收益信息不完全的资产动态博弈

当分割率被允许包含很多值时，会出现更复杂的情况。在这种情况下，通过我们的过滤方法获得的动态可能很容易导致游戏的公式化，这对于自由边界方法来说很难解决。另一种方法依赖于使用Girsanov变换。虽然对该方法进行全面严格的分析超出了本论文的范围，但我们相信，概述该方法的主要思想并指出一些自然产生的问题可能对未来的研究有用。让一个进程（βt）t≥0由βt定义：=Bt+σ-1（右- δD）t，t≥ 0，我们有（2.1）中的股价readsSt=Sexpσβt-σt.（8.1）此外，过程β是t的F-布朗运动∈ [0，T]，根据Nt定义的Qde=dQdP英尺：=膨胀δD-rσβT+（δD-r） 2σT,（8.2）对于所有T≥ 0，其中F是由B和D生成的（增强）过滤。虽然通常不可能对F进行测量变更∞（参见，例如，[22，pp.192-193]），让我们暂时把这个问题放在一边，并假设D的分布足够“好”，允许使用（8.2）重写（1.3）asM（τ，γ）=等式Nτ∧γe-rτG（Sτ）1{τ≤γ} +e-rγG（Sγ）1{τ>γ}.现在，我们定义了一个流程（Lt）t≥0带Lt：=等式[Nt | FSt]。由于（8.2），利用D和β在Q下独立的事实，并用S表示β（见（8.1）），we30 TIZIANO DE ANGELIS，FABIEN Gensbitel，ST’EPHANE VILLENEUVEhave Lt=fD（t，ST，S）表示某些功能fD，具体取决于D的特定分布。然后，博弈的payoff readsM（τ，γ）=EQfD（τ∧ γ、 Sτ∧γ、 S）e-rτG（Sτ）1{τ≤γ} +e-rγG（Sγ）1{τ>γ}（8.3）我们注意到，在某些情况下，FD可以显式计算。上述结构适用于任何允许证明F测量值变化的D定律∞（一项看似不平凡的任务）。

然而，在预期情况下，最终的博弈的支付明显取决于股票价格的初始值。规避此问题的一种方法是将Sas视为博弈公式（8.3）中的一个“参数”，并将其独立于过程的初始值进行处理。也就是说，我们将确定一个任意的“参数”，并用支付公式研究博弈fD（τ∧ γ、 Sτ∧γ、 秒）e-rτG（Sτ）1{τ≤γ} +e-rγG（Sγ）1{τ>γ},（8.4）如果过程S从任意点S开始，可能与S不同。现在，对于每个点，必须用（8.4）中的Payoff解决Dynkin博弈，由于fD（通常）的复杂表达式，这仍然是一项具有挑战性的任务。此外，持续和停止区域的形状不仅需要作为时间的函数进行研究，还需要作为参数的函数进行研究。有趣的是，注意到上述方法对应于与时间不一致控制/停止问题密切相关的文献中对预承诺策略的研究。（感兴趣的读者可以参考，例如[6]和其中的参考文献，以获取一类时间不一致停止问题的最新详细研究，其中时间不一致性源于增益函数对过程起点的“参数”依赖性，即我们的fD（·，·，S）的模拟）。据我们所知，时间不一致的Dynkin游戏在文献中从未被提及。此外，对于承诺前策略在时间不一致的随机优化问题中是否是概念上的最佳前进方式，似乎没有明确的共识。这个有趣的问题留待将来研究。附录A.定理3.2的证明证明的主要思想是通过一系列有界停止支付由n索引的博弈来近似我们的博弈∈ N

对于每个近似问题，我们可以应用[16]中关于值和鞍点存在性的结果。最终我们传递到极限n→ ∞ 获得n的无边界payoff的博弈值的存在性≥ 1让我们定义函数G（n）i（x）=Gi（x∧ n） ，i=1，2。τ，γ的下一个∈ t让我们介绍相关的payoff M（n）x，y（τ，γ）=Ex，y[e-rτG（n）（Xτ）1{τ≤γ} +e-rγG（n）（Xγ）1{γ<τ}]。（A.1）根据定理2.1。在[16]中，有payoff（A.1）的博弈有一个值，即V（n）（x，y）=supτinfγM（n）x，y（τ，γ）=infγsupτM（n）x，y（τ，γ）。此外，停止时间τn=inf{t≥ 0 | V（n）（Xt，Yt）=G（n）（Xt）}，γn=inf{t≥ 例如，在D的简单情况下，0 | V（n）（Xt，Yt）=G（n）（Xt）}~ N（0，1）我们有fD（t，s，s）=（1+t（δ/σ））-1/2经验g（t，s，s）/（1+t（δ/σ））,g（t，s，s）：=2tq（t，s，s）-t[rσ-tq（t，s，s）]/（1+t（δ/σ））和q（t，s，s）：=σ-1ln（s/s）+σt/2。具有不完全信息的DYNKIN博弈形成纳什均衡。SinceG（n）（x）≤ V（n）（x，y）≤ supτM（n）x，y（τ+∞) ≤ （n）- K） +和G（n）（x）=（n-K） +表示x≥ n、 那么V（n）（x，y）=G（n）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（x）（∈ [n+∞)×[0, 1].后者意味着{（x，y）| V（n）（x，y）=G（n）（x）} [0，n]×[0，1]={（x，y）| G（x）=G（n）（x）}，因此γn=inf{t≥ 0 | V（n）（Xt，Yt）=G（Xt）}。关于近似对策的值，很容易用相同的证明来检验引理3.1是否适用于V（n）。此外，序列M（n）x，y（τ，γ）在n中不递减，并且从上方以Mx，y（τ，γ）为界。因此序列（V（n））n≥1 n不随V（n）（x，y）减少≤ V（x，y）≤ V（x，y）和V∞（x，y）：=limn→∞V（n）（x，y）（A.2）表示所有（x，y）∈ R+×[0，1]。

特别是V（n）≤ V表示γn≥ γ*:= inf{t≥ 0 | V（Xt，Yt）=G（Xt）}对于所有n≥ 由于V（n）在n中不递减，那么γnis不递增，我们设置γ∞:= 画→∞γn，现在我们的目标是显示V∞≥ 所以（A.2）表示V=V，因此该值存在，并且与V一致∞. 对于所有τ∈ T，我们有m（n）x，y（τ，γn）=Ex，yhe-rτG（n）（Xτ）1{τ≤γn}+e-rγnG（n）（Xγn）1{γn<τ}i=Ex，ye-rτG（Xτ）1{τ≤γn}+e-rγnG（Xγn）1{γn<τ}- Ex，ye-rτ（Xτ- n） 1{Xτ≥n} {τ≤γn}.请注意0≤ Ex，y[e-rτ（Xτ- n） 1{Xτ≥n} {τ≤γn}]≤ Ex，y[e-rτXτ{Xτ≥n} （A.3）并回顾Ex，y[e-rτXτ]≤ x乘以（2.5）。（A.3）weobtainlimn中的支配收敛→∞Ex，y[e-rτ（Xτ- n） 1{Xτ≥n} {τ≤γn}]=0。另一方面，Fatou引理意味着lim infn→∞Ex，ye-rτG（Xτ）1{τ≤γn}+e-rγnG（Xγn）1{γn<τ}≥Ex，ye-rτG（Xτ）1{τ≤γ∞}+ e-rγ∞G（Xγ∞)1{γ∞<τ}= Mx，y（τ，γ∞).收集上述限值，我们推断→∞M（n）x，y（τ，γn）≥ Mx，y（τ，γ∞).（A.4）现在，对于ε>0，设τε为mx，y（τε，γ∞) ≥ supτMx，y（τ，γ∞) - ε。利用γ在逼近问题中的最优性，和（A.4），我们得到v∞（x，y）=limn→∞V（n）（x，y）=limn→∞supτM（n）x，y（τ，γn）≥ lim信息→∞M（n）x，y（τε，γn）≥ Mx，y（τε，γ∞) ≥ supτMx，y（τ，γ∞) - ε≥V（x，y）- ε。32 TIZIANO DE ANGELIS，FABIEN Gensbitel，ST’EPHANE Villeneuv最终，lettingε→ 0和回忆（A.2），我们得到v（x，y）≥ 五、∞（x，y）≥ V（x，y），因此存在值V：=V∞. 作为副产品，我们还得到γ∞对于玩家2来说是最优的，即isV（x，y）=supτMx，y（τ，γ∞).接下来我们要证明γ的最优性*和V的超/次鞅性质。对于所有n和任意τ∈ T我们有（见[16，第2.1条]）V（n）（x，y）≥Ex，y[e-r（τ∧γn）V（n）（Xτ∧γn，Yτ∧γn）]=Ex，y[e-rτV（n）（Xτ，Yτ）1{τ≤γn}]+Ex，y[e-rγnG（Xγn）1{τ>γn}]≥Ex，y[e-rτV（n）（Xτ，Yτ）1{τ≤γn}]+Ex，y[e-rγnV（Xγn，Yγn）1{τ>γn}]=Ex，Y[e-r（τ∧γn）V（Xτ∧γn，Yτ∧γn）]+Ex，y[e-rτ（V（n）（Xτ，Yτ）- V（Xτ，Yτ））1{τ≤γn}]在第二个不等式中，我们使用了G≥ 五、

现在我们把极限取为n→ ∞.回顾V（n）≤ V，该0≤ V（x，y）≤ x+ε和e-rτXτ是可积的，上面最后一个表达式中的第二项通过支配收敛收敛收敛到零。此外，Fatou引理产生，（A.5）V（x，y）≥ Ex，y[e-r（τ∧γ∞)V（Xτ∧γ∞, Yτ∧γ∞)].自τ起∈ T是任意的过程e-r（t∧γ∞)V（Xt∧γ∞, 年初至今∧γ∞), t型≥ 0是一个超级鞅。注意到γ∞≥ γ*选择τ=ρ∧ γ*in（A.5），对于某些ρ∈ T，我们也看到过程e-r（t∧γ*)V（Xt∧γ*, 年初至今∧γ*), t型≥ 0是一个超鞅。由于它是一个非负超鞅，Fatou引理givesV（x，y）≥ lim信息→∞Ex，y[e-r（t∧γ*)V（Xt∧γ*, 年初至今∧γ*)] ≥ Ex，y[e-rγ*V（Xγ*, Yγ*)]因此，超鞅是闭合的。最后，我们证明了γ*最适合卖家，即玩家2。我们有v（x，y）≥ Ex，y[e-r（τ∧γ*)V（Xτ∧γ*, Yτ∧γ*)]= Ex，y[e-rτV（Xτ，Yτ）1{τ≤γ*}] + Ex，y[e-rγ*G（Xγ*)1{τ>γ*}]≥ Ex，y[e-rτG（Xτ）1{τ≤γ*}] + Ex，y[e-rγ*G（Xγ*)1{τ>γ*}]= Mx，y（τ，γ*)取τ的上确界给出策略γ的最优性*对于玩家2。证明次鞅性质还有待进一步的研究。让我们表示（A.6）S（n）=（x，y）∈ R+×[0，1]| V（n）（x，y）=G（n）（x）,玩家1的停止区域。请注意，类似集合可以相对定义为V和G（见（4.2））。在第4节中，通过使用V的连续性和单调性，在引理4.2中证明了Sar的性质。同样的方法也可以应用于V（n），以验证S（n）的类似性质。准确地说，值得注意的是，如果x≤ x个≤ 其中n。引理4.2中（iii）的其余部分如下：+∞) ×[0，1] S、 推论4.5也是如此。

特别是存在一个非递增的下半连续映射b（n）：[0，1]→ R+使得对于x≥ K保持（x，y）∈ S（n）<=> x个≥ b（n）（y）。具有不完全信息的DYNKIN博弈33观察if（x，y）∈ S（n+1）是这样的，x<n，我们有v（n）（x，y）≤ V（n+1）（x，y）=G（n+1）（x）=G（x）=G（n）（x），这意味着（x，y）∈ S（n）。再加上，∞) ×[0，1] S（n），这意味着S（n+1） S（n）。通过同样的论证，我们证明了S（n） S、 我们得出序列b（n）是非递减的，τ是停止时间的非递减序列，因此τ∞:= limnτn≤ τ*. 此外，如果（x，y）∈ R+×[0，1）是这样的：x<b（y），然后V（x，y）>G（x），对于足够大的n，我们有V（n）（x，y）>G（x）=G（n）（x），这意味着x<b（n）（y）。我们推导出b（n）逐点收敛到bon（0，1）。现在，我们证明τ∞= τ*. 自τ起∞≤ τ*, 这足以证明等式在{τ}上几乎肯定保持Px，y∞< ∞}. 对于（x，y）∈ 这种说法微不足道。固定（x，y）/∈ 砂ω∈ {τ∞< ∞}. 由于序列（b（n））n∈Nis非递减，然后为固定m∈ N和任意N≥ 我们有b（n）（Yτn（ω））≥ b（m）（Yτn（ω））。后者意味着LIM infn→∞b（n）（Yτn（ω））≥ b（m）（Yτ∞（ω） ）使用Yτn（ω）→ Yτ∞（ω） 还有。在上述表达式的右侧取m的上确界，并回顾b（m）↑ B点式we结论信息→∞b（n）（Yτn（ω））≥ b（Yτ∞(ω)).（A.7）自Xτn起≥ b（Xτn），Px，y-a.s.对于所有n∈ N、 使用路径连续性和（A.7），wealso findxτ∞= 画→∞Xτn≥ lim信息→∞b（n）（Yτn）≥ b（Yτ∞) Px，y-a.s.，表示τ∞≥ τ*, Px，y-a.s.按要求。最后，我们注意到过程e-r（t∧τn）V（n）（Xt∧τn，Yt∧τn）是所有n的次鞅≤ τn+p对于所有n，p≥ 0，我们推导出v（n+p）（x，y）≤ Ex，y[e-r（t∧τn）V（n+p）（Xt∧τn，Yt∧τn）]。出租p→ ∞, 单调收敛意味着v（x，y）≤ Ex，y[e-r（t∧τn）V（Xt∧τn，Yt∧τn）]，适用于所有n。

取n→ ∞ 并回顾e-r（t∧τn）V（Xt∧τn，Yt∧τn）≤ sups公司∈[0，t]e-rsXs∈L（Px，y），有界收敛意味着v（x，y）≤ Ex，y[e-r（t∧τ*)V（Xt∧τ*, 年初至今∧τ*)].上述结果和马尔可夫性质表明，e-r（t∧τ*)V（Xt∧τ*, 年初至今∧τ*) 是asub鞅。附录B.引理证明6.2考虑到边界C和B，证明更容易进行。但是，由于问题公式与坐标（x，y）和（z，y）的等价性，我们不会失去一般性。我们为k>0提供了一个完整的参数，但对k<0提供了一个完全对称的证明。由于cis不递减，且Y在（0，1）的所有点上都不退化，因此，算术对数定律意味着^τ*= ˇτ，P-a.s.类似地，如果（Z，Y）从上方击中线yK（·），则它将立即向下穿过线yK（·）。34 TIZIANO DE ANGELIS、FABIEN Gensbitel、ST’EPHANE Villeneuvefore对于与边界cwe相关的相同结果，请重复【5，Cor.8】中的步骤。特别是让我们介绍一些符号^γε：=inf{t>0 | Yt≥ c（Zt）+ε}，γδε：=inf{t>δ| Yt≥ c（Zt）+ε}（B.1）γε：=inf{t>0 | Yt>c（Zt）+ε}，γδε：=inf{t>δ| Yt>c（Zt）+ε}（B.2），因此*= ^γ和ˋγ=ˋγ。我们有^γ+：=limε→0^γε=ˋγ和^γδ≤ ^γδ+：=limε→0^γδε= ˇγδ.假设对于任何（z，y）∈ RKwe havePz，y（ˋγδ>t）≤ Pz，y（γδ>t）（B.3），因此ˋγδ=γδ，Pz，y-a.s.然后ˋγ=limε→0^γε=limε→0limδ→0^γδε=limδ→0limε→0^γδε=limδ→0ˇγδ=limδ→0^γδ= ^γ= ^γ*其中，最后一个极限很容易通过定义γδ来验证，我们可以互换该极限，因为γδε在δ和ε中均不递减。现在仍需验证（B.3）。我们首先注意到，形式（δ，t）的任何区间都可以分解为可数个区间的并集，在该并集上，c是严格递增或fl。考虑后者，即让我 R是c（ζ）=yf或ζ的区间∈ I和固定y∈ （0，1）。

同时固定（z，y）∈ RK，那么立即检查事件{γ*∈ 一} 一个有^γ*= ˇγ，Pz，y-a.s.，因为在到达后立即穿过Ya。这尤其意味着Pz，y（Ys≤ c（Zs），s∈ 一） =Pz，y（Ys<c（Zs）），s∈ 一） 。（B.4）下一步我们∈ （0，δ/2），因此对于h∈ （0，h）我们有c（Zs）≤ c（Zs+h），Pz，y-a.s.，因为cand Z是非递减的。此外，当CIS严格增加时，不等式是严格的。因此，后一种考虑和（B.4）implyPz，y（ˋγδ>t）=Pz，y（Ys≤ c（Zs），s∈ （δ，t]）≤Pz，y（Ys<c（Zs+h），s∈ （δ，t））=Pz，y（Yr-h<c（Zr），r∈ （δ+h，t+h）≤Pz，y（年-h<c（Zr），r∈ （δ+h，t]）≤Py（年-h<c（z+kr），r∈ （δ+h，t）），其中，在最后一个表达式中，我们明确表示了Z，因此可以有效地将其视为“时间”变量。现在我们分别用py和mYthe概率转移密度和Y的速度度量来表示。然后利用Y的马尔可夫性质得到pz，Y（ˋγδ>t）≤Py（年-h<c（z+kr），r∈ （δ+h，t））=EyhPYδ/2-h类年-δ/2<c（z+kr），r∈ （δ+h，t）i=ZpY（δ/2- h、 y，ξ）Pξ年-δ/2<c（z+kr），r∈ （δ+h，t）mY（dξ）。舍夫定理（见[4]第224页）保证→0Z | pY（δ/2- h、 y，ξ）- pY（δ/2，y，ξ）| mY（dξ）=0A不完全信息的DYNKIN对策35因此意味着将极限作为h→ 0我们得到pz，y（ˋγδ>t）≤ZpY（δ/2，y，ξ）Pξ年-δ/2<c（z+kr），r∈ （δ+h，t）mY（dξ）=Py（Yr<c（z+kr），r∈ （δ+h，t））=Pz，y（γδ+h>t）。现在让h→ 0我们发现（B.3）如所述，因为很容易验证^γδ+h↓ ^γδ.附录C.完全信息博弈：结果摘要在本附录中，我们简要总结了关于完全信息博弈看涨期权问题中停止区域的现有结果，即当y为0或1时。

以下材料基于[35]中的结果，y=1，y=0。我们回忆起（1.3）中的Mx，y（τ，γ），并强调这里的y={0，1}。用V表示∞当没有可能的卖方扫描单元时（即γ=+∞):五、∞（x，y）：=supτMx，y（τ+∞)当γ=γK时，问题的值，即{K}的击中时间X:VK（X，y）：=supτMx，y（τ，γK）。我们还通过δ：=inf{δ>0 | limx确定了临界股息水平δ<δ↓KVK（x，1）- εx- K≤ 1} 和δ：=inf{δ>0 | V∞（K，1）<ε}。对于过程X，我们回顾σxf（X）+（r）的基本解- δ） xf（x）- rf（x）=0，x>0是ψ（x）=xλ和φ（x）=xλ，ψ增大（注意λ>1）和φ减小，其中λ<λ求解σλ+（r- δ-σ)λ - r=0。下一个命题总结了[35]和[17，第5.1节]的结果。提案C.1。以下四种情况成立o情况1：如果ε≥ K我们有–S∩ {y=0}=S∩ {y=1}=,– S∩ {y=0}= 和S∩ {y=1}=[λλ-1K+∞).o 情况2：如果ε<K和δ≥ δ我们有–S∩ {y=0}=[K+∞) 和S∩ {y=1}=.– S∩ {y=0}= 和S∩ {y=1}=[λλ-1K+∞).o 情况3：如果ε<K和δ≤ δ<δ我们有–S∩ {y=0}=[K+∞) 和S∩ {y=1}={K}.-S∩ {y=0}= 和S∩ {y=1}|=[α+∞), 其中α是α- Kαλ- 1.αλ-λ-α- Kαλ- 1.Kλ-λ=εK（λ- λ)αλ-1K1-λ.o 情况4：如果ε<K且0<δ<δ，我们有–S∩ {y=0}=[K+∞) 和S∩ {y=1}=[K，β]36 TIZIANO DE ANGELIS，FABIEN Gensbitel，ST'EPHANE VILLENEUVE–S∩ {y=0}= 和S∩ {y=1}=[α+∞) 其中（α，β）是方程组的唯一解α-Kαλ- 1.αλ-λ-α-Kαλ- 1.βλ-λ=β-K+εβ（λ- λ)αλ-1β1-λβ-K+εβλ- 1.βλ-λ-β-K+εβλ- 1.αλ-λ=α-Kα（λ- λ)βλ-1α1-λ对于上述所有情况，对（γ*, τ*) 定理3.2中定义的不是鞍点ify=0，如果y=1，则为鞍点。参考文献【1】Bain，A.Crisan D.《随机过滤的基本原理》。

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