长期投资

尽管存在这些困难，但本文的主要重点是指出现实和实际相关的情况，其中（5）中的条件期望成为当前时间t的函数，并且可能是一些可观察的状态变量。3价格动态的结构特性资产配置的关键决定因素是证券的价格动态。因此，为了准备下一节中的资产配置分析，我们对其一些结构特性进行了描述。第一小节讨论了通过（广义）随机贴现因子（SDF）进行定价。第二小节强调SDF的可交易性。以下小节确定了可交易SDF，即它们是所谓的增长最优投资组合（GP）的倒数。第四小节讨论了基准定价理论，并介绍了最低定价。第五小节解释了最低价格对于分析最优投资组合分配的有用性。3.1随机贴现系数市场动态中没有套利机会是金融经济学中的一个常见假设，通常用于确保金融市场定义良好。支撑建模效果的主要因素是资产定价的基本定理，该定理断言，没有所谓的经典套利机会，等同于存在一个等效的风险中性概率测度；参见Harrison和Kreps（1979）以及Delbaen和Schachermayer（2006）。在金融经济学的语言中，这相当于具有各自属性的随机贴现因子（SDF）的存在；参见例如Cochrane（2001）。不幸的是，停留在经典的无套利框架中是以限制性和潜在的不切实际的建模假设为代价的，这些假设阻碍了其在实践中的应用；参见示例。

Loewenstein和Willard（2000）以及Baldeaux等人（2015）。本文采用了一种更为普遍的方法，与越来越多的文献一致，这些文献避免了经典的无套利假设，并建议在比假设存在等效风险中性概率测度的建模世界更为广泛的建模世界中工作；见。g、 Loewenstein和Willard（2000）、Platen（2002）、Platen（2006）、Karatzas和Kardaras（2007）、Fernholz和Karatzas（2010）以及Platen和Heath（2010）。与我们追求的更一般的方法相比，对于短期投资来说，经典的、更具限制性的假设的后果可能很小。然而，正如我们所证明的那样，长期后果是巨大的。通过归纳Cochrane（2001）中总结的大量经典资产定价文献中提出的概念和想法，让我们引入以下假设：假设3存在一个经过调整的严格正过程（Fs）0≤s≤T、 T型∈ [0，∞) 0<英尺<∞ 几乎可以肯定t∈ [0，T]，对于所有一级证券Sjt，j=0，d、 自我融资投资组合的价值过程FTA产品的SDE和价值或价格过程是无漂移的，尤其是，（Ft·Sjt）0≤t型≤这是无漂移的。更精确地说，我们假设我们可以用F=1的形式写入Ft=Ft（aFtdt+bF>tdWt+cF>td'Wt）（6），用于合适的自适应实值过程aF，合适的自适应向量过程bF=（bF 1，…，bF d）>，以及合适的自适应向量过程cF=（cF 1，…，cF n）>，带有非负整数n。这里，非交易不确定性W=（\'W，…，\'Wn）>由n个独立布朗运动的avector过程给出，该过程独立于交易不确定性的布朗运动向量过程W。

我们将具有这些性质的F称为astochastic贴现因子（SDF）。这一假设比经典假设弱，其中产品过程（Ft·Sjt）0≤t型≤t必须形成（A，P）-鞅。这里我们只需要这些过程形成局部鞅。假设3允许我们以更加灵活、透明和统一的方式讨论建模者面临的定价和资产配置方面的不同交易。特别是，关于资产定价的成熟文献，作为一个特例，与我们的方法很方便地联系在一起。常见的建模方法首先假设存在风险中性概率度量。这样的限制将我们在假设3中都放松的两个条件混合在一起。首先，在经典的无套利假设下，我们通常假设对于任何价格过程（At）t∈[0，T]产品（AtFt）0≤t型≤t形成一个真正的鞅，这导致所有0≤ t型≤ s≤ T在假设3中，我们只要求AtFtis无漂移，从而形成一个局部鞅。其次，定价规则（7）恢复了所谓的经典风险中性定价，参见Cochrane（2001），当且仅当（Ft）0≤t型≤t形成真正的鞅。在这种情况下，风险中性概率度量通过Radon-Nikodym densityprocess（Ft）0进行表征≤t型≤T、 我们强调了一个至关重要的事实，即假设3允许更广泛的模型，其中fts只需要形成（a，P）-局部鞅，定价规则（7）只是许多可能的规则之一。正如我们稍后将看到的那样，普通经典建模方法的一个非常有力的假设是，资产价格乘以SDF需要形成一个真正的鞅。我们再次强调，在本文件中，我们不假设此属性。因此，定价规则（7）不需要在我们更一般的设置中始终保持不变。

此外，即使定价规则成立，这也不一定意味着（Ft）0≤t型≤Titself需要形成一个真正的鞅。这并不意味着我们的市场价格过程中不能有正式应用风险中性定价规则的结果。然而，我们只要求假设3，当与SDF相乘时，得到的价格过程没有漂移，从而形成局部鞅。虽然假设3中的局部鞅性质明显放松（与鞅性质相比），但它仍然施加了限制。这使我们能够得出以下结论：首先，（6）中的假设3意味着，对于本地无风险资产，t=1，aFt=0。此外，通过等式（1）和（2），它通过it^o公式，对于所有风险证券Sjtwith j=1，d thatd（FtSjt）=ftajtsjttt+Ftbj>tSjtdWt+SjtFtbF>tdWt+SjtFtcF>td'Wt+bj>tbftsjttt=SjtFtajt+bj>tbFtdt+SJTTbj>t+bF>tdWt+SJTFCF>td？Wt=SJTTNBJ>tθt+bFtdt公司+bj>t+bF>tdWt+cF>td'Wto。要使SDE无漂移，我们必须有bj>tθt+bFt= 0表示所有j=1，d、 这意味着我们需要bFt=-θt，即通过（6）我们得到dftft=-θ> tdWt+cF>td'Wt.（8）我们强调，这是我们市场上SDF的通用形式。3.2 SDF的可交易性假设3中SDF的四个定义明确允许SDF由交易驱动，也可能由非交易不确定性驱动，见方程式（6）。其中，SDF=（Ft）0≤t型≤T、 满足式（8）可以表示为ft=Fexp-Ztθ>sθsds-Ztθ>sdWsFt，（9），系数▄Ft=exp-ZtcF>scFsds+ZtcF>sd'Ws. （10） 流程F由非交易不确定性驱动，因此无法通过动态资产配置进行对冲。

分解（9）表明，在SDF中引入不可交易的不确定性相当于在SDF的构建中引入不可对冲的因子过程F。理论上，这一因素过程似乎为SDF的概念提供了更广泛的普遍性。然而，正如我们现在将要讨论的那样，它似乎没有在实际估值或对冲中提供任何可用的灵活性。因子F不是唯一的，但根据定义，任何对因子F的选择都不能由任何交易的不确定性驱动。从估值的角度来看这一事实，我们注意到，为了使定价规则（7）起作用，例如，在经典假设下，过程F必须是真鞅。根据随机演算的基本规则，（9）中的非交易不确定性F不会影响（7）中任何可对冲支付的价格，因此在这种估值方法中是多余的。因此，在对可复制索赔进行定价时，这是非常容易的。从最佳投资组合实际实施的角度来看，还有一个反对在SDF中引入超丰富因素Fin的概念性论点。我们将在接下来的章节中看到，最优投资组合及其价格过程将由SDF驱动。因此，当因子F不能从交易证券价格中复制时，即当非交易不确定性来源驱动SDF时，最优投资组合及其价格过程将由非交易不确定性驱动，即要求对非交易因子进行再投资。

为了实施这样的战略，我们必须使不可交易的不确定性可交易，这违背了目的。综上所述，SDF满足（8）的动力学形式的一般性（涉及因子F）是艺术性的，从实际可行性的角度来看，这种形式已经消失。基于这些见解，在本文的其余部分中，我们从SDF中删除了（9）中给出的超fluous non-tradeable factorF。相反，与经典假设相比，我们在本文中提供了更具实际相关性的灵活性：我们允许（AtFt）t∈[0，T]形成严格局部鞅（我们的方法），而不是真鞅（经典方法）。我们将证明这种灵活性对于降低长期投资成本非常重要。因此，在本文中，我们使用满足（8）且cFt=0的SDF，即从现在起SDDFT=-Ftθ>tdWt，（11）对于t≥ 0且F=1.3.3逆增长最优投资组合为SDF上一小节引入了可交易SDF的概念，我们在本小节中确定了这一概念，并在此讨论了其定价含义。价值VπGPt=VGPtat始终为t的增长最优投资组合（GP）∈ [0，T]以VGP=1的投资组合为特征，是唯一的，财富权重πGPt=bS，-1，>tθt（12），时间t∈ [0，T]（无消耗，C=0）。根据方程式（4），它完全符合SDEdVGPt=（πGP>taSt）VGPtdt+πGP>tbStVGPtdWt，=VGPt（θ>tθt）dt+θ>tdWt（13） 对于t≥ 0，VGP=1。根据假设1，GP存在于我们的市场中，也就是说，由于其明确的预期瞬时增长率θ>tθt，它在任何特定时间都是严格正的和确定的。通过将It^o公式应用于1/VGPtwe，发现t的ft=VGPt（14）≥ 0求解SDE（11）。因此，在假设3的意义上，GP的逆是SDF的合适选择。此外，SDF（14）可交易。

根据假设3，当用作GP分母时，可作为数字的可分解投资组合的任何其他候选应生成一个严格正的局部鞅，通过Fatou引理，该局部鞅是一个超鞅，参见Platen和Heath（2010）定理10.2.1。但当GP用作候选投资组合的分母时，它也是一个局部鞅，因此是一个超鞅。根据Jensen不等式，以GP单位表示的候选投资组合只能等于常数。因此，可交易SDF（14）是唯一的。在本文的其余部分中，我们根据方程式（14）设置F，或根据SDE（11）等效设置F。3.4基准定价理论由Platen（2002）提出的基准定价理论仅假设GP的存在，即所谓的基准，并将其作为其核心构建块。与FTI相乘的任何值称为基准值。特别是，我们用^Sjt=sjtvgpt表示主要风险证券Sjt的各自基准值，j=1，n、 并考虑基准财富过程^Vπ=VtVGPtwithout consumption（C=0）。（下一小节将研究基准消费调整财富过程^Gπ。）通过GP的存在，参见Platen和Heath（2010），市场上没有任何具有经济意义的套利，因为没有任何策略可以在有限的初始资本中产生具有有限财富的严格正投资组合。在经典无套利假设下，Long（1990）观察到，风险中性价格可以通过选择GP作为num'eraire和现实世界的概率度量作为定价度量来恢复。这意味着，Ft=1/VGPTRE的定价规则（7）在经典设置中涵盖了可复制或有权益的风险中性价格。

因此，GP也被称为num'eraire投资组合（NP）。基准定价理论比重新制定经典风险中性定价更为深入，它放弃了经典假设，参见Platen和Heath（2010），并要求仅存在GP。然后，它使用GP作为分母、num'eraire和基准。综上所述，基准定价理论通过将Ftequal设置为当地无风险基准证券（以GP为单位）来获得唯一且可交易的SDF。这意味着SDF Ft代表折扣GP的倒数。因此，通过设置▄Ft=1，t≥ 0在（10）中，我们通过（14）确定逆F-1使用折扣基准VGPT。在基准定价理论的一般背景下，几个自我融资的投资组合可以复制相同的支付。虽然这意味着经典的一价定律可能不再适用于我们所考虑的更一般的建模世界，这不允许创建任何具有经济意义的套利：不存在具有经济意义的套利应被解释为不存在具有有限瞬时增长率的严格正投资组合，从而可以在有限时间内实现；参见Platen和Heath（2010）。最重要的是，从概念的角度来看，我们注意到，一个价格法则的失败允许多个定价规则共存。例如，人们可以正式应用风险中性定价规则，即使F没有形成一个随机鞅。然而，正如我们现在将看到的，总是存在一个最低价格，这是唯一确定的。如前所述，增长最优投资组合（GP）最大化了来自终端财富的预期对数效用。

GP是表现最好的严格正投资组合，从长远来看，其价值几乎肯定会超过所有其他严格正投资组合的价值，参见Platen和Heath（2010），定理10.5.1。这也意味着GP（我们的SDF）的倒数是投资组合的倒数，从长远来看，这几乎肯定会导致价值低于任何其他严格正投资组合的倒数。因此，当我们将GP的倒数用作SDF时，我们可以直观地预期它将引导我们在所有潜在的价格过程中，为目标支付找到可能的最低价格。这意味着，当使用基准储蓄账户作为SDF时，可以通过定价规则（7）直观地获得可能的最小价格过程。为了做到这一点，我们引入了公平价格或价值过程的概念：定义4价格或价值过程（At）0≤t型≤它被称为公平，当它满足原则（7）时，GP的倒数为SDF=1/VGP，即为tvgpt=EAsVGPs在（15） 对于0≤ t型≤ s≤ T这意味着基准值^At=AtVGPt=FtAtforms an（A，P）-鞅。在公式（15）中，定价是在真实世界或客观概率度量下进行的，GP的倒数为SDF。在Platen and Heath（2010）中，这被称为真实世界定价，公式（15）被称为真实世界定价公式。假设3要求所有基准价格形成局部鞅。这意味着所有基准财富过程（无消费）都是局部鞅，因此是超鞅。众所周知，参见Du和Platen（2016）中的引理A1，鞅是在有界停止时间提供目标非负可积支付的最小非负上鞅。

这一事实意味着，基准财富过程（benchmarked wealthprocess）必须是一个鞅过程，因此，根据定义4，它必须是一个公平的价格过程。基准财富过程旨在尽可能减少初始费用，以实现特定的支付。各自的鞅存在且唯一，因为其在给定时间的基准值是可用信息下到期时基准投资组合价值的条件期望。我们将这一观点总结如下：推论5提供目标回报的最低价格或价值过程需要公平。更昂贵的价格或价值过程是可能的，当基准形成非负局部鞅，从而形成超鞅。需要强调的是，我们的假设确保了GP的存在，并避免了限制性的经典无套利假设。特别地，我们避免了存在等价风险中性概率测度的要求。这打开了一个比经典无套利假设下更宽的建模世界。3.5消费储蓄投资的最低定价上一小节引入了现实世界定价的概念，并表明这会导致最低可能的价格。现在让我们将这种定价方法应用于消费储蓄投资。回想一下，我们表示任何价值为Sjtby^Sjt=SjtVGPt=Sjtfits基准值的交易证券。对于给定的消费储蓄投资策略（π，C），通过方程式（3）-（4）定义财富过程，基准财富过程^Vπt=VtFt，weintroduce For t∈ [0，T]通过设置^GπT=^VπT+χZt^Csds，基准消费调整财富过程^Gπ，（16）基准消费^CπT=CπtFt。（17） 在（16）中注意到，将累计基准消费添加到基准财富中，以获得基准消费调整后的财富。