收益信息不完全的资产动态博弈

因此，v∈ C∞（C） 因此，其满意度（Gv- rv）（z，y）=0，对于（z，y）∈ C、 （5.8）小时≤ v≤ H、 在R×（0，1），（5.9）v上|S=H|砂v|S=H|S、 （5.10）因此，V∈ C∞（C） 还有。我们用RK表示H>0的集合的R×（0，1）中的闭包，即RK={（z，y）∈ R×（0，1）| F（z，y）≥ K} ={（z，y）∈ R×（0，1）| y≤ yK（z）}（5.11），其中yK（z）：=eδ/σz/（Kδ/σ+eδ/σz）。根据命题4.1和引理4.3，RK中的停止区域为沙粒。注意，由于yk增加，if（z，y）∈ RK则任何对（z，y）都属于RK for z≥ z、 与（4.13）类似，我们也定义了zk：=sup{z∈ R |（z，yK（z））∈ S} 和yK：=yK（zK）。（5.12）14 TIZIANO DE ANGELIS，FABIEN Gensbitel，ST'EPHANE VILLENEUVEIn新坐标系与z变量相关，如下一个引理所示。引理5.2。Let（z，y）∈ RK。（i） （z，y）∈ S==> （z，y）∈ 所有z的SFO≤ z、 这样（z，y）∈ RK，（ii）（z，y）∈ S==> （z，y）∈ 所有z的SFO≥ z、 证明。使用z 7→ F（z，y）每y增加一次∈ （0，1）不难证明（通过直接比较）z→ v（z，y）也是非递减的。证明（i）取z≤ z、 引理3.1的（ii）表示0≤ v（z，y）- v（z，y）=v（F（z，y），y）- V（F（z，y），y）（5.13）≤ F（z，y）- F（z，y）=H（z，y）- H（z，y）。If（z，y）∈ S第v（z，y）节- H（z，y）=0，产生v（z，y）- H（z，y）≥ 用一个类似的论点，我们可以证明（ii）。停止集不一定与y变量相关，并且我们只对x的某些值的速率δ和波动率σ有连接集。特别是在本文的其余部分，我们作出以下长期假设（除非另有规定）。假设5.3。我们假设σδ≥ 1、对于σδ≥ 1将S、Senjoy设置为下一个所需属性。引理5.4。

Let（z，y）∈ RK，然后（i）（z，y）∈ S==> （z，y）∈ Sfor所有y≥ y如此（z，y）∈ RK，（ii）（z，y）∈ S==> （z，y）∈ Sfor所有y≤ y、 此外，它还保持（iii）v（z，y）≤ v（z，y）表示y≥ y>yK（z），z∈ R、 证明。取（x，y）∈ RK，x y≥ yand设x=F（z，y）。设γ：=γ*（x，y）对于从（x，y）开始的游戏中的玩家2来说是最优的，对于从（x，y）开始的游戏中的玩家1来说，τanε-最优停止时间。还记得{τ∧ γ = +∞} 由于（3.1），两位球员的薪酬均为零。然后使用H（z，y）-H（z，y）=H（z，y）-H（z，y）表示所有z∈ R和y，y∈ （0，1）我们得到v（z，y）- v（z，y）（5.14）≤Ee-rγH（Zzγ，Yyγ）1{γ<τ}+e-rτH（Zzτ，Yyτ）1{τ≤γ}- Ee-rγH（Zzγ，Yyγ）1{γ<τ}+e-rτH（Zzτ，Yyτ）1{τ≤γ}+ ε=Ehe-r（γ∧τ )H（Zzγ∧τ、 Yyγ∧τ）- H（Zzγ∧τ、 Yyγ∧τ)i+ε。现在我们注意到，自从Yyt≥ Yyt，所有t的P-a.s≥ 0和y 7→ F（z，y）减小，然后h（Zzγ∧τ、 Yyγ∧τ）- H（Zzγ∧τ、 Yyγ∧τ）≤ F（Zzγ∧τ、 Yyγ∧τ）- F（Zzγ∧τ、 Yyγ∧τ） （5.15），不等式的右侧为正。因此，我们可以使用Fatou\'slemma和（5.15）来获得v（z，y）- v（z，y）≤Ehe公司-r（γ∧τ )F（Zzγ∧τ、 Yyγ∧τ）- F（Zzγ∧τ、 Yyγ∧τ)i+ε≤ lim信息→+∞Ehe公司-r（γ∧τ∧t）F（Zzγ∧τ∧t、 Yyγ∧τ∧t）- F（Zzγ∧τ∧t、 Yyγ∧τ∧t）i+ε（5.16）不完全信息的DYNKIN博弈15图1。

集合S、S（左）和集合S、S（右）的图示。设置Mζs=e-rsF（Zzs，Yζs），对于任何ζ∈ （0、1）和s∈ [0，t]，It^o公式给出SDMζs=-δYζsMζsdt+σMζsdWs。因此，将上述内容代入（5.16），并注意到Mζ∈ L（[0，t]×Ohm), 我们可以使用可选抽样定理来获得v（z，y）- v（z，y）≤F（z，y）- F（z，y）+ε+δlim inft→∞EZγ∧τ∧t（YysF（Zzs，Yys）- YysF（Zzs，Yys））dt.（5.17）现在使用，对于σδ≥ 1、地图y→ yF（z，y）不随y（yF（z，y））=ez1.- yy年σδ1.-σ/δ(1 - y）,（5.18）并再次回顾Yy·≥ Yy·，我们看到（5.17）意味着v（z，y）- v（z，y）≤F（z，y）- F（z，y）+ε。（5.19）由于ε是任意的，因此y 7→ （v（z，y）- F（z，y））是非递减的，因此（i）和（ii）很容易遵循。（iii）的证明来自y 7→ 当i=1，2时，Hi（z，y）减小。下一个推论是引理5.2和5.4的简单结果。我们记得我∩ RcK= 当Xt<K时，没有玩家停车（见备注3.3和引理4.3）。推论5.5。存在非递减函数c:R→ [0，1]，c：(-∞, zK]→[0，1]，带c（·）≤ c（·）≤ yK（·）开启(-∞, zK]和c（·）≤ yK（·）on（zK+∞), 这样s={（z，y）∈ R×[0，1]| y≤ c（z）}，（5.20）S={（z，y）∈ (-∞, zK]×[0，1]| y∈ [c（z），yK（z）]}。（5.21）接下来，我们提供边界biand ci的连续性，i=1，2。提案5.6。停止边界b，带c，保持连续。16 TIZIANO DE ANGELIS，FABIEN Gensbitel，ST’EPHANE VILLENEUVEProof。第1步。首先，我们证明b，b的主张。由于两个边界的证明相似，我们只提供b的细节。根据推论4.5，边界b保持连续。为了显示正确的连续性，我们将用矛盾的方式进行辩论。假设存在y∈ （0，1）使得b（y+）<b（y）和fix∈（b（y+，b（y））。

下一步定义zby F（z，y）=x，注意，由于x<b（y），那么（F（z，y），y）∈ 因此，砂（z，y）∈ S、 我们用yn取递减序列（yn）↓ 雅斯n→ ∞ 引理5.4意味着（z，yn）∈ 稳定部队。等效xn=F（z，yn）≤ b（yn）取极限并利用F是连续的，我们得到x=F（z，y）≤ b（y+）。后者是矛盾的。第2步。现在我们展示c，c的连续性。让我们从cand fix z开始。取一个序列zn↑ zas n公司→ ∞ 所以（zn，c（zn））→ （z，c（z-)), 其中c（z-) ≤ c（z），极限是单调存在的。自Sis关闭以来，我们有（z，c（z-)) ∈ 砂土c（z-) ≥ c（z），因此意味着左连续性。为了证明cis也是右连续的，我们使用了文献[8]中的定理3.3。由于在我们的游戏环境中没有给出LatterThermory，我们在这里重复一些关于完备性的论点。让我们假设c（z）<c（z+），并表示y：=c（z），y：=c（z+）表示隐式。固定z>z，使具有顶点（z，y）、（z，y）、（z，y）和（z，y）的开放矩形R包含在C中。设w：=v- 手w：=w/y、 然后，偏微分方程解的内部正则性结果（参见例[25，推论2.4.3]）意味着∈ C1，2（R），通过对y的（5.8）推导，结果是kwz+Aw- rw公司（z，y）=δh（z，y），对于（z，y）∈ R、 （5.22）其中h（z，y）：=y（yF（z，y））和a：=Δσy（1- y）y型+Δσy（1- y） （1）- 2年）y、 Letψ∈ C∞c（y，y）是正的，因此yψ（y）dy=1。将（5.22）乘以ψ，再乘以（y，y）上的部分，得到lψ（z）：=kZyywz（z，y）ψ（y）dy（5.23）=Zyyw（z，y）y[（r- A.*)]ψ（y）dy+δZyyh（z，y）ψ（y）dy，其中A*是A的伴随算子。

现在，以极限为z↓ z、 我们可以使用上述方程右侧的支配收敛，以及W（z，·）=0 on（y，y），to findψ（z+）=limz的事实↓zLψ（z）=δZyyh（z，y）ψ（y）dy≤ -δ`。（5.24）在我们设定的最终不等式中-` := sup（y，y）h（z，y），注意`>0，由于σ/δ≥ 1（见（5.18））。根据其定义Lψ∈ C（z，z）和（5.24）意味着它在ZexistAnd的右极限是严格负的。然后，对于某些δ>0的情况，利用分部积分和Fubini\'sA DYNKIN对策与不完全信息17定理，我们得到了0>Zz+δzLψ（z）dz=-克孜伊Zz+δzwz（z，y）dzψ（y）dy=- kZyyw（z+δ，y）ψ（y）dy=kZyywy（z+δ，y）ψ（y）dy≥ 0，（5.25），其中最后一个不等式如下，因为w（z+δ，·）是非递减的，如引理5.4的顶部所示。因此，我们得出了一个矛盾，而C必须是连续的。通过Z的任意性，我们得出cis连续的结论。要证明cwe的连续性，请参考[8，Thm.3.1]。后者不是在游戏上下文中获得的，但上面的参数允许对其进行直接扩展。我们还注意到，在应用该定理时，我们使用v是R×（0，1）上的局部Lipschitz。6、边界上的正则性在这一节中，我们证明了值函数V确实是Cin R*+×(0, 1). 这个结果的关键是所谓的最优边界的正则性。粗略地说，这意味着这个过程（X，Y）会立即进入沙漏的内部，到达它们的边界沙S、 类似的考虑也适用于过程（Z，Y）和集合S，S。我们记得我们是在假设5.3下工作的。让我们介绍一下命中次数^τ*:= inf{t>0 |（Xt，Yt）∈ S} =inf{t>0 |（Zt，Yt）∈ S} （6.1）^γ*:= inf{t>0 |（Xt，Yt）∈ S} =inf{t>0 |（Zt，Yt）∈ S} 。（6.2）下一个引理清楚地说明了（X，Y）和（Z，Y）差异的最佳边界的规律性。

它的证明被推迟到本节末尾，以便我们能够快速走向主要结果，即命题6.4。引理6.1。If（x，y）∈ S（分别为z、y）∈ S） thenPx，y（^τ）*> 0）=0（分别为Pz、y（^τ*> 0) = 0).（6.3）类似地，如果（x，y）∈ S（分别为z、y）∈ S） thenPx，y（^γ*> 0）=0（分别为Pz、y（^γ*> 0) = 0).（6.4）注意，如果k>0（6.4），则（x，y）6=（k，bK）（分别为（z，y）6=（zK，yK））。通过[K，b（y）]= 对于y>yK且[c（z），yK（z）]= 对于z>zK，我们可以使用推论5.5并写出P-a.s.^τ*= inf{t>0 | Xt≥ b（Yt）}=inf{t>0 | Yt≤ c（Zt）}（6.5）^γ*= inf{t>0 | Xt∈ [K，b（Yt）]}=inf{t>0 | Yt∈ [c（Zt），yK（Zt）]}。（6.6）为了避免进一步的技术性问题，我们假设c（z）6=yK（z）表示z<zK（分别是b（y）6=K表示y<bK），然而，本节的所有结果可以很容易地适用于c=yK表示某些z（即b=K表示某些y）的情况。我们考虑停止集内部的命中时间，即我们定义P-a.s.ˇτ：=inf{t>0 | Xt>b（Yt）}=inf{t>0 | Yt<c（Zt）}（6.7）ˇγ：=inf{t>0 | Xt∈ （K，b（Yt））}=inf{t>0 | Yt∈ （c（Zt），yK（Zt））}。（6.8）18 TIZIANO DE ANGELIS、FABIEN Gensbitel、ST’EPHANE VILLENEUVENotice表示，对于每一条线，第二个等式源自最佳边界的连续性。准确地说，对于所有（z，y）∈ RK，我们的等价物是f（z，y）<b（y）<=> y>c（z），F（z，y）>b（y）<=> y<c（z）。我们注意到，如果c=yk在区间I上，那么ˋγ也应考虑c | I的初始交叉时间。在[5]中使用的一个参数，推论8（见其中的等式（2.39））允许我们获得下一个有用的引理。为了方便读者，附录B中给出了最初在[5]中开发的证明。引理6.2。

对于任何（x，y）∈ R×[0，1]我们有px，y（^τ*= ˇτ）=Px，y（^γ*= ˇγ) = 1.（6.9）等效于任何（z，y）∈ R×（0，1）我们有pz，y（^τ*= ˇτ）=Pz，y（^γ*= ˇγ) = 1.（6.10）上述引理表示，过程（X，Y）（或等效的（Z，Y）），在命中最佳边界后，将立即进入停止集的内部。这有以下重要的后果建议6.3。Let（xn，yn）nbe C中的a序列和Let^τn*:= ^τ*（xn，yn）和^γn*:=^γ*（xn，yn）表示进程的相应命中时间（Xxn，yn，Yyn）。接下来是（i）如果（xn，yn）→ （x，y）∈ Sas编号→ +∞, 然后^τ*（xn，yn）→ 0，P-a.s.（ii）如果（xn，yn）→ （x，y）∈ Sas编号→ +∞, 那么^γ*（xn，yn）→ 0，P-a.s.请注意，如果k>0，则（x，y）6=（k，bK）保持上述状态。证据让我们考虑（ii），在不损失一般性的情况下，让x=b（y）（下面的参数也适用于x=K）。表示ˋγn：=ˋγ（xn，yn）。自^γn起*= ˋγnb由引理6.2证明ˋγn→ 特别是ˋγ（x，y）=0，P-a.s.引理6.2和引理6.1。因此，存在一组空度量值N，使得ˋγ（x，y）=0和（x，y）→ （Xx，y，Yy）是连续的，对于所有ω∈ Ohm \\ N固定ω∈ Ohm \\ N和任意α>0。我们可以找到t<α，这样Xx，yt（ω）<b（Yyt（ω））。因此，对于所有n个足够大的Xxn，ynt（ω）<b（Yynt（ω）），因为（Xxn，ynt（ω），Yynt（ω））→（Xx，yt（ω），Yyt（ω））和bis连续。因此lim supnˋγn（ω）<α。由于α是任意的，且参数对a.e.ω成立，我们得到（ii）。（i）的证明来自一个类似的论点。现在，我们可以使用上述结果来获得valuefunction的连续可微性。为准备这一点，我们需要回顾一些关于随机流差异性的结果。

特别是通过第V.7章的[33]定理39，我们可以确定所有t≥ 0，Uyt：=Yyt公司yP公司- a、 s.（6.11），它在t和y上都是连续的，并解出SDEdUyt=-δσ(1 - 2Yyt）UytdWt，Uy=1 P- a、 s.（6.12）注意到偶（Y，U）形成了一个马尔可夫过程，而Uytis是一个指数鞅。此外，由于过程Y是有界的，因此不难看出Novikov条件成立，Uytis确实是一个指数鞅。最后，带有不完全信息的weA DYNKIN博弈19在这里还指出，（Y，U）是SDE的强解，注意，使用Explicit表示（2.4），我们还可以xXx，yt=X1，ytP- a、 s。。适用于所有（x，y）∈ R×[0，1]we setu（x，y）：=V（x，y）- （十）- K） ，（6.13）（6.14），并定义工艺（Pt）t≥0asPt=ertu（Xt，Yt）+中兴通讯-卢比（rK- δXsYs）ds Px，y- a、 s.（6.15）然后，根据定理3.2中提供的值函数的半谐波特征，我们得到了任何T>0（Pt∧γ*∧τ*)t型≤Tis a Px，ymartingale（6.16）（Pt∧τ*)t型≤Tis a Px，ysub鞅（6.17）（Pt∧γ*)t型≤这是一个Px，ysuper鞅。（6.18）为了将来的参考，我们还引入了τK（x，y）：=inf{t≥ 0:Xx，yt≤ K} （6.19）并用C.命题6.4的结束表示。值函数V为Cin R+×（0，1）（如果K>0，可能除了点（K，bK）之外）。此外，vyy（见（5.6））在C上是连续的（如果k>0，则可能是onC \\（zK，yK））。证据通过简单地调用v，值函数位于连续集C旁边∈ Cin C（见自由边界问题（5.8）–（5.10））。因此，我们只需要跨越最佳边界来改善Cproperty。我们提供uy持续性的完整详细信息：=u型/y作为ux的连续性：=u型/x遵循与琐碎修改类似的论证。让我们从以下几点开始S、 即买方的停车区域边界。让我们fix（x，y）∈ 让我们在连续集C内拾取（x，y）∩ {x>K}。

稍后我们将取极限（x，y）→ （x，y）并使用命题6.3。用τ表示*= τ*（x，y）（Xx，y，Yy）首次进入砂中的时间，γε=γ*（x，y+ε）某些ε>0的（Xx，y+ε，Yy+ε）首次进入SFO的时间。从表3.1和表6.13的（i）中，我们知道u（x，y+ε）-u（x，y）≤ 0，因为V是非递增的iny。为了找到u（x，y+ε）的下界-u（x，y）我们想使用（Pt）t的半调和性质≥为此，我们引入了停止时间λε：=τ*∧ γε∧ τεK∧ 其中T>0是固定的，τεK=τK（x，y+ε）。请注意，自Xx起，y+ε≤ Xx，y（见（2.4）），然后τK（x，y+ε）≤ τK（x，y）。现在，使用（6.17）和（6.18）我们得到u（x，y+ε）- u（x，y）（6.20）≥Ehe公司-rλεu（Xx，y+ελε，Yy+ελε）+Zλεe-rt（rK- δXx，y+εtYy+εt）dti- Ehe公司-rλεu（Xx，yλε，Yyλε）+Zλεe-rt（rK- δXx，ytYyt）dti。20 TIZIANO DE ANGELIS，FABIEN Gensbitel，ST’EPHANE VILLENEUVENotice，0≤ u≤ εon[K+∞) ×[0，1]和τ*≤ γε∧ τεK∧ T型==> u（Xx，yλε，Yyλε）=0≤ u（Xx，y+ελε，Yy+ελε）γε≤ τ*∧ τεK∧ T型==> u（Xx，y+ελε，Yy+ελε）=ε≥ u（Xx，yλε，Yyλε），因此{τ*∧ γε≤ τεK∧ T}我们有u（Xx，y+ελε，Yy+ελε）≥ u（Xx，yλε，Yyλε）。（6.21）利用（6.20）中的这一事实，我们得到u（x，y+ε）- u（x，y）≥Eh{τεK∧T<τ*∧γε}e-r（τεK∧T）u（Xx，y+ετεK）∧T、 Yy+ετεK∧T）- u（Xx，yτεK∧T、 YyτεK∧T）i+δEhZλεe-rt（Xx，ytYyt- Xx，y+εtYy+εt）dti。现在我们使用Xx，y+ε≤ Xx，y（见（2.4））和x 7→ u（x，y）是非递增的（如引理4.2中（iii）和（iv）的证明所示）。因此，从上述不等式的右侧，我们很容易得到u（x，y+ε）- u（x，y）（6.22）≥Eh{τεK∧T<τ*∧γε}e-r（τεK∧T）u（Xx，yτεK∧T、 Yy+ετεK∧T）- u（Xx，yτεK∧T、 YyτεK∧T）i+δEhZλεe-rtXx，yt（Yyt- Yy+εt）dti。可以为上述表达式右侧的两个术语提供下限。

对于第一个术语，我们回顾引理3.1的（iii）和getEh{τεK∧T<τ*∧γε}e-r（τεK∧T）u（Xx，yτεK∧T、 Yy+ετεK∧T）- u（Xx，yτεK∧T、 YyτεK∧T）我≥ - C Eh{τεK∧T<τ*∧γε}e-r（τεK∧T）（1+Xx，yτεK∧T）Yy+ετεK∧T- YyτεK∧Ti=- εC Eh{τεK∧T<τ*∧γε}e-r（τεK∧T）（1+Xx，yτεK∧T）YετεK∧Ti公司≥ - εC Eh{τεK∧T<τ*}e-r（τεK∧T）（1+Xx，yτεK∧T）YετεK∧Ti（6.23），其中Yεt：=ε（Yy+εt-Yyt），然后通过观察{τ*∧γε>τεK∧ T} {τ*> τεK∧ T}，并且期望下的量是正的。对于（6.22）中的积分项，我们以类似的方式进行论证，得到了hzλεe-rtXx，yt（Yyt- Yy+εt）dti=- εEhZλεe-rtXx，ytYεtdti≥ - εEhZτ*∧τεK∧Te公司-rtXx，ytYεtdti（6.24）收集（6.22），（6.23）和（6.24）我们发现（x，Y+ε）- u（x，y）ε≥ -C Eh{τεK∧T<τ*}e-r（τεK∧T）（1+Xx，yτεK∧T）YετεK∧Ti公司- EhZτ*∧τεK∧Te公司-rtXx，yt具有不完全信息的YεtdtiA-DYNKIN博弈，我们现在的目标是将极限取为ε→ 为了应用支配收敛，有必要证明随机变量族（Xx，yτ，当τ范围通过所有[0，T]值的停止时间和ε∈ (0, 1-y） 。实际上，通过Cauchy-Schwarz不等式，这意味着Xx，yτ·Yετ相对于ε和τ呈三角形有界。X的界直接来自显式表达式（2.4）。请注意Yε是指数鞅。