长期投资

weset f=0，χ=0，ε=1，B:x 7→ 经验值(-δT）x1-γ/（1）- γ） 对于γ6=1，分别为b:x 7→ 经验值(-γ=1时，δT）ln（x）。通常，γ指（相对）风险规避系数。然后，我们进入了第6.3小节的资产配置设置，并注意到投资策略通过ωt数字得到了很好的规定=五、*（t，v）标准普尔500指数中持有的vof单位，以及无风险证券中的剩余单位。对于实现，仍需确定V值*在整个时间和状态中，这要求我们计算等式（56）中的（有条件的）期望。尽管目前的结果表明相对风险规避系数γ=3，因为这是一种流行的金融选择。已对S＆P500的过程动力学进行了广泛研究，并对连续时间内的许多过程规范进行了研究。在本文中，我们特别感兴趣的是由单个布朗运动驱动的GP的马尔可夫过程。当假设股票市场的GP遵循普莱顿（2001）的最小市场模型（MMM）的动力学时，就会出现一个说明性的和相当现实的情况，另请参见普莱顿和希思（2010）中的第13章。当使用标普500总回报指数作为1871年至2017年期间GP的代理时，我们得到α=0.1828和η=0.0520。这允许我们计算上述期望值EhVGPT（1/γ）-1.VGPt=任何时间的Vi。为完整起见，附录B.2中提供了MMM和计算的详细信息。1925年1940年1955年1970年1985年2000年2015年财富10-1100101102103104GP60/40公用事业公司=3MV=3储蓄图1：1925年12月至2015年1月期间不同投资策略的财富动态。我们强调，我们采用MMM过程动力学只是为了计算公式（56）中的（有条件的）预期以及S&P500中的相关投资组合持有量。

GP的任何其他马尔可夫过程特征也将允许我们进行类似的处理。显然，我们越能捕捉GP和GP的随机动态，我们的策略在实施中的表现就越好，然而，为GP和相应模型找到合适的代理的任务超出了本文的范围。图1显示了从1925年12月到2015年1月，投资者的每月财富演变情况，当时她的初始财富为1美元（黄线）。在我们的最佳策略下，她的财富会有可观的增长，并增加到大约865美元，因此我们可以在对数刻度上绘制财富图，以便于分析。为了更好地理解这一点，让我们将其与四种备选策略进行比较。第一种是长期增长的最佳策略，将所有财富投资于标准普尔500指数，是对数投资者的最佳策略，请参见我们之前的讨论；我们在图1中将其绘制为一条蓝线。从长期来看，增长最佳投资组合的增长率最高，因此，在长期投资战略的最初几年，大量投资it是有意义的；正如所料，我们的最佳组合最初会密切跟踪GP，直到1955年左右。GP也带来了更高的风险，因此，随着我们接近结束日期（2015年），我们的最佳策略与GP不同，将更大比例的财富保留在无风险证券中。风险的增加可能是由于我们的最佳投资组合价值路径在这近90年的时间段内更加“平滑”，尤其是大约自1985年以来。第二个比较是与流行的60/40长期投资策略，该策略始终将其当前财富的60%（40%）投资于标准普尔500指数（无风险证券）。图1中的红线描绘了我们的投资者遵循60/40策略和月度平衡后的财富。

在大萧条期间，60/40策略不会导致价值大幅下降，但GP和更重要的是，我们的策略都会迅速回升，并从中超越60/40策略。这证实了我们的战略是针对长期的。第三个比较是具有均值-方差偏好的投资者的月度再平衡投资策略。众所周知，她在风险资产（此处为标准普尔500指数）中的投资组合权重为ut/（σtA），其中ut，σt表示所考虑时间段内超额收益的条件预期和标准差，以及表示风险规避参数。简单的泰勒近似表明，在风险规避参数γ=3的CRRA偏好的第一个近似中，我们的平均方差投资者的风险规避应设置为A=2γ=6。非条件参数u=6%，σ=20%是建模标准普尔500年收益率的常见金融选择。在通常的时间尺度下，比值u/σ与时间范围无关；考虑到众所周知的有条件地实施均值-方差方法的困难，我们采用这些值并无条件地实施均值-方差策略。

我们在图1中按照相关的均值-方差策略将投资者的财富绘制为紫色线。它显示出与60/40战略的一些相似之处，但在最后一年的表现不如1935年1945年1955年1965年1975年1995年2005年2015年Panel（a）：最优效用战略1925 1.91 2.91 8.31 20.69 32.97 120.20 333.60 572.63 865.141935 1.52 4.35 10.82 17.24 62.86 174.47 299.49 452.471945 2.86 7.11 11 11.33 41 114.66 196.82 297.361955 2.49 3.97 14 40.90 104.091965年1月59日5月81日16.13 27.68 41.821975 3.65 10.12 17.37 26.241985 2.78 4.76 7.201995 1.72 2.592005 1.51面板（b）：60/40战略1925 1.69 2.25 4.69 9.77 15.99 52.99 147.50 267.98 430.671935 1.33 2.77 5.79 9.47 31.37 87.32 158.65 254.971945 2.09 4.35 7.12 23.58 65.64 119.26 191.671955 2.09 3.41 31.31 47 57.17 91.891965 1.64 5.42 15.09 27.42 44.061975 3.31 9.22 16.76 26.931985 2.78 5.06 8.131995 1.82 2.9220051.61面板（c）：均值方差策略1925 1.42 1.64 2.41 3.90 6.69 18.60 39.82 63.55 92.621935 1.15 1.69 2.74 4.70 13.06 27.95 44.62 65.021945 1.47 2.38 4.09 11.36 24.33 38.83 56.581955 1.62 2.78 7.73 16.55 26.42 38.501965 1.72 4.77 10.22 16.31 23 771975 2.78 5.95 9.49 13.831985 2.14 3.42 4.985 1995 1.60 2.332005 1.46表1：总回报变化的开始和结束日期。从长远来看。最后将其与完全投资于无风险证券的策略进行比较。我们在图1中绘制了投资者遵循绿线策略的财富。正如所料，除了大萧条，这一战略是我们上面研究的所有其他战略的基础。

显然，这不是建议的长期投资策略。到目前为止，我们只考虑了1925年建立投资组合的投资者的情况。然而，众所周知，投资策略的绩效取决于投资者的开始日期和时间范围。因此，为了完整起见，我们现在确实研究了我们的方法在不同开始日期和不同时间范围（相当于各自投资组合策略的结束年份）与60/40策略和平均方差策略的对比情况。表1显示了单独面板中两种策略的结果。请注意，通过遍历相应的对角线，读者可以在10年的间隔内评估10到90年的时间范围的结果。表1强化了我们先前基于图1得出的结论。它表明，从长远来看，我们的策略在所有时间段（至少10年）都优于60/40策略，并且在所有时间段都优于均值-方差策略，结论本文在比经典无套利理论更一般的框架下，研究了期望效用最大化下的长期投资。这使得我们引入了一种比经典贴现因子更为普遍的随机贴现因子（SDF）。我们强调了其可交易性的重要性，并将其确定为增长最优投资组合（GP）的反比。使用此SDF，我们进行了类似于鞅技术的操作，并通过GP描述了最优消费储蓄和投资策略。这将我们的注意力转向了GP的随机过程性质。我们证明了多重基金分离定理成立。

其中，只要GP是马尔可夫状态过程的一部分，基金持有量就通过投资者价值函数的偏导数来表征。最后，我们对我们的策略进行了实证评估。附录：其他材料递归Epstein-Zin偏好这一设置还允许我们研究偏好结构比时间可分离偏好（所谓的递归偏好）更普遍的消费节约问题（χ=1）。函数f被称为当前消耗和持续实用程序的（规范化）聚合器。递归偏好的一种流行形式是所谓的Epstein-Zinpreferences，由Epstein和Zin（1989）根据Kreps-Porteus偏好规范引入。我们现在详细讨论这些问题。A、 1为了描述Epstein-Zin偏好，我们引入了所谓的跨时替代弹性参数ψ>0，时间偏好率δ>0，以及风险规避系数γ，0<γ，γ6=1。然后，我们定义了严格正c>0和严格正l>0（严格负l<0）的时间无关函数f，当γ<1（当γ>1时）：f（c，l）=δ1- γ1-ψlc（（1- γ） l）1-γ！1.-ψ- 1.对于ψ6=1，（A-1）f（c，l）=δ（1- γ） lln（c）-1.- γln（（1- γ） l）对于ψ=1。（A-2）撇开ε中的乘法项不谈，我们的优化问题产生了具有随机差异性的价格接受主体的参数化，该随机差异性来自终身消费。这也是Epstein和Zin（1989）偏好的连续时间版本的特征，允许将风险厌恶从时间间隔替代率中分离出来。在本文中，我们确实明确地允许了遗赠函数εB（VπT）。

与Liu（2007）类似，参数ε>0允许我们调整遗赠和终身消费的相对重要性。在方程（A-1）中设置ψ=1/γ，将上述递归效用消耗节约问题减少为具有时间可分离CRRA偏好和（相对）风险规避系数γ的消耗节约问题。文献中施加了这一限制，以将结果与所谓的默顿消费储蓄问题seeMerton（1971）的结果进行比较。为了证明方程（A-1）和（A-2）中的聚合函数f完全满足假设2中的条件，我们首先注意到函数f在R+上是两次可微的。根据方程式（A-1）（ψ6=1）和方程式（A-2）（ψ=1）求导数，我们得到：fc=δ（（1- γ） l）ψ-γ1-γc-ψ> 0，和fc=-ψcfc<0。（A-3）基于此表示，可以直接检查INDA条件。我们注意到，Duffee和Lions（1992）以及Schroder和Skiadas（1999）为终身效用J.A.2最优财富和消费储蓄决策的存在和唯一性提供了条件和证明。为了在本小节中进一步说明，我们使用遗赠函数B（x）=e-δTx1-γ/（1）- γ） 对于γ6=1和B（x）=e-γ=1时的δTln（x）。方程（A-3）提供了聚合器f的一阶导数，然后我们可以推导出逆w.r.t.消耗量。我们有f0，-1（x，l，s）=Δψ（（1- γ） l）1-γψ1-γx-ψ和B0，-1（x）=e-δT/x。这表示0≤ s<T最佳消耗量c*s=Δψ（（1- γ） Js）1-γψ1-γλ-ψ（DsVGPs）ψ，（A-4）和终端值V*T=e-δTελVGPT1/γ。（A-5）它允许我们计算方程（32）中定义的最佳基准投资组合价值函数，如下所示：V*（t，v）v（A-6）=E“ZTt（（1- γ） Js）1-γψ1-γδDsλψ（VGPs）ψ-1ds+e-δTελγ（VGPT）γ-1.VGPt=v#。拉格朗日乘子λ来自于求解初始预算方程V=V*=五、*（0，F）。

这提供了最佳价值过程的完整特征。如果我们假设替代的跨期弹性为ψ=1/γ，那么我们有1- γψ=0，使得（（1- γ） Js）1-γψ1-γ=1，过程J不再在不等式（a-6）中起作用。然后，我们回到前面的子节中所示的表示形式，即值函数（53）。这是意料之中的，因为众所周知，ψ=1/γ对应于时间加性CRRA偏好。无遗赠的情况（ε=0）允许我们进一步简化此结果。在这种情况下，我们可以算出Δψλ-ψ（1）-γ） （1）-γψ）/（1-γ） 使用V=V*（0，VGP）我们根据（A-6）发现，在任何时候0≤ t型≤ T one hasV*（t，v）=VvERTtJ1-γψ1-γsDψs（VGPs）ψ-1dsVGPt=vERTJ1-γψ1-γsDψs（VGPs）ψ-1.. （A-7）如果我们进一步假设替代的跨期弹性为ψ=1，那么函数v*简单到V*（t，v）=VvEhRTtJsDsdsVGPt=viEhRTJsDsi。对该方程和（A-7）的进一步分析需要研究GP的分布特性。B特定GP流程的最佳投资组合价值第3节确定了GP的属性，这将使我们能够找到目标回报的最低可能价格，而后续章节将展示如何通过仅投资于GP代理和基准证券来方便地对冲该回报。这使我们在第5节中研究了GP的可交易代理。此外，从建模的角度来看，这将我们的注意力吸引到GPS的属性上，并对其动力学进行充分的建模。构建GP的代理并将其解释为GP将避免建模和估计所有这些决定整个市场动态的因素和参数的实际挑战和几乎不可能的任务，原则上，为了准确识别理论上精确的GP，需要有权访问这些因素和参数。

因此，我们将在下文中假设，我们已经构建了GP的可交易代理，因此，我们将重点探索GP的特性，这些特性有助于消费储蓄投资的对冲。重要的是回顾一下，与著名的鞅技术不同，见Pennacchi（2008）和Cvitani\'c和Zapatero（2004），我们不假设存在等价的风险中性概率测度。这允许我们在描述市场动态时使用更丰富的modelingworld。下面的第一小节假设经典市场模型具有恒定的投资机会，而第二小节则认为市场模型更现实，不再适用于经典市场模型。B、 1恒定投资机会集文献中已广泛研究了一种最方便的情况，其中假设GP具有恒定波动性的aBlack-Scholes动力学。当我们假设风险θt=θ>0的恒定市场价格时，我们得到≤ t型≤ s≤ T表示折扣的GP表达式VGPS=VGPtexpθ（s- t） +θ（Ws- Wt）所以呃地磁极（1/γ）-1.VGPti=VGPt（1/γ）-1expθ1- γ2γ（s- t）.这允许我们表示值函数V*根据第5.2小节中的GP。Wethen在偏好终端财富的情况下，基于（56）基准价值函数^V*t=V*（t，VGPt）VGPt=Vexpθγ - 12γtVGPt（1/γ）-1.（B-8）将该期望乘以VGPt=v，得到v*（t，VGPt。取V的一阶导数*（t，VGPt）w.r.t。

v、 我们注意到，该等式中的右侧与v成正比*（t，VGPt，即五、*（t，VGPt）VGPt=γV*（t，VGPt）v=γ^v*t、 因此，根据定理9，V*（t，VGPt）也表示γ乘以投资者持有的GP单位数。接下来，我们看一下时间加性CRRA偏好的情况，其中我们写ρ=θ1- γ2γ- δ/γ.我们推导出中兴通讯-（δ/γ）s（VGPs）1/γ-1ds+εe-（δ/γ）T（VGPT）1/γ-1.VGPt=v=VGPt1/γ-1e级-（δ/γ）tZTtexp{ρ（s- t） }ds+εVGPt1/γ-1e级-（δ/γ）texp{ρ（T- t） }=VGPt1/γ-1e级-（δ/γ）tρ（exp{ρ（t- t） }- 1） +εVGPt1/γ-1e级-（δ/γ）texp{ρ（T- t） }在时间加性CRRA偏好的情况下，我们根据（53）thatV发现*（t，v）v=Vv1/γ-1e级-（δ/γ）t·ρ（exp{ρ（t- t） }- 1） +εexp{ρ（T- t） }ρ（exp{ρt}- 1） +εexp{ρT}。B、 2最小市场模型在Platen（2001）的最小市场模型（MMM）中，另见Platen and Heath（2010）中的第13章，（贴现）GP VGPTC可以表示为平方根过程（Ys）0的乘积VGPT=Ytαt（B-9）≤s≤Tof维数4，具有时间的指数函数αt=αexp（ηt），η>0，α>0，其中dyt=（1- Yt）ηdt+pηYtdWt（B-10）0≤ t<∞, Y=α，W表示布朗运动。VGPtequalsthen The volatibility of Yt，即￠bFt=rκYt=rκαtVGPt。（B-11）只需要两个参数：α>0和η。可以通过注意到Vgptequals的二次变化ν（t）=<qVGPt>t=α来验证这两者eηt- 1., （B-12）使得η=tln<pVGPt>tα+1！，（B-13），这使得我们能够估算出足够长时间内的η和α。如Platen和Heath（2010）所示，MMM不符合经典无轨范式，因为贴现GP的逆不是真鞅，而只是严格的局部鞅。因此，假定的风险中性测度vgpvgpt的密度只是一个严格的局部鞅，不存在等价的风险中性概率测度。