长期投资

这与大多数关于消费储蓄问题的论文所采用的方法不同，在这些论文中，积累的消费被添加到财富中，以获得经消费调整的财富。我们在（16）中的选择对于方便地获得产生目标回报流的成本最低的策略非常重要。方程式（4）和（11）表示基准财富^Vπt的SDEd^Vπt=FtdVπt- VπtFtθ>tdWt- （π>tbSt）VπtFtθtdt=（π>tbSt- θt）^VπtdWt- χ^Ctdt，（18）由（16）得出：d^Gπt=^Vπt（π>tbSt- θt）dWt。（19） 这意味着基准自我融资投资组合过程^Gπ是无漂移的，因此形成了局部鞅。此外，^Gπ是非负的。因此，同样由Fatou\'sLemma提出，^Gπ是一个超鞅。请注意，基准（消费调整）财富过程可能存在于我们的设置中，这些设置是严格的超鞅，但不是鞅。这意味着这些投资组合可能不公平。然而，进一步研究那些公平的特定投资组合是有趣的。由于经典的一价定律，文献通常不强调投资者关心尽可能少的初始费用。然而，在我们更普遍的情况下，可能存在多个提供相同支出的自我融资投资组合，这一目标现在似乎是优化的合理组成部分。

支出所需的较低初始资本转化为允许较高消费的额外资本。因此，我们的目标是消费储蓄和相关的财富过程，这些过程需要最低的初始资本。在剩下的部分中，我们考虑了优化问题，投资者将自己限制在定义4意义上的公平消费储蓄组合中，因此其目标是确定过程J=（Jt）t∈[0，T]这解决了（5）中的优化jt=max（π，C）EZTtχf（Cs，Js，s）ds+εB（VπT）在, （20） 对于所有t∈ [0，T），现在受制于公平和自我融资的财富动态（4）。效用优化问题（20）可能不同于我们最初的效用优化（5），因为成本最小化不是（5）中的明确目标因此，投资者似乎有机会将其收益与潜在的效用收益进行权衡。无论何时需要，我们都假设在这个受限策略集上，在Duffeen和Epstein（1992a）的意义上，随机微分效用的存在性和唯一性。在这一过程中，可以获得显著的实际效益。正如我们将在下一节中看到的，对公平策略的限制允许我们类似于众所周知的人工技术。直观地说，优化问题（20）意味着投资者按照鞅方法进行两步优化：首先，为任何给定的初始成本寻找公平的最优消费比例，然后，在第二步中，确保初始成本与初始财富匹配。在经典的无套利假设下，定价规则（7）是风险中性的定价规则，并且一直是流行的定价规则。正如我们稍后将看到的，通过将正式的风险中性定价应用于我们更一般的设置（这是可能的），可以获得一个基准组合，即局部鞅。

然而，它可能不是鞅。无论如何，这将是一个超鞅，当不是鞅时，将比相应的鞅（公平价格）更昂贵。根据（15）的现实世界定价是最小定价，并产生经公平消费调整的财富过程。在我们的一般情况下，关于存在等效风险中性概率测度的限制性假设不再强制执行，并且可以使用比正式应用风险中性定价更便宜的动态资产配置策略构建投资组合。最小定价（现实世界定价）与风险中性定价不同，风险中性概率度量Q假设存在于概率空间中(Ohm, A、 假设风险中性概率测度下，储蓄账户贴现价格过程成为鞅。在经典无套利范式下，众所周知，SDF可用于确定风险中性概率测度，见Cochrane（2001）。在存在等效风险中性概率测度的情况下，风险中性定价和现实世界定价是等效的，参见Platen和Heath（2010）中的等式（10.4.5）。然而，它们在理论和实际市场上有所不同，参见Baldeaux et al.（2015）。通过正式应用风险中性定价（目前主要在实践中进行），人们完全忽略了基准储蓄账户在现实中可能是一个严格的局部鞅，从而是一个严格的超鞅的可能性。在这种情况下，正式获得的风险中性价格通常比通过实际定价公式获得的最低价格更昂贵（15）。优化过程中出现的一个重要问题是公平最优消费储蓄组合的可交易性。

下一节将说明，一旦SDF可交易，公平的投资组合是可交易的。总之，公平投资组合策略封装了重要的第一个优化步骤，在经典假设下不会出现，在经典假设中，人们正式应用风险中性定价。4最佳基准投资组合选择前几节讨论了GP作为基准或数字在定价中的核心作用。本节假设现实世界的定价是为了获得最低价格，并使用衍生的属性来重新表达GP和基准证券方面的最优财富过程（以及最优消费过程）。让我们考虑一个预算可行、公平的消费储蓄和终端财富计划，并推迟到进一步讨论该计划是否可交易的问题。然后，问题归结为找到最优、预算可行的计划，即我们寻找过程Esc和J，以及方程（20）中最大化右侧的随机变量Vπt。现实世界的定价告诉我们，具有基准消费调整价值过程的消费储蓄投资策略（π，C）的当前基准价值由条件期望^Gπt=Eh^Gπt给出Ati=EZTχCsVGPsds+VπTVGPT在.因此，我们对基准投资组合价值^Vπt=Vπtvgp和基准消费^Ct=ctvgpt的等式^Vπt=EZTtχ^Csds+^VπT在, （21）t∈ [0，T]。使用拉格朗日乘数λ来捕捉初始预算约束，我们得到了（20）在初始时间t=0时最大化以下表达式：maxπ，CEZTχf（Cs，Js，s）ds+εB（VπT）- λEh^GπTi-^G（22）=最大π，CEZTχf（Cs，Js，s）ds+εB（VπT）- λEZTχ^Csds+^VπT- 五、= 最大π，CE“χZTf（Cs、Js、s）- λ^Csds+εB（VπT）- λ^VπT- 五、#. （23）注意，我们在（22）中提出了一个约束，即在一个单一的总体预期下，^Gπ必须是公平的。

在某种意义上，如果我们能够最大化（23）中预期的随机变量，那么我们就有了一个最优支付的候选人，从而为最优策略提供了线索。为了确定最佳的投资和消费策略，人们试图确定时间∈ [0，T]，然后确定该时间点的最佳消费水平。利用时间加性效用，这种方法可以找到消费策略的正确特征，见Pennacchi（2008）。然而，即使使用时间加性效用，这种方法也表明，将消费设定在一个时间点上，会影响未来投资的财富，因此会影响未来的消费选择。与爱泼斯坦·津偏好（递归效用）相比，这些选择更加交织在一起，因为未来消费递归地影响当前效用水平以及消费水平。要使这种计算在数学上严格，需要在时间间隔[0，T]上适当定义整个消费路径的导数。达雷尔·杜菲和合著者在一系列研究这个问题的论文中，参见杜菲和爱泼斯坦（1992a）以及杜菲和斯基亚达斯（1994），并使用了应用于消费路径的ateaux导数的数学概念来证明这些因素驱动了SDF。Duffee（2001）第9.H节明确计算了时间相加效用的Gateaux导数，并表明SDF的流行特征在这种情况下成立。

杜菲和斯基亚达斯（1994）利用随机差异效用（Epstein Zin偏好）在125-127页明确描述了SDF，另见第9节。H以及杜菲（2001）中的附录F。在任何时候，他们的论点都允许我们从（23）的更一般的设置中推导出最优V的候选者的以下关系*接地C*s： dBdV（V*T） =λεVGPT，（24），并且，只要χ=1，对于0≤ s<T，并给出Jsone getsDsfC（C*s、 Js，s）=λVGPs，（25），其中ds=expZs公司fJ（C）*t、 Jt，t）dt, （26）见Duffee和Skiadas（1994）第120页示例3。为了简单起见，我们编写f（C，l，s）=fC（C，l，s）和B（V）=dBdV（V）。假设2表明，这两个函数分别相对于C>0和V>0是fand和Bare可逆的，我们用f0表示，-1（·，l，s）表示给定的（l，s），由B0表示，-1（·）他们各自的递归偏好，过程D捕捉到一个事实，即消费的边际变化在任何时候都会影响（递归）整个消费路径和终身效用。对于时间加性偏好，可以证明（25）简化了通常的公式，其中边际效用与SDF成比例。反向函数。这使我们能够为最佳终端财富asV编写候选人*T=B0，-1.λεVGPT, （27）以及时间s处最佳消耗的候选者∈ [0，T]asC*s=χf0，-1.λDsVGPs，Js，s. （28）注意，（26）中的过程D取决于公用工程过程J和最佳消耗过程C*. 这里的关键观察结果是，最优消费（28）和（27）中的终端财富表征，以及过程D仅取决于过程J和GP。在时间t=0时，投资者从初始财富V>0开始。因此，拉格朗日乘子λ必须在t=0时，使用最优方案（27）和（28）求解方程（21）。假设2中的inada条件让我们研究λ的情况→ 0和λ→ ∞.

这表明（21）中的右侧从∞ 为0，这确保λ的存在。时间加性效用的著名鞅技术，参见，例如，第12.4.2节inPennacchi（2008）或第4.4.3节Cvitani\'c和Zapatero（2004），以及使用效用梯度技术对递归偏好的推广，参见第9节。H在Duffee（2001）中，所有人都假设了经典的无套利假设，并最终得出了关键观察结果，即最优消费和终端财富可以用经典SDF来表示。我们在这里的推导在一个实际重要的方向上概括了这一观点：TheSDF是可交易GP的倒数，我们的方法具有关键优势，即我们不要求经典金融理论的限制性无套利假设。

此外，在我们的方法中，SDF与可交易证券完全关联，即GP和基准证券。正如我们将在下一节中展示的那样，这些优势从实践的角度来看是至关重要的，因为它们对实施最佳战略以及最终采用比经典假设下更现实的长期市场模型来管理风险具有重要意义。让我们使用（20）将（21）-（28）中的发现总结如下：推论6假设优化问题（23）有唯一的解决方案，那么基准最优消费节约过程的条件是*对于间接效用过程，J被确定为0≤ t型≤ T根据条件期望值^V*t=EχZTtf0，-1.λDsVGPs，Js，sVGPsds+B0，-1.λεVGPTVGPT在, （29）和JT=EχZTtff0，-1.λDsVGPs，Js，s, Js，sds+εBB0，-1.λεVGPT在, （30）分别。请注意，基准最优消费储蓄过程右侧的值既不假设存在等价的风险中性概率度量标准市场完整性。所做的关键假设是GP的存在，需要满足GP以避免有经济意义的套利。5交易最优消费储蓄过程上一节发现，最优消费决策（在任何时候）和最终财富最终仅取决于描述GP在其给定优势中的过程，见等式（27）和（28）。因此，为了进一步分析，本节将讨论该流程的建模。在经典的无套利范式下，状态变量过程向量（它模拟了整个市场动态）通常也决定了最优解。

由于表征整个市场动态的状态变量数量巨大，这不是一种在实践中实施最优策略的现实方式，我们之前的陈述仅停留在理论层面。在实践中，我们必须面对对整个全球市场所有组成部分的动态进行有效准确建模和估计的可能性，以实施有用的最优投资组合。例如，DeMiguel et al.（2009）对基于样本的平均方差投资组合优化这一密切相关的任务进行了解释，Kan et al.（2016）、Kan和Zhou（2007）以及Okhrin和Schmid（2006）也对此进行了论证。我们的目标不是为整个市场建立一个极其复杂、纯粹的理论模型，并面临无法解决的建模和参数估计挑战，我们在本文中提出，要探索GP在描述和构建最佳投资组合方面的上述明确核心作用。因此，如Platen和Rendek（2012）以及Platen和Rendek（2017）所示，可以构建agiven investment universe的GP代理非常有用。这样，就可以很好地逼近目标最优投资组合和消费过程。5.1多维马尔可夫模型多维、连续的马尔可夫市场动力学似乎是在效用最大化和衍生品定价的背景下最成功实施的市场模型。因此，为了获得可跟踪的最优策略，我们做出以下假设：假设7贴现GP的值VGPt=VGP（t，Mt，…，Mnt）是多维马尔可夫过程的函数M={Mt=（Mt，…，Mnt）>，t∈ [0，T]}。

向量过程M满足SDEdMt=uM（t，Mt）dt+σM（t，Mt）dWt，（31），其中uMandσ是时间t和马尔可夫状态向量Mt的合适函数。如上所述，我们的分析提请我们注意GP过程的特性。必须强调的是，假设7要求漂移向量和波动矩阵仅为时间和向量过程M的函数。虽然状态变量可能会驱动一级证券的漂移和波动，但这些假设意味着没有状态变量会驱动向量过程M。在第7节中，我们将讨论一个具有这种便利性并在经验上与观察到的GP动态很好匹配的模型。我们假设从现在起，我们有一个GP的可交易代理，然后为了本文的目的，我们将其与GP进行识别。关于全球股票市场GP的代理构建示例，我们参考了Platen和Rendek（2012）以及Platen和Rendek（2017）的发达股票市场GP。最终，我们将证明最优消费储蓄过程和投资策略在合适的多个基金和基准无风险证券方面是可交易的，这与建立良好的多基金定理一致，参见Merton（1971）或Pennacchi（2008）。我们在第4节中的分析推迟了最优解决方案的可交易性问题，但我们在这里的讨论现在也证实了我们的方法在这方面的可行性。方程（27）和（28）中遗赠B和消费C的特征告诉我们，它们是由向量马尔可夫过程驱动的。此外，由于方程（26）中的特征，过程D可以解释为向量马尔可夫过程的一个组成部分。最后，结合（30）和假设7，这意味着递归效用J可以解释为向量马尔可夫过程的一个组成部分。