随机投资组合理论中的多项式过程

回想一下ui=Si/σ，我们可以重写（4.1）asdSit=1+α∑tdt+qSit∑tdWit。（B.1）根据【5，定理1.2和推论1.3】（另请参见【18，第4节，5】），该方程组有一个由Rd++支持的弱解，这在概率定律意义上是唯一的。等价地说，这意味着相关的鞅问题是适定的。因此（S，…，Sd）是一个It^o-半鞅，它是马尔可夫的，而后者由于鞅问题解的唯一性，遵循了[13，定理4.4.2]。此外，从（B.1）中我们可以看到，位移和微分矩阵是S分量中的线性和二次函数。因此，这就简化了多项式性质和（4.3）中所述的微分特征的for m。关于（ii），请注意，∑的不同特征由（b∑，c∑，K∑）给出=d1+α∑，∑，0,这意味着∑可以在（4.4）中表示为s。命题4.3的证明。为了计算（u，…，ud）的不同特征，我们将[34，命题2.5]应用于C函数f：Rd+1，这只是It^o\'s公式的一个推论++→d、 fi（S，…，Sd，∑）=Si/σ=ui，i∈{1，…，d}。用随机投资组合理论中的Sd+1和▄S表示∑：=（S，…，Sd+1）及其微分多项式过程21相应的特征，即。

b∑=bSd+1etc。，我们从命题4.1和[34，命题2.5]中获得漂移bubui=定义（~S）bSi+Dd+1fi（~S）bSd+1的以下形式+Diifi（S）cSii+2Di（d+1）fi（S）cSi（d+1）+d（d+1）（d+1）fi（S）cS（d+1）（d+1）=Sd+11+αSd+1-Si（Sd+1）d（1+α）Sd+1+-2（Sd+1）Sd+1Si+2Si（Sd+1）（Sd+1）|{z}=0=1+α- uid（1+α），对于扩散部分，cucuii=（定义（~S））cSii+2Difi（~S）Dd+1fi（~S）cSi（d+1）+（Dd+1fi（~S））cS（d+1）（d+1）=（Sd+1）Sd+1Si- 2Sd+1Si（Sd+1）Sd+1Si+（Si）（Sd+1）（Sd+1）=ui- 2（ui）+（ui）=ui（1- ui），cuij=定义（S）Dd+1fj（S）cSi（d+1）+Dd+1fi（S）Djfj（S）cSj（d+1）+Dd+1fi（S）Dd+1fj（S）cS（d+1）（d+1）=-（Sd+1）Sj（Sd+1）（SiSd+1）-（Sd+1）Si（Sd+1）（SjSd+1）+Si（Sd+1）Sj（Sd+1）（Sd+1）=-uiuj，i 6=j。此处注意，t cSi（d+1）=SiSd+1。这已经产生了（4.7）中差异特征的形式。注意到（4.6）给出的雅可比过程的不同特征是相同的，并且与相关鞅问题具有唯一解（参见[9，引理6.1]），我们得出结论，（u，…，ud）定义通过ui=Si/∑对应于该解。由于（S，…，Sd）取Rd++中的值，因此（u，…，ud）的状态空间显然是d、 此外，由于Sis马尔可夫关于（Ft），这也是u的情况。由于Markovproperty是通过传递给u所适应的较粗过滤来保存的，在我们的案例中，其自然过滤（Gt），我们可以得出（u，…，ud）相对于（Gt）的多项式性质。命题4.6的证明。注意，鉴于命题4.1和4.3，我们只需证明S和u之间的瞬时协方差是状态变量中的四次多项式。为了计算这一点，我们按照命题4.3的顶部进行。设f:Rd+1++→d×Rd+1++，fi（S，…，Sd，∑）=Si/σ=ui，fd+i（S，…，Sd，∑）=Sifor i∈ {1，…，d}和f2d+1=∑。

用Sd+1表示∑，并相应地表示其不同特征，并写下∑S：=（S，…，Sd+1），we22 CHRISTA CUCHIEROhavecu，Sij=定义（S）Djfd+j（▄S）cSij+Dd+1fi（▄S）Djfd+j（▄S）c▄Sj（d+1）=Sd+1cSij-Si（Sd+1）SjSd+1=（Si- uIsif i=j-uiSj=-ujSiif i 6=j。类似地，我们有cu，∑i=cu，Sd+1i=定义（S）Dd+1f2d+1（S）cSi（d+1）+Dd+1fi（S）Dd+1f2d+1（S）cS（d+1）=Sd+1ISD+1-Si（Sd+1）（Sd+1）=0。这与命题4.1和4.3中给出的动力学形式一起，意味着u和∑的独立性。B、 2。第4.2节的证明。定理4.10的证明。我们证明了（i）和（ii）的等价性，证明了这两个条件都意味着（iii）。让我们从证明（i）开始=> （iii）。通过对多项式市场权重模型的定义，u是一个多项式过程。因此，通过命题4.19取m=0（另见[24，命题6.6]），u的特征形式立即出现。此外，由于（u，S）是多项式，∑的微分特性必然满足fyb∑=κ+dXk=1λkSk+dXk=1ηkuk，c∑=α+dXk=1φkSk+dXk=1ψkuk+Xk，lζklSkSl+Xk，lθkl klukSl+Xk，lξkl kul，c∑，ui=ai+dXk=1AikSk+dXk=1Bikuk+Xk，lciklsl+Xk，lDiklukSl+Xk，lEiklukul，对于某些参数κ，α，ai∈ R、 λ，η，φ，ψ，Ai，Bi∈ Rdandζ、θ、ξ、Ci、Di、Ei∈Rd×d。我们在这里假设w没有失去一般性，η，ψ，Bi，以及θ，Di，ξ，（ξ）的列, Ei，（Ei）对于某些常数k 6=0，不等于k1，因为线性部分和常数部分将是多余的。现在让我们计算S的微分特征。对于漂移，我们有bsi=∑bui+uib∑+c∑，ui=βui∑+dXk=1BuikSk+κui+ui（dXk=1λkSk+dXk=1ηkuk）+c∑，ui。随机投资组合理论23中的多项式过程由于二次项必须消失，我们得到以下关系，对于所有i，k，l∈ {1。

，d}Cikl=0Diii+λi=c，Diik+Diki+λk=c，k 6=i，Dikl=0 k 6=i和l 6=i，Eiii+ηi=e，Eiik+Eiki+ηk=e，k 6=i，Eikl=0 k 6=i和l 6=i，对于某些常数c和e。因此，bSi=βui∑+dXk=1BuikSk i+κi+ai+dXk=1AikSk+dXk=1Bikuk+cSi+eui，（B.2 c∑，ui=ai+dXk=1AikSk+dXk=1Bikuk+uidXk=1（c- λk）Sk+dXk=1（e- ηk）uk！。（B.3）对于瞬时方差，我们得到Csii=（ui）c∑+2ui∑c∑，ui+σcuii=（ui）α+dXk=1φkSk+dXk=1ψkuk+Xk，lζklSkSl+Xk，lθklukSl+Xk，lξklukul+ 2Siai+dXk=1AikSk+dXk=1Bikuk+uidXk=1（c- λk）Sk+dXk=1（e- ηk）uk+Xk6=iγuikSiSk。为了获得deg-ree 2的多项式，需要满足以下条件：ζkl=ζ+2λk，θkl=φ-φl+2ηk，ξkl=ξ- ψk，（B.4）对于所有l，k∈ {1，…，d}。这里，ζ，φ，ξ表示一些常数。在c∑yieldsc∑=α+ξ+φ∑+ζ∑+2∑dXk=1λkSk+2∑dXk=1ηkuk的表达式中插入（B.4）。将c∑视为（u，S，∑）的函数，只要（S，∑）=0，它就必须消失，因为∑是一个严格的正过程。这意味着α+ξ=0。由于（u，∑）的瞬时协方差矩阵必须为正半定义，且cu和c∑均不包含常数项，因此所有i∈ {1，…，d}。

因此，综合起来，我们得到Csii=（φ+2e）uiSi+（ζ+2c）（Si）+2Si（dXk=1AikSk+dXk=1Bikuk）+Xk6=iγuikSiSk。（B.5）24 CHRISTA Cuchierof对于瞬时c卵巢，我们有CsIj=uiujc∑+ui∑c∑，uj+uj∑c∑，ui+uij=uiuj（φ∑+ζ∑+2∑dXk=1λkSk+2∑dXk=1ηkuk k）+SidXk=1AjkSk+dXk=1Bjkuk+jdXk=1（c- λk）Sk+dXk=1（e- ηk）uk！！+SjdXk=1AikSk+dXk=1Bikuk+uidXk=1（c- λk）Sk+dXk=1（e- ηk）uk！！- γuijsij=φSiuj+ζSiSj+SidXk=1AjkSk+dXk=1Bjkuk+cSj+euj！+SjdXk=1AikSk+dXk=1Bikuk+cSi+eui！- γuijsij。（B.6）最后，我们计算u和Scu之间的瞬时协方差，Sii=uic∑，ui+σcuii=uidXk=1AikSk+dXk=1Bikuk+uidXk=1（c- λk）Sk+dXk=1（e- ηk）uk！！+SiXj6=iγuijuj.cu，Sij=ujc∑，ui+σcuij=ujdXk=1AikSk+dXk=1Bikuk+uidXk=1（c- λk）Sk+dXk=1（e- ηk）uk！！- γuijSiuj.（B.7）为了获得e 2阶多项式，我们必须对所有k，λk≡ λ，其中λ表示现在（通过稍微滥用符号）某个常数。类似地，对于so me k，η=k1，但对于k 6=0，η6=k1表示η=0。这与α+ξ=0 yieldsc∑=φ∑+（ζ+2λ）∑b∑=κ+λ∑一起。（B.8）为了遵守∑=Pdi=1Si的条件，我们需要验证B∑=Pdi=1bsia和c∑=Pi，jcSij。该le符合以下条件SaiI=λ- c、 Aik=0，i 6=k，Bii=-e、 Bik=0，i 6=k，表示由于（B.3）c∑，ui=0。（B.9）随机投资组合理论中的多项式过程25因此，我们从（u，∑）的特征形式中可以看出，这是一个多项式过程d×R+。尤其是，（B.9）符合提案4.19。此外，从命题4.19可以看出，κ、φ和ζ+2λ必须是非负的。由于∑是严格正的，引理B.1进一步暗示了条件2κ- φ≥ 为了获得特征的最终形式，我们现在在方程式（B.2）、（B.5）、（B.6）和（B.7）中插入所有这些限制。

（B.8）和（B.9）给出了∑的维持特性，c∑是直接计算的结果。观察到涉及ζ的唯一表达式是ζ+2λ，因此我们可以替换ζ+2λ≥ 0通过某个参数σ≥ 然后，这将使第（iii）节中的特征形式具有相应的可容许参数。为了证明（i）=> （ii）只需证明u和∑的独立性。在这方面，请注意，与u和∑的特征相关的备注3.5意义上的鞅问题（参见[9，引理6.1]，[5，Co-rollary1.3]或命题4.21）是适定的。因此，该解对应于dut=butdt+qcutdBt的aweak解，d∑t=（κ+λ∑t）dt+pφ∑t+σ∑tdZt，其中b是d维标准布朗运动，Z是一维的，与b无关。当u和∑完全解耦时，独立性随之而来。现在让我们转向相反的方向（ii）=> （i） 首先证明（ii）意味着（iii）。观察容许单纯形参数集和参数κ，φ的存在性∈ R+带2κ+φ≥ 0，λ，σ∈ R确定u和∑的特征形式紧随4.19和LemmaB的建议。在这方面，请注意u和∑的独立性意味着b othb∑和c∑不依赖于u。然后，可以使用Si=ui∑的fac t，通过It^o的乘积规则轻松计算剩余特性。

这就产生了（iii）中所述的表达式，这意味着联合过程（u，S）是多项式。这一点，再加上u在其自身的过滤中显然是一个多项式过程，可以得出结论，（u，S）是一个具有连续轨迹的多项式市场权重和总价格模型，因此（i）。该定理的最后一个陈述再次源自这样一个事实，即只要所涉及的参数满足所述的可容许性条件，则与（iii）中给出的u和∑特征相对应的鞅问题是适定的。多项式市场权重和资产价格模型的存在性可以在方向证明（ii）中得出=> （i） 。在上述证明中，需要下列引理来刻画一维多项式过程的严格正性。引理B.1。设∑是R+上的多项式微分过程，其中∑>0，b∑t=κ+λ∑，c∑t=φ∑t+σ∑twhereκ，φ≥ 0和λ，σ∈ R、 那么以下断言是等价的：（i）对于所有t>0，∑t>0 P-a.s.（ii）2κ-φ≥ 0.26克丽斯塔CUCHIEROProof。证明（二）=>（i） 我们将McKean的论点（参见[39，命题4.3]）应用于对数（∑）。然后通过It^o公式，我们得到t<τ：=inf{s≥ 0∑s=0}对数（∑t）=对数（∑）+Zt2κ- φ2∑s+λ-σds+Ztpφ∑s+σ∑s∑sdWs，其中W表示某种一维布朗运动。由于漂移中的第一项为非负项，第二项为常数，我们推断，对于每一个T>0输入∈[0，τ∧T） Zt公司2κ- φ2∑s+λ-σds>-∞, 因此，P-a.s.Mc Kean的论点（如[39，命题4.3]）得出τ=∞这就意味着断言。对于相反方向，我们应用[24，定理5.7（iii）]，并假设（ii）不成立，即2κ- φ<0。在[24，定理5.7（iii）]的术语中，我们有p（x）=x，(R)x=0，h（x）=φ+σx。

自Gp（(R)x）=Gp（0）=κ≥ 0和2Gp（(R)x）- h（\'x）p′（\'x）=2κ-φ<0，[24，定理5.7（iii）]因此意味着，在T上的任何时间水平，我们都可以找到一些∑>0接近0，从而以正概率命中0。这与（i）相矛盾，并证明了该断言。命题4.14的证明。让我们从证明（i）开始=> （二）。由于u被认为是一个多项式过程，因此（iii）中所述u的特征形式与命题n 4.19中的定理4.10类似。此外，由于S也被假定为多项式，∑的微分特征必然满足b∑=κ+dXk=1λkSk，c∑=α+dXk=1φkSk+Xk，lζklSkSl，对于某些参数Sκ，α∈ R、 λ，φ∈ Rd和ζ∈ Rd×d。使用这些表达式和u的特性，我们现在计算i的Si=ui∑的微分特性∈ {1，…，d}。对于漂移，我们有bsi=∑bui+uib∑+c∑，ui=βui∑+dXk=1BuikSk+κui+ui（dXk=1λkSk）+c∑，ui。为了在S的组分中获得一个有效的函数，c∑，u必须符合以下公式c∑，ui=ai- κui+dXk=1AikSk+uidXk=1（c- λk）Sk。（B.10）随机投资组合理论中的多项式过程27因此，bSi=βui∑+dXk=1BuikSk+ai+dXk=1AikSk+cSi。（B.11）对于瞬时方差，我们有Csii=（ui）c∑+2ui∑c∑，ui+σcuii=（ui）（α+dXk=1φkSk+Xk，lζklSkSl）+2Siai- κui+dXk=1AikSk+uidXk=1（c- λk）Sk+Xk6=iγuikSiSk。为了获得不依赖于u的二次多项式，对于所有l，k，必须满足以下条件α=0ζkl=ζ+2λk，φk=2κ∈ {1，…，d}。这里，稍微用一点符号ζ表示某个常数。将这些限制插入到c∑中会产生c∑=2κ∑+ζ∑+2∑Pdk=1λkSk。

由于（u，∑）的瞬时协方差矩阵必须为正半定义，且cu和c∑均不包含常数项，因此对于所有i∈ 1.d英寸（B.10）。然后我们得到csii=（ζ+2c）（Si）+2SidXk=1AikSk+Xk6=iγuikSiSk（B.12），瞬时协方差cSijcSij=uiujc∑+ui∑c∑，uj+uj∑c∑，ui+uij=uiuj（2κ∑+ζ∑+2∑dXk=1λkSk）+Si-κuj+dXk=1AjkSk+ujdXk=1（c- λk）Sk！+Sj公司-κui+dXk=1AikSk+uidXk=1（c- λk）Sk！- γuijsij=（ζ+2c）SiSj+SidXk=1AjkSk！+SjdXk=1AikSk！- γuijsij。（B.13）28 CHRISTA CUCHIEROTo保证∑=Pdi=1我们需要实现B∑=Pdi=1和c∑=Pi，jcSij。因此，有必要施加κ=0和ii=λi- c、 Aik=0，i 6=k，因此我们最终从（B.11）、（B.12）、（B.13）中获得（ii）中所述特征的形式。请注意，位置4.19中规定的S特征中的矩阵α由ζ11给出+ ∧-γu，其中∧ij=λi+λjand 1表示所有条目均等于1的向量。因此，根据命题4.19，我们要求ζ11+∧-γu+诊断（γus）诊断（s）-1每s为正半定义∈ Rd++。作为γuij≥ 0表示所有i 6=j，Diag（γus）Diag（s）-1=诊断sXj6=1γu1jsj，sdXj6=1γudjsj为正定义。通过相应地选择j 6=i的SJ，可以使每个组件SiPj6=iγuiJSJ任意变小。然后得出ζ11+∧-γu为正酰胺，ζ+2λi≥ 当评估（ii）时，所有i均为0。相反，假设（ii）。那么S的物理性质就很清楚了。此外，（u，∑）的特性可以很容易地计算出来，如（iii）所述。由此我们可以看出，u是关于（Ft）的马尔可夫It^o半鞅，而thusalso是关于其自然过滤的。因此，我们可以得出u的多项式性质，从而得出（i）。（iii）中所述特征的形式由（i）和（ii）通过简单计算得出。推论4.16的证明。这是定理4.10的简单序列。

事实上，一方面条件（i）意味着κ=φ=0，因此我们从定理4.10中的（ii）中推断，∑简化为Black-Scholes模型。另一方面，条件（ii）也明确表示κ=φ=0。根据定理4.1 0第（iii）项中所述S的特征形式，我们推断S是关于其自身过滤的多项式。B、 2.1。第4.2.1节的证明。4.17的证明。通过u和∑的独立性，Si=ui∑的特性和（u，S）关于截断函数χ（ξ）=ξ的联合特性如下bsi=∑bui+uib∑+Zξuiξ∑K（u，∑，dξu，dξ∑），cSij=∑cuij+uiujc∑，cu，Sij=∑cuij，K（u，S）（G）=ZGξu，ξud，ξ∑+ξ∑+ξ∑，udξ∑+ξud+ξudξ∑K（u，σ，dξu，dξ∑），其中A Rd+m，K（u，∑，A）=K（u，{ξu：（ξu，0）∈ A} ）+K（∑，{ξ∑：（0，ξ∑）∈A} ）由于u和∑的独立性。这尤其意味着u和∑不能跳到一起，并且bSi表达式中的跳项消失s。因此，bSi=∑bui+uib∑，因此，由于u和∑的独立性以及命题4.19中所述参数的形式，bSi是随机投资组合理论29（u，s）中多项式过程分量中的degr ee 1多项式。同样，我们根据（4.8）得出，cSij+Z（uiξ∑+∑ξui+ξuiξ∑）（ujξ∑+∑ξuj+ξujξ∑）K（u，σ，dξu，dξ∑）=cSij+Z（ujξ∑+ξuj+ξujξξ∑+ξjξξ∑）ξiK（u，dξ，dξ∑））=cu，Sij+Z∑ξuiξujK（u，dξu）是（u，S）分量中的二次多项式。最后，对于k=（k，…，k2d）Z（ξu）k···（ξud）kd（uξ∑+ξu+ξuξ∑）kd+1··（udξ∑+ξud+ξudξ∑）k2dK（u，∑，dξu，dξ∑）=Z（ξ）k+kd+1··（ξd）kd+k2d∑Pdi=1kd+iK（u，dξu1{（k，…，kd）=0}Z kd+1····uk2dd（ξ∑）Pdi=1kd+iK（ξ∑，dξ∑）位于P | k|(d×Rd+，即它们是（u，S）分量中的| k |次多项式。