收益信息不完全的资产动态博弈

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英文标题：
《A Dynkin game on assets with incomplete information on the return》
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作者：
Tiziano De Angelis, Fabien Gensbittel, St\\\'ephane Villeneuve
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  This paper studies a 2-players zero-sum Dynkin game arising from pricing an option on an asset whose rate of return is unknown to both players. Using filtering techniques we first reduce the problem to a zero-sum Dynkin game on a bi-dimensional diffusion $(X,Y)$. Then we characterize the existence of a Nash equilibrium in pure strategies in which each player stops at the hitting time of $(X,Y)$ to a set with moving boundary. A detailed description of the stopping sets for the two players is provided along with global $C^1$ regularity of the value function.
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中文摘要：
本文研究了一个两人零和Dynkin博弈，该博弈产生于对收益率未知的资产进行期权定价。使用过滤技术，我们首先将问题归结为二维扩散$（X，Y）$上的零和Dynkin博弈。然后，我们在纯策略中刻画了纳什均衡的存在性，其中每个玩家在$（X，Y）$到一个具有移动边界的集的命中时间停止。提供了两名玩家的停止集的详细描述，以及值函数的全局$C^1$规则性。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> A_Dynkin_game_on_assets_with_incomplete_information_on_the_return.pdf (782.22 KB)

2022-5-31 20:17:49 上传

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关键词：动态博弈 Mathematical Optimization Differential Applications

这是一场关于资产的动态博弈，关于回归者德安吉利斯（RETURNTIZIANO DE ANGELIS）、法比恩·根斯比特（FABIEN Gensbitel）、圣伊凡·维伦纽瓦斯特拉特（ST’EPHANE VILLENEUVEAbstract）的信息不完整。本文研究了一个两人零和Dynkin博弈，该博弈由pricingan期权产生，资产收益率对两人都未知。使用过滤技术，我们首先将问题简化为二维扩散（X，Y）上的零和Dynkin博弈。然后，我们刻画了纯策略中纳什均衡的存在性，其中每个玩家在（X，Y）到一个具有移动边界的集合的命中时间停止。给出了两个游戏者停止集的详细描述以及值函数的全局Cregularity。1、导言零和最优停止对策（Dynkin对策）自Dynkin[13]发表开创性论文以来，受到了广泛关注，另见经典文献[2]和[27]。特别是，这些博弈在数学金融中得到了应用，其中提前取消美式期权的无障碍定价（博弈期权）依赖于买卖双方之间最优停止的零和博弈的价值计算（见[24]、[26]）。在Dynkin博弈的财务应用中，一个常见的假设是，参与者拥有关于潜在随机过程参数的完整信息。然而，在实践中，有许多情况下，参数很难估计，尤其是对于过程漂移而言。我们的工作受到实物期权文献的启发，在实物期权文献中，投资的价值（如自然资源开采的开始或R&D计划的投资）是一种或有资产，取决于一些基础资产的价格，它是通过套利参数计算的（见[12]）。

众所周知，问题本身归结为一个最优的定时决策，因此最优停止是关键的数学工具。在【12】之后，我们假设价格过程按照几何布朗运动dstst=udt+σdbtw演变，其中u是所谓风险调整资产价格的对数回报。资本资产定价模型允许我们确定用于贴现未来现金流的风险调整贴现率r（请注意，这通常大于无风险利率，参见，例如，[12，p.178]）。根据[12]，我们假设u≤ r和表示差异r- u乘以δ。条件u≤ r避免了S中收益为线性的投资项目的价值变得无界（这将导致投资者永远推迟投资）。据了解，估算日期回报率：2022年3月2日。关键词和短语。零和博弈；纳什均衡；信息不完整；自由边界；确认：T.De Angelis部分得到EPSRC拨款EP/R021201/1的支持。我们感谢一位匿名仲裁人，他的见解有助于第8.2节TIZIANO DE ANGELIS、FABIEN Gensbitel、ST'EPHANE Villeneuve的讨论。资产的风险调整价格是一项具有挑战性的任务，我们通过考虑具有部分不可观察漂移u的资产，将此特征嵌入我们的模型中。我们想到的一个典型问题是，一家公司持有钻井特许权。公共当局意识到油田开发的社会成本和效益，希望签署一份合同，在支付合同罚款之前，可以随时取消特许权。从投资者的角度来看（并简化模型以获得可处理性的好处），只有当基础商品的价值能够补偿固定投资成本K>0时，投资决策才是有利的。

从这个意义上讲，可以将投资期权解释为商品价格上的看涨期权，行权等于K。取消协议需要支付等于看涨期权加上罚款的款项（即，补偿失去的投资机会）。基于上述考虑，本文研究了标的资产收益率信息不完全的零和最优停止博弈。我们感兴趣的是价值的存在性以及博弈的纳什均衡的存在性和特征。为了能够进行详细的理论分析，我们将保持实物期权模型的简单，同时，借鉴大量关于以色列期权的文献（由【24】发起）。我们假设Anaset S上看涨期权的买方（参与者1）和卖方（参与者2）同意一个恒定的风险调整贴现率r>0，该贴现率用于在游戏中贴现未来的支付（即，我们假设参与者对经济的未来有相同的信念）。此外，我们通过假设调整后的对数收益率是随机的且仅部分可观测，对资产收益率的不确定性进行建模。为了避免与前面介绍的符号混淆，我们用|u表示它（与前一页中的u相反）。特别地，我们假设|u=r- δD，其中δ>0是常数，D∈ {0，1}是随机的，玩家无法观察到。我们对|u的选择与通常的股票净回报率概念很好地结合在一起，即以δD的比率支付股息。虽然|u的其他选择显然是可能的，但我们将在下文中看到，这一基本模型已经构成了重大的数学挑战。

据我们所知，这是第一篇通过对相关自由边界问题的概率分析来解决带有部分信息的零和博弈的论文，因此我们将为未来的工作留下其他参数选择。我们模型中的资产在概率空间上演化(Ohm, F、 P），根据ST=（r- δD）Stdt+σStdBt，S=x>0，（1.1），其中（Bt）t≥0是布朗运动，σ>0是波动率。随机变量取值0或1，P（D=1）=y，并假设其独立于（Bt）t≥0。我们用FS表示：=（FS）t≥0观察到的过程和FS生成的过滤：=（FS）t≥0its对P-null集的扩充（详见第2节）。然后，我们通过Ts定义FS停止时间集。在我们的游戏中，我们fix K>0和ε>0，letG（x）：=（x- K） +，G（x）：=（x- K） ++ε（1.2）分别是玩家1（期权持有人）的报酬和玩家2（卖方）的取消成本。那么我们的博弈公式如下：博弈的预期贴现收益为（1.3）Mx，y（τ，γ）=E[E-rτG（Sτ）1{τ≤γ} +e-rγG（Sγ）1{γ<τ}]式中τ，γ∈ 特别是期权持有人选择τ以行使期权，卖方选择γ以取消期权。持卡人的目标是在信息不完整的情况下最大限度地提高收入，而卖家则希望将成本降到最低。按照惯例，我们-rτG（Sτ）1{τ=∞}= e-rγG（Sγ）1{γ=∞}= 0，P- a、 符号Mx，y考虑了停止函数对初始资产价值和事件{D=1}的先验概率的依赖性。本注释将在下文第2节中充分论证和解释。通常，我们分别通过V（x，y）=infγsupτMx，y（τ，γ）和V（x，y）=supτinfγMx，y（τ，γ）定义停止博弈的上限值和下限值。（1.4）当V（x，y）=V（x，y）时，游戏有一个值V（x，y）：=V（x，y）=V（x，y）。

此外，如果存在两个停止时间（τ*, γ*) 这样mx，y（τ，γ*) ≤ Mx，y（τ*, γ*) ≤ Mx，y（τ*, γ） 对于所有停止时间τ和γ，对（τ*, γ*) 是最优停止博弈的鞍点或纳什均衡，在这种情况下，博弈的值为V（x，y）=Mx，y（τ*, γ*).在以色列方案中，P（D=1）=1或P（D=1）=0（非分裂情况）。在这种情况下，【17】和【35】已经建立了明确的计算。这两篇论文都表明，红利参数δ对博弈中均衡的存在起着重要的作用，在本文中也是如此。我们现在回顾了现有文献中的一些结果，以便稍后讨论我们工作的数学新颖性。[16]中使用鞅方法证明了多维马尔可夫过程最优停止对策值的存在性，Bensoussan和Friedman[2]通过变分不等式证明了该值的存在性。这些方法要求Payoff过程具有适当的可积性，即在我们的符号中，过程e-rtGi（St），i=1，2必须是一致可积的。当此类条件未满足时，该值的存在已在[17]中得到证明，但仅适用于一维效应。【17】中的结果依赖于【14】中介绍的广义凹度类型，并在【7】中更新。另一方面，【16】和【17】研究了马尔可夫环境下纳什均衡存在的充分条件。对于一类相当普遍的马尔可夫过程，这些条件包括上述Payoff过程的一致可积性。

在一维微分的特殊情况下，较弱的可积性反而可能是有效的（见[17]，命题4.3）。在我们的环境中，我们在建立价值和纳什均衡的存在性方面面临两个主要的技术难题：（i）过程S不是马尔可夫的，（ii）它无法满足一致可积的条件（见备注2.1），特别是对于任何初始条件S=x∈ R+我们有（1.5）Esup0≤t型<∞e-rtGi（St）= +∞, i=1，2。为了克服第一个困难，我们依赖过滤理论并增加状态空间的维数。非正式地说，我们可以说，我们考虑了球员对D的估计的渐进更新，基于对S的观察。这种方法引导我们研究一个二维马尔可夫系统，我们用（Xt，Yt）t表示≥0，其中（至少形式上）X=S和Yt=E[D | FSt]。另一方面，为了克服一致可积性的不足并证明对策值的存在，我们采用了Lepeltier Maingueneau【27】和Ekstrom Peskir【16】开发的方法。4 TIZIANO DE ANGELIS，FABIEN Gensbitel，ST'EPHANE Villeneuvea在证明了该值的存在后，我们可以对两个参与者的停止集的结构进行详细分析，即V=Gi，i=1，2的状态空间的子集。表示Si：={V=Gi}，i=1，2我们研究了沙子边界的性质，我们随后使用这些边界来说明鞍点存在的条件（纳什均衡）。后者是根据击中沙粒的时间提供的。在我们的分析中，我们使用了二维动力学的两种等效表示。它们通过确定性转换相互联系，即所谓的二阶偏微分方程到标准形式的还原（注意，类似的转换已经被一些文献使用，如[11]、[15]、[20]等）。

事实上，我们首先观察到这个过程（Xt，Yt）只由一个布朗运动驱动，因此它是退化的；然后我们改变坐标以获得一个新的过程（Zt，Yt）。这里，zt是确定性的，根据问题中参数的选择而增加或减少。实际上，过程Z扮演着“时间”过程的角色。我们想强调的是，到目前为止，与二维微分上的零和Dynkin对策相关的自由边界问题的概率研究还没有得到足够的重视。在这个方向上，但在抛物线设置下的工程有[9]和[35]。我们在这里的分析超越了这些论文的结果，举例来说，游戏的价值是状态变量（x，y）的全局函数。这种类型的正则性比众所周知的光滑函数强得多，光滑函数给出了关于一个状态变量的一个方向导数的连续性。有关Cregularity的相关工作包含在【10】中，但不包括我们的游戏设置。论文概要如下。在第二节中，我们给出了零和对策的模型和马尔可夫公式。博弈（1.3）值的存在性和连续性在第3节中得到。第4节（x，y）-平面和第5节（z，y）-平面（抛物线公式）中给出了停止集的几何图形。第6节使用这些集合的命中时间来证明值的更高正则性，例如其全局正则性，第7节中我们获得了鞍点存在的充分条件。最后，在第8节中，我们收集了一些结论，并讨论了进一步研究的可能方向。附录中给出了一些技术结果。2.

基础资产的动力学我们从考虑概率空间开始Ohm= C（[0+∞), R） ×{0，1}赋予西格玛代数，乘积概率Py=W π（y），其中W是标准维纳测度，π（y）=（1- y、 y）。让我们表示（（Bt）t≥0，D）的canonicalelementOhm并确定r>0、δ>0和σ>0。那么，（1.1）所描述的资产价值（回报率不确定）有一个明确的耦合表达式（B，D），即（2.1）Sxt=xeσBt+（r-δD）t-tσ过程Sx是一个几何布朗运动，其漂移参数取决于不可观测的随机变量D。我们记得后者独立于布朗运动B。正如导言中所讨论的，我们模型中出现的一个技术难题是过程Sx缺乏一致可积性。备注2.1。如果y∈ （0，1），过程e-rtSxtis不是一致可积的，因为→+∞e-rtSxt=极限→+∞xeσBt-tσ{D=0}+1{D=1}e-δt= 0，Py- a、 一个信息不完全的DYNKIN游戏→+∞Ey[e-rtSxt]=（1- y） x.因此，通过payoffs Gi的线性，i=1，2 in（1.2），我们得到（1.5）。我们的目标是为博弈看涨期权（1.3）提供一个严格的公式。一种方法是更换P和（St）t≥Pyand（Sxt）t的0英寸（1.3）≥0以上定义。LetFS：=（FS）t≥0是由Sx和FS生成的过滤：=（FS）t≥0be它与Py null集的扩充。然后，我们将Ts表示为FS停止时间集，并对停止时间进行优化（τ，γ）∈ 这个公式的缺点是，Sx的动力学不是马尔可夫的，因此对于问题的解决，我们不能依赖自由边界方法。为了克服这一困难，我们希望通过使用过滤技术将问题简化为马尔可夫框架。根据[1，第2.35条，第40页]过滤FS：=（FS）t≥0是正确的连续值，因此满足通常的假设。

因此，我们定义了流程（Dyt）≥0as anFS-c\'adl\'ag版本的鞅（Ey[D | FSt]）t≥注意（Dyt）t≥0是一个几乎肯定收敛到D的有界鞅。D是FS∞-可测量becausetln（Sxt）=tln（x）+（σBt-tσ）- δt1{D=1}-→t型→∞σ- δ{D=1}。根据Liptser Shiryaev【28】中的第9章（另见Shiryaev【34】中的第4.2章），过程（Sx，Dy）是以下SDE的唯一强解，（dSxt=（r- δDyt）Sxtdt+σSxtdcWtdDyt=-ΔσDyt（1- Dyt）dcWt（2.2），其中Cwt=σZt（Sxu）-1dSxu-Zt（r- δDyu）du是Py下的FS适应布朗运动。因此，这对（Sx，Dy）适合于增强CW产生的过滤，我们用FcW表示。这尤其意味着FS FcWand FcW=FSbecausecW是FS自适应的。还需注意流程（Dyt）t≥0适用于过滤FSby结构，因此新的布朗运动CW也适用于FS也就不足为奇了。上面我们得到了空间上的（Sx，Dy）(Ohm, F、 Py），这取决于随机变量D的概率分布。我们倾向于摆脱这种依赖，考虑另一个过程（Xt，Yt）t≥0，具有与（Sxt，Dyt）t相同的定律≥0，但下面定义了一个新的概率空间。取概率空间(Ohm, F、 P），用W表示：=（Wt）t≥0a此空间上的布朗运动，F：=（Ft）t≥0其产生的过滤的增加。对于（x，y）∈ R+×（0，1），设（X，Y）为二维SDE的唯一强解（dXt=（R- δYt）Xtdt+σXtdWt，X=X，dYt=-ΔσYt（1- Yt）dWt，Y=Y.（2.3）为了跟踪初始点，我们使用了符号（Xx，Y，Yy），并注意到旁观者理论（t，x，Y）7→ （Xx，yt，Yyt）确实是连续的P-几乎可以肯定。