随机投资组合理论中的多项式过程

这表明了（u，S）的多项式性质，因为定义3.1的矩条件为u和∑，假设满足它。B、 2.2。命题4.19的证明。为了证明命题4.19，我们从以下辅助引理开始，它们将[9，引理E.1，E.3]的断言转化为当前状态空间D=d×Rm+表示d≥ 引理B.2。考虑一个多项式p∈ 请注意。（i） 如果p消失d×Rm+∩ {xi=0}对于某些i∈ {1，…，d+m}，可以写为asp（x）=xipin-1，对于某些pin-1.∈ Pn编号-1.（B.14）（ii）如果p在d×Rm+∩（{xi=0}∪{xj=0}）对于某些i，j∈ {1，…，d+m}，它可以写成asp（x）=xixjpijn-2，对于一些pijn-2.∈ Pn编号-2.（B.15）证明。请注意，在状态空间上d×Rm+每多项式p∈ pn可以写成asp（x）=x | n |=npnxn，表示实际系数（pn）| n |=n。实际上，这可以通过乘以Pdi=1xi=1的幂来实现。假设p值等于d×Rm+∩{xi=0}转换为0=p（x）=x | n |=n，ni=0pnxn，这意味着所有多指数n的pn=0，使得| n |=n和ni=0。Wethus认为p满足（B.14）。同样，对于第二个断言30 CHRISTA CUCHIERO（ii），对于所有多指数n，pn=0，因此| n |=n，ni=0或nj=0。因此（B.15）是正确的。对于随后的lemma的公式，重新调用符号I={1，…，d}和J={d+1，…，d+m}。此外，对于矩阵c∈ Sd+mwe为包含前d列和行以及类似cJJ的矩阵编写CI。类似地，xind xjs分别表示由第一个d和最后一个m元素组成的向量x。引理B.3。以下断言是等价的：（i）矩阵c（x）∈ Sd+msatis fies c（x）ej=0开d×Rm+∩ {xj=0}对于所有j∈ 我∪ J、 cII1=0开d×Rm+和cij∈ P对于所有i，j∈ 我∪ J、 （ii）矩阵c满足命题4.19（i）中规定的条件。证据

我们从证明（i）开始=> （ii）通过应用[9，LemmaE.3]和[24，命题6.4]中的类似论点。因为c（x）ej=0开d×Rm+∩ {xj=0}表示CIJ=0开d×Rm+∩{xj=0}因此，通过对称性cij=0d×Rm+∩（{xi=0}∪{xj=0}）。引理B.2（ii）与cij∈ Pthus产量cij（x）=-γijxixj对于所有i 6=j和一些γij∈ R、 此外，当cII1=0时d×Rm+，我们还有thattcii（x）=-Xj6=i，j∈Icij（x）=Xj6=i，j∈Iγijxixj，I∈ Ifor all x∈ d×Rm+。自cii以来≥ 0和γij可以写为γij=4cii（ei+ej），因此γij∈ R+表示i，j∈ 我和CIII的形式证明了。现在让我们考虑一下cjjfor j∈ J、 通过B.2（i），我们得到了cjj（x）=xjpj和一些函数pj，这已经得到了cjj（x）=αjjxj+xj（φJ+θ）的形式（j） xI+π（j） xJ）带αjj∈ R、 θ（j）∈ Rd，π（j）∈ π（j）j=0时的rm。C（x）的正半不确定性要求cjj（x）≥ 0表示所有x开启d×Rm+。这直接产生π（j）∈ Rm+。此外，通过为k设置xk=0∈ 使xjsu非常小，我们可以看到φJ+θ（j） xI≥ 所有xI都需要0∈ d、 力φj≥ maxi公司∈Iθ-（j） 一、最后，让我们∈ 柱θ（j）和∏的Rd×mconsist∈ Rm×mof柱π（j）。此外，让α∈ Sm含元素αij=-γi+d，j+d，i，j∈ {1，…，m}。Wethen haves公司-2cJJ（xI，sxJ）=Diag（xJ）αDiag（xJ）+Diag（xJ）Diag（s-1（φ+Θ）xI）+∏xJ）。让s→ ∞, 我们看到α+Diag（πxJ）诊断（xJ）-1.∈ Sm+适用于所有xJ∈ Rm++，引领cJJ的形成。对于i，仍需证明γij=0∈ I和j∈ J、 C的正半不确定性意味着CII（x）cjj（x）≥ cij（x）。（B.16）现在取xi=s和xk=1-sd-1对于I k 6=i。然后（B.16）读取ascii（x）cjj（x）=s（1- s） d- 1.Xk6=i，k∈Iγik（γjjxj+xj（φj+θ（j） xI+π（j） xJ））≥ γijsxj。对于接近1的s，le-ft手侧c可以任意变小，以便在γij6=0时不满足其质量要求。

这证明了第一个方向。随机投资组合理论中的多项式过程（Ⅱ）=> （i） ，唯一不明显的情况是cII的正中间不确定性。然而，这与[24，命题6.6]的证明完全一致。我们现在准备证明第4.19条的建议。证据我们首先证明关于必要参数条件的第一个断言。作为定义3.1意义上的多项式过程，意味着相应鞅问题在Remark3.5意义上的适定性。因此，我们可以引用[24，定理5.1]。在本文中，我们定义了以下多项式集P：={xi | i=1，…d+m}和以下多项式lq（x）：=1-Pdj=1xjsod×Rm+={x∈ Rd+m | p（x）≥ 0，p∈ P}∩ M、 其中M={x∈ Rd+m | q（x）=0}。[2 4，定理5.1]中所述的c（x）上的条件，是正极大值原理的结果，Thutranslate到（i）c（x）ej=0d×Rm+∩ {xj=0}对于所有j∈ 我∪ J、 （ii）cII1=0开d×Rm+。这与多项式性质一起给出了引理B.3（i）的条件，进而给出了命题4.19（i）中所述的瞬时协方差矩阵的形式。关于第（ii）部分，我们得到了一些β的多项式性质b（x）=β+Bx∈ Rd+命令B∈ R（d+m）×（d+m）。现在，让我们考虑[24，定理5.1]中涉及漂移部分的条件。为此，用G表示扩展的微型生成器，与Remark3.5Gf（x）=d+mXi=1Dif（x）bi（x）+d+mXi，j=1Dijf（x）cij（x）中引入的多项式过程相适应。条件Gq=0开启因此，[24，定理5.1]的d×Rm+产生βI1+xB（1，0）= 0开d×Rm+。因此，它可以写为βI1+xB（1，0）= κ（1-对于某些常数κ，dXj=1xj）=0。这表明BIJ=0，bI（x）不能依赖于xj。此外，我们还有βI1=κ和BII1=-κ1=-（βI1）1。

此外，[24，定理5.1]的第二个条件，即Gp≥ 0开d×Rm+∩ {p=0}对于所有p（x）=xi，i∈ I产生βI+Xk6=I，k∈IBijxk≥ 0通过插入ej，我们得到 j 6=i，thatβi+Bij≥ 0 For i，j∈ 一、 I 6=j。最后，对于所有p（x）=xj和j∈ J、 状况总成≥ 0开d×Rm+∩ {p=0}也必须满足。因此，我们可以设置xJ=0，以确定βJ+BJIxIhas在Rm+中表示所有xI∈ d、 因此βj≥ maxi公司∈IB公司-ji。此外，对于某些固定j，将xj设置为0∈ J和让xk→ ∞, 对于J k 6=j力Bjk≥ 这就完成了（ii）的预防。32 CHRISTA CUCHIEROProof提案4.21。注意，分量的鞅问题Dc可以单独考虑，因为漂移和协方差都不依赖于Rm+中的因子。这种情况下的适定性如下，例如from[9，引理6.1]。将这一点与[5，推论1.3]的陈述相结合，得出了这个结论。附录C.第5节的证明让我们在随后的证明中引入以下符号nee de d：符号C.1。对于容许的单纯形参数集（βu、Bu、γu），让cu：d→ Sd+和bu：d→ Rdbe由bui=βui+dXj=1Buijuj，cuii=Xj6=iγuijuiuj，cuij=γuijuiuj，i 6=j给出。请注意，我们在此处（以及之前）将cu和bu视为danduistands表示向量的ithcomponent ind、 后者也将用于后续证明中，从上下文中应该清楚，u是否代表市场权重的过程，或者更确切地说是d、 在插入上述函数时，我们写入bu和cut。我们用ecu表示删除了数据箭头和列的矩阵cu，用EBu表示删除了数据的向量bu。定理5.1的证明。我们开始证明（ii）=> （i） 。让我们首先证明不存在等价的度量Q~ P，其中u是马丁酒。自相矛盾地假设这样一个鞅测度Q存在。

通过引理5.6，该inturn意味着每个边界段{uk=0}，k∈ {1，…，d}，以正Q概率实现。但由于命题5.7，条件5.1相当于P下未达到边界段{ui=0}。因此，P和qc不能等价，根据资产定价的基本定理（见[10]），（NFLVR）不能满足。我们现在证明（NUPB R）满足。事实上，引理C.6存在一些函数eλ，使得e上的ebu=ecueλ（u）：={u∈ 对于所有j，d |uj>0/∈ J} 式中，J表示一组指数J，其中buJ=0，在{uJ=0}上具有ebu，ecu定义于C.1中。由于u取5.7中证明的值inE，λ（ut）对所有t都有意义∈ [0，T]表示满足所谓的弱结构条件（见[30，第3章]）。Moreoverteλ（ut）ecuteλ（ut）dt是P-a.s.定义。事实上，如引理C.6的证明所示，eλ（ut）ecuteλ（ut）由λ给出（ut）ecuteλ（ut）=（ebut）（ecut）+ebut.（C.1）通过引理C.9，我们得到了ecu- γ*eau为正半定义，其中γ*= mini6=jγuij和eau在引理C.7中定义。此外，如引理C.9所述，矩阵ecu和eau的秩始终相同。

根据[45，推论2]，1/γ*（eaut）+-（ecut）+因此是积极的半确定性，我们可以估计（ebut）（ecut）+ebut≤γ*（ebut）随机投资组合理论中的（eaut）+ebut.（C.2）多项式过程33As onD存在eau（以及ecu）的逆矩阵，我们通过引理C.7和tPd-1=1ebuj=-bud（因为漂移分量bu的总和必须为0），γ*（ebut）（eaut）-1ebut=γ*dXi=1（but，i）uitond、 引理B。2（i），我们知道∈ J、 对于某些常数κJ，buJ=κJujj。因此γ*（ebut）（eaut）-1ebut=γ*Xj公司∈JκJujt+Xj/∈J（but，J）ujt在上d、 将其扩展到E，得到与（eaut）相同的等式-1用（eaut）+和（C.2）和（C.1）代替，我们得到λ（ut）ecuteλ（ut）≤γ*Xj公司∈JκJujt+Xj/∈J（but，J）ujt.由于u取E中的值，因此我们可以得出RTEλ（ut）ecuteλ（ut）dt是分类的P-a.s.定义。因此，所谓的结构条件（参见[30，第3章]）成立，[30，定理3.4]因此意味着（NUPB R）适用于过程eu，进而也适用于u。As（NFLVR）<=> （NUPBR）+（NA）（参见[10]），由于（NFLVR）不成立，因此这意味着必然存在相对套利。此外，由于模型是完整的，因此它们很强。根据命题5.4 a和相对套利的存在，P-a.s.Payoffy=1可以在初始资本严格小于1的情况下复制，由E[ZT]<1给出，其中Z是命题5.4（i）中唯一的严格正鞅。关于另一个方向。假设存在较强的相对套利机会。让我们证明，一定存在∈ {1，…，d}，使得对于{ui=0}中的so元素，bui>0。实际上，对于所有i，在{ui=0}上bui=0。根据Le mma B.2（i），这意味着Bui=κiui，因为索引集J={1，…，d}，上述集合为d

现在考虑进程mt：=-中兴通讯λ（us）pecusdWs，其中W是d- 引理C.6中定义了一维布朗运动和λ。那么M的q值变化是z·eλ（us）ecuseλ（us）ds。与上述类似，我们在E=d估计z·eλ（us）ecuseλ（us）ds≤γ*Z·dXj=1κjujsds。因此，Novikov的条件herteλ（us）ecuseλ（us）dsi<∞因此，我们得出结论，e（M）是鞅。因此，通过Girsanov\'stheorem，我们获得了通过dQ/dP=E（MT）定义的等效测量值，例如在bui=0时，所有i∈ Q下的{1，…，d}。因此，u是Q下的鞅，这与存在强相对套利机会的事实相矛盾。因此存在一些i∈ {1，…，d}，使得对于{ui=0}中的某些元素，bui>0。现在，对于{ui=0}中的某些元素，bui>0。当（NUPBR）成立时，对于某些情况，它不可能以u=0的正概率发生∈ [0，T]并且对于某些T>s，uit>0，因为在这种情况下，可以生成无界函数。这意味着漂移必须足够强，以保证不以正概率到达边界段{ui=0}。根据命题5.7，当且仅当条件5.1满足时，情况就是这样。因此（ii）成立。为了证明命题5.4，回顾鞅的表示性质，或者通常是相对于具有连续轨迹的半鞅u的表示性质（参见[32，定义III.4.22]）。定义C.2。如果局部鞅M的形式mt=M+Zth，则它具有相对于u的表示性质sducs，其中ucdenotes是连续鞅部分，h∈ Lloc（uc）（见[32，定义III.4.3]）。多项式差分dhave表示性，因为鞅问题是适定的，如下所述。提案C.3。

设u为市场权重的多项式微分过程由容许的单纯形参数集（βu、Bu、γu）描述。然后，所有局部鞅都具有关于u的表示性质。证据根据[9，引理6.1]，通过备注3.5中的容许单纯形参数集（βu，Bu，γu）定义的多项式生成器G的鞅问题是适定的。因此，评估依据【32，Theo-rem II I.4.29（iv）】=> （i） 】。我们现在准备证明第5.4条的建议。命题5.4的证明。关于第一个断言，定理5.1的假设（i）意味着存在严格正的局部鞅偏差Z（见[43]）。根据严格正性和命题C.3，存在一个过程λ，使得zc可以表示为Z=E(-R·λsucs）。由于Zu需要是局部鞅，It^o的公式意味着λsatifiesbut=cutλt，P-a.s.（c.3），对于几乎所有t∈ [0，T]（与引理C.6比较）。虽然该方程不一定有唯一的解λ，但由·λ给出的Z的四次变化scusλsds是唯一确定的，因为√由于（c.3），c||λ是唯一的。关于第（ii）部分，定义：=E【Y ZT | Ft】，其中Z是第（i）部分的唯一严格正局部鞅定义。根据命题C.3，存在一些策略h∈ Lloc（uc），使mt=M+Zthsducs。随机投资组合理论中的多项式过程35现在考虑过程mtzt。然后根据它的乘积r规则和（C.3），很容易看出mtzt=M+ZtZs（hs+Msλs） dus。设置ψs=Zs（hs+Msλs），注意M=E[Y ZT]和MT/ZT=Yyields断言。引理5.6的证明。定义所有k∈ {1，…，d}，τk=inf{t≥ 0 |ukt=0}。我们证明了这个断言，它翻译了toPu[τk≤ T]>0，（C.4）对于所有T>0，k∈ {1，…，d}和u∈通过在尺寸d上的诱导。

Ford=2，我们有u∈Pu[τk≤ T]=（1- uk）1.-ZpT（u，dx）> 0，k=1，2，其中pT（u，dx）表示无漂移的一维雅可比过程的转移函数，如【37，方程13.26】中所示。这证明了d=2的断言。现在让我们看d≥ 3、对于d的感应步骤- 1 tod，我们首先显示集合A：={τk≤某些k}具有正概率。通过矛盾假设未达到边界，并用u（d）=miniui表示，用cu（d）（d）表示u（d）的瞬时方差。然后，如Remark5.2所示，我们有cu（d）（d），tu（d）t≥d- 1dmini6=jγuij，t∈0，T.根据【3】（另见备注5.2），该条件意味着在ho rizon【0，T】期间存在相对套利，但这与uisa鞅的fac T相矛盾，并证明P【A】>0。此外，还可以得出一定的固定指数k*∈ {1，…，d}使得*:= {τk*= 水貂τk∧T} 有正概率。请注意，Ak*是一组路径，其中边界段{uk*= 0}在其他和T/2之前或同时到达。现场Ak*, τk*< τk对于所有k 6=k*a、 由于d（见引理C.4）达到d的概率-三维模板（对应于d-2和d=3）的点dis 0。用eu表示k*组件已删除。根据上述论点，它认为在集合Ak上*, euτk*∈d-1、我们现在应用以Ak为条件的归纳假设*这意味着由于u的强马尔可夫性质，对于所有k∈ {1，…，d- 1} Peμτk*eτk≤TAk公司*> 0,36 CHRISTA CUCHIEROwhere eτk=inf{t≥ 0 | eukt=0}。自（Aj）j∈{1，…，d}连同Acis a分区Ohm, 我们有pu[τk≤ T]=dXj=1Pu[τk≤ T | Aj]P[Aj]+Pu[τk≤ T | Ac]P【Ac】≥ Peμτk*eτk≤TAk公司*P[Ak*]1{k6=k*}+ P[Ak*]1{k=k*}> 0命题5.7的证明。

证明（二）=> （i） 我们将引理B.1 Mc Kean的论点（参见[39，命题4.3]）的证明同样应用于对数（ui）。然后通过It^o公式，我们得到t<τ：=inf{s≥ 0 |uis=0}log（uit）=log（ui）+Zt2βui+Pj6=i（2Buij- γuij）ujs+2Buiiuis2uis+ZtPdj=1(√cus）ijuisdWs，其中W表示某种布朗运动。用J表示 {1，…，i-1，i+1，d} 表示fy arg mini6=j（2Buij）的指数- γuij）。n我们可以写2βui+Pj6=i（2Buij- γuij）uj+2Buiiui2uit=2βui+mini6=j（2Buij- γuij）2ui+（2Buii- mini6=j（2Buij- γuij））+Xj∈Jc \\{i}（2Buij- γuij- mini6=j（2Buij- γuij））uj2ui。由于第一项和最后一项为非负项，第二项为常数，我们得出每T>0 inf∈[0，τ∧T） Zt2βui+Pj6=i（2Buij- γuij）ujs+2Buiiuis2uis>-∞, 因此，P-a.s.Mc Kean在[39，P位置4.3]的论证得出τ=∞ 而这意味着断言。对于相反方向，我们应用[24，定理5.7（iii）]，并假设（ii）不成立，即2βui+mini6=j（2Buij- γuij）<0。在[24，定理5.7（iii）]的术语中，我们有p（u）=ui，这样cup=-γu1iui。。。Pj6=iγuijujui。。。-γudiudui= uih（u），随机投资组合理论中的多项式过程37，h=(-γu1iu，···，Pj6=iγuijuj，···，-γudiud）. 让j*为arg minj6=i（2Buij-γuij）并设u=ej*. 然后Gp（(R)u）=βui+Bij*≥ 定义为0 4.9和2GP（°u）- h类p（°u）=2βui+最小值6=j2（Buij- γuij）<0。根据[24，定理5.7（iii）]，因此，对于任何时间范围T，我们都可以找到一些u∈数据丢失到||Μ，使得{ui=0}以正概率命中。这与（i）相矛盾，并证明了该断言。引理C.4。设γu为所有i 6=j的γuij>0。然后m atr ix ecu∈ Sd公司-1++和cu的等级为d-所有u为1∈d、 证明。注意，矩阵ecu严格对角占优，即| ecuii |>Pj6=i | ecuij |，如果u∈d