收益信息不完全的资产动态博弈

请注意，TIZIANO DE ANGELIS、FABIEN Gensbitel、ST’EPHANE Villeneuveth第二个方程与第一个方程无关，因此其解Yy与x无关。由于过程{(Ohm, F、 F，P），（Xx，y，Yy）}和{(Ohm, F、 FcW，Py），（Sx，Dy）}具有相同的定律，那么博弈期权可以更方便地用马尔可夫公式表示，概率测度独立于y。这将在下一节中完成。通常在下面的内容中，我们使用符号Px，y（·）=P（·| X=X，y=y）并去掉偶中的顶点（X，y）。在结束本节之前，我们注意到≥ 0Xx，yt=x expZt（r- δYys-σ） ds+σWt, P- a、 s.（2.4）此外，我们还记得，由于（ζt）t≥0：=（e-rtXt）t≥0是最后一个元素为ζ的连续超鞅∞:= 限制→∞ζt=0，可选采样定理保证（见[22，Thm.1.3.22]）e-rρXρ| Fν≤ e-rνXν，Px- a、 s.（2.5）对于所有停车时间ρ≥ ν。3、博弈及其值payoffs Gi，i=1，2 in（1.2）是非递减的，且在R+上是1-Lipschitz连续的，且为0≤ G<G。同样清楚的是→∞e-rtGi（Xx，yt）=0，P- a、 s.（3.1）对于任何（x，y）∈ R+×（0，1），根据备注2.1中的第一个公式。现在，我们重新定义了导言和通知中给出的博弈预期收益（1.3）的公式。由于上一节中解释的等价性，我们可以将其改写为（3.2）Mx，y（τ，γ）=Ee-rτG（Xx，yτ）1{τ≤γ} +e-rγG（Xx，yγ）1{γ<τ}.停止时间（τ，γ）是从F-停止时间的集合T中提取出来的，并且Mx，y（τ，γ）对（x，y）的依赖关系被清楚地表达出来。感谢（3.1）关于事件{τ∧ γ = +∞} 我们只需为两名球员获得零回报。我们在此回顾，玩家1（买方）选择τ以最大化（3.2），而玩家2（卖方）选择γ以最小化（3.2）。游戏的上限值V和下限值V如（1.4）所示。

我们在本节剩余的时间里证明了这些函数确实是一致的，因此游戏的值为V。我们首先证明V和V的一些正则性结果。引理3.1。函数V和V是：（i）相对于（w.r.t.）x不递减，w.r.t.y不递增（ii）1-Lipschitz w.r.t.x，一致w.r.t.y∈ [0，1]（iii）局部Lipschitz w.r.t.y，即对于f=V或f=V且给定常数C>0，我们有| f（x，y）- f（x，y）|≤ C（1+| x |）| y- y |，x>0，y、 y型∈ [0, 1].引理3.1的证明。在不丧失一般性的情况下，我们仅提供V的全部细节。[证明（i）]让我们首先证明关于x.Fix y的单调性∈ （0，1）和x≥ x、 对于任何ε>0的情况，都存在一对（τε，γε），使得mx，y（τε，γε）≤ V（x，y）+ε和Mx，y（τε，γε）≥ V（x，y）-ε。（3.3）信息不完全的DYNKIN博弈7因此我们也有v（x，y）- V（x，y）≥Mx，y（τε，γε）- Mx，y（τε，γε）- ε=Ehe-r（τε∧γε）（（Xx，yτε∧γε- K）+- （Xx，yτε∧γε- K） +）i- ε≥ - ε式中，最后一个不等式后面是Xx，yt≥ Xx，yt，t的P-a.s≥ 0谢谢（2.4）。因为ε是任意的，所以我们有x 7→ V（x，y）不递减。为了证明关于y的单调性，我们以类似的方式进行论证。We FIX x公司∈ R+和y≤ y、 对于任何ε>0，我们可以找到一对（τε，γε），使得v（x，y）- V（x，y）≥Mx，y（τε，γε）- Mx，y（τε，γε）- ε=Ehe-r（τε∧γε）（（Xx，yτε∧γε- K）+- （Xx，yτε∧γε- K） +）i- ε≥ - ε。对于这一次的最后一个不等式，我们使用了SDEs的比较原理，这保证了Yyt≤ Yyt，t的P-a.s≥ 0和（2.4），其中给出Xx，yt≥ Xx，yt，P-a.s.堡≥ 通过ε的任意性，我们得到了索赔。【证明（ii）】如上所述，我们确定∈ （0、1）和x≥ x表示V（x，y）- V（x，y）≥ 0。对于任何ε>0，我们可以找到一对（τε，γε），使得0≤ V（x，y）- V（x，y）≤Mx，y（τε，γε）- Mx，y（τε，γε）+ε≤Ehe公司-r（τε∧γε）| Xx，yτε∧γε- Xx，yτε∧γε| i+ε（3.4），其中第二个不等式使用催缴股款的Lipschitz性质。

从（2.4）开始，我们有-r（τε∧γε）| Xx，yτε∧γε- Xx，yτε∧γε| ≤ |x个- x | eσWτε∧γε-σ(τε∧γε).自exp（σWt-σt），t≥ 0是一个正的上鞅，我们推导出-r（τε∧γε）| Xx，yτε∧γε- Xx，yτε∧γε|] ≤ |x个- x |和x中的Lipschitz连续性遵循（3.4），因为ε>0是任意的。[证明（iii）]现在我们在空间中使用夫妻（Xx，y，Yy）之间的等价关系(Ohm, F、 P）和空间上的情侣（Sx，Dy）(Ohm, F、 Py）（参见第2节和第（1.3）节以及第（3.2）节的解释）写入mx，y（γ，τ）=Eye-rτG（Sxτ）1{τ≤γ} +e-rγG（Sxγ）1{γ<τ}= y y ye-rτG（Sxτ）1{τ≤γ} +e-rγG（Sxγ）1{γ<τ}D=1+ （1）- y） Ey公司e-rτG（Sxτ）1{τ≤γ} +e-rγG（Sxγ）1{γ<τ}D=0对于任何耦合（τ，γ）∈ TS.设置1，xt=xeσBt+（r-δ-σ） t，S0，xt=xeσBt+（r-σ） 注意，在D上，sx定律与y无关，因此表示在维纳测度W下的期望，我们得到mx，y（γ，τ）=y EWe-rτG（S1，xτ）1{τ≤γ} +e-rγG（S1，xγ）1{γ<τ}+ （1）- y） 电子战e-rτG（S0，xτ）1{τ≤γ} +e-rγG（S0，xγ）1{γ<τ}（3.5）8 TIZIANO DE ANGELIS、FABIEN Gensbitel、ST'EPHANE VILLENEUVENow我们使用上述游戏报酬表示如下。修复x∈ R+安迪≤ y、 然后，对于任何ε>0的情况，我们发现（τε，γε）∈ t因此0≤V（x，y）- V（x，y）≤Mx，y（γε，τε）- Mx，y（γε，τε）+ε≤ |y- y型|电子战e-rτεG（S1，xτε）1{τε≤γε}+e-rγεG（S1，xγε）1{γε<τε}+ 电子战e-rτεG（S0，xτε）1{τε≤γε}+e-rγεG（S0，xγε）1{γε<τε}+ ε。对于任何停止时间ρ和k=0，1，我们有EW[e-rρSk，xρ]≤ x如（2.5）所示。MoreoverG，Ghave线性增长，因此V（x，·）的Lipschitz性质如下。现在我们可以证明游戏的价值存在。正如导言中所解释的，主要的困难来自这样一个事实，即我们正在处理一个二维停止博弈，在停止支付上缺乏统一的可积性。定理3.2。Payoff（3.2）的游戏对于所有（x，y）都有一个值V（x，y）=V（x，y）=V（x，y）∈ R+×[0，1]。此外，玩家2，即。

最小化者（卖方）有一个最优策略γ*（x，y）=inf{t≥ 0 | G（Xx，yt）≤ V（Xx，yt，Yx，yt）}（3.6）与公约inf = +∞ 以及流程-r（t∧γ*)V（Xx，yt∧γ*, Yyt公司∧γ*), t型≥ 0是一个封闭的超级鞅。最后，如果我们定义τ*（x，y）=inf{t≥ 0 | V（Xx，yt，Yyt）≤ G（Xx，yt）}，（3.7）与公约inf = +∞ 以及流程-r（t∧τ*)V（Xx，yt∧τ*, Yyt公司∧τ*), t型≥ 0是（不一定是闭合的）子鞅。证明：定理3.2的证明推迟到附录中。备注3.3。根据引理3.1，值函数相对于y不增加。因此，对于每个y∈ （0，1），我们有v（x，y）≥ 林茨→1V（x，z）def=V（x），其中P（D=1）=1时的游戏值。根据[35]，定理2.1，值函数Vis严格正，因此V也是严格正的。4、停止区域的性质在确定博弈有一个值V之后，我们可以引入所谓的继续区域C：={（x，y）∈ R+×[0，1]| G（x）<V（x，y）<G（x）}（4.1）和两个玩家的停止区域，即（4.2）S={（x，y）∈ R+×[0，1]| V（x，y）=G（x）}，对于玩家1，（4.3）S={（x，y）∈ R+×[0，1]| V（x，y）=G（x）}，一个对玩家2来说信息不完整的DYNKIN游戏。很明显，C是开放的，S是闭合的，因为V是连接连续的（见引理3.1），显然S∩ S=.这些集合很重要，因为根据零和Dynkin博弈理论，唯一可能成为纳什均衡的是对（γ*, τ*) 由（3.6）和（3.7）给出（见[32]）。在完全信息下，在[17]中研究了y=0时的永久博弈看涨期权，在[35]中研究了y=1时的永久博弈看涨期权。这些论文分析了连续和停止区域的几何结构，为了完整性，我们在附录中对其结果进行了总结。为了将来参考，我们只注意到[17，第。

5.1]获得ε<K<=> S∩ {y=0}=[K+∞).（4.4）在本节的其余部分中，我们研究了停车区域的形状。为此，我们需要引入二维扩散（X，Y）的微型发生器，即对于任何g∈ C（R+×[0，1]）（Lg）（x，y）：=h（R- δy）xg级x+σxg级x（4.5）+δ2σy（1- y）g级y- δxy（1- y）g级x个yi（x，y）。让我们也来介绍setsA：={（x，y）∈ （K+∞) ×[0，1]|（LG- rG）（x，y）>0}（4.6）A：={（x，y）∈ （K+∞) ×[0，1]|（LG- rG）（x，y）<0}（4.7），注意A={（x，y）| xy<rK/δ，x>K}，A={（x，y）| xy>r（K- ε） /δ和x>K}。我们用Aci表示这些集合的补码，i=1，2和定义{x>K}：=（K+∞) ×[0，1]。提案4.1。我们有，S 交流电∩ {x>K}和S∩ {x>K} 交流证明。证明第一个包含（即S）是足够的，因为第二个包含（即S）的参数是类似的。因为V是严格正的（备注3.3），很明显S {x>K}。固定（x，y）∈ {x>K}∩ A、 然后可以找到（x，y）的开放邻域R，使得R {x>K}∩ A、 即（L- r） r上的G>0。设τRbe为r的（Xx，y，Yy）退出时间，设ρ：=τ*∧ γ*∧ τR，那么定理3.2保证-r（t∧ρ） V（Xt∧ρ、 年初至今∧ρ） 是t的Px，y鞅≥ 利用这个性质和It^o公式，我们得到v（x，y）=Ex，yhe-r（t∧ρ） V（Xt∧ρ、 年初至今∧ρ） 我≥ Ex，yhe-r（t∧ρ） G（Xt∧ρ） i=G（x）+Ex，yZt公司∧ρe-卢比（LG- rG）（Xs，Ys）ds> G（x），表示（x，y）/∈ S我们的下一个引理表明停止区域是向上和右连通的，而区域是向下和左连通的{x>K}。引理4.2。以下特性适用于（i）（x，y）∈ S=> （x，y）∈ 稳定部队y≥ y、 10 TIZIANO DE ANGELIS，FABIEN Gensbitel，ST’EPHANE VILLENEUVE（二）（x，y）∈ S=> （x，y）∈ 稳定部队y≤ y、 （iii）（x，y）∈ S=> （x，y）∈ 稳定部队x≥ x个≥ K、 （四）（x、y）∈ S=> （x，y）∈ 稳定部队x≥ x个≥ K、 证明。第一个属性的两个直接来源于y 7→ V（x，y）是非递增的。

证明（iii）让我们fix（x，y）∈ S（注意，特别是x≥ K） 。因为v（x，y）是1-Lipschitz w.r.t.x，且不递减（见引理3.1中的（i）-（ii）），所以对于所有x≥ x、 我们有v（x，y）≤ V（x，y）+（x- x） =V（x，y）+G（x）- G（x）=G（x），（4.8），其中我们使用了G（x）- G（x）=x- x代表x≥ x个≥ K、 假设G（x）=V（x，y）。显然（4.8）意味着（x，y）∈ Sas声称。类似论证（四）。引理4.3。对于x<K，V（x，y）<G（x）。因此S∩ [（0，K）×（0，1）]=.证据注意，G（x）=（x，y）的ε∈ （0，K）×（0，1），因此LG- rG<0on（0，K）×（0，1） A、 让R （0，K）×（0，1）为开集且fix（x，y）∈ R、 表示ρR：=inf{t≥ 0 |（Xt，Yt）/∈ R} 让τ*定义见（3.7）。还要注意τ*≥ ρR，P-a.s.，因为游戏者1不停在（0，K）中。然后利用定理3.2和It^o公式，我们得到v（x，y）≤Ee-r（t∧ρR）V（Xx，yt∧ρR，Yyt∧ρR）≤ Ee-r（t∧ρR）G（Xx，yt∧ρR）= G（x）- rεEZt公司∧ρRe-RSD< G（x）。下一个引理表明，如果取消的惩罚不超过罢工价格，即ε<K，那么停止区域是非空且无界的。引理4.4。如果ε<K，则集合S∩[M+∞) ×（0，1）对于所有M均为非空≥ K、 证明。我们通过矛盾来论证，并假设S∩ [M+∞) 对于某些M，×（0，1）为空≥ K、 固定（x，y）∈ （M+∞) ×（0，1）并表示ρM（x，y）=inf{t≥ 0 | Xx，yt≤ M} ，然后是γ*≥ ρ最肯定。

因此，定理3.2意味着t 7→ e-r（t∧ρM）V（Xx，yt∧ρM，Yx，yt∧ρM）是一个超鞅。对于任何停止时间τ，我们有v（x，y）≥ E【E】-rρMV（M，YyρM）1{ρM<τ}+e-rτG（Xx，yτ）1{τ≤ρM}]。（4.9）利用Lipschitz连续性（引理3.1）和（4.4），我们还得到了v（M，y）≥ V（M，0）- C（1+M）y=G（M）- C（1+M）y。将后者插入（4.9）中以估计V（M，YyρM），回忆x>M并使用（e-rtYyt）t≥0是我们得到的一个正的，有界的，上鞅v（x，y）≥ E【E】-rρMG（M）1{ρM<τ}+e-rτG（Xx，yτ）1{τ≤ρM}]- C（1+x）y。因为τ是任意的，所以我们有V（x，y）≥ fM（x，y）- C（1+x）y，其中fm（x，y）：=supτE[E-rρMG（M）1{ρM<τ}+e-rτG（Xx，yτ）1{τ≤ρM}]。具有不完全信息的DYNKIN博弈11与引理3.1中的证明相同的论点允许我们证明| fM（x，y）- fM（x，y）|≤ C（1+x）| y- y |对于所有y，y∈ [0，1]和x∈ R+。我们现在可以使用上面的公式来获得v（x，y）≥ fM（x，y）- C（1+x）y≥ fM（x，0）- 2C（1+x）y.（4.10）接下来，我们要找到fM（x，0）的下限。注意，对于t≥ 0Yt=0和Xx，0t=xeσW+（r-σ/2）t，P- a、 s代表n≥ x、 设置Д（x）：=x-2rσ，ψ（x）：=x和τn：=inf{t≥ 0 | Xx，0≥ n} 我们可以依赖标准公式来获得ρ和τnto的拉普拉斯变换fm（x，0）≥G（M）Ee-rρM{ρM<τn}+ G（n）Ee-rτn{ρM≥τn}=G（M）ψ（x）Д（n）- Д（x）ψ（n）ψ（M）Д（n）- ψ（M）ψ（n）+G（n）ψ（M）Д（x）- Д（M）ψ（x）ψ（M）Д（n）- ψ（M）ψ（n）。出租n→ ∞ 很容易检查FM（x，0）≥ x个- （K）- ε）Mx公司2rσ>G（x），其中最终不等式使用x>M。后者和（4.10）意味着V（x，y）>G（x）对于y非常小，因此是矛盾的。由于上述引理，我们可以将停止区域的边界定义为以下b（y）：=inf{x∈ [0+∞) | V（x，y）=G（x）}，（4.11）b（y）：=sup{x∈ [0+∞) | V（x，y）=G（x）}，（4.12），按照通常的惯例，inf = +∞ 和sup = 0、注意S∩（R+×{y}）=[K，b（y）]如果b（y）≥ K，否则为空。

从引理4.2，由于这些集合是闭合的，我们推导出下一个推论4.5。函数在各自的域上带出非递增项，并确定停止集，如下所示：S={（x，y）∈ R+×[0，1]：x≥ b（y）}，S={（x，y）∈ R+×【0，1】：K≤ x个≤ b（y）}。此外，双下半连续（因此右连续），而双上半连续（因此左连续）。最后，由于命题4.1以及A和Awe的定义≥ 苯教[0，1]。接下来，我们将向bis展示（0，1）上定义良好的函数。引理4.6。对于所有y∈ （0，1），b（y）<∞.证据通过矛盾来论证，让我们假设存在y∈ （0，1）使得b（y）=+∞. 然后通过引理4.2的b（（i）和（iii）的单调性和下半连续性，它保持b（y）=+∞ 在[0，y]上。表示ρ：=inf{t≥ 0年至今≥ y} 。因此我们有ρ≤ τ*, Px，y-a.s.适用于任何起始点（x，y）和y∈ （0，y）。从现在起∈ （0，y）。定理3.2保证t 7→ e-r（t∧ρ） V（Xx，yt∧ρ、 Yyt公司∧ρ） 是一个子鞅。因此，也使用V≤ G、 对于任何t>0，我们有v（x，y）≤Ehe公司-r（ρ∧t） V（Xx，yρ∧t、 Yyρ∧t） 我≤ Ehe公司-r（ρ∧t） Xx，yρ∧ti+ε=α（t，y）x+ε12 TIZIANO DE ANGELIS，FABIEN Gensbitel，ST'EPHANE VILLENEUVEwithα（t，y）：=EeσWρ∧t型-σ(ρ∧t） e类-δRρ∧tYysds公司< EeσWρ∧t型-σ（ρ∧t）= 1.根据以上最后两个表达式，对于固定的y∈ （0，y），我们得到limx→∞x个-1V（x，y）=α（t，y）<1=limx→∞x个-1G（x）与V相矛盾≥ G引理4.7。如果ε<K，则→0b（y）=+∞, 石灰→0+b（y）=+∞.证据从推论4.5我们得到了b（y）≥ b（y）代表所有y∈ (0, 1) . 既然引理是4.4倍，那么它一定是limy→0b（y）=+∞. 后者还提供limy→0b（y）=+∞.从现在起，每当我们提到沙子的性质及其边界时，我们默认∩（R+×（0，1））6=. 我们记得，由于引理4.4，对于ε<K，这确实总是正确的。

在此上下文中，我们还表示bk：=sup{y>0 |（K，y）∈ S} ，注意引理4.4（M=K）意味着集合{y>0 |（K，y）∈ S} isnon为空。问题的抛物线公式为了研究纳什均衡的存在性和博弈值函数的正则性（超越连续性），引入过程（X，Y）的确定性变换是有用的。这种变换也揭示了问题的抛物线性质。给定（x，y）∈ （0，∞) ×（0，1），让我们定义z=ln（x）+σδln（y1-y） 以及过程Zz，使得Zz=z和：Zzt=ln（Xx，yt）+σδlnYyt1年- Yyt公司.（5.1）然后设置K：=（r-σ-δ） （5.2）通过使用it^o公式，不难检查ZZ是否根据ZZT=z+kt，t演变≥ 0。（5.3）从（5.1）中，我们观察到P-几乎肯定xx，yt=F（Zzt，Yyt），t≥ 0（5.4），F:R×（0，1）→ R+定义的byF（z，y）=expz-σδlny1级- y= ez公司1.- yy年σδ.（5.5）注意F是Con R×（0，1）。过程Z确实是确定性的，具有有界变化，因此它扮演着“时间”过程的角色。Z是增加还是减少取决于k的符号。在本文的其余部分中，我们研究了k 6=0的情况，这是真正的二维。我们撇开k=0的情况，将其简化为变量z中参数化的一维问题。不完全信息的DYNKIN博弈13备注5.1。

在新坐标系中，很明显，曲线{（F（z+kt，ζ），ζ）上支持（Xx，yt，Yyt）定律∈ （0，1）}，这是R+×[0，1]中的一组空Lebesguemeasure。现在我们可以在新的坐标系中查看游戏，并考虑函数sh，H，v:R×（0，1）→ R+由V（z，y）：=V（F（z，y），y），H（z，y）：=G（F（z，y）），H（z，y）：=G（F（z，y））。（5.6）根据结构，我们有H≤ v≤ 手v等于停止游戏v（z，y）=supτ的值∈Tinfγ∈TE公司e-rτH（Zzτ，Yyτ）1{τ≤γ} +e-rγH（Zzγ，Yyγ）1{γ<τ}对于这个新的游戏参数化，我们自然地引入了延续和停止区域C：={（z，y）∈ R×（0，1）| H（z，y）<v（z，y）<H（z，y）}S：={（z，y）∈ R×（0，1）| v（z，y）=H（z，y）}，S：={（z，y）∈ R×（0，1）| v（z，y）=H（z，y）}。使用引理3.1，可以立即验证v是局部Lipschitz连续的inR×（0，1），从而Cis打开，Si，i=1，2关闭。此外，很明显γ*和τ*如（3.6）-（3.7）所示，分别是（Z，Y）进入砂S的时间。与（Z，Y）相关的微型生成器定义为（G f）（Z，Y）：=k f z（z，y）+Δσy（1- y）f y（z，y），（5.7）表示f∈ C1,2（R×[0,1]）。该公式的一个优点是G是抛物算子，并且在R×（0，1）上是非退化的，因此相关的Cauchy-Dirichletproblem在边界条件的标准假设下允许经典解。既然v是连续的，那么{e-rtv（Zt，Yt），t≤ τC}是τC：=inf{t的连续鞅≥ 0 |（Zt，Yt）/∈ C} （后者源自定理3.2以及（X，Y）通过确定性映射与（Z，Y）相连的事实）。我们可以使用抛物型偏微分方程解的内部正则性结果（参见，例如，[25，推论2.4.3]）和It^o公式来推导任何解f到（Gf- Rη=（z，z+η）×（y）上的rf）（z，y）=0- η、 y+η） C，f=v打开Rη为C∞（Rη），并与v一致。