长期投资

根据方程（25）、（29）和（30），我们得出结论，最优财富过程V*,递归效用过程J，消费过程C*过程D全部由当前时间t和马尔可夫过程M各分量的当前值来表征。这允许我们引入最优值（函数）V*t=V*（t，Mt）和寿命效用（函数）Jt=J（t，Mt）通过方程（29）和（30），以及函数dt=D（t，Mt）通过方程（26）。这意味着，对于0≤ t型≤ 我们有*（t，m）=VGP（t，m）E“χZTtC*（s，Ms）VGP（s，Ms）ds+V*（吨，公吨）VGP（吨，公吨）Mt=m#，（32）J（t，m）=E“χZTtf（C*（s，Ms），J（s，Ms），s）ds+εB（V*T）Mt=m#，（33），其中v*T=V*（T，MT）=B0，-1.λεVGP（T，MT）, （34）和，对于0≤ s≤ we getC公司*（s，Ms）=χf0，-1.λD（s，Ms）VGP（s，Ms），J（s，Ms），s. （35）假设V*（·，·），It^o引理的一个应用产生V的DE*t=V*（t，Mt）=V*（t，Mt，…，Mnt）格式DV*t型=五、*t+nXi，j=1σMiσMj五、*密歇根州mj！dt+nXi=1五、*midMit。（36）dMitin方程（36）前面的条款通过标准对冲论证得出的收益率如下：推论8（多基金分离）假设所有成分Mi，i=1，nof M的构造方式使其可以交易，从而产生n只风险非冗余基金加上基准证券。然后，投资者可以通过持有时间t来实施她的最佳投资策略（并为她的消费储蓄计划提供资金）五、*mi（37）第i个基金单位Mit，i=1，n、 并将剩余财富投资于givenbaseline证券，即本地无风险证券。我们对这一结果的证明在数学上类似于消费储蓄文献中先前的多基金分离定理，参见Pennacchi（2008）。

这些文献表明，额外的状态变量会产生额外的基金，这些基金在优化投资中起着不可或缺的作用。然而，我们的结果通过将重点完全放在基线安全性中指定的GP上，从而放在决定其动态的M的组件上，从而澄清了这一点。构建非最优投资组合只需要这些组成部分，而不是表征整个金融市场的许多其他数量。此外，与经典金融理论相比，我们允许一个更加丰富的建模世界，以更真实地捕捉GP的长期动态。我们只要求GP的存在性，不再对等价风险中性概率测度的存在性做额外的假设。由于我们已通过本地无风险基准证券对多价证券进行贴现，因此我们还必须在我们的马尔可夫系统中对其动态进行建模，当目标支付是指货币单位或经汇率调整的支付时，这是一项标准任务。需要注意的是，在我们的方法中，不必关心市场的完整性，即完成市场可能需要的任何其他因素。所需要的只是由Mt的n个组成部分产生的n笔资金*无需其他资金。这将投资组合优化的任务减少到了核心，并澄清了利用GP ascentral构建块确定最优策略的自然输入。此外，我们的澄清简化了相当实际的投资组合构建，特别是当使用GP代理时。建立GP模型所需的因素数量明显小于表征整个全球市场模型的状态变量数量。当驱动GP的不确定性可以在一个布朗运动中被接受时，这一点变得最为明显。

就股票市场而言，GP由一种称为不可分散（系统）不确定性的不确定性来源驱动。尽管它很简单，但正如即将进行的研究所揭示的那样，这似乎是一个相当现实的情况。我们将在第7节中详细介绍此案例的样式化版本，然后展示此见解如何简化实际相关的应用程序。习惯于最优投资的读者可能会惊讶地发现，根据第8章，所谓的跨期对冲需求并没有出现，而只是在推动GP的条款中进行定位才有意义。必须做出两个重要的观察：首先，我们注意到，跨期对冲需求很可能出现在其他需求代表中，这些需求关注的是主要证券的定位，而不是GP的定位（退出力）。最重要的是，我们注意到假设7不允许马尔科夫过程M由非主要证券所跨越的状态变量驱动。当向量马尔可夫过程M由非规划状态变量驱动时，on很可能获得一些跨期套期保值需求。虽然可以很容易地想象跨期套期保值需要apear的情况，但本文的范围是关注实际可行性，并指出可以简化分析的实际相关情况。因此，我们对分析导致更复杂的动态资产配置的情况本身不感兴趣。5.2标量马尔可夫增长最优投资组合特别重要的情况是，当GP形成标量马尔可夫过程时，即当n=1时，可以将其驱动不确定性聚集在标量布朗运动中。然后，我们可以将mt替换为GP值VGPtat time t并写入V*tas是当前GP值的函数，即。

五、*= 五、*（t，VGPt）。假设函数V的充分可微性*, It^o lemmayields的一个应用V的SDE*t=V*（t，VGPt）。然后我们通过方程（13）得到thatdV*t型=五、*t+θt（VGPt）五、*vdt公司+五、*vdVGPt（38）=V*t（aVtdt+bVtdWt），（39）其中VTV*t型=五、*t+θtVGPt五、*v+θtVGPt五、*v、 （40）和bVtV*t=θtVGPt五、*v、 （41）dVGPtin方程（38）前面的项揭示了以下结果：定理9（两个基金分离）当贴现的GP形成标量马尔可夫过程时，投资者可以通过始终持有ω=五、*v（t，VGPt）（42）个GP单位，并将其剩余财富投资于给定的（无风险）基线证券。需要注意的是，在这种标量马尔可夫情况下，可以通过对GP和基准证券的投资来充分描述最优投资组合。这可能会令人惊讶，因为读者可能习惯于依赖于各种（未经训练或附加的）状态变量的财富过程。然而，在这里，只要交易基准证券（我们在这里假设），就没有未交易或额外的状态变量在最优解决方案中发挥任何作用。记住，我们的建模比经典无套利假设下的建模更一般，定理9概括了文献中的各种早期结果。例如，Pennacchi（2008）在其方程式（12.70）中报告了未经退火状态变量的财富权重。当所有状态变量都被交易时，他的方程与我们的方程在形式上是一致的。

然而，我们在这里的其他观察结果是，GP的规模效应简化了该策略，对投资两支基金具有重要意义。请注意，当只有一个布朗运动驱动一个多组分马尔可夫SDE，该SDE将GP确定为其其中一个组分的GP时，会出现类似的、更一般的两个基金分离。在这种情况下，当将It^o公式应用于V时，方程式（38）-（41）变得更一般*（吨，公吨）。6最佳投资组合价值上一节通过财富函数的一阶导数表达投资策略，即作为最佳投资组合价值的函数。这提供了一个重要的观点，即主要集中在GP和基准证券的交易上是足够的。在实际应用中，当雇佣GP的代理时，这将导致一个至关重要的简化。对于潜在的进一步理论见解，但主要是实际实施，仍需进一步描述流程V*. 为了简化我们的论述，我们将重点放在第5.2小节中讨论的标量马尔可夫GP的情况。描述函数V的更一般的马尔可夫多分量模型的处理*（t，Mt）则很简单。第一小节解释了应如何处理一般情况。以下两小节解释了如何在第2.2小节的偏好框架中涵盖常见的偏好规格。特别是，它们描述了导致标量马尔可夫GP动力学的投资策略。6.1一般情况基准消费调整最优财富过程*t=^V*t+χRt^C*sds，通过方程式（16）定义，完全符合SDEd^Gt=d五、*tVGPt公司+ χ^C*tdt=V*td公司VGPt+VGPtdV*t+d<V*,VGP>t+χ^C*tdt=VGPtaVtV*tdt+χC*t型- θtbVtV*t型dt公司+五、*tVGPtbVt-五、*tVGPtθt载重吨。该过程必须满足方程式（19）。

如前所述，流程^G必须是amartingale。因此，我们必须*t型aVt公司- θtbVt+ χC*t=0。（43）结合方程式（40）和（41），这使得我们可以建立一个描述V的部分微分方程（PDE）*（t，v）如下：五、*t+θtv五、*v+χC*（t，v）=0。（44）此外，对于V*tby（13）和（42）SDEdV*t型=θtVGPt五、*v- χC*t型dt+θtVGPt五、*vdWt=ωtdVGPt- χC*tdt，（45）见定理9。自C起*取决于J*, 见方程（35），一般情况下，第9节的J方程（3）需要与Hamilton Jacobi Bellman（HJB）PDE联合求解PDE（44）。Duffee（2001）中的A报告了其方程式（1）中给出的受控过程的HJB方程式。在我们的设置中，方程式（45）规定了受控过程，我们发现HJB方程式读数为Smaxc*（t，v）(J*t型+θt五、*vv型- χC*t型J*五、*+θtv五、*vJ*五、*2+χf（C*, J*, t） ）=0。（46）当χ=1（消费节约问题）时，这意味着（形式上）第一阶条件产生-J*五、*+ f（C*, J*, t） =0，（47），其中c*（t，v）=f0，-1.J*五、*, J*, t型. （48）使用此特征以及方程式（44）和（46），我们必须求解偏微分方程组五、*t+θtv五、*v+χf0，-1.J*五、*, J*, t型= 0，（49）J*t+θtv五、*vJ*五、*2+χff0，-1.J*五、*, J*, t型, J*, t型+θt五、*vv型- χf0，-1.J*五、*, J*, t型J*五、*= 0。（50）根据方程式（34）和（33），它仍然满足终端边界条件SV*（T，v）=B0，-1.λεv和J*（T，v）=εBB0，-1.λεv, （51）分别。最后，为了保证^G的鞅性质，我们施加以下空间边界条件：对于v→ ∞ 我们需要V*（t，v）→ ∞ 对于v→ 0我们需要*（t，v）→ 请注意，该解取决于拉格朗日乘子λ，即，de（44）的解以λ为特征。该参数应设置为完全满足初始预算约束，请参见我们之前在第4节中的讨论。

由于最优投资组合价值的特征在很大程度上取决于f的选择，因此下一小节将讨论特殊情况。6.2（时间加性）对消费的偏好在（时间加性）消费储蓄问题（χ=1）中，在给定的效用函数ua和时间偏好率δ>0的情况下，我们设置f（c，l，t）=e-δtu（c）。然后我们通过方程（26）和Ds得到D=1fc=e-方程式（25）中左侧项的δsu（c）。文献经常用CRRApreferences说明时间可分离的消费节约问题。使用（恒定）时间偏好率δ>0和风险规避系数0<γ，我们通常会看到B:x 7→ e-δTx1-γ/（1）- γ） 和f：（c，t）7→ e-δtc1-γ/（1）- γ） 对于γ6=1。对于γ=1，函数是类似的，用自然伽利略代替幂函数，得到B:x 7→ e-δTln（x）和f：（c，t）7→ e-δtln（c）。我们的偏好规范涵盖了CRRA偏好的这些情况和几个更一般的情况，或者，更符合文献，可以将聚合器视为f（c，l，t）=u（c）-δlto还发现Dsfc=e-δsu（c）。关于随机微分效用的文献表明，聚合器的这种函数形式导致了一个J过程，该过程在偏好排序方面与公共规范Jt=maxπ，CE[RTtexp(-δ（T- s） ）u（Cs）ds | At]，见杜菲和爱泼斯坦（1992a）。完整的假设2。为了在本小节中进一步说明，我们专门讨论了时间加性效用的情况，其中投资者具有CRRA偏好，如上所述。Wethen计算f0，-1（c、l、s）=（e-δsc）-1/γ，B0，-1（x）=（eδTx）-1/γ，表示*s=（eδsλ）-1/γ（VGPs）1/γ，对于0≤ s<T和V*T=ε1/γ（eδTλ）-1/γVGPT1/γ。

（52）该产量SV*（t，v）v=λ1/γZTte-δγsE（VGPs）（1/γ）-1.VGPt=vds+ε1/γe-ΔγTλ1/γE（VGPT）（1/γ）-1.VGPt=v.我们可以描述消费财富比C*电视/电视*（t，v），但不要这样做，因为我们的重点是投资策略。初始预算方程V=V*=五、*（0，VGP），VGP=1设置λ，这反过来给出基准投资组合价值asV*（t，v）v=车辆χRTte-（δ/γ）s（VGPs）（1/γ）-1ds+εe-（δ/γ）T（VGPT）（1/γ）-1.VGPt=viEhχRTe-（δ/γ）s（VGPs）（1/γ）-1ds+εe-（δ/γ）T（VGPT）（1/γ）-1i（53）根据（42）ωt取导数=五、*（t，v）v、 回想定理9，这给出了要保持的GP的单位数，并且Vrefer是GP的当前值。指定GP的随机动力学，我们可以计算≤ s≤ 预期E[（VGPs）（1/γ）-1 | VGPt=v]并确定最佳值函数v*. 这将通过定理9描述最优投资策略。我们将在下一节进一步讨论这一点，在这里我们将考虑GP的几个动态。一种特别方便的情况是，当最优值函数不依赖于一个期望E[（VGPs）（1/γ）时-1 | VGPt=v）]：这对应于对数投资者的情况（γ=1）。然后，上述方程简化为v*t=Vεδ+e-δ（t-T）- 1εδ+eδT- 1VGPt。（54）额外的计算将恢复方程式，如Pennacchi（2008）所示。方程（54）表明，最优值过程的增长与GP类似，其中依赖时间的函数决定了消费的影响。这表明投资者在GP中并没有持有全部财富。然后我们计算五、*v=v*投资者在时间t持有的标量马尔可夫GP的tvand Find basedon方程（42）∈ [0，T]：Vεδ+e-δ（t-T）- 1εδ+eδT- 1 GP的单位和当地无风险资产的剩余部分。

在最后时刻，遗赠金额为V*T=VGPTVεδεδ+eδT-1、请注意，随着我们增加T，对数投资者在GP中持有的财富越来越多；取极限T→ ∞ 我们发现，她在GP中拥有全部财富，这（正式）与前面提到的Kelly投资组合的见解相匹配。我们强调，对于对数投资者，最优策略独立于GP的动态，这是一个极其重要的观察结果，因为对数效用最大化投资组合从长期来看几乎肯定会产生最高的价值，参见Platen和Heath（2010）中的定理10.5.1。因此，如果一个投资者更喜欢lessand，并且拥有很长的投资期限，那么他自然会表现得像一个对数投资者。这类投资者通常也深切关注我们消费和经济活动的可持续性，这已成为人们越来越关注的焦点。6.3终端财富偏好在资产配置问题中（χ=0），通常引入时间偏好率δ>0，风险规避系数γ>0，并设置f=0，以及B:x 7→ 经验值(-δT）x1-γ/（1）- γ） 对于γ6=1和B:x 7→ 经验值(-γ=1时，δT）ln（x）。我们的偏好规范涵盖了这些和几个更一般的偏好案例，这些案例充分满足了假设2。对最终财富的偏好是我们在上一小节中分析的一个特例。为了完整并与文献进行比较，我们报告了方程式（52）和（53）的结果：V*T=ε1/γ（eδTλ）-1/γVGPT1/γ（55）V*（t，v）v=车辆VGPT（1/γ）-1.VGPt=viE[（VGPt）（1/γ）-1] 。（56）如前所述，我们从定理9中回忆起五、*v表示要观察的总成的单位数，v表示总成的当前值。

可以直接计算方程式（55）-（56）中的结果，根据方程式（26）设置f=0，使D=1，然后计算B0，-1（x）=（eδTx）-1/γ。当我们假设对数偏好，即γ=1时，方程（55）-（56）会大大简化。在这种情况下，我们发现*（t，v）v=v，（57），即投资者仅持有GP，如第3.3小节所述。在这种情况下→ ∞ 几乎可以肯定，一个人获得的投资组合价值最高。更准确地说，on获得了最大的长期增长率，即islimT→∞ln公司VGPTV≥ 限制→∞ln公司五、*（T，VGPT）V几乎可以肯定的是，GP的这一关键属性使其在所有其他最优投资组合中如此特殊，并直观地解释了其在投资组合优化中的核心作用。7实证评估前面几节介绍了我们基于几个假设的方法，特别是连续交易、SDF的可交易性及其过程的马尔可夫性。这使我们能够提出便利的消费储蓄和资产配置策略，从而达到更高的财富水平。然而，归根结底，我们的方法在实践中是否会带来更高的财富水平，这是一个经验问题。本节旨在对此提供支持。我们研究的是一位希望长期投资美国股市的投资者。从1925年到今天，采用标准普尔500总回报指数；该重建指数由Shiller（2015）提供。在本节中，我们将重点放在1925年至2017年的子时段，并用标准普尔500指数确定GP。正如本文各个阶段所指出的，在财务建模中，具有恒定相对风险厌恶（CRRA）的偏好是一种常见的假设。因此，我们也选择这些进行实证评估。为简单起见，我们评估终端财富，即。