收益信息不完全的资产动态博弈

实际上，表示Hεt=-δσ(1-Yyt公司-Yy+εt），我们有Yεt=expZtHεsdWs-Zt（Hεs）ds.因此(Yεt）=expZtHεsdWs- 4Zt（Hεs）ds= 经验值Zt（Hεs）ds经验值Zt4HεsdWs-Zt（4Hεs）ds由于Hε一致有界于Δσ，因此上述表达式中的第二项为amartingale，我们推断，对于任何停止时间τ，取[0，T]E中的值[(Yε）τ]≤ exp（6Tδσ）。使用该Yεt→ Uytal最肯定的是≥ 0，作为ε→ 0，我们得出结论0≥ uy（x，y）≥ - C Eh{τK∧T<τ*}e-r（τK∧T）（1+Xx，yτK∧T） UyτK∧Ti（6.25）- EhZτ*∧τK∧Te公司-rtXx，ytUytdti。在上述估计中，我们使用了τεK↑ τKand 1{τεK∧T<τ*}→ 1{τK∧T<τ*}asε→ 0，（6.26），由（x，y）的连续性得出→ Xx，Yan和P（τ*= τK）=0（见命题4.1）。请注意，上述估计还意味着Uyτ在土地Xx上有界，yτ·Uyτ在L上有界，与停车时间τ一致∈ [0，T]和（x，y）∈[K，x+1]×（0，1）。仍需将限值取为（x，y）→ （x，y）带（x，y）∈ C、 通过采样路径τ的连续性*（x，y）=^τ*（x，y）表示（x，y）∈ C、 我们使用命题6.3的（i）支配收敛和（6.25）（以及Px，y（τK>0）=1）得到lim（x，y）→（x，y）uy（x，y）=0。（6.27）后者意味着uyat的连续性S、 证明Uy也是连续的我们需要以稍微不同的方式进行辩论。固定（x，y）∈ 开关y<B并拾取（x，y）∈ C、 在不损失一般性的情况下，我们考虑x=b（y），因为证明需要对x=K进行微小的更改。我们设置γ*=γ*（x，y）（Xx，y，Yy）首次进入砂中的时间，用τε=τ表示*（x，y-ε） 第十次（Xx，y-ε、 Yy年-ε） 对于某些ε>0。然后我们定义ηε：=τε∧γ*∧τK∧T对于某些T>0。我们再次回顾，τK=τK（x，y）≤ τK（x，y- ε） 。22 TIZIANO DE ANGELIS、FABIEN Gensbitel、ST’EPHANE VILLENEUVEWe知道u（x，y）- u（x，y- ε) ≤ 引理3.1和（6.13）的（i）中的0。

为了找到下限，我们使用（6.17）和（6.18）以及getu（x，y）- u（x，y- ε）≥Ehe公司-rηεu（Xx，yηε，Yyηε）+Zηεe-rt（rK- δXx，ytYyt）dti- Ehe公司-rηεu（Xx，y-εηε，Yy-εηε）+Zηεe-rt（rK- δXx，y-εtYy-εt）dti。从这一点开始，我们可以重复上面使用的论点，直到进行微不足道的修改。这些使我们可以得出结论，uy在（K，bK）可能例外，因为如果K>0，命题6.3在该点不成立。如前所述，类似的论点允许证明uxis也在任何地方继续存在，但（K，bK）可能除外。因此V∈ Con（R+×（0，1））\\（K，bK）和v∈ Con（R×（0，1））\\（zK，yK）（见（5.6））。后者和（5.8）意味着vyy在所声称的C \\（zK，yK）上是连续的。仍然需要证明引理6.1，并且为了证明这一点，可以方便地将变量更改为坐标系（z，y）。我们设置w（z，y）=u（F（z，y），y）（6.28），符号为wz：=w/z、 wy：=w/y和y轴：=w/y、 在这些变量中，τKfrom（6.19）读取τK（z，y）=inf{t≥ 0:F（Zzt，Yyt）≤ K} 。请注意，对于k>0，边界CI为非递减，停止集在其下方滑动。因此（6.3）是涉及盲对数定律的标准参数的结果。相反，显示k>0的（6.4）更困难，因为cis也不减少，但在边界上方滑动。k<0时出现对称情况。在接下来的内容中，我们首先证明经典的光滑条件成立，然后证明在我们的假设下，这意味着引理6.1。在下一个引理中，我们仅在边界的单调性不允许基于重对数定律直接证明（6.3）或（6.4）的情况下考虑平滑。引理6.5。If（z，y）∈ 砂k<0，则wy（z，y+）=0。类似地，如果（z，y）∈ S、 z<zk，y=c（z），k>0，然后wy（z，y-) = 最后，如果（z，y）∈ S、 当y=yK（z）且k<0时，则vy（z，y+）=0。证据

我们在k>0的假设下进行证明（见（5.2））。当k<0时，对称参数保持不变，这在一般情况下不会导致损失。Let（z，y）∈ 开关y=c（z）。请注意，对于y∈ （y，yK（z））我们得到wy（z，y）=0。此外，我们从引理5.4中（i）的证明中知道，wy≥ （z，y）处局部为0。我们用矛盾论证并假设wy（z，y-) ≥ λ> 0. 后一个极限的存在是因为WZI是局部有界的（见（5.13））和| wyy |≤ c | wz |在Cdueto（5.8）中，对于合适的c>0。固定ε>0，考虑开放矩形Rε：=（z，z+ε）×（y- ε、 y+ε），设ρε=inf{t≥ 0：（Zzt，Yyt）/∈ Rε}。在不损失一般性的情况下，我们假设ρε≤ τK∧ τ*从（6.17）我们得到了（z，y）≤ Ee-r（t∧ρε）w（Zzt∧ρε，Yyt∧ρε）+Zt∧ρεe-卢比（rK- δYysF（Zzs，Yys））ds.（6.29）不完全信息的DYNKIN博弈23由于w（·，y）是非递增的（见（5.13）），并且Rε是有界的，我们可以根据Rε找到一个常数ε>0，这样w（z，y）≤ Ehe公司-r（t∧ρε）w（z，Yyt∧ρε）+Cε（t∧ ρε）i.（6.30）回顾wyy（z，·）在[y]上有界- ε、 y+ε]\\{y}，我们可以将它应用于getw（z，y）的o-tanaka公式≤w（z，y）+EZt公司∧ρεe-rsδ2σ[Yys（1- Yys）]wyy（z，Yys）1{Yys6=y}ds+ EZt公司∧ρεe-rs（wy（z，y+）- wy（z，y-))dLys（Yy）+Cε（t∧ ρε).（6.31）wyy（z，·）的有界性和假设wy（z，y-) ≥ λ给定0≤ -λEZt公司∧ρεe-rsdLys（Yy）+ CεE[（t∧ ρε）]（6.32）对于某些正Cε>0。对于0<p<1，给出了Burkholder-Davis-Gundy不等式和SomegalebrageZt公司∧ρεe-rsdLys（Yy）≥Ee-rtLyt公司∧ρε（Yy）=e-rtE公司|Yyt公司∧ρε- y型|≥e-rt（2ε）pE|Yyt公司∧ρε- y | 1+p≥e-rt（2ε）pcpEhYyi1+pt∧ρε≥e-rt（2ε）pcp，εEh（t∧ ρε）1+π，（6.33），cp，ε>0，取决于p和ε。将后者插入内部（6.32），并让t→ 我们达成了一个矛盾。因此它必须是wy（z，y-) = 证明完全类似于（z，y）∈ 砂k<0。还值得注意的是，对于（z，y）∈ 当y=yK（z）时，平滑条件等于vy（z，y+）=0，因为停止支付为ε。

使用引理5.4中的（iii）和类似于上述的参数，我们可以证明vy（z，y+）=0成立。引理6.1的证明。这里我们只考虑k>0的情况，但对于k<0，同样的结果也成立，这些结果可以用对称参数来证明。可以方便地从（6.28）中重新调用函数w。为了简洁起见，我们省略了（6.3）的证明，这是一个直接的结果，即cis不递减，YIS不退化，远离0和1，所以可以应用重对数定律。同样的原理可以证明（6.4）适用于y=yK（z），适用于z<zK。为了用y=c（z）和z<z证明（6.4），让我们通过矛盾和假设（x，y）来论证∈ S∩ {x>K}不是正则的或等价的（z，y）∈ S∩ RKis不规则（F（z，y）=x），即（6.4）不成立。选择y<y，ε>0，使y+ε<y。表示^γε=^γ*（z，y+ε），^τ=^τ*（z，y），^γ=^γ*（z，y），τεK=τK（z，y+ε）。注意τK（z，y）≥ τK（z，y+ε），然后从（6.17）和（6.18）开始，设置λε：=24 TIZIANO DE ANGELIS，FABIEN Gensbitel，ST’EPHANE VILLENEUVE^τ∧ ^γε∧ τεK∧ T我们得到w（z，y+ε）- w（z，y）≥EZλεe-rtδYytF（Zzt，Yyt）- Yy+εtF（Zzt，Yy+εt）dt公司+ Ehe公司-rλεw（Zzλε，Yy+ελε）- w（Zzλε，Yyλε）我≥EZλεe-rtδYytF（Zzt，Yyt）- Yy+εtF（Zzt，Yy+εt）dt公司（6.34）在上一个不等式中，我们使用了y 7→ w（z，y）是非递减的，如引理5.4的证明所示。回想一下y（yF（z，y））严格为负（见（5.18）），因此几乎可以肯定，对于所有ε>0，我们有zλεe-rtδYytF（Zzt，Yyt）- Yy+εtF（Zzt，Yy+εt）dt公司≥ 在命题6.4的证明中，我们有τεK↑ τKasε→ 此外，γε增加ε→ 0，因此^γ-:= limε→0^γε≤ ^γ，P-a.s.证明逆不等式we fixω∈ Ohm选择δ>0，使^γ（ω）>δ。尤其是我们有≤t型≤δ（c（Zzt）- Yyt）（ω）≥ 对于某些cδ，cδ（ω）>0（6.35）。

回想一下（t，y）7→ Uyt（ω）是连续的，因此在[0，δ]×[0，1]上有一个常数cδ（ω）>0。使用| Yy+εt- Yyt |（ω）≤ cδ（ω）·εwe findinf0≤t型≤δ（c（Zzt）- Yy+εt）（ω）≥ cδ（ω）- cδ（ω）·ε来自（6.35）。这意味着对于所有ε足够小的^γε（ω）>δ。由于δ是任意的，我们得出limε→0^γε(ω) = ^γ(ω). 这个论点适用于a.e.ω∈ Ohm 因此我们得到limε→0^γε=^γ，P- a、 ^γε和τεkimplyimε的s.收敛性→0λε= ^τ ∧ ^γ ∧ τK∧ T、 P- a、 s.用ε除以（6.34），取限值为ε→ 0，我们可以使用Fatou定理和表达式（5.18）来y（yF（z，y））获得wy（z，y）≥ -δE“ZT∧^τ∧^γ∧τKe-rtUytF（Zzt，Yyt）1- Yyt公司-σδ1 - Yyt！dt#。（6.36）现在我们让y↑ 并使用P-a.s.以下限值保持^γ*（z，y）↓ ^γ+*（z，y）≥ ^γ*（z，y），^τ*（z，y）↑ ^τ*（z，y）和τK（z，y）↓ τK（z，y）。我们特别注意到对于^τ的收敛性*我们可以使用与上述用于^γε收敛的参数相同的参数。ClearlyP（τK（z，y）>0）=P（^τ*（z，y）>0）=1，根据假设，P（^γ*（z，y）>0）>0。再次使用Fatou引理，取limitsin（6.36）停止时间θ（z，y）：=（^τ）∧ ^γ ∧ τK）（z，y）收敛到停止时间θ（z，y）>0，P-a.s，因此wy（z，y-) > 0，这与引理6.5中的光滑性原则proven相矛盾。总之，（z，y）对于S必须是正则的，即（6.4）保持。请注意，由于S的几何结构，（Zz，Yy）只能通过在信息不完整的情况下打击c.A DYNKIN游戏来进入SB7。纳什均衡的存在性根据前几节的结果，我们可以证明不完全信息博弈的纳什均衡的存在性。我们在此回顾，这种存在的两个主要困难来自于停止支付函数缺乏统一的可积性以及问题是二维的这一事实。在本节的其余部分中，我们进行下一个长期假设。假设7.1。

我们假设σδ>1。下一个结果将允许我们避免一致可积性的缺乏，并表明边界总是严格正的。引理7.2。对于每个z∈ R我们有c（z）>0。证据通过矛盾论证，我们假设存在z∈ R使得c（z）=0。因此（z，y）/∈ 砂（F（z，y），y）/∈ Sfor所有y∈ （0，1）。（7.1）由于F（·，y）在增加，第4节中研究的S的性质意味着，对于fixedh>0，我们可以定义条带C（h）：={（z，y）∈ R×（0，1）| F（z- h、 y）≤ x个≤ F（z，y）}和C（h）∩ S=.特别是如果我们选择y∈ （0，1）和x=F（z- h、 y）然后，在不损失一般性的情况下，假设k>0（见（5.2）），我们得到τ*≥ h、 Px，y-a.s.后一个是所有t∈ [0，h]偶（Xx，yt，Yyt）位于C（h）中，因为它的联合分布是沿着{（F（z））曲线进行的-h+kt，ζ），ζ），ζ∈ （0，1）}（见备注5.1）。请注意，对于k<0且x=F（z- h、 y），F（·，y）和（7.1）的单调性意味着τ*= +∞Px，y-a.s.）。定理3.2给定SV（x，y）≤ Ex，yhe-r（h∧τ*)V（Xh∧τ*, Yh公司∧τ*)i=Ex，yhe-rhV（Xh，Yh）i≤ Ex，y[e-rhXh]=F（z- h、 y）Ey[e-δRhYtdtMh]，（7.2），其中Mh=exp（σWh-σh）。我们的目的是证明，对于y，我们得到f（z）非常接近于零- h、 y）爱和-δRhYtdtMhi≤ G（F（z- h、 y））=F（z- h、 y）- Kor等效Θ（y）：=F（z- h、 y）1.- 爱和-δRhYtdtMhi≥ K、 （7.3）后者和（7.2）导致V（x，y）≤ x个- K、 因此产生了矛盾。通过Girsanov定理定义概率测度P（σ）bydP（σ）ydPy=mh，我们得到W（σ）t=Wt- σt，t≥ 0是低于（σ）y的布朗运动。

此外，在新度量下，Y根据yt=Y演变-ΔσZtYs（1- Ys）dW（σ）s- δZtYs（1- Ys）ds。26 TIZIANO DE ANGELIS、FABIEN Gensbitel、ST’EPHANE Villeneuvef根据上述动力学，紧接着是E（σ）y（Yt）≤ y代表所有t≥ 0和（7.4）E（σ）y（Yt）≥ y- δ中兴通讯（σ）y（Ys）ds≥ y（1- δt）。使用不等式1- e-u≥ u-u的uvalid≥ 0，我们有Θ（y）=F（z- h、 y）Eyh1.- e-δRhYtdtMhi公司≥ F（z- h、 y）δE（σ）yZhYtdt公司-δE（σ）yZhYtdt公司!≥ F（z- h、 y）yδZh（1- δt）dt-δhE（σ）yZh（Yt）dt,对于最后一个不等式，我们使用了（7.4）和Cauchy-Schwarz不等式。我们的目标是显示e（σ）yZh（Yt）dt≤ hy.（7.5）为了看到这一点，我们观察到在概率测度p（σ）下，yi是一个上鞅。实际上，应用It^o的公式，我们得到d（Yyt）=-2Δσ（Yyt）（1- Yyt）dW（σ）t- δ（Yyt）（1- Yyt）dt+Δσ（Yyt）（1- Yyt）dt，SDE的漂移部分为非正，因为σδ>1。因此（7.5）保持不变。最后我们得到Θ（y）≥ δh y F（z- h、 y）1.-δh（1+y）.（7.6）回顾y∈ [0，1]，对于非常小的h，我们有1>δh（1+C y）。此外，当σ/δ>1时，立即检查y F（z- h、 y）→ +∞ 作为y→ 0（见（5.5））。（7.6）中的右侧发散，产生所需的矛盾。现在我们可以证明我们的博弈存在一个鞍点。提案7.3。如果k>0，则该对（γ*, τ*) 定理3.2中定义的是鞍点。证据因为定理3.2保证了γ的最优性*, i、 e.V（x，y）≥ Mx，y（τ，γ*), 对于所有τ∈ T，仍需证明τ的最优性*, 该isV（x，y）≤ Mx，y（τ*, γ） ，对于所有γ∈ T，让z∈ R固定并设置x=F（z，y）。

引用定理3.2，并观察到对于任何固定的t>0和γ，V（Xτ*, Yτ*)1{τ*≤t型∧γ} =G（Xτ*)1{τ*≤t型∧γ} 我们得到V（x，y）≤Ex，yhe-r（t∧τ*∧γ） V（Xt∧τ*∧γ、 年初至今∧τ*∧γ） 我≤Ex，ye-rτ*G（Xτ*)1{τ*≤t型∧γ} +e-rγG（Xγ）1{γ<t∧τ*}+ Ex，ye-rtV（Xt，Yt）1{t≤τ*∧γ}对于任何停止时间γ，具有不完全信息的DYNKIN对策。现在，我们证明了上述表达式的最后一项在t时收敛到零→ +∞.首先请注意，cis不递减（见推论5.5），因此ζ7→ （b）oc） （ζ）因推论4.5而不增加。对于t≤ τ*我们有Xxt=F（Zzt，Yyt）≤ b（Yt），而Yyt≥ c（Zzt）≥ 变量变化后的c（z）。然后b（Yt）≤ （b）oc） （z）我们有统一的绑定Xxt≤ （b）oc） （z）=：AZ代表t≤ τ*. 注意，c（z）>0表示引理7.2，因此我们也有az<+∞.使用这样的界限，我们可以得到x，ye-rtV（Xt，Yt）1{t≤τ*∧γ}≤ G（az）e-rt公司→ 0，作为t→ 接下来，单调收敛定理yieldsV（x，y）≤限制→+∞Ex，ye-rτ*G（Xτ*)1{τ*≤t型∧γ} +e-rγG（Xγ）1{γ<t∧τ*}=Ex，ye-rτ*G（Xτ*)1{τ*≤γ} +e-rγ*G（Xγ）1{γ<τ*}=Mx，y（τ*, γ） ，即τ*最适合买家。现在，我们来分析k<0的情况，对于这种情况，我们在对参数进行更强假设的情况下，证明了纳什均衡的存在性。我们从一个辅助引理开始，这个引理需要以下假设（还记得假设7.1中σ/δ>1）。假设7.4。我们取r，使得Δσδ+σ< r<δ+ σ.（7.7）注意，（7.7）实际上意味着k<0。引理7.5。根据假设7.4，它认为：limt→∞e-rtF（z+kt，c（z+kt））=0，z∈ R、 证明。第一个注意事项E-rtF（z+kt，c（z+kt））=ez+（k-r） t型1.- c（z+kt）c（z+kt）σδ.然后回想c（·）≤ yK（·）（见（5.11）），因为k<0，所以c（z+kt）→ 0 ast→ +∞. 因此，有必要证明→ ∞c（z+kt）≤ c eαt，（7.8）对于某些常数c>0和α<Δσ（r- k） 。定义λa=inf{t>0 | Yt≤ a} 。让z∈ R、 y>c（z），x=F（z，y）。

请注意，由于z→ c（z）是非递减的，k<0，我们有τ*≥ λc（z）Px，y-几乎可以肯定。因此，对于所有t≥ 0定理3.2给定sv（x，y）≤ Ex，yhe-r（t∧λc（z））VXt公司∧λc（z），Yt∧λc（z）i（7.9）=Ex，yhe-rtV（Xt，Yt）1{t<λc（z）}+e-rλc（z）VXλc（z），c（z）{λc（z）≤t} i.在事件{t<λc（z）}上，我们有Xt≤ b（Yt）和Yt≥ c（z），Px，y-a.s.，因此≤ （b）o c） （z）=：az<+∞, Px，y-a.s.（如命题7.3的证明）。LatterImplies公司-rtV（Xt，Yt）1{t<λc（z）}≤ e-rtXt{t<λc（z）}≤ e-rtaz{t<λc（z）}28 TIZIANO DE ANGELIS、FABIEN Gensbitel、ST'EPHANE Villeneuvean和hencelimt→0Ex，yhe-rtV（Xt，Yt）1{t<λc（z）}i=0，Px，y-a.s.取（7.9）中的限值作为t→ ∞ 利用单调收敛，我们推导出v（x，y）≤ Ex，yhe-rλc（z）VXλc（z），c（z）{λc（z）<∞}我≤ Ex，yhe-rλc（z）Xλc（z）{λc（z）<∞}i=爱和-rλc（z）F（z+kλc（z），c（z））1{λc（z）<∞}i=ez1.- c（z）c（z）σδEyhe(-r+k）λc（z）{λc（z）<∞}为了计算λc（z）的拉普拉斯变换，我们需要回顾LYf的基本解- （r）- k） f=0，其中Ly表示扩散Y的微型发生器。设ψ为唯一正增解，φ为唯一正减解，则ψ（y）=yβ（1- y） 1个-β和φ（y）=y1-β(1 - y） β，其中β=σδ+1是β（β）的最大溶液- 1） =2σ（r- k） δ=σδσδ+ 1.根据φ，λc（z）的拉普拉斯变换读取（回忆一下y>c（z））Eyhe(-r+k）λc（z）{λc（z）<∞}i=y1-β(1 - y） βc（z）1-β(1 - c（z））β。总之，对于任何z∈ R和y>c（z），取x=F（z，y），我们有（回忆（5.6））v（z，y）=v（x，y）（7.10）≤ ez公司1.- c（z）c（z）σδy1-β(1 - y） βc（z）1-β（1- c（z））β=（1- y） （1）- c（z））F（z，y）。现在我们确定z∈ R并选择a>1，使a c（z）<1。

自v（z+kt，a c（z+kt））≥F（z+kt，a c（z+kt））- K代表所有t≥ 0我们可以使用后者和（7.10），将其中的（z，y）替换为z+kt，a c（z+kt）, 估计-K≤ （五）- F）（z+kt，a c（z+kt））≤ -（a）- 1） c（z+kt）1- c（z+kt）F（z+kt，a c（z+kt））。简单代数givesc（z+kt）≤ c eαt对于某些常数c>0，取决于z、K和a，且α=-kδ/（σ）- δ). 现在假设7.4意味着-kδσ-δ<δσ（r- k） 按照（7.8）的要求。提案7.6。在假设7.4下，对（τ*, γ*) 是一个鞍点。证据如命题7.3所示，我们只需证明τ的最优性*我们以类似的方式进行争论。让z∈ R固定并设置x=F（z，y），然后如在不完全信息的命题证明DYNKIN博弈297.3中，我们发现v（x，y）≤ Ex，yhe-r（t∧τ*∧γ） V（Xt∧τ*∧γ、 年初至今∧τ*∧γ） i=Ex，ye-rτ*G（Xτ*)1{τ*≤t型∧γ} +e-rγG（Xγ，Yγ）1{γ<t∧τ*}（7.11）+Ex，ye-rtV（Xt，Yt）1{t≤τ*∧γ}对于任何停止时间γ和任何t，在Px下，ywe有Xt=F（z+kt，Yt），对于t<τ*我们有Yt≥ c（z+kt），表示Xt≤ F（z+kt，c（z+kt））。后者是givesEx，ye-rtV（Xt，Yt）1{t≤τ*∧γ}≤ e-rtF（z+kt，c（z+kt）），根据引理7.5，它变为零。然后将极限取为t→ ∞ 在（7.11）中，我们还使用单调收敛来总结证明。8、结论性意见我们的方法依赖于获得股票价格的二维马尔可夫动态和股息率预期值的能力（考虑到股票的观察结果）。这源于股息率具有两点分布这一事实。类似地，如果D具有取n值的离散分布，我们可以使用过滤方法将问题简化为n维退化扩散上的停止博弈。然而，在这一点上应该清楚，对此类问题的自由边界分析可能非常复杂。