui=0}的不附加。在确定了相对套利机会的存在性之后，让我们关注它们的实现。我们将考虑所谓的最优套利（见例[14]）。定义5.9。我们用UT表示时间T>0时1的超边际价格，即UT：=inf{q≥ 0个|θ∈ J（u），含Yq，θT≥ 我们称之为临时套利。以下备注描述了与第5.4条中严格的局部马丁格尔系数Z的关系以及如何实现这些最优套利。出于技术原因，在备注5.10 a和命题5.11的声明中，我们假设(Ohm, （Ft），F，P）为规范过滤概率空间，如【42，第5节】中所述。备注5.10。考虑从理论5.1开始的多项式差异市场权重模型，并假设（i）或等效（ii）成立。设J={J，…，jk}，0≤ k≤ d、 表示在{uji=0}上buji=0且集E：={u∈ 对于所有j，d |uj>0/∈ J} 。然后，可以通过投资和复制收益1来实现最佳套利≡ 1E（uT）P-a.s.，其中最后一个身份是5.7号提案的结果。更精确地说，用Z表示命题5.4的严格正鞅。然后，通过超边缘二元性（参见。

【35，第32页】在目前的情况下，如命题5.4所证明的，只有（NUPBR）和模型的完整性成立，我们有UT=E【ZT】和“最佳套利时间的价格”由G（t，ut）=E【ZT | Ft】ZT=E【1E（ut）ZT | Ft】ZtP-a.s.=等式【1E（ut）| Ft】，（5.2）随机投资组合理论中的多项式过程19，其中Q表示所谓的F¨ollmer测度（见[25，11，15，42]及其参考文献），其中P<< Q保持不变，且在其下u是一个鞅，直到u离开E时为止。（5.2）中的最后一个等式来自于[42，定理5.1]，注意到Zt>0 P-a.s和Q-a.s.在E上。假设g是充分正则的，则复制增量对冲策略通过θit=Dig（T，uT）（5.3）（比较[42，orem 4.1]）来计算。注意，在乘法设置中（见附录A），这可以转换为投资组合权重g，由πit=uit得出Dig（t，ut）g（t，ut）+1-dXj=1uitDig（t，ut）g（t，ut）.为了至少大致实现上述策略，可以利用多项式特性。事实上，以下命题提供了多项式方面最佳仲裁策略的近似值，可以通过近似函数u7轻松实现→ 1E（u）通过多项式。提案5.11。考虑上文5.1中的多项式差异市场权重模型，并假设（i）或等效（ii）成立。然后，对于每个ε>0，存在一个时间相关多项式u7→ pε（t，u）和通过i定义的st策略，εt=倾角ε（t，ut），使得p[Yεt>1]≥ 1.- ε。此外，asε→ 0，Yθεt将P-a.s.收敛到最优套利。备注5.12。注意，“近似最优套利”策略可以通过矩阵指数显式计算，如（C.8）所示。附录A。

乘法建模框架除了第2节之外，让我们在此简要回顾一下乘法建模框架，它曾是随机投资组合理论中的标准框架，如果半鞅的每个分量都是严格正的，则可以应用它。实际上，S可以用R=0的d维半鞅R的随机指数来表示Ri>-1，即Si=SiE（Ri），其中Ris被解释为回报过程。在此框架内，可以用定义如下的投资组合概念来替代交易策略：定义A.1。（i） 投资组合π是一个可预测的过程，其值为（x∈ 研发部dXi=1xi=1），使得（π，…，πd）是R-可积的。每个πIt表示在时间t投资的当前财富在i的ITH资产中的比例∈ {1，…，d}。（ii）满足πi的投资组合≥ 0代表所有i∈ {1，…，d}，即它在单位单纯形中取值dis仅称为long。20 CHRISTA CUCHIERONote，即（2.2）中定义的市场权重，是一种特殊的长期投资组合，按照其相对权重比例投资于所有资产。通过稍微滥用符号，我们表示初始财富v>0以及根据投资组合π通过Vv，π进行交易所实现的财富过程。通过将当前财富的比例转换为股票数量，我们可以通过i=Vv，π定义交易策略-πiSi-, i=1，d因此，Vv，π的动力学可以写成DVV，πtVv，πt-=nXi=1πitdSitSit-=nXi=1πitdRit，Vv，π=v>0。类似地，在（2.3）中定义的相对财富过程的动力学在Dyq，πtYq，πt给出的设置中-=dXi=1πitduituit-, Yq，π=q，完全类似于（原始）财富过程，其中我们有uIIn而不是Si。附录B.第4B节的证明。第4.1小节的证明。命题4.1的证明。我们从证明（i）开始。